Microeconomía I (250) Cátedra: Lic. CP Andrés Di Pelino

Profesor Adjunto: Lic. Joel Vaisman Facultad de Ciencias Económicas, Universidad de Buenos Aires

GUIA PRÁCTICA TEORIA NEOCLÁSICA DEL CONSUMIDOR

1) Suponga un individuo que tiene que elegir entre consumir dos bienes, x1 y x2. Los precios de los bienes 1 y 2 son $3 y $6,5 respectivamente, y tiene un ingreso de m pesos.

a) Escriba y grafique la restricción presupuestaria. b) Suponga que el consumidor tiene una dotación θ del bien 1. Grafique la

restricción presupuestaria. c) Ahora agregue el supuesto de que el consumidor no puede consumir una

cantidad mayor a w (w>θ ) del bien 1. Grafique la nueva restricción presupuestaria.

2) Un individuo tiene un ingreso monetario de m. En el supermercado se

encuentran los siguientes precios de diversos productos:

Producto Precio Alfajor Carlitos (x) $2

Mayonesa Lolmanns (y) $10 Dentífrico Tirate (z) $6

Pan Bombo (u) $5 Galletitas Macumba (w) $11

Escriba distintas restricciones presupuestarias si en la lista de compras está escrito: -Comprar alfajores y pan. -Comprar dentífrico y pan. -Comprar galletitas, pan y alfajores. -Comprar todos los productos.

3) El consumidor representativo, que trata de alcanzar su nivel de utilidad más alto sujeto a una restricción presupuestaria, encuentra la canasta óptima de consumo cuando:

a) Iguala las utilidades marginales de cada uno de los bienes. b) Iguala las utilidades totales de cada uno de los bienes. c) Iguala las utilidades marginales por peso gastado en cada uno de los bienes. d) Iguala los precios de cada uno de los bienes. 4) El señor Compradorcompulsivus (Mr. C) es fanático de los DVD y de los chupetines. Tiene la siguiente función de utilidad:

U(x1,x2 ) = x1.x2

Donde el bien 1 representa a los DVD, y el bien 2 a los chupetines. Encuentre las utilidades marginales de cada bien, haga un cociente entre ellas, y explique su significado analítico y gráfico. 5) Suponga una restricción presupuestaria. Si los precios de los bienes suben un

20%, y el ingreso del individuo un 10%. Gráficamente, ¿Qué sucederá con la recta presupuestaria?

a) Rota hacia su intersección con el eje del bien 1. b) Rota hacia su intersección con el eje del bien 2. c) Permanece intacta. d) Se mueve paralelamente hacia el origen de coordenadas. e) Se mueve paralelamente en dirección noreste del origen de coordenadas 6) Si la función de Utilidad viene representada de la siguiente forma:

¿A partir de qué punto pasará a ser negativa la Utilidad Marginal?

a) En X4 b) En X2 c) En X3 d) Ninguna de las anteriores

7) -¿Cómo son las funciones de utilidad para bienes complementarios? (sólo una es

correcta) a) Los bienes deben utilizarse en combinaciones constantes

b) Los bienes deben utilizarse en términos proporcionales c) Cada bien establece un mínimo a la cantidad utilizada de todos ellos d) Cada bien establece un mínimo a la cantidad utilizada para algunos de ellos

Respuesta: a. En ello consiste la complementariedad. B no significa nada en este contexto. C y d son absurdas.

8) ¿Cómo son las funciones de utilidad para bienes complementarios perfectos?

a) U = Min(a.x1, b.x2) b) U = Min(x1, x2) c) U = Max(x1, x2) d) Ninguna de las anteriores

9) ¿Cuál de todas las siguientes funciones no podría representar que uno de los

bienes es un mal?

a) 𝑈 = 𝑋2𝑋1

b) 𝑈 = 𝑥2 − 𝑥1 c) U= 1

𝑋1 + x2

d) Ninguna de las anteriores

Respuesta: d.

10) Señale la respuesta incorrecta: en las curvas de indiferencia para dos bienes sustitutos

a) Al consumidor le es completamente indiferente consumir cantidades iguales de los dos bienes

b) Está dispuesto a sustituir un bien por otro a tasa constante c) Lo único que importa es la cantidad total, y no la composición numérica del total d) Son líneas rectas crecientes

11) Señale la respuesta incorrecta. ¿Cómo son las funciones de utilidad para bienes

sustitutos perfectos? a) Funciones aditivas y separables. b) U=min(x1, x2) c) En ellas los bienes son idénticos en valoración para el consumidor d) Para una U constante, si aumenta el consumo de uno debe disminuir el otro en la misma

cantidad exactamente

12) El precio prohibitivo es : a) Aquel que maximiza la cantidad demandada b) Aquel que minimiza la cantidad demandada c) Aquel que hace nula la cantidad demandada d) Ninguna de las anteriores 13) El precio prohibitivo en p = 5 - 1

2x es:

a) P=5 b) P=3

c) P=4 d) Ninguna de las anteriores

14) Considere la siguiente información de una economía doméstica, por unidad de

tiempo, donde las UMgi son las utilidades marginales

X1 UMg1 X2 UMg2 1 20 1 10 2 15 2 7 3 10 3 2 4 5 4 1

Para que el consumidor esté en equilibrio (maximice la utilidad), el cociente de precios debe ser igual a: a) 2 b) 5,5 c) 2,2 d) 1

15) Si se da la siguiente situación:

Bien Cantidad Precio Utilidad Marginal 1 30 36 12 2 20 90 ¿?

Suponiendo que el consumidor maximiza la utilidad respecto a ambos bienes, la utilidad marginal del bien 2 es:

a) 10 b) 20 c) 30 d) 60

16) Suponga un consumidor con una restricción presupuestaria. Grafique aproximadamente la RP para los casos:

-El precio del bien 1 es más barato. -El precio del bien 2 es más barato. -Existe una restricción de consumo para el bien 1. -Existe un impuesto para el consumo del bien 2. -Existe un impuesto al ingreso del individuo.

17) Para cada set de bienes, grafique dos curvas de indiferencia, U1 y U2, siendo U2 > U1, según los siguientes casos:

-Panchos y Hamburguesas (al consumidor le gustan ambos, y tiene una TMS de panchos para la mayonesa). -Azúcar y edulcorante (al consumidor le gustan ambos, y acepta una cucharada de uno o de otro). -Choripán y chimichurri (al consumidor le gustan ambos, y consume por cada choripán dos cucharadas de chimichurri). -Manzanas (producto que el consumidor disfruta) y remolacha (que el consumidor detesta).

18) Los precios de dos productos, 1 y 2, son de $5 y $4 respectivamente. El ingreso monetario es de $40. Se pide: a) Grafique la restricción presupuestaria. b) Analice si las siguientes canastas son posibles de ser asequibles. Si lo son, responda si son potencialmente óptimas o no. ¿Entre cuáles podría estar indiferente? A= (1, 1) B= (10, 0) C= (0, 10) D= (4; 5) 19) Un consumidor tiene un ingreso de $600 y lo destina en su totalidad a la compra de los bienes A y B. Enfrenta al siguiente vector de precios:

P = (30, 40) a) Encuentre la expresión de la restricción presupuestaria, y grafíquela. b) Ahora suponga que el ingreso es de $2520, y que lo destina a comprar bienes A,

B y C. El vector de precios es:

P = (12, 18 ,24). Arme la nueva restricción presupuestaria.

20) Suponga que un consumidor debe decidir entre adquirir manzanas y naranjas. El precio de las manzanas, en el mercado, es de $5, mientras que las naranjas cuestan $6. El consumidor, como máximo, puede gastar $50.

Se pide: a) Escriba la restricción presupuestaria del consumidor. b) Si la función de utilidad que representa las preferencias del consumidor es

U(x1, x2)= x1.x2

Plantee el problema de optimización del consumidor. c) Encuentre las funciones de demandas marshallianas en función de los precios de

mercado y el ingreso del consumidor. ¿Cuál será la canasta óptima de consumo? d) Reemplace las respuestas del punto c en la función de utilidad. ¿Qué nivel de

utilidad obtiene el consumidor?

21) Dada la siguiente función de utilidad:

U(x1, x2)= 4.x1.x2 a) Plantee el problema de maximización de la Utilidad, dado un ingreso de m

unidades monetarias. Obtener las funciones de demandas marshallianas para ambos bienes.

b) Encuentre la función de Utilidad Indirecta. c) Plantee el problema de minimización del gasto, dado el nivel de Utilidad U0.

Obtenga las funciones de demandas compensadas (hicksianas) para ambos bienes.

d) Encuentre la función de Gasto Mínimo. e) Obtener las elasticidades precio e ingreso de ambos bienes. f) Clasificar los bienes de acuerdo a lo obtenido en el punto anterior. g) Suponga que el precio del bien 1 es de $2, y el del bien 2 es $1. El ingreso del

que dispone el consumidor es de $10. Compruebe que las demandas marshallianas y las hicksianas calculadas son (aproximadamente) iguales cuando se computan usando esos datos.

22) Dada la siguiente función de utilidad:

U(v,w) = v1,5.w Considerando que los precios para v y w son 5 y 10 respectivamente, se pide: a) Las funciones de demandas compensadas de cada uno de los bienes b) La canasta óptima de consumo y el gasto mínimo necesario para alcanzar

U0=555000 c) Calcular las elasticidades precios de v y w respecto a sus propios precios,

indicando para cada caso la metodología de cálculo y el signo de las pendientes de sus respectivas demandas compensadas.

23) Un consumidor puede elegir entre adquirir dos bienes, X e Y. Su función de utilidad es:

U(x, y) = 2x2y Sabiendo que su ingreso mensual es de $180, y que los precios son de $3 para el bien X, y de $2 para el bien Y, se pide: a) Escriba la restricción presupuestaria del consumidor. b) Plantee el problema del consumidor. c) Encuentre las demandas marshallianas, la canasta de consumo óptima y el nivel

de Utilidad. d) Suponga que el precio del bien X sube a $6. ¿Cuál será la nueva canasta de

consumo óptima? ¿Qué nivel de utilidad obtendrá el consumidor?

e) Utilizando los precios originales, ahora asuma que el consumidor tiene un ingreso el doble del inicial. Calcule la canasta óptima y el nivel de utilidad.

24) Sea un consumidor cuya función de Utilidad viene descrita por:

U(x1, x2)= x11/2.x2

1/2

Y se enfrenta a los siguientes precios:

p1= 3, p2=4. Tiene, además, un ingreso de 90 unidades monetarias. a) Plantee el problema que debe resolver el consumidor. b) Encuentre las cantidades óptimas a ser consumidas.

25) Dada la siguiente función de utilidad:

U = Min (α x1; β x2) siendo α y β parámetros positivos, se pide: a) Plantee el problema del consumidor b) Encontrar las funciones de demandas marshallianas, sabiendo que el consumidor

enfrenta los precios p1, p2 y tiene un ingreso de m unidades monetarias.

26) (Adaptado de la guía de la profesora Silvana Mateu) Un consumidor compra solamente dos bienes: hamburguesas a $2 por unidad y tallarines a $4 el kilogramo. Su ingreso es de $24. Su función de utilidad es:

U(H, T) = H1/2 T1/2 a) Arme la restricción presupuestaria. b) Plantee el problema que enfrenta el consumidor. c) Encuentre las demandas marshallianas.

27) Suponga la siguiente función de utilidad:

U(x1, x2) = a.x1 + b.x2 Grafique las curvas de indiferencia y la restricción presupuestaria en un eje cartesiano. Plantee los siguientes casos:

ba <

21

pp

ba >

21

pp

ba =

21

pp

¿Puede haber infinitas soluciones, dentro de un intervalo, en alguno de estas situaciones?

28) Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad:

U = ln x1 + ln x2 El precio del bien 1 es de $4, y el del bien 2 es de $5. Tiene actualmente un ingreso de $40 para gastar. a) Encuentre las funciones de demandas marshallianas, y las cantidades de consumo óptimas. b) Encuentre la función de Utilidad Indirecta, y el nivel de Utilidad obtenido. c) Encuentre las funciones de demanda hicksianas. d) Responda: Un cambio en el precio del bien 1, ¿afectaría las cantidades demandadas del bien 2? e) Si el precio del bien uno cambia a $3, encuentre las nuevas cantidades del bien 1 y 2, ¿Cuál es la variación total del efecto precio? Obténgalas haciendo la diferencia entre las cantidades con el precio 1 final con la del precio 1 inicial. f) Suponga que todos los consumidores tienen la mismas funciones de demandas marshallianas. Encuentre la demanda de mercado, sabiendo que existen 100 consumidores en ambos mercados. 29) Suponga una función de demanda de la familia Cobb-Douglas de Utilidad.

x1* = 𝑚2𝑃1

Suponga que la renta es de 100, y que p1 es 5. a) Encuentre la cantidad que se está demandando con esos datos. b) Ahora suponga que el precio pasa a ser 2. ¿Cuál será la nueva cantidad? c) Descomponga el punto anterior en efecto total y efecto sustitución.

30) El señor Gerardo Sofoclovich quiere sí o sí poder adquirir canastas que le permitan alcanzar el nivel de utilidad U0=10, ya que con esa cantidad de bienes podrá tener éxito con las chicas. Sofoclovich obtiene utilidad de cajas de bombones y de las rosas rojas, que utiliza para regalar a las mujeres a las que desea seducir. Su función de utilidad es:

U(b, r) = b.r Donde b indica la cantidad de bombones, y r las rosas. Los precios de cada uno son de 5 y 6 respectivamente. a) Si Sofoclovich sí o sí quiere alcanzar esas canastas que le permitan alcanzar ese

nivel de satisfacción (lo hace sentir, por lo menos, seguro), plantee el problema de minimización de gasto para alcanzar dicho nivel.

b) Encuentre las funciones de demandas hicksianas de Gerardo Sofoclovich. ¿Qué cantidad óptima decide comprar para poder regalarle a las chicas? ¿Cuánto será lo mínimo que deberá gastar?

31) Responda V o F y justifique: Si la función de utilidad de un consumidor tiene curvas de nivel que son rectas, entonces las soluciones son puntos de esquina o infinitas canastas, dependiendo el valor de la TMS y de la restricción presupuestaria. 32) Suponga la siguiente función de demanda marshalliana:

x1= 100 + 0,5m - 3p1 – 4p2

Sabiendo que el ingreso m es de $60, el precio del bien 1 es $5 y el del bien 2 de $2, calcule las elasticidades precio, ingreso y cruzada de la demanda, y clasifique al bien 1. Rta: Bien típico, normal, complementario. 33) Suponga la siguiente función de demanda marshalliana:

x1= 100 + 0,5m + 3p1 + 4p2 Usando los mismos precios e ingreso del ejercicio anterior, calcule las elasticidades precio, ingreso y cruzada de la demanda, y clasifique al bien 1. Rta: Bien Giffen, inferior, sustituto. 34) Dada la siguiente función de utilidad de Alejandro Pachorra:

U(x1, x2)= 2 x10,25x2

0,25 Se pide calcular: a) Las demandas marshallianas para los bienes 1 y 2. b) Las cantidades óptimas demandadas de cada uno de los bienes, y el máximo nivel de utilidad alcanzado, sabiendo que puede gastar $1000, y en el mercado los precios son $10 y $20 para los bienes 1 y 2 respectivamente. c) Calcule las elasticidades para la demanda del bien 1 con respecto a su propio precio y al ingreso. ¿Es un bien normal o inferior?

35) Las preferencias de Juan, el famoso “camionero de Juan B. Justo”, están representadas por la función:

U = 2x1

1/2 x22 .

Enfrenta en un kiosko donde para habitualmente los precios del bien 1, p1 y del bien 2, p2. Percibe un ingreso de m pesos. Encuentre la demanda marshalliana del bien 1.

a) Arme la restricción presupuestaria del consumidor b) Plantee el problema que debe resolver Juan.

c) Encuentre la demanda marshalliana. ¿Depende del precio del bien 2?

36) Suponga que Alejandro Van Der Brula tiene la siguiente función de utilidad:

U(q1 , q2) =4q1 0,4q2

0,1

Sabiendo que el ingreso disponible es de $20000, y los precios son

p1 = 30

p2 = 20 Se pide: a) Encuentre la función de demanda ordinaria (marshalliana) para ambos bienes. b) Encuentre la canasta óptima de consumo y el máximo nivel de utilidad

alcanzado por el consumidor. c) Las elasticidades precio de la demanda, e ingreso de la demanda para ambos

bienes. d) A partir de los resultados del punto anterior, clasifique los bienes. 37) Demanda de mercado. Suponga la demanda de tres individuos:

X1 = Px2

500 X2 = Px4

250 X3 = Px300

Construya la demanda de mercado. Obtenga P(Q= XΣ ) ¿Cómo será la pendiente de la función de demanda? 38) Elasticidad. Suponga que la demanda de un individuo es:

x(px, py, m) = Px

mPy2

3

Calcule las elasticidades precio, ingreso y cruzada.

39) Modelo con dotaciones: Un consumidor se enfrenta a la difícil decisión de consumir entre harina (x1), y chicles Bobaloo (x2). Cuenta con dotaciones iniciales de ambos bienes: 4 kg de harina y 6 chicles. Los precios en el mercado son, actualmente, de $5 cada kg de harina, y de $3 cada chicle (una golosina muy cara). La función de utilidad es:

U(x1, x2)= x1.x2

a) Escriba la restricción presupuestaria del consumidor. ¿Cuál es el valor monetario de la canasta que posee?

b) Escriba el problema del consumidor. c) Suponiendo que los productos son infinitamente divisibles (esto es, puedo

comprar cantidades en decimales), encuentre las funciones de demandas marshallianas u ordinarias derivadas del problema de optimización, y la canasta óptima de consumo.

d) Responda: ¿es el consumidor demandante neto o vendedor neto del bien 1? e) Encuentre el nivel de utilidad óptimo. En base a su respuesta en d), grafique las

curva de indiferencia, la canasta con dotaciones y la canasta óptima. f) Suponga ahora que, por escasez en la producción de chicles, el precio del bien 2

hubiera sido de $7. ¿Cuál es el nuevo valor monetario de la canasta de dotación inicial? ¿Qué hará el consumidor con los chicles? ¿Será demandante o vendedor neto?

40) Modelo de Consumo Intertemporal: Un individuo tiene que elegir entre varias combinaciones de consumir hoy (C1) o consumir mañana (C2). Su función de utilidad intertemporal es:

U(C1, C2) = C1α C2

β

El individuo tiene una renta de m1 hoy, y de m2 en el futuro. La tasa de interés en el mercado es de r. a) Escriba la restricción presupuestaria en términos presentes (es decir, expresando en términos de valor actual). b) Plantee el problema de optimización intertemporal del consumidor. c) Encuentre las cantidades de consumo óptimas. d) Suponga que tanto hoy como mañana recibirá $5 como ingreso fijo, y que la tasa de interés del mercado es de 5%. Los parámetros alfa y beta son iguales a 1. Encuentre el valor actual de la riqueza (W). e) Responda: ¿el individuo decidió ahorrar o endeudarse? 41) Modelo de Teoría de la Cartera (1 risk free, 1 riesgoso): Con el objetivo de diversificar sus inversiones, el señor Peperone quiere formar una cartera combinando un activo riesgoso (una acción) con un activo risk-free (un bono del tesoro norteamericano). La rentabilidad esperada de la acción es de 13,49%, y el desvío estándar es de 15,55%. El bono norteamericano rinde 5%.

La función de utilidad del inversor es:

U = r1 – 0,005.A.σ 21

Recuerde: la función de utilidad está preparada para trabajar con números en porcentajes. Se pide: a) Demuestre que la función de utilidad satisface la no saciedad en rendimiento. b) Demuestre que la función de utilidad cumple con el supuesto de aversión al

riesgo.

c) El porcentaje de cada activo a invertir para encontrar el rendimiento de la cartera óptima. Nota: recuerde que la suma de las ponderaciones siempre es 1 o 100%.

d) El rendimiento de la cartera óptima. e) El nivel de utilidad alcanzado. f) Escriba la ecuación de la Capital Allocation Line (CAL) obtenida. g) Haga un gráfico aproximado. 42) Modelo de Teoría de la Cartera (1 risk free, 1 riesgoso) Suponga un inversor con la siguiente función de utilidad:

U = rc – 0,005.A.σ 2c

El inversor tiene $10000 que quiere invertir en una cartera de títulos, y para eso le consulta a usted para que lo asesore en dicha situación. En el mercado, hay una acción que tiene una rentabilidad esperada del 10%, con un desvío estándar del 15%. Al mismo tiempo, otro activo, que es una réplica del índice MERVAL (una ponderación de las rentabilidades de las principales empresas que cotizan en bolsa), tiene una rentabilidad esperada del 7%, con un desvío del 4%. Los bonos del Tesoro de los EEUU rinden 5%. Tras una serie de preguntas, usted asigna al inversor un grado de aversión al riesgo de 3. a) Obtenga la rentabilidad esperada de la cartera óptima y la utilidad esperada si el inversor decide poner todo su dinero en acciones. b) Obtenga la rentabilidad esperada de la cartera óptima y la utilidad esperada si el inversor decide comprar con todo su capital bonos del tesoro. c) Demuéstrele al inversor los beneficios de la diversificación. Suponga que puede solo combinar el activo sin riesgo con la acción. Encuentre la rentabilidad esperada y el desvío estándar de la cartera óptima, el porcentaje de su capital que invertirá en acciones y en bonos, y la ecuación de la CAL. ¿Cómo es la utilidad obtenida en comparación con los puntos anteriores? d) Ahora suponga que sólo puede combinar el activo sin riesgo con el índice MERVAL. Repita lo exigido en el punto anterior, y encuentre la ecuación de la Capital Market Line (CML), que es la denominación que adopta la CAL cuando el activo riesgoso representa al mercado. ¿Qué nivel de utilidad obtiene? e) ¿Qué representa el ratio de Sharpe? ¿Cuál de las dos es mayor, la de la CAL o la de la CML? f) Responda: ¿Cuál de todas las carteras debería recomendarle al inversor? Justifique su respuesta. 43) Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad:

U = ln x1 + ln x2 El precio del bien 1 es de $4, y el del bien 2 es de $5. Tiene actualmente un ingreso de $40 para gastar. g) Encuentre las funciones de demandas marshallianas, y las cantidades de consumo óptimas. h) Encuentre la función de Utilidad Indirecta, y el nivel de Utilidad obtenido.

i) Encuentre las funciones de demanda hicksianas. j) Responda: Un cambio en el precio del bien 1, ¿afectaría las cantidades demandadas del bien 2? k) Si el precio del bien uno cambia a $3, encuentre las nuevas cantidades del bien 1 y 2, ¿Cuál es la variación total del efecto precio? Obténgalas haciendo la diferencia entre las cantidades con el precio 1 final con la del precio 1 inicial. l) Suponga que todos los consumidores tienen la mismas funciones de demandas marshallianas. Encuentre la demanda de mercado, sabiendo que existen 100 consumidores en ambos mercados. 44) Ejercicio con mayor complejidad algebraica (Adaptado de la guía del doctor Enrique Kawamura) En la columna del Suplemento Económico del Diario Clarín del Domingo 3 de Setiembre de 2000 el Licenciado Bernardo Kosakoff de la CEPAL dice: “Las actividades turísticas, incluyendo sus más diversas manifestaciones como congresos científicos y convenciones empresariales, turismo de aventura, uso de los centros urbanos y eventos deportivos entre otros, tiene una gran posibilidad de expansión. Para su dinamismo se requiere facilitar en calidad y precio el transporte, el desarrollo de numerosos servicios de apoyo como gastronomía, alojamiento, traducciones, guías turisticas, museos, espectáculos y demás, que tienen un importante efecto en la generacion de empleo y divisas. (Pag 44)” Entonces, de acuerdo a Kosakoff, el turismo parecería ser un importante motor para crecer. El problema siguiente intenta responder la pregunta relacionada acerca de los efectos sobre los gastos en viajes de un cambio en los precios y en la calidad. Supongamos un turista americano cuyas preferencias pueden representarse por la función de utilidad

U(x1; x2) = 2θ (x1)1/2 + x2 Donde x1 denota la cantidad total de tiempo (medido en horas y en fracciones de horas) dedicadas a viajes a Argentina, y x2 es el total de lo gastado y consumido en otros bienes. Aquí el precio del bien 2 es p2 = 1. Sea el precio del bien 1 igual a p: El parámetro θ > 0 cuantifica la calidad de los viajes (turísticos) a Argentina. El ingreso del consumidor es m > 0. a) Plantee el problema de optimización del turista americano. b) Obtenga las condiciones de primer orden y obtenga el punto crítico. c) Dado el valor de θ ; compute la elasticidad de la demanda de x1 con respecto a p. 45) Un consumidor se enfrenta a una función de utilidad dada por:

U(x1,x2 )= 21 ln x1 + 4

1 lnx2

Su ingreso es de 1000 pesos, y los precios de los bienes $4 y $6 respectivamente. Con la información suministrada determine: a) La restricción presupuestaria.

b) Plantee el problema de optimización que enfrenta el consumidor c) Encuentre las utilidades marginales de ambos bienes d) Encuentre la canasta óptima, el nivel de utilidad y las funciones de demanda

marshallianas. e) Las elasticidades precio e ingreso para cada uno de los bienes y la clasificación

de los mismos. f) Si hay 100 consumidores, todos con el mismo tipo de preferencias, ¿cómo serán las demandas de mercado para ambos bienes? 46) Elasticidad. La demanda de mercado del bien A es:

Qd (pa, pb, m) = 500 - 10pa + 2pb +0,7m

Donde: pa = precio del bien a pb = precio del bien b m = ingreso Sabiendo que pa =10 y pb =5, y que el ingreso es 100, responda: a) ¿Cuál es la elasticidad precio de la demanda? b) ¿Cuál es la elasticidad cruzada de la demanda? c) ¿Cuál es la elasticidad ingreso de la demanda? 47) Si sabemos que la elasticidad precio cruzada de un bien es 2,5 y el precio de bien 2 desciende en un 2%, en sus respectivas unidades, ¿cuál será la variación porcentual prevista en la cantidad del bien 1? a) -0,5 b) -0,25 c) 1,25 d) 5

48) (Adaptado de la guía de la profesora Silvana Mateu) El siguiente problema trata de analizar la conducta de los hogares frente al consumo de agua potable, X1 y el resto de otros bienes. El consumo de agua es completamente inelástico al nivel de ingreso mientras que el resto de otros bienes depende tanto de los precios como del ingreso. Si el ingreso del hogar es menor al precio por unidad del resto de otros bienes, solo se demanda agua. Si P1 representa la tarifa por metro cúbico consumido y P2 es el precio del resto de otros bienes, encuentre una función de utilidad que modele las preferencias. Determine las demandas de mercado y la función de utilidad indirecta. Si P2 es 20 y P1 es 20 y el ingreso disponible del hogar es de $ 200, determine el óptimo del consumidor. 49) La función de Utilidad de Clarita es de la forma:

U = X11/2 X2

y su nivel de ingreso y precio de los bienes son: m; P1 y P2 .

a) Construya la restricción presupuestaria. Plantee el problema que debe resolver el consumidor y determine las demandas marshallianas para los dos bienes. ¿Qué sucede con el costo de oportunidad de X2 si P2 se incrementa en un 20%? ¿Cómo cambian las cantidades demandadas? b) Determine la curva precio consumo de X2. ¿Depende de la cantidad consumida de X 1? c) Si a Clarita le vienen incrementando el ingreso consecutivamente. ¿Cómo cambian sus demandas ordinarias sobre los bienes? ¿Cuál será su curva ingreso-consumo? d) ¿Qué nos dice la curva de Engel de Clarita sobre el bien X1? e) Supongamos que Clarita se fija una dieta rigurosa sobre X1 y X2 tal que modifica totalmente su función de utilidad, que se convierte en U = Min{X2 + 2X1; X1 + 2X2} ¿Cuáles serían sus demandas ordinarias sobre los bienes? ¿Cuál será la curva precio consumo y la curva ingreso consumo? ¿Cómo es su curva de Engel para el bien X1? 50) Herminio tiene una función de utilidad de la forma:

U(x1,x2 )= x1 + ln(x2) Puede gastar hasta 8 unidades monetarias, y paga por ambos productos el mismo precio, 4. a) Plantee el problema que debe resolver el consumidor. b) Encuentre la demanda marshalliana del bien 1 y las cantidades que consume. c) Encuentre el nivel de Utilidad. d) Si en lugar de pagar $4 por el bien 2 pagara p2. ¿Cómo quedaría la función de demanda marshalliana para este bien? e) Variación Compensatoria: ¿Cuánto consumiría del bien 2 si el precio se reduce de 4 a 2? Con esa información, también calcule como quedaría la cantidad demandada del bien 1, suponiendo que el consumidor quiere mantener el mismo nivel de Utilidad. ¿Cuál sería el nivel de renta m’ necesario para alcanzar esa canasta?

Algunas respuestas y demostraciones: 5) Respuesta: d) Dado que los precios crecen en la misma proporción, y más que el ingreso del individuo, a nivel real el conjunto factible de consumo se reduce. 6) Respuesta: b) La UMg se hace negativa cuando la utilidad total se hace decreciente. 8) Respuesta: a) La b es un caso particular de a 10) Respuesta: d) No son crecientes sino decrecientes 11) Respuesta: b) Las otras tres implican los mismo y son correctas. 12) Respuesta: c) 13) Respuesta: a). x=0 cuando p=5 14) Respuesta: a). En la primera fila, el cociente es 20/10 = 2, como debe ser igual al cociente de precios, esa es la respuesta correcta. 15) Respuesta: c) En el equilibrio se debe cumplir que el cociente de precios debe ser igual al de utilidades marginales. 19) Respuesta. a) la ordenada al origen deber ser 15, mientras la abscisa al origen debería ser 20. 20) a) 5 x1 + 6 x2 = 50 b) Max U(x1, x2)= x1.x2 sujeto a 5 x1 + 6 x2 = 50

x1, x2 c) (5; 4,16) d) U= 20,8 21) a)

Max U(x1, x2)= 4.x1.x2 sujeto a m= p1. x1 + p2.x2

x1, x2

Planteamos la función de Lagrange: L= 4.x1.x2 + 𝜆(m- p1. x1 - p2.x2)

CPO:

𝜕𝐿𝜕𝑥1

= 4. 𝑥2 + 𝜆(−𝑝1) = 0

𝜕𝐿𝜕𝑥2

= 4. 𝑥1 + 𝜆(−𝑝2) = 0

𝜕𝐿𝜕𝜆

= 𝑚 − 𝑝1𝑥1 − 𝑝2𝑥2 = 0 Resolviendo el sistema:

x1* = 𝑚

2𝑝1

x2

* = 𝑚2𝑝2

b) La función de Utilidad Indirecta la obtenemos reemplazando las demandas marshallianas en la función de Utilidad:

V(p1, p2, m) = 4. 𝑚2𝑝1

𝑚2𝑝2

Dependiendo así el nivel de Utilidad de las variables precio y cantidad. c) Min p1.x1 + p2.x2 sujeto a U0 = 4.x1.x2 x1 x2 Planteamos la función de Lagrange:

L= p1.x1 + p2.x2 + µ(U0 - 4.x1.x2) CPO:

𝜕𝐿𝜕𝑥1

= 𝑝1 − µ(𝑈0 − 4. 𝑥2) = 0

𝜕𝐿𝜕𝑥2

= 𝑝2 − µ(𝑈0 − 4. 𝑥1) = 0

𝜕𝐿𝜕µ

= 𝑈0 − 4. 𝑥1. 𝑥2 = 0

De las primeras dos ecuaciones, encontramos que:

𝑝1𝑝2

= 𝑥2𝑥1

Despejando y reemplazando en el nivel de Utilidad:

h1= ( 41 .U. 1

2pp )1/2

h2= ( 41 .U. 1

2pp )1/2 .

21

pp

d) La función de Gasto Mínimo se obtiene de reemplazar las demandas hicksianas en la función de gasto:

e(x1, x2) =2.p1. ( 4

1 .U. 12

pp )1/2

23)

a) 180 = 3. x1 + 2.x2 b) Max U(x, y) = 2x2y sujeto a 180 = 3. x1 + 2.x2 x, y

c) (x, y) = (40, 60) d) (x, y) = (20, 30) 24) a)

Max U(x1, x2)= x11/2.x2

1/2 sujeto a m= p1. x1 + p2.x2

x1, x2

b) De las Condiciones de Primer Orden, tenemos que resolver el siguiente sistema:

TMS = Cociente de precios Ingreso del consumidor = Gasto del consumidor

Dado que TMS = UMg1/UMg2, debemos primero obtener las Utilidades Marginales:

(1) UMg1=(1/2) x1-1/2.x2

1/2

(2) UMg2=(1/2) x1

1/2.x2- 1/2

Con lo cual, tenemos que resolver:

(1)/(2) = p1/p2 Dado que necesitamos despejar una de las variables de control (las cantidades), elegimos, por ejemplo, x2:

x2 = x1.𝑝1𝑝2

Pero aún nos falta satisfacer la restricción presupuestaria. Reemplazamos lo obtenido anteriormente en ésta:

p1. x1 + p2. x1.𝑝1𝑝2

= m Entonces, resolviendo, obtenemos la cantidad óptima del bien 1 en función de los precios y el ingreso del consumidor:

x1* = 12 𝑚𝑝1

x2* = 12 𝑚𝑝2

Reemplazando por los datos del problema, obtenemos que:

x1*= 15

x2*= 22,5 25) El problema se plantea de la misma forma que en el caso “normal”. Max U(x1, x2) = Min (α x1; β x2) sujeto a p1 x1 + p2 x2 = m

x1, x2 Dado que la función no es derivable (representa bienes complementarios perfectos), recordamos que el único candidato a óptimo es el vértice. Con lo cual el sistema que tenemos que resolver es: (1) α x1 = β x2

(2) p1 x1 + p2 x2 = m

Resolviendo el sistema, se debe llegar a:

x1* =

βα21 pp

m+

x2* =

21 ppmαβ

α+

29) a) Con los valores iniciales, la demanda es simplemente

X= 1002.5

= 10 b) Cuando cae el precio a 2, la demanda se reajusta a:

X’= 1002.2

= 25 c) El efecto total de la variación en el precio es simplemente:

X’ – X = 25 – 10 = 15 El ingreso ajustado para compensar el efecto de la caída en el precio:

∆𝑚 = 𝑋′.∆𝑝 = 10(2 − 5) = −30 Por lo que la renta ajustada es la inicial menos la compensación:

m’ = m – 30 = 70 y la demanda correspondiente a esa renta y al nuevo precio es:

x’’= 𝑚′2.𝑝′

= 70/(2.2) = 17,5 El efecto sustitución se calcula, por tanto, como la diferencia entre la cantidad demandada renta-compensada y la inicial:

x*= x’’ – x = 17,5 – 10 = 7,5 35)

La demanda marshalliana del bien 1 para Pablito es 1

15

*PmX =

La gráfica de esta función es del tipo de hipérbola rectangular. La demanda del bien 1 no depende del precio del bien 2. Y se puede apreciar también que el gasto

en el bien 1 es constante e igual al 20% del ingreso del consumidor 1

15

*PmX = →

5*11

mXP =

39) a) 5 x1 + 3 x2 = 5.4 + 6.3 (es decir, nuestro “ingreso” es el valor de la dotación de bienes que tenemos) b) Max U(x1, x2)= x1.x2 sujeto a 5 x1 + 3 x2 = 38

x1, x2 c) (x1, x2)=(3,8; 6,33) d) Vendedor neto e) U= 24,05 f) m’= 62. Vendedor Neto 40) a) C1 + C2.

11+𝑟

= m1 + m2 .1

1+𝑟

b) Max U(C1, C2) = C1α C2

β sujeto a C1 + C2.1

1+𝑟= W

C1, C2 Donde W = m1 + m2 .

11+𝑟

c) C1 =ba

a+

W C2 = ba

b+

(1+r)W con W=m1 + m2. r+11

d) W= 9,76 e) El individuo decide ahorrar. Se puede observar que consume menos hoy de lo que le ingresa, y lo destina para consumir más mañana. 41) a) Satisface la no saciedad en rendimiento dado que:

𝜕𝑈𝜕𝑟

> 0 b) Nuevamente, la función cumple, dado que:

𝜕𝑈𝜕𝜎

< 0 Es decir, la utilidad es decreciente conforme aumenta el porcentaje de riesgo asumido. c) w1 = 1,75; wf = -0,75 d) rc = 19,85% e) U = 19,57 f) CAL: rc = 0,05 + 0,55.σ c 44) a) Max 2θ (x1)1/2 + x2 sujeto a px1 + x2 = m

x1; x2

b) En lugar de utilizar el lagrangiano, de la restricción

px1 + x2 = m con lo cual el problema de maximización es Max 2θ (x1)1/2 + m – px1 x1 con respecto a x1: Entonces la única variable de decisión es x1: La CPO es:

θ (x1)-1/2 – p = 0 Despejando la cantidad 1:

x 1 * = (

𝜃𝑝

)2

45) a) 6x1 + 4x2 = 1000 b) Max U(x1, x2)= U(x1,x2 )= 2

1 ln x1 + 41 lnx2 sujeto a 6x1 + 4x2 = 1000

x1, x2 c) UMg1 = 2

1 .(1/x1) UMg2=41 . (1/x2)

d) x1*=1.3

.2pm x2*=

23pm

e) Demanda bien 1: elasticidad unitaria, bien normal; Idem bien 2 47) Dado que (𝛥𝑥1/𝑥1)/(𝛥𝑝2/𝑝2)=2,5, como (𝛥𝑝2/𝑝2)=2, la respuesta es 5, sin necesitar cálculos adicionales. 48) Como el consumo de agua es completamente inelástico al nivel del ingreso y el consumo del resto de otros bienes depende del precio y del ingreso, una función de utilidad que modela estas preferencias, es la función de utilidad cuasilineal, como por ejemplo: U = X1 1/2+X2 Se trata de una función cuyas curvas de indiferencia son convexas y donde la cantidad demandada del bien 1 no depende del ingreso del consumidor. En la combinación óptima, la pendiente de la curva de indiferencia debe ser igual a la pendiente de la recta de presupuesto. Es decir:

211/2

12

1

2

1 X21

PP

PP

XUXU

=→=

δδδδ

Y de aquí se puede obtener la demanda del agua, en función de su precio y del precio del resto de bienes.

X1*=P2

2 / 4P12

Se aprecia que la demanda de agua no depende del ingreso del consumidor; es decir es completamente inelástico frente al ingreso. Y tendiendo la demanda de agua se puede hallar la demanda del resto de bienes mediante la restricción de presupuesto. El consumidor comprará el resto de bienes hasta agotar el ingreso dado el gasto que ha realizado en agua. El gasto en agua es: X1 P1 =P2

2 / 4 P1

La demanda del resto de otros bienes es igual al ingreso residual luego de consumir agua, entre el precio del resto de otros bienes: X2

* = m-(P22 / 4P1) / P2

Y ahora que tenemos las demandas de los bienes, se puede obtener la función de utilidad indirecta. Para encontrar la función de utilidad indirecta, aplicamos las demandas obtenidas de los bienes a la función de utilidad que hemos propuesto. La función de utilidad propuesta es: U = X1 1/2+X2 Entonces la función de utilidad indirecta, V, es V = (P2

2 / 4P12)1/2+ (m-(P2

2 / 4P1)) / P2 Ahora vamos a estimar la mejor elección del consumidor si su ingreso es 100 y el precio del agua es 20 y el del resto de otros bienes es 20.

X1*=P2

2 / 4P12 = 0,25. X2

* = m-(P22 / 4P1) / P2 = 4,75

Y la combinación óptima es (0,25 ; 4,75).

49) a) La restricción es: m= P1 X1 + P2 X2 El problema se plantea, como siempre: Max U(X1

,X2) = X11/2 X2 sujeto a m= P1 X1 + P2 X2

X1,X2

La demanda de cada uno de los bienes, queda determinada por:

11

)(*

PamX

βα +=

22

)(*

PmXβα

β+

=

En consecuencia, con los datos del problema

11

11 3*

)121(

21

* PmX

PmX =→

+= y

22

22 3

2*)12

1(1* P

mXP

mX =→+

=

b) Cualquiera que sea el cambio en el precio del bien 2, la curva precio consumo está definida por las combinaciones (X1,X2) donde la cantidad del bien 1 es constante y la cantidad del bien 2 está determinada por: X2= 2m/3 P2. Su representación gráfica es una vertical que parte de X1. c) Si el ingreso de Clarita empieza a incrementarse de manera continua, entonces la demanda de los bienes 1 y 2 se incrementará también de manera continua. Y esto va a ocurrir porque la demanda de Clarita está directamente relacionada con el ingreso. La curva ingreso consumo es la función de las combinaciones óptimas de los bienes 1 y 2 cuando cambia el ingreso del consumidor. En el caso de Sarita, como su demanda por el bien 1 es

X1= m/3P1 y su demanda por el bien 2 es

X2= 2/3 m/P2 Entonces

m= 3 P1X1=3P2X2/2 x2= 2P1/P2X1 ,

que representa la curva ingreso consumo. Como los precios de los bienes son parámetros cuando el ingreso está cambiando, la curva ingreso consumo viene a ser una función lineal de pendiente positiva. d) A partir de la función de demanda del bien 1, X1

* = m / 3P1, podemos obtener la función de Engel, m = 3P1X1

*, que es una función lineal de pendiente positiva. Dado el precio del bien 1, existe una relación positiva entre cambios en el ingreso y cambios en la demanda del bien 1 y el bien 1 es un bien normal para Clarita. e) La demanda del bien 1 y del bien 2 es: X1

*=m/P1+P2=X2*

la función X1 = X2 es la curva precio consumo del bien 1. la función X1 = X 2 es la curva precio consumo del bien 2. la función X1 = X 2 es la curva ingreso consumo. Dada la demanda del bien 1,

X1* = m / P1+P2

la curva de Engel es,

m = ( P1+P2) X1* ,

que es una función lineal de pendiente positiva. 50) a) Max U(x1, x2)= x1 + ln(x2) sujeto a 8= 4.x1 + 4.x2 x1, x2

b) UMg1 = 1 UMg2 = 1/x2 Entonces, la TMS no es otra que x2. Igualando al cociente de precios:

x2.=4/4=1 Reemplazando en la RP:

8 = 4.x1 + 4.1 Con lo cual,

x1 *= 1

c) Reemplazamos simplemente los valores obtenidos en la función de Utilidad. Entonces: U(1, 1) = 1 d) Simplemente, nos quedaría:

x2*

= 4𝑝2

b) La cantidad óptima del bien 2, con un precio más bajo sería:

x2**

= 4 2=2

Ahora tenemos que encontrar la nueva cantidad del bien 1, suponiendo que el nivel de Utilidad se mantiene constante. Reemplazamos:

U = 1 = x1 + ln(x2**)

U = 1 = x1 + ln(2)

Despejamos x1

**

x1** = 0,307

Que es la cantidad del bien 1 que se consumiría al haberse reducido el precio del bien 2, suponiendo que nos mantenemos en el mismo nivel de Utilidad. Para calcular el nivel de renta necesario para poder comprar esta canasta (0,307; 2), usamos la restricción presupuestaria, con m’ como

m’= 4.x1** + p2.x2

** m’= 4.x1

** + 2.x2**

m’= 4.0,307 + 2.2 = 5,228

La Variación Compensatoria, es decir, la cantidad de dinero adicional que el consumidor requiere para mantener constante su nivel de utilidad tras un aumento de precios, entonces, queda como la diferencia entre m’ y m:

5,228 – 8 = -2,77