Pontificia Universidad Catolica de ChileEscuela de Ingenierıa

Teorıa Electromagnetica

Ayudantıa 6

0.1. Impedancia de entrada y Ondas Estacionarias

Anteriormente se determino la impedancia de entrada en una lınea de transmision, a unadistancia l de la carga. En general

Zin = Z0

(ZL + Z0tanhγl

Z0 + ZLtanhγl

)Para una lınea no disipativa, γ = iβ = iw

√LC, de forma que

tanh γl =sinh γl

cosh γl=

sinh iβl

cosh iβl= i

sin βl

cos βl

entonces

Zin = Z0

(ZL + iZ0tanβl

Z0 + iZLtanβl

)Ω

Es una funcion perıodica en l. Los maximos y mınimos de Zin se producen en

(Zin)max =VmaxImin

Ω

(Zin)min =VminImax

Ω

El voltaje y la corriente en una lınea no disipativa tienen la forma

V = V +eiβl + V −e−iβl

V = V +(eiβl + ΓLe

−iβl)y

I =V +

Z0

(eiβl − ΓLe

−iβl)Cuya amplitud esta dada por

| V |=| V + |(1 + ΓLe

−2iβl + Γ∗Le

2iβl+ | ΓL |2)1/2

| I |=| V+

Z0

|(1− ΓLe

−2iβl − Γ∗Le

2iβl+ | ΓL |2)1/2

Si ΓL =| ΓL | eiϑL , entonces

| V |=| V + |(1+ | ΓL | 2 cos (2βl − ϑL) + | ΓL |2

)1/2

| I |= | V+ |Z0

(1− | ΓL | 2 cos (2βl − ϑL) + | ΓL |2

)1/2

De aquı es claro que el maximo del voltaje y el mınimo de la corriente ocurren cuando2βl = ϑL, en este caso

| V |max=| V + |(1 + 2 | ΓL | + | ΓL |2

)1/2=| V + | (1+ | ΓL |)

| I |min=| V + |Z0

(1− 2 | ΓL | + | ΓL |2

)1/2=| V + |Z0

(1− | ΓL |)

Luego

(Zin)max =VmaxImax

= Z0

(1+ | ΓL |1− | ΓL |

)Ω

Del mismo modo, es facil ver que el mınimo del voltaje y el maximo de la corriente estandados por

| V |min=| V + | (1− | ΓL |)

| I |max=| V + |Z0

(1+ | ΓL |)

y ocurren cuando

2βl − ϑL = π

Es decir

l =ϑL2β

+π

2β

Es decir, a una distancia de π/2β de los puntos en donde el voltaje es maximo y la corrientemınima. Esta distancia, en terminos de la longitud de onda es

π

2β=πv

2w=

πλf

2× 2πf=λ

4

Luego, la impedancia de entrada es mınima a distancia λ/4 de donde es maxima, y esta dadapor

(Zin)max =VminImax

= Z0

(1− ΓL1 + ΓL

)Ω

Se define la Razon de onda estacionaria como

S =VmaxVmin

=ImaxImin

=1+ | ΓL |1− | ΓL |

En terminos de esta razon, la impedancia maxima y mınima se escribe

(Zin)max = SZ0Ω

2

(Zin)min =Z0

SΩ

En particular, si la impedancia de la carga es real, entonces ΓL tambien, y se tiene

| ΓL |=|ZL− Z0

ZL + Z0

|

Si ZL > Z0, entonces

S =1+ | ΓL |1− | ΓL |

=ZLZ0

Si ZL < Z0, entonces

S =1+ | ΓL |1− | ΓL |

=Z0

ZL

De esta forma, las impedancias maximas y mınimas en la lınea dependeran de cual es mayorentre Z0 y ZL

(Zin)max =

ZL para ZL > Z0

Z20/ZL para ZL < Z0

(Zin)max =

Z2

0/ZL para ZL > Z0

ZL para ZL < Z0

3

ProblemaSe tiene una lınea de impedancia caracterıstica Z0 = 50 Ω conectada a una carga puramenteresistiva ZL = 80 Ω en regimen sinusoidal permanente. Si el voltaje en la carga es VL = 5 V,encontrar ΓL, S, y la impedancia de entrada Zin para l = λ/4, λ/2, 3λ/8, Vmax, Vmin, Imax, Imin

SolucionEl coeficiente de reflexion es, simplemente

ΓL =ZL − Z0

ZL + Z0

= 0,230769

Con esto, la razon de onda estacionaria es

S =1+ | ΓL |1− | ΓL |

= 1,6

La impedancia de entrada a una distancia l de la carga esta dada por

Zin(l) = Z0

(ZL + iZ0tanβl

Z0 + iZLtanβl

)Ω

Usando que β = wv

= 2πfλf

= 2πλ

, se obtiene

Zin(λ/4) = 31,25Ω

Zin(λ/2) = 80

Zin(3λ/8) = 44,9438 + i21,9101 = 50ei25,9892

El voltaje mınimo en la lınea esta dado por

Vmin =VLS

= 3,125

y el voltaje maximoVmax = SVmın=5

La corriente mınima esImın=IL=

VLZL

=0,0625

y la corriente maximaImax = SIL = 0,1

4

Los siguientes graficos son para esta lınea operando con senales de longitud de onda λ = 1m

5

0.2. Carga en cortocircuito

Un caso muy interesante es el que ocurre cuando en el extremo de la lınea hay un cortocir-cuito. En esta situacion, ZL = 0 y la impedancia de entrada a una distancia l del cortocircuitoes

Zin(l) = Z0

(0 + iZ0 tan βl

Z0 + i0

)= iZ0 tan βl

Notar que el unico valor real que puede tomar es Zin = 0 Ω, en todos los demas casos es unimaginario puro. En efecto

Zin(λ/8) = iZ0 tan

(2π

λ

λ

8

)= iZ0Ω

Zin(λ/4) = iZ0 tan

(2π

λ

λ

4

)= i∞Ω

Zin(3λ/8) = iZ0 tan

(2π

λ

3λ

8

)= −iZ0Ω

Zin(λ/2) = iZ0 tan

(2π

λ

λ

2

)= 0Ω

El siguiente es un grafico para Zin en el rango 0 ≤ l ≤ λ, considerando Z0 = 1

La impedancia en la lınea toma cualquier valor de impedancia inductiva o capacitiva. Deesta forma, es posible reemplazar una inductancia o un condensador por un cortocircuito!. Estetipo de adaptadores se utiliza en lıneas de frecuencias sobre los 100 Mhz, donde la longitud delos adaptadores en cortocircuito es practica

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0.3. El transformador de λ/4

Recordemos nuevamente la impedancia de entrada de una lınea no disipativa, a una distancial de la carga

Zin = Z0

(ZL + iZ0 tan βl

Z0 + iZL tan βl

)Cuando l = λ/4, y recordando que β = 2π/λ se obtiene la siguiente impedancia

Zin(λ/4) = Z0

(ZL + iZ0 tanπ/2

Z0 + iZL tanπ/2

)=Z2

0

ZL

Zin(λ/4) = Z0

(Z0

ZL

)Ω

Entonces una lınea de impedancia caracterısitca Z0 de longitud λ/4 puede ser utilizadacomo lazo de union cuando se requiere conectar una lınea de transmision de alta impedanciacon una carga ZL de baja impedancia, o viceversa. Notar que el transformador de λ/4 funcionapara una determinada frecuencia de operacion

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0.4. Solucion grafica para lıneas sin perdidas: La carta

de Smith

Los problemas con lıneas de transmision implican usualmente manipular una buena can-tidad de numeros complejos, haciendo que el tiempo y el esfuerzo necesario para encontraralgunos resultados sea considerable. Para ello fue necesario desarrollar herramientas graficaspara resolver este tipo de problemas de forma mas sencilla, sin perder exactitud. Antes de laaparicion de computadoras digitales, la solucion de los problemas de lıneas de transmision erahecha principalmente con una herramienta grafica conocida como la carta de Smith 1. La cartade Smith es un grafico polar, que permite determinar rapidamente el coeficiente de reflexion yla razon de onda estacionaria para una lınea de impedancia caracterıstica Z0 conectada a unacarga de impedancia ZL

Figura 1: En la figura se muestra una carta de Smith

En la carta de Smith, una impedancia es graficada como una impedancia normalizada,es decir

z =Z

Z0

=R + iX

Z0

= r + ix

la parte real de la impedancia, r, esta definida por cırculos en el diagrama, mientras que laparte imaginaria x esta definida por arcos circulares. Una impedancia normalizada en particularestara determinada por la iterseccion de algun circulo con un arco. Por ejemplo, en la figurauno puede encontrar el cırculo asociado a r = 1, e intersectarlo con el arco asociado a jx = jen el punto z. Este punto de interseccion corresponde a una impedancia de

1P.H Smith, ”Transmission line Calculator”, Electronics, 12, Enero 1939

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Z = Z0 (1 + j)

Ası, si Z0 = 50Ω, entonces el punto de la figura tiene asociada una impedancia de

Z = 50 + j50

El coeficiente de reflexion asociado a z es graficado en forma polar, es decir ΓL =| ΓL | eiφ .Como | ΓL |< 1, toda la informacion estara contenida en el cırculo unitario

La distancia del punto z al centro de la carga corresponde a | ΓL |, que puede ser leido en laescala de la lınea horizontal que atraviesa el centro de la carta. La fase φ es leıda en la escalaangular del cırculo exterior a la carta. La relacion basica en la cual se basa la carta de Smithes la siguiente

ΓL =ZL − Z0

ZL + Z0

Notar que en terminos de la impedancia normalizada, z = ZL/Z0

ΓL =z − 1

z + 1

o, equivalentemente

z =1 + ΓL1− ΓL

Escribiendo el coeficiente de reflexion en terminos de su parte real e imaginaria

ΓL = Γr + iΓi

se obtiene

z = r + ix =1 + Γr + iΓi1− Γr − iΓi

Igualando la parte real se obtiene

r =1− Γ2

r − Γ2i

(1− Γr)2 + Γ2i

y lo mismo para la parte imaginaria

x =2Γi

(1− Γr)2 + Γ2i

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A partir de esto, es posible demostrar las siguientes igualdadesLa primera de ella describe una familia de cırculos, para cada valor de la resistencia nor-

malizada r se obtiene un cırculo. Por ejemplo, el cırculo asociado a r = 0 tiene radio 1 yesta centrado en Γr = 0, Γi = 0. El centro de este cırculo es el origen de la carta de Smith,esto concuerda con el hecho de que una carga de reactancia pura tiene asociada un coeficientede reflexion igual a 1 en magnitud. Por otro lado, si r = ∞ , entonces z = ∞ y tenemosΓL = 1 + j0. El cırculo descrito por r = ∞ tiene cero radio y su centro se ubica en el puntoΓr = 1 y Γi = 0, tal cual debe ser!. Otro ejemplo, el cırculo asociado a r = 1 tiene radio 0.5 yorigen en Γr = 0,5 y Γi = 0. La siguiente figura muestra los cırculos para r = 2, r = 1 y r = 0,5

todos tienen su centro en el eje Γr y pasan por el punto ΓL = 1 + i0. La segunda ecuacionencontrada tambien representa una familia de cırculos asociada para cada valor de la reactancianormalizada x. Si x = ∞, entonces z = ∞ y ΓL = 1 + i0 nuevamente. El cırculo descrito porx = ∞ tiene cero radio y su centro es el punto Γr = 1, Γi = 0. Si x = 1, entonces el cırculoasociado esta centrado en ΓL = 1 + i1 y tiene radio 1. Solo un cuarto de este cırculo pertenecea la region ΓL = 1, como se muestra en la siguiente figura, ademas de los cırculos asociados aotros valores de x

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Ahora resulta evidente el porque normalizamos la impedancia de la lınea ZL, es decir

z =ZLZ0

= r + ix

Simplemente localizamos los cırculos asociados con r y x, y luego la interseccion de ellostendra asociado un cierto coeficiente de reflexion. Para ello es necesario medir la distancia radialal origen a la interseccion de ambos cırculos.

Esta distancia al origen puede ser medida con un compas, y la lınea horizontal graduada enel extremo inferior de la carta ayuda a calcularlo al poner el compas sobre ella. El angulo deΓL, (φ) es medido en el sentido contrareloj, con respecto al eje Γr. El angulo es indicado ( engrados) en la circunferencia exterior de la carta. La lınea recta que une el origen con el pun-to encontrado se debe extender para alcanzar este perımetro y ası obtener facilmente el angulo φ.

EjemploPara una carga de ZL = 25 + i50 en una lınea de transmision de impedancia caracterısticaZ0 = 50 Ω, se le asocia una impedancia normalizada de z = 0,5 + i, que corresponde al puntoA en la figura (interseccion de los cırculos asociados a r = 0,5 y x = 1). De la carta se puedeleer aproximadamente que el coeficiente de transmision tiene modulo 0.62 y fase φ = 83

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0.5. Resumen de algunas propiedades de la carta de Smith

Todos los puntos en el eje horizontal corresponden a impedancias puramente realesTodos los puntos sobre el cırculo que rodea la carta corresponden a impedancias puramenteimaginariasEl punto en el extremo derecho de la carta corresponde a un circuito abierto (llamado O)El punto en el extremo exterior corresponde a un cortocircuito (llamado S)El centro de la carta (llamado M) tiene un coeficiente de reflexion igual a cero, y correspondeal caso de una carga acoplada ( z= 1)Los puntos en la mitad inferior de la carta corresponden a cargas con reactancia capacitiva (parte imaginaria negativa)Puntos en la mitad superior de la carta corresponden a cargas con reactancia inductiva (parteimaginaria positiva)La longitud de la lınea recta que une el centro de la carta con un punto en la carta representala mangitud del coeficiente de reflexion , siendo igual a 1 en el cırculo del borde. La fase delcoeficiente de reflexion esta dado en la escala en el borde de la carta

0.6. Medicion de distancias en la lınea

La carta de Smith es completada al agregar una segunda escala sobre el perımetro quepermite obtener distancias a lo largo de la lınea. Estas distancias se obtienen en unidades de lalongitud de onda. No es tan obvio leer esta escala, ası que es bueno ver como se obtiene. Sea elvoltaje en la lınea a una distancia l de la carga

Vl = V +0

(eiβl + ΓLe

−iβl)y la corriente

I(l) =V +

0

Z0

(eiβl − ΓLe

−iβl)luego, la impedancia de entrada (normalizada) a distancia l de la carga es

zin =1

Z0

VlIl

=eiβl + ΓLe

−iβl

eiβl − ΓLe−iβl

zin =1 + ΓLe

−i2βl

1− ΓLe−i2βl=

1+ | ΓL | ei(φ−2βl)

1− | ΓL | ei(φ−2βl)

Notar que se verifica que en l = 0

zin(0) =1 + ΓL1− ΓL

=ZLZ0

como debe ser!. Entonces, la relacion obtenida anteriormente nos dice que para encontrarla impedancia de entrada (normalizada) a distancia l de la carga, simplemente evaluamos

zin =1 + Γ

1− Γ

donde hemos reemplazado el coeficiente de reflexion de la carga por Γ = ΓLe−2iβl. Es decir,

disminuımos la fase de ΓL en 2βl radianes, a medida que nos movemos desde la carga haciala entrada de la lınea. Solo el angulo de Γ cambia, su magnitud permanece constante. De estaforma, cuando nos movemos desde la carga zL hacia la impedancia de entrada de la lınea, nos

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movemos una distancia l hacia el generador, o equivalentemente recorremos un angulo de 2βl enel sentido horario en la carta de Smith. Debido a que la magnitud de Γ permanece constante, elmovimiento hacia la fuente se realiza sobre un cırculo de radio constante. Una vuelta alrededorde la carta equivale a un cambio de π en βl, o equivalentemente, cuando l cambia en medialongitud de onda. Esto concuerda con el resultado obtenido previamente, de que en una lıneasin perdidas, la impedancia de entrada a distancia λ/2 de la carga es igual a la impedancia dela carga.

Ejemplo (que vale mas que mil palabras)Consideremos nuevamente una carga de impedancia ZL = 25 + i50 en un cable coaxial sinperdidas de 50 Ω. El largo de la lınea es 60 cm, y la frecuencia de operacion es tal que lalongitud de onda es de 2 m. Deseamos encontrar la impedancia de entrada

Para ello nuevamente consideramos la impedancia normalizada de la carga

zL = 0,5 + i1

Al cual le corresponde el punto A de la figura (el mismo del ejemplo anterior)

A esta impedancia de carga se le asocia un coeficiente de reflexion

ΓL = 0,62∠82

Recordar que la magnitud puede ser obtenida con un compas, mientras que la fase es indicadaen la figura en la interseccion de la lınea recta que une el origen con el punto A (en rojo) conla primera escala en el borde de la carta. Ademas, se obtiene una lectura de 0.135 en la escalaexterior, que esta en terminos de la longitud de onda. El largo de la lınea, en terminos de lalongitud de onda es

l

λ=

0,6

2= 0,3

Entonces hay una distancia de 0,3 λ entre la carga y la entrada de la lınea. Con esto podemosencontrar zin moviendonos alrededor del cırculo | ΓL |= 0,62 en sentido horario, hasta obteneruna lectura de 0,135 + 0,3 = 0,435 (longitudes de onda). Esto se aprecia en la siguiente figura

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El punto asociado a la impedancia de entrada es entonces B, cuya impedancia se puede leerde la carta de Smith

zin = 0,28− j0,4

Recordando que esta es una impedancia normalizada

Zin = 50zin = 14− i20

Un calculo analıtico detallado entrega

Zin = 13,7− i20,2

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ProblemaEn una tarjeta de circuito impreso de alta frecuencia 2, 4 Ghz, con dielectrico εr = 4 de 1,5 mmde espesor, se debe disenar una lınea de transmision de placas paralelas de 20 cm de largo, detal forma de alimentar, sin que se produzca onda estacionaria, un circuito paralelo formado porla impedancia de entrada de un transistor (ZL1 = 31,12− i33,88) y la entrada de una lınea de75 Ω de 15 cm de largo con εd = 2,4 que alimenta una antena de impedancia ZL2 = 120 + i90.Determine los parametros de la lınea requerida y encuentre la impedancia de entrada del ex-tremo de alimentacion (transmisor) de la lınea por Ud disenada

SolucionLa situacion es la siguiente

La lınea L2 posee una impedancia caracterıstica Z02 = 70 Ω. Ası, la carga (que representala antena) en el extremo de la lınea L2 esta caracterizada por una impedancia normalizada

zL2 =120 + i90

75= 1,6 + i1,2

En el diagrama de Smith se muestra marcado en rojo

Para determinar la longitud de onda en esta lınea, podemos usar el hecho de que la velocidadde propagacion en ella es de

v2 =c√2,4

=3× 108

√2,4

= 1,9365× 108

Ası, la longitud de onda quedara determinada por v2 y la frecuencia de operacion

λ =v2

f=

1,9365× 108

2,4× 109= 0,0807

Es decir, λ = 8,07 cm. El largo de la lınea, en terminos de longitudes de onda es

15

l2λ

=15

8,07= 1,8587

Ası, para determinar la impedancia de entrada de la lınea L2, nos desplazamos desde laantena al extremo de la lınea que se encuentra unido al circuito impreso. En la carta de Smith,se recorre una distancia en el sentido horario de 1.8587 longitudes de onda. Esto equivale arecorrer una distancia de 0.3586 longitudes de onda (recordar que una vuelta completa equivalea 0.5 longitud de onda, ası 3 vueltas completas equivalen a 1.5 longitudes de onda). La distanciarelevante es entonces 1.8587-1.5 = 0.3586. Notar que la ubicacion de zL2 marca una lecturainicial de 0.195

De esta forma, se debe recorrer la carta de Smith sobre el cırculo al que pertenece zL2 hastahaber recorrido 0.3586 longitudes de onda. Al hacer esto, se obtiene el punto que se muestraen la siguiente figura

La impedancia asociada a este punto es

zin2 = 0,4 + i0,25

Zin2 = 30 + i18,75

Ası, desde el punto de vista de la lınea impresa, esta se encuentra conectada a dos impedan-cias en paralelo, dadas por

Zin1 = 31,12− i33,88

Zin2 = 30 + i18,75

Ambas juntas equivalen a una impedancia equivalente

ZL =Zin1Zin2

Zin1 + Zin2

= 25,8383− i0,68661

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Para que no existan ondas estacionarias en el circuito impreso, esta impedancia debe serigual a la impedancia caracterıstica de la lınea. Si R,L,C son los parametros distribuıdos delcircuito impreso (supondremos que el dielectrico es perfecto, de forma que G = 0), entonces

Z0 =

√R + iwL

iwC= 25,8383− i0,68661

Es decir

wL

wC− i R

wC= (Zin)2 = 667,1463− i35,482

AsıL

C= 667,146

R

wC= 35,482

Ademas, la velocidad de propagacion en la lınea es

vL =c√4

= 1,5× 108 =1√LC

De aquı (1,5× 108

)2=

1

LC

Con esto es posible obtener el valor necesario para C

1

C2 (1,5× 108)2 = 667,1463

Ası

C = 2,581× 10−10F/m

Utilizando que la capacitancia por unidad de largo de una lınea de placas paralelas es

C =εdW

d

donde W es el ancho, y d la separacion, que nos es dada d = 1,5× 10−3 m. Se obtiene

C =4× 8,84× 10−12W

1,5× 10−3= 2,581× 10−10F/m

El ancho necesario debe ser entonces

W = 1,09× 10−2m = 1,09cm

De la condicion para R/wC, se despeja la resistencia por unidad de largo necesaria

R = 35,482× 2π2,4× 109 × 2,581× 10−10

R = 138,0979Ω/m

Ademas, la resistencia para frecuencias altas de una lınea de placas paralelas esta dada por

R =

√πfµ0√σcW

17

luego √πfµ0

σc= 138,0979× 0,0109 = 1,505

Se obtiene la conductividad necesaria de las placas

σc =πfµ0

1,5052= 4183,097S/m

Finalmente, el diseno para el circuito impreso es como sigue

18

ProblemaUn transmisor de FM en la banda de 104,5 Mhz alimenta una lınea coaxial de 50 Ω de 10 metrosde largo para alimentar dos antenas dipolos de media onda, con el objeto de tener polarizacionhorizontal y vertical, para una mejor cobertura. Cada antena, cuya impedancia es ZA = 73+i83Ω esta conectada a un cable coaxial de 50 Ω. En el extremo opuesto estos cables estan conec-tados en paralelo a la lınea principal de 10 metros. Determine la longitud en metros de estoscables de tal forma que el acoplamiento con la lınea principal sea perfecto y no exista ondaestacionaria hacia el transmisor. Se debe tener en cuenta que para tener un acceso comodo a lainstalacion, uno de los cables no debe ser menor que 3 metros, y el otro no menor que 5 metros.Considere que todas las lıneas coaxiales son de buena calidad con dielectrico de teflon (εr = 2,1)

SolucionLa situacion es la siguiente

Para que no existan ondas estacionarias en la lınea principal, es necesario que

Zin = Z0 = 50Ω

En ambos cables coaxiales (L1 y L2), la velocidad de propagacion esta dada por

v =c√2,1

= 2,07× 108m/s

y la longitud de onda es

λ =v

f=

2,07× 108m/s

104,5× 106= 1,98m

La impedancia normalizada de cada antena referida a los cables coaxiales es

za =73 + i83

50= 1,46 + i1,66

o, equivalente, una admitancia normalizada dada por

ya =1

za= 0,29873− i0,33966

La cual se ubica en el diagrama de Smith (en rojo)

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Podemos escoger los largos de las lıneas de forma que sus admitancias de entrada sean dela forma

y1 = 0,5 + ib

y2 = 0,5− ib

Notar que ası la admitancia de entrada equivalente sera

yin = y1 + y2 = 1

y entonceszin = 1

lo que significa que la lınea estara adaptada. En la siguiente figura se muestra el cırculo alcual pertenece ya, y se notan 2 intersecciones con el circulo asociado a la parte real igual a 0.5

Estas son

y1 = 0,5 + i0,875308

y2 = 0,5− i0,875308

La admitancia y1 se obtiene a una distancia ( en longitudes de onda)

d1 = 0,181985 + n10,5

y la admitancia y2 se obtiene a una distancia (en longitudes de onda)

d2 = 0,430515 + n20,5

donde n1 y n2 son numeros enteros. Tomemos el cable de admitancia y1 como el mas corto,el que debe cumplir con ser mayor a 3 metros. Recordando que λ = 1,98 m, podemos tomarn1 = 3, de forma que

L1 = (0,181985 + 1,5) 1,98 = 3,3303m

El cable mas largo, cuya longitud debe ser no menor a 5 metros, puede ser obtenido con-siderando n2 = 5

L2 = (0,430515 + 0,25) 1,98 = 5,8024m

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