TEORA DE ERRORES

Toda magnitud observada o medida contiene errores de cuanta desconocida entonces la misin mas importante del Topgrafo es de mantener las mediciones dentro de cierto lmites de precisin, dependiendo de la finalidad de levantamiento, para ello es necesario que conozca bien las causas que ocasionan dichos errores cuando hablamos de mediciones, debemos saber distinguir y usar adecuadamente entre exactitud y precisin.

EXACTITUD. Es la aproximacin a la verdad.

PRECISIN. Es el grado de perfeccin con que se realiza una operacin o se toma la lectura de una observacin o tambin el nmero de cifras con que se efecta un clculo.*Una medicin puede ser exacta sin ser precisa y viceversa.

Ejemplo:Una distancia puede medirse muy cuidadosamente con una cinta, aproximarla hasta el milmetro, y tener como resultado una medida con un error de varios centmetros, por ser incorrecta la longitud de la cinta, luego la medida es precisa pero no exacta.

En conclusin se puede decir:

a) Ninguna medida es exacta.

b) Todas las mediciones contienen errores.

c) El verdadero valor nunca se conoce.

FUENTES DE ERRORa)Instrumentales.- Aquellos que provienen de la imperfeccin de la construccin o ajuste de los instrumentos de medida, por ejemplo: la mala graduacin de una wincha.

b)Personales.- Provienen del elemento humano como son: limitaciones de la vista, distracciones, equivocaciones, etc., Ej. Leer un nmero por otro.

c)Naturales.- Son aquellos que tienen como origen la variacin de ciertos fenmenos naturales, como el viento, la humedad, la refraccin, la variacin de la longitud de la wincha de acero por cambios de temperatura.

CLASES DE ERRORES

1. Errores Materiales o Equivocaciones

Son errores que se cometen sin intencin, debido a una confusin del operador o a la falta de atencin de ste son fciles de detectar, poniendo atencin a lo que se hace, teniendo ms orden, se descubren y eliminan comprobando parte o todo el trabajo.

2.Errores Sistemticos

Son aquellos errores que en iguales condiciones se repite siempre en la misma magnitud y con el mismo signo, es decir, son acumulativos, se puede calcular y eliminar por medio de la correccin que siguen una determinada ley fsica o matemtica. Ej. una wincha de acero de 30 m. tiene un exceso de longitud de 0.006 m., entonces introduce un error de -0.006 m., cada vez que se toma una medicin de 30 m.

3.Errores Accidentales

Son aquellos errores que se cometen en forma casual y escapan del control del operador y la capacidad del instrumento, y obedece a la ley de la probabilidad, no se le puede aplicar ninguna correccin debido a que no hay mtodo que nos permita calcularlos, tambin se les denomina errores compensables, porque la magnitud y el signo son variables por lo que tienden anularse parcialmente entre si en una serie de medidas.

Estos errores son los que hacen que no se puedan encontrar el valor verdadero de una medida.

Ejemplo: De colocar la aguja en la divisin debida (colocar la estaca en el sitio debido), o tambin a la lectura de la mira en la nivelacin.

DISCREPANCIAEs la diferencia de valores entre dos mediciones hechas de una misma magnitud, siempre se debe comprobar en las operaciones topogrficas haciendo una segunda medicin.

*Si la discrepancia entre las dos mediciones es pequea indica que no hay equivocaciones y los errores accidentales son pequeos y si la discrepancia es grande indica que se ha cometido una equivocacin o error que hay que detectarlo y eliminarlo.

Uno de los mejores mtodos para localizar equivocaciones y errores es de comparar varias medidas de la misma magnitud.

OBSERVACIONES DE IGUAL PRECISIN

VALOR PROBABLE Es valor probable de una cantidad es una expresin matemtica que designa un valor calculado que se acuerdo a la teora de las probabilidades es el que ms se aproxima al verdadero valor.

VALOR PROBABLE PARA LA MISMA CANTIDAD El Valor Probable de una magnitud medida varia a veces en las mismas condiciones, es la media aritmtica de todas las mediciones hechas.

Nota:Es la media aritmtica de todas las mediciones admitidas como probables n = Nmero de observaciones.

Ejemplo :

1. La mediciones de una longitud han dado como resultado:854.21, 854.27, 854.22, 856.25, 854.26; 856.25 es la medida que se aleja mucho de la media, por lo tanto la anulamos

V.P. = 854.21+ 854.27 + 854.22 + 854.26

4

V.P. = 854.24 m.

2.Se ha medido los ngulos de un tringulo en las mismas condiciones y los resultados son:

< A = 58(3015 < B = 79( 4650 AOD = 973700

Si dichas mediciones han sido realizadas en igualdad de condiciones:Calcular los valores probables de los mismos.

SOLUCIN:

i = AOB + BOC + COD = 973810

Condiciones geomtricas = G =< AOD

G = 973700

(973700 - 973810) = 110 = 70 = 17.5Por Exceso

4 4

< AOB = 123150 - 17.5 = 123132.5

< BOC = 372920 - 17.5 = 372902.5

< COD = 473700 - 17.5 = 473642.5

------------------------------------------------------

< AOD = 973700 + 17.5 = 973717.5

En los casos anteriores cuando se habla de circunstancias iguales o en iguales condiciones, indica que las mediciones se hayan hecho empleando el mismo instrumento, por el mismo operador, en igualdad de condiciones atmosfricas.

ERROR PROBABLE Error Probable, es una cantidad positiva o negativa que establece los lmites dentro de los cuales puede caer o no el verdadero error accidental, es decir, una medida tendr la misma oportunidad de quedar dentro de stos lmites, que quedar fuera de ellos.

ERROR PROBABLE DE UNA SOLA CANTIDAD Indica el grado de precisin que cabe esperar en una sola observacin, hecha en las mismas condiciones que las dems.

0.6745 =Constante de proporcionalidad

= Errores Residuales o Desviaciones

n = # de observaciones

ERROR PROBABLE DE LA MEDIA ARITMTICADe un cierto nmero de observaciones de la misma cantidad ( X - X)

,

ERROR RELATIVOEs la forma unitaria de expresar el error, dando as mejor significado de la precisin de las medicines. Se expresa en forma de un quebrado, siendo el numerador la unidad.

1

Er = ---------

20,000

Indica que se cometer un error de:

1 m ---------> cuando se han medido 20,000 m. en el terreno.

El error probable de la media aritmtica sirve para expresar la fluctuacin que puede tener el valor promedio, entonces tenemos:

VALOR MAS PROBABLE: V.M.P.

VMP = X Eo

En Topografa se usa la constante de proporcionalidad:

X=Media

T=Varianza

T=Desviacin tpica o error tpico

V=Valor Residual de una observacin individual.

PROBLEMA:

1.Para calcular la altura de un punto se hicieron 12 mediciones usando un nivel de ingeniero, dichas mediciones se hicieron en igualdad de condiciones obtenindose 2.187, 2.182, 2.179, 2.181, 2.184, 2.176, 2.186, 2.183, 2.178, 2.181, 2.188, 2.179. Calcular:

a)Error probable de una sola medicin

b)Error de la media aritmtica

c)Error relativo

d)Valor ms probable

.

XXV=(X-X)V

2.1872.182-0.0050.000025

2.1822.1820.0000.000000

2.1792.1820.0030.000009

2.1812.1820.0010.000001

2.1842.182-0.0020.000004

2.1762.182+0.0060.000036

2.1862.182-0.0040.000016

2.1832.182-0.0010.000001

2.1782.1820.0040.000016

2.1812.1820.0010.000001

2.1882.182-0.0060.000036

2.1792.1820.0030.000009

(v 0.000154

a)Error Probable de Una Sola Observacin

E = 0.0025 m.

b)Error Probable de Todas Las Observaciones

Eo=(0.00073 m.

c)Error Relativo

1

1

1

Er = --------- = ----------------- = --------

X/E 2.182/0.00025 8728

d)Valor Ms Probable

V.M.P.=2.182 0.00072 m.

OBSERVACIN DE DIFERENTE PRECISINEn anteriores consideraciones se ha supuesto que todas las mediciones han sido tomadas en idnticas condiciones y por lo tanto son de igual precisin.

Pero en un Trabajo Topogrfico es difcil encontrar stas igualdades de condiciones, entonces ser necesario tener en cuenta stas diferentes precisiones para encontrar los resultados de las mediciones, stas diferentes precisiones se llaman: PESOSAs por ejemplo, se ha medido un ngulo en varias ocasiones y por distintas operadores, todos han tenido el mismo esmero al observar obtenindose el siguiente resultado:

473740 (1 operador), es el promedio de 1 observaciones

473722 (2 operador), es el promedio de 4 observaciones

473730 (3 operador), es el promedio de 9 observaciones

Es lgico admitir que el segundo valor tiene cuatro veces la precisin del primero y el tener valor tiene nueve veces la precisin del primero y el tercer valor tiene nueve veces la precisin del primero por lo que podemos deducir que los pesos son proporcionales al nmero de observaciones as:

- El primero tendr peso 1

- El Segundo tendr peso 4

- El Tercero tendr peso 9

Estos valores son relativos y no absolutos ya que se puede decir que:

- El 1 tiene peso 2

- El 2 tiene peso 8

- El 3 tiene peso 18

Nota:

1)El peso se puede asignar de acuerdo al nmero de observaciones.

2)El peso se puede asignar al criterio del observador.

3)El peso se puede asignar de acuerdo al error probable, en ste caso son inversamente proporcional a los cuadrados de los respectivos errores probables.

O sea:

W1 E2

------ = -------

W2 E1

Donde:

W1, W2 = Son los pesos que se asignan.

E1, E2 = Errores probables respectivos.

La formula general es:

W1 E1 = W2 E2 = W3 E3 = ........

VALOR MAS PROBABLE DE OBSERVACIN CON PESOS

Se tiene dos casos:

I.DE UNA SOLA CANTIDAD

El V. de un cantidad medida varias veces con diferente precisin es la:

a)Error Ponderada

b)Error Probable de la Media Ponderada

c)Error Probable de una Medida

d)Valor Ms Probable

VMP = XP Eop

Del Ejemplo anterior: que se ha medido un ngulo en varias ocasiones:

473740(1 observacin)

473722 (4 observaciones)

473730(9 observaciones)

< MEDIDOPESOPi . XiVVP.V

473740

473722

4737301

4

940

88

270-12

+ 6

+ 2144

36

4144

144

36

14398324

a)Media Ponderada

398

Xp = ------- = 28 ---> Xp 473728

14

b)Error Probable de una Medida

324

Eo = 0.6745 . --------- = 8.58

3 - 1

c)Error Probable de la Medida Ponderada

324

Eop = 0.6745 . ---------- = 2.294 = 2.3

14(3-1)

d)Valor Ms Probable

V.M.P. = 473728 2.3

*Cuando no se conoce el nmero, el nmero de observaciones, pero si se conoce el error probable de cada medicin.

En este caso como se conoce el peso se puede deducir el error ya que:

W1E1 = W2 E2 = W3 E3 = .....

Ejemplo:

Se siguen 4 itinerarios para determinar las cotas de un punto dado, con sus correspondientes errores probables:

Itinerario

Altura Observada

A

221.05 0.006 m.

B

221.07 0.012 m.

C

221.67 0.024 m.

a)Hallar el Valor probable de la cota

b)El valor probable de la media ponderada

c)El valor ms probable.

SOLUCIN:

Primero se calculan los pesos: (a)

WA . EA = WB . EB = Wc . Ec = WD . ED........... (1)

WA = 0.006 Simplificando

EA = 1

Como:

EB = 0.012

EB = 2

EC= 0.018

EC = 3

ED= 0.024

ED = 4

Reemplazando en (1)

Wax1 = Wb x 4 = Wc x 9 = Wd x 16

==> Wa = 1, Wb = , Wc = 1/9, Wd = 1/16

XPESOPx

221.05

221.37

220.62

221.671

1/9

1/16221.05

55.34

24.51

13.85

205/144314.75

b)Media Ponderada

P. 314.75

Xp = ----------- = ---------- ==> Xp = 22.10

P 205/144

ERROR PROBABLE

XiXpVVWW.V

221.05

221.37

220.62

221.67221.10

221.10

221.10

221.100.05

0.27

0.48

0.570.0025

0.0729

0.2304

0.22491

1/9

1/160.0025

0.0182

0.0256

0.0203

205

-----

1440.0666

b)Error Probable de la Medida

0.006666

Ep = 0.6745 ----------------- = 0.00317 m.

3

c)Error Probable de la Media Ponderada

0.00666

Eop = 0.6745 -------------- = 0.026 m.

205

------ (3)

144

d)Valor Ms Probable

Vm.p. = 221.10 0.026 m.

II.VARIAS CANTIDADES HOMOGNEASCuando se tiene varios valores observa dos con diferentes pesos y la suma de stos valores de igual a un valor conocido o medido.

Entonces los valores ms probables son los observados ms una correccin, sta correccin es una parte del error total.

Estas correcciones que se aplican son inversamente proporcional a los pesos.

C1 W1 = C2 W2 = C3 W3

Donde:

C =Correccin que debe aplicarse al valor observado de una cantidad para obtener el valor ms probable.

EJERCICIO:

Se miden tres ngulos y el ngulo total de stos, todos desde el mismo vrtice O en igualdad de condiciones.

< AOB = 461445 (6 observaciones)

< BOC = 743229 (1 observacin)

< COD = 855438 (3 observaciones)

< AOD = 2064128 ( 5 observaciones)

Hallar los valores ms probables

SOLUCIN:

a)Clculo de las correcciones parciales relativas

W1.C1 = W2.C2 = W3.C3 = W4.C4

6.C1 = 1.C2 = 3.C3 = 5.C4

==> C2 = 1, C1 = 1/6, C3 = 1/3, C4 = 1/5

b)Discrepancia

< AOB + es = ex ( n

===> V.M.P. = Su e ( n

Ejemplo:Se mide una alineacin de tres tramos con los siguientes errores probables: 0.014; 0.022; 0.016m. respectivamente, cual es el error probable de la longitud total.

Solucin:

E1 = 0.014; E2 = 0.022; E3 = 0.016

Ep = E1 + E2 + E3 = (0.014) + (0.022) + (0.016)

Ep = 0.03059 m

2)Ep del area de una figura geomtrica

Ejemplo : El rea de un rectngulo:

L + eL

a + ea

La funcin ser :A = L . a ...... (1)

error probable

dA

dA

ea = (------ . eL) + (------ . ea)

dL

da

dA

dA

---- = a ;----- = L

d L

da

eA = (a . eL) + (L . ea)

El valor ms probable del rea es:

Vmp = A eA

Ejercicio:

Los lados de un terreno rectangular miden 750 m. y 375 m. y se miden con una cinta de 25 m. que tiene en su longitud un error de 0.015 m. Hallar el valor ms probable del rea de dicho terreno.

Solucin:

Calculo del Ep de cada lado. L = 750 m. ;a = 375 m.

Como para cada cintada se produce un error de 0.015 m. entonces ste error es acumulativo, tanto para el largo como para el ancho.

L = 750 m.

750

Se habrn dado : ----------- = 30 medidas

25

El = e.( n= 0.015 (30 ==> El = 0.082 m.

Para 375 m.

375

Se habrn dado : -------- = 15 medidas

25

Fa = 0.015 25 ==> Ea = 0.058 m.

==> L = 750 0.082 m.

a = 375 0.058 m.

El A = 750 x 375 = 281250 m

EA = (a x El) + (L x Ea)

EA = (375 x 0.082) + (750 x 0.058) = 53.27

==> VMP = 281250 53.27 m

3)Ep. de un lado o ngulo

Ep. De la Distancia Horizontal Entre 2 Puntos

La funcin ser : D = L . Cos (El error probable:

dD

dD

de = ( -------- . eL ) + ( ------ . Ee()

dL

d(

dD

dD

----- = cos(

------ = - L x Sen(

dL

d(

Por lo Tanto:

de = (cos(. eL) + ((L. sen(). e()

Nota: e( --> en radianes

Ejercicio:

Se ha medido la distancia inclinada y la pendiente entre los puntos A y B con el siguiente resultado: 321.328 0.035 y 243 23.4 respectivamente. Hallar el valor ms probable de la distancia horizontal entre stos.

Solucin:

D = L . cos( = 321.328 x Cos (243)

D = 320.967 m

1 = 0.0003 rad.

Error Probable:

ED = ((Cos 243) x 0.035) + (321.328 x 0.00702)

ED = 0.1125 m.

==>V.M.P. = 320.967 0.1125 m.

Ejercicios:1)No pudiendo medirse la distancia horizontal entre los puntos M, N, se determinar en forma indirecta, midindose su pendiente y la diferencia de nivel entre stos en tres operaciones de campo, registrndose los siguientes datos:

Pendiente

AH

1 medicin

243

15.23 m.

2 medicin

244

15.22 m.

3 medicin

242

15.24 m.

a)Hallar el V.M.P. de la pendiente y su Er.

b)Hallar el V.M.P. de la diferencia de nivel y su Er.

c)El V.M.P. de la distancia horizontal y su error relativo.

2)Se tiene un terreno de un cuadriltero del cual hemos obtenido los siguientes datos:

Medicin del Permetro:

5187.30; 5186.90; 5185.40; 5188.10; 5365.80; 5186.70.

De igual se ha medido sus ngulos internos:

< A:683415 (3 veces)

< B:364412(1 vez)

< C:1182530(2 veces)

< D:1361625(2 veces)

Calcular los valores ms probables del permetro y de los ngulos.

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_1052586094.unknown

_1052586403.unknown

_1052677515.unknown

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_1052585013.unknown

_1052584830.unknown

_890667493.unknown

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