Tensor de Ricci 1

Tensor de RicciEn geometría diferencial, el tensor de curvatura de Ricci o simplemente, tensor de Ricci, que suele notarse por lossímbolos o Ric, es un tensor simétrico bivalente obtenido como una traza del tensor de curvatura, que, comoaquel, puede definirse en cualquier variedad dotada de una conexión afín. Fue introducido en 1903 por el matemáticoitaliano G. Ricci.En caso de estar definido en una variedad de Riemann, puede interpretarse como un Laplaciano del tensor métrico.Al igual que la métrica, el tensor de Ricci será una forma bilineal simétrica. En caso en que ambos seanproporcionales, , diremos que la variedad es una variedad de Einstein.El tensor de Ricci determina totalmente al tensor de curvatura, si la variedad de Riemann correspondiente tienedimensión n < 4. En relatividad general, dado que el [espacio-tiempo]] tiene cuatro dimensiones, el tensor de Riccino determina por completo la curvatura.

DefiniciónLa curvatura de Ricci puede expresarse en términos de la curvatura seccional de la manera siguiente: para un vectorunitario v, <R(v), v > es suma de las curvaturas seccionales de todos los planos atravesados por el vector v y unvector de un marco ortonormal que contiene a v (hay n-1 tales planos). Aquí R(v) es la curvatura de Ricci como unoperador lineal en el plano tangente, y <.,.> es el producto escalar métrico. La curvatura de Ricci contiene la mismainformación que todas las tales sumas sobre todos los vectores unitarios. En las dimensiones 2 y 3 éste es igual queespecificar todas las curvaturas seccionales o el tensor de curvatura, pero en dimensiones más altas la curvatura deRicci contiene menos información. Por ejemplo, las variedades de Einstein no tienen que tener curvatura constanteen las dimensiones 4 y más.

Expresión en coordenadasUsando un sistema de coordenadas natural, el tensor de curvatura de Ricci es igual a:

Aplicaciones del tensor de curvatura de Ricci

Invariantes topológicosLa curvatura de Ricci se puede utilizar para definir las clases de Chern de un variedad, que son invariantestopológicos (por tanto independientes de la elección de métrica). La curvatura de Ricci también se utiliza en el flujode Ricci, donde una métrica es deformada en la dirección de la curvatura de Ricci. En superficies, el flujo produceuna métrica de curvatura de Gauss constante y se sigue el teorema de uniformización para las superficies.

Relatividad generalLa curvatura de Ricci desempeña un papel importante en relatividad general, de hecho, la ecuación del campo deEinstein se escriben en términos del tensor de Ricci como:

donde: es el tensor de la curvatura de Einstein, es el tensor de energía-momento, es la velocidad dela luz y es la constante gravitacional. El tensor de la curvatura de Einstein se puede escribir como:

Tensor de Ricci 2

donde: es el tensor de Ricci, es la métrica y es el Escalar de Curvatura de Ricci

Topología global y la geometría de curvatura de Ricci positivaEl teorema de Myers establece que si la curvatura de Ricci es limitada por abajo en una variedad completa deRiemann por , entonces su diámetro es , y la variedad tiene que tener un grupofundamental finito. Si el diámetro es igual a , entonces la variedad es isométrica a una esfera de curvaturaconstante k.La desigualdad de Bishop-Gromov establece que si la curvatura de Ricci de un variedad m-dimensional completa deRiemann es ≥0 entonces el volumen de una bola es más pequeño o igual al volumen de una bola del mismo radio enel m-espacio euclidiano. Más aún, si denota el volumen de la bola con centro p y radio en la variedad y el

denota el volumen de la bola de radio R en el m-espacio euclidiano entonces la funciónes no creciente. (la última desigualdad se puede generalizar a una cota de curvatura arbitraria y es el

punto dominante en la prueba del teorema de compacidad de Gromov.)El teorema de partición de Cheeger-Gromoll indica eso si una variedad completa de Riemann con el Ricc ≥ 0 tieneuna línea recta (es decir una geodésica minimizante infinita de ambos lados) entonces es isométrica a un espacio R xL, donde L es una variedad de Riemann.Todos los resultados arriba mencionados demuestran que la curvatura de Ricci positiva tiene cierto significadogeométrico, en contrario, la curvatura negativa no es tan restrictiva, en particular como fue demostrado por JoachimLohkamp, cualquier variedad admite una métrica de curvatura negativa.

Fuentes y contribuyentes del artículo 3

Fuentes y contribuyentes del artículoTensor de Ricci  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=70101700  Contribuyentes: Davius, DefLog, EduLeo, Gato ocioso, Juan Marquez, Pérez, Raulshc, Urdangaray, Wricardoh,10 ediciones anónimas

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