tensegridades: en busca del equilibrio
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Tensegridades:en busca del
equilibrio
David OrdenMartın
Introduccion
Historia ydefinicion
Problema
Ejemplos
En R2
En R3
Herramientamatematica
Atomos
Descomposicion
Aplicaciones
Taller
Prismatriangular
Icosaedro
Otraspropuestas
Bibliografıa
Tensegridades:en busca del equilibrio
David Orden Martın
http://www2.uah.es/ordend
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Tensegridades:en busca del
equilibrio
David OrdenMartın
Introduccion
Historia ydefinicion
Problema
Ejemplos
En R2
En R3
Herramientamatematica
Atomos
Descomposicion
Aplicaciones
Taller
Prismatriangular
Icosaedro
Otraspropuestas
Bibliografıa
1 IntroduccionHistoria y definicionProblema a estudiar
2 EjemplosEn R2
En R3
3 Herramienta matematicaAtomosDescomposicion en atomos
4 Aplicaciones
5 TallerPrisma triangular oblicuoIcosaedro en el aireOtras propuestas
6 Bibliografıa
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equilibrio
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Historia ydefinicion
Problema
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Herramientamatematica
Atomos
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Taller
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Bibliografıa
Introduccion
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Historia ydefinicion
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En R2
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Icosaedro
Otraspropuestas
Bibliografıa
Historia• Karl Ioganson (1921) (constructivistas rusos).
• Buckminster Fuller (1962)• David Georges Emmerich (1963)• Kenneth Snelson (1965)
7 cables
3 barras
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Bibliografıa
Historia• Karl Ioganson (1921) (constructivistas rusos).• Buckminster Fuller (1962)
• David Georges Emmerich (1963)• Kenneth Snelson (1965)
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Bibliografıa
Historia• Karl Ioganson (1921) (constructivistas rusos).• Buckminster Fuller (1962)• David Georges Emmerich (1963)
• Kenneth Snelson (1965)
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Bibliografıa
Historia• Karl Ioganson (1921) (constructivistas rusos).• Buckminster Fuller (1962)• David Georges Emmerich (1963)• Kenneth Snelson (1965)
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Bibliografıa
Un problema de definicion
¿Como definirıas este tipo deestructura?
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Bibliografıa
Un problema de definicion
• Buckminster Fuller: Islands of compression in an ocean oftension.
Universe tensionally coheres non-simultaneousevents. Universe is tensional integrity.
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Un problema de definicion
• Buckminster Fuller: Islands of compression in an ocean oftension. Universe tensionally coheres non-simultaneousevents. Universe is tensional integrity.
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Un problema de definicion
• Kenneth Snelson: Continuous tension, discontinuouscompression structures.
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Bibliografıa
Un problema de definicion
• R. Motro (2003): A tensegrity system is a system in astable self-equilibrated state comprising a discontinuous setof compressed elements inside a continuum of tensionedcomponents.
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Bibliografıa
Un problema de definicion
Si buscamos en Google
? Tensegrity:≈ 355,000 paginas.
? Tensegrity structure:≈ 149,000 paginas.
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Bibliografıa
Un problema de definicion
Si buscamos en Google
? Tensegrity:≈ 355,000 paginas.
? Tensegrity structure:≈ 149,000 paginas.
![Page 15: Tensegridades: en busca del equilibrio](https://reader038.vdocumento.com/reader038/viewer/2022110109/58715ffa1a28ab87318b7f34/html5/thumbnails/15.jpg)
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Un problema de definicion
• Carlos Castaneda: La Tensegridad es la version modernade ciertos movimientos llamados “pases magicos”desarrollados por chamanes indios que vivieron en Mexicoen tiempos previos a la conquista espanola.
Si buscamos en Google
? Tensegrity:≈ 355,000 paginas.
? Tensegrity structure:≈ 149,000 paginas.
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Un problema de definicion
R. Motro: Generally, so far as aconcept is concerned, one can not
define it completely.
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Bibliografıa
Hacia una definicion mas eficaz• Grafo abstracto: G = (V ,E ) con vertices V y aristas E .
• Armazon: inmersion G (P) de un grafo G sobre unconjunto P ⊂ Rd , con aristas rectas.
• Auto-tension: asignacion de tensiones wij a las aristas ij ,de forma que cada vertice esta en equilibrio:
Para cada vertice, la resultante de las tensiones es nula.
K4 = ({1, 2, 3, 4}, {12, 13, 14, 23, 24, 34})
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Bibliografıa
Hacia una definicion mas eficaz• Grafo abstracto: G = (V ,E ) con vertices V y aristas E .• Armazon: inmersion G (P) de un grafo G sobre un
conjunto P ⊂ Rd , con aristas rectas.
• Auto-tension: asignacion de tensiones wij a las aristas ij ,de forma que cada vertice esta en equilibrio:
Para cada vertice, la resultante de las tensiones es nula.
K4 = ({1, 2, 3, 4}, {12, 13, 14, 23, 24, 34})
p4 p1
p3 p2
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Hacia una definicion mas eficaz• Grafo abstracto: G = (V ,E ) con vertices V y aristas E .• Armazon: inmersion G (P) de un grafo G sobre un
conjunto P ⊂ Rd , con aristas rectas.• Auto-tension: asignacion de tensiones wij a las aristas ij ,
de forma que cada vertice esta en equilibrio:
Para cada vertice, la resultante de las tensiones es nula.
i
j1
j3 j2
(−2)−→ij1+1
−→ij2+1
−→ij3 =
→0
++
−
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Hacia una definicion mas eficaz
Si en un armazon con una auto-tension reemplazamos:
• Aristas ij con wij > 0 → muelles intensores,
• Aristas ij con wij < 0 → muelles extensores,
obtenemos una tensegridad (eliminando las de wij = 0).
i
j1
j3 j2
(−2)−→ij1+1
−→ij2+1
−→ij3 =
→0
++
−
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Hacia una definicion mas eficaz
Si en un armazon con una auto-tension reemplazamos:
• Aristas ij con wij > 0 → muelles intensores,
• Aristas ij con wij < 0 → muelles extensores,
obtenemos una tensegridad (eliminando las de wij = 0).
p1
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Hacia una definicion mas eficaz
Si en un armazon con una auto-tension reemplazamos:
• Aristas ij con wij > 0 → muelles intensores → gomas
• Aristas ij con wij < 0 → muelles extensores → barras
obtenemos una tensegridad (eliminando las de wij = 0).
p1
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Hacia una definicion mas eficaz
Si en un armazon con una auto-tension reemplazamos:
• Aristas ij con wij > 0 → muelles intensores → cables
• Aristas ij con wij < 0 → muelles extensores → barras
obtenemos una tensegridad (eliminando las de wij = 0).
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Problema a estudiarDado un grafo G ,
1 ¿Puede existir una tensegridad con este grafo?
2 ¿posicion relativa de sus vertices?
G = ({1, . . . , 6},{12, 14, 16, 23, 26, 34, 35, 45, 56})
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Problema a estudiarDado un grafo G ,
1 ¿Puede existir una tensegridad con este grafo?
2 ¿posicion relativa de sus vertices?
G = ({1, . . . , 6},{12, 14, 16, 23, 26, 34, 35, 45, 56}) p1
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Problema a estudiarDado un grafo G ,
1 ¿Puede existir una tensegridad con este grafo?
2 Si es ası, ¿posicion relativa de sus vertices?
G = ({1, . . . , 6},{12, 14, 16, 23, 26, 34, 35, 45, 56}) p1
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Ejemplos
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Ejemplos en R2
• Un grafo 3-regular con 6 vertices:
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Ejemplos en R2
• Grafos 3-regulares con 8 vertices:
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Ejemplos en R2
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Icosaedro
Otraspropuestas
Bibliografıa
Ejemplos en R3
• Grafo del prisma triangular oblicuo:
p1
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p2
p6
p5
p4
Los seis vertices estan en unhiperboloide reglado que contiene lasaristas de uno de los tres ciclos de
longitud cuatro del grafo.
¿MAS DETALLES?
SI NO
![Page 37: Tensegridades: en busca del equilibrio](https://reader038.vdocumento.com/reader038/viewer/2022110109/58715ffa1a28ab87318b7f34/html5/thumbnails/37.jpg)
Tensegridades:en busca del
equilibrio
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Introduccion
Historia ydefinicion
Problema
Ejemplos
En R2
En R3
Herramientamatematica
Atomos
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Aplicaciones
Taller
Prismatriangular
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Otraspropuestas
Bibliografıa
Ejemplos en R3
• Grafo del prisma triangular oblicuo:
p1
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Los seis vertices estan en unhiperboloide reglado que contiene lasaristas de uno de los tres ciclos de
longitud cuatro del grafo.
¿MAS DETALLES?
SI NO
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Ejemplos en R3
• Grafo del prisma triangular oblicuo:
p1
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Los seis vertices estan en unhiperboloide reglado que contiene lasaristas de uno de los tres ciclos de
longitud cuatro del grafo.
¿MAS DETALLES?
SI NO
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Atomos de una tensegridad
• Atomo en Rd : armazon con grafo Kd+2 (d + 2 vertices,todos unidos con todos) y la unica auto-tension posible(salvo constantes).
Las tensegridades estan compuestas de atomos.
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Atomos de una tensegridad
• Atomo en Rd : armazon con grafo Kd+2 (d + 2 vertices,todos unidos con todos) y la unica auto-tension posible(salvo constantes).
Las tensegridades estan compuestas de atomos.
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Atomos de una tensegridad
• Atomo en Rd : armazon con grafo Kd+2 (d + 2 vertices,todos unidos con todos) y la unica auto-tension posible(salvo constantes).
Las tensegridades estan compuestas de atomos.
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• Atomo en Rd : armazon con grafo Kd+2 (d + 2 vertices,todos unidos con todos) y la unica auto-tension posible(salvo constantes).
Las tensegridades estan compuestas de atomos.
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Atomos de una tensegridad
• Atomo en Rd : armazon con grafo Kd+2 (d + 2 vertices,todos unidos con todos) y la unica auto-tension posible(salvo constantes).
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Atomos de una tensegridad
• Atomo en Rd : armazon con grafo Kd+2 (d + 2 vertices,todos unidos con todos) y la unica auto-tension posible(salvo constantes).
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),
sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
![Page 47: Tensegridades: en busca del equilibrio](https://reader038.vdocumento.com/reader038/viewer/2022110109/58715ffa1a28ab87318b7f34/html5/thumbnails/47.jpg)
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Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
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Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
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Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
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Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:a
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Para que es necesario que todas las aristas que desaparecenesten en algun “atomo”.
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
SI
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:a
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Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
NO
![Page 54: Tensegridades: en busca del equilibrio](https://reader038.vdocumento.com/reader038/viewer/2022110109/58715ffa1a28ab87318b7f34/html5/thumbnails/54.jpg)
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:a
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Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:
a
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Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
NO
![Page 56: Tensegridades: en busca del equilibrio](https://reader038.vdocumento.com/reader038/viewer/2022110109/58715ffa1a28ab87318b7f34/html5/thumbnails/56.jpg)
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Descomposicion combinatoria
Dado un grafo G = (V ,E ),sea a ∈ V de grado mınimo:
1. Si grado(a) ≤ 2:
2. Si grado(a) = 3:
3. Si grado(a) ≥ 4:a
3 2
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Para que exista una tensegridad con grafo G es necesario quetodas las aristas que desaparecen esten en algun “atomo”.
EJEMPLOS:
NO
![Page 57: Tensegridades: en busca del equilibrio](https://reader038.vdocumento.com/reader038/viewer/2022110109/58715ffa1a28ab87318b7f34/html5/thumbnails/57.jpg)
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Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
caracteriza los vertices P sobre los que puede haber unatensegridad con grafo G .
![Page 58: Tensegridades: en busca del equilibrio](https://reader038.vdocumento.com/reader038/viewer/2022110109/58715ffa1a28ab87318b7f34/html5/thumbnails/58.jpg)
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Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
![Page 59: Tensegridades: en busca del equilibrio](https://reader038.vdocumento.com/reader038/viewer/2022110109/58715ffa1a28ab87318b7f34/html5/thumbnails/59.jpg)
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Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
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Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
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Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
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Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
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Tensegridades:en busca del
equilibrio
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Otraspropuestas
Bibliografıa
Recomposicion
Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Para aquellas descomposiciones combinatorias en que cada“atomo” introduce al menos una arista nueva:
Dar la vuelta a la descomposicion de G caracteriza losvertices P sobre los que puede haber una tensegridad con
grafo G .
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Los dos triangulos deben estar enposicion perspectiva.
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Esculturas y montajes
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Parques infantiles
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Bibliografıa
Tiendas de campana
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Bibliografıa
Tiendas de campana
Video del desplegado Video del plegado
http://seconds.quechua.com/ES/main.html
http://ccsl.mae.cornell.edu
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Bibliografıa
Cubiertas
http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/GEORGIA/g-anal.html
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Bibliografıa
Robots
Video
http://ccsl.mae.cornell.edu
![Page 78: Tensegridades: en busca del equilibrio](https://reader038.vdocumento.com/reader038/viewer/2022110109/58715ffa1a28ab87318b7f34/html5/thumbnails/78.jpg)
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Bibliografıa
Esqueleto de las celulas
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Bricolaje y decoracion
http://www.designjournalmag.com/product/tensegrity coffee table.htm
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Otras patentes
http://www.freepatentsonline.com
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Otras patentes
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Construir esta tensegridad
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Construir esta tensegridad
http://jmora7.com/miWeb2/cabrijav/G90icoaire.htm
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Modelo de una celula
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Bibliografıa
Tensegridades con pajitas
http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/straw-tensegrity.html
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Bibliografıa
Bibliografıa I
V. Gomez Jauregui.Tensegridad. Estructuras tensegricas en Ciencia y Arte.Servicio de publicaciones de la Universidad de Cantabria,2007.Mas informacion enhttp://www.alumnos.unican.es/uc1279/Tensegrity Structures.htm
M. de Guzman and D. Orden.From graphs to tensegrity structures: Geometric andsymbolic approachesPublicacions Matematiques, 50:279–299, 2006.Mas informacion en http://www2.uah.es/ordend
U. Kortenkamp, J. Richter-GebertCinderella. http://www.cinderella.de
![Page 101: Tensegridades: en busca del equilibrio](https://reader038.vdocumento.com/reader038/viewer/2022110109/58715ffa1a28ab87318b7f34/html5/thumbnails/101.jpg)
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Otraspropuestas
Bibliografıa
Bibliografıa II
R. Motro.Tensegrity: Structural systems for the future.Kogan Page Science, London, 2003.
K. Snelson.http://www.kennethsnelson.net
Sodarace.http://sodarace.net
A.G. Tibert.Deployable tensegrity structures for space applications.Ph.D. Thesis, Royal Institute of Technology, Stokholm2002.
Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Tensegrity
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Bibliografıa
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http://www2.uah.es/ordend