temas para fortalecer el mÓdulo operaciones...
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INSTITUTO SONORENSE DE EDUCACIÓN PARA LOS ADULTOS
TEMAS PARA FORTALECER EL MÓDULOOPERACIONES AVANZADAS
DIRECCIÓN DE SERVICIOS EDUCATIVOS
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INTRODUCCIÓN
La ciencia de las Matemáticas se ha dividido para su estudio en cinco grandes grupos:
1. Aritmética, que en términos muy generales estudia las operaciones con
números.
2. Geometría, que se encarga de las formas, el espacio y sus relaciones.
3. Análisis o cálculo, que trata las funciones y el cálculo diferencial e integral.
4. Álgebra, o estudio de conjuntos, lenguajes simbólicos, ecuaciones, etc.
5. Probabilidad y Estadística, que abarcan, respectivamente, el estudio teórico
del azar y la descripción matemática de poblaciones.
En este curso analizaremos el módulo del MEVyT Operaciones Avanzadas en el cual
se estudian algunos contenidos de aritmética como lo son los números con signo,
jerarquía de operaciones y el plano cartesiano y varios de álgebra con uso de literales,
lenguaje algebraico, ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones.
Cada uno de los contenidos se analizaron empezando con lo que es la parte teórica,
buscar una aplicación y finalmente resolviendo ejercicios planeados estratégicamente
así como algunos que vengan en el módulo, se darán también dinámicas que
podremos en determinado momento aplicar con nuestros educandos para tener un
mejor resultado dentro del proceso de enseñanza aprendizaje.
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1. LOS NUMEROS CON SIGNO
Introducción a los Números con SignoLos números con signo incluyen los números positivos, los negativos y el cero.
Los positivos son mayores que cero.
Los negativos son menores que cero.
Estos números los podemos representar y localizar fácilmente en una recta numérica.
En dicha recta aquellos números que se encuentren a la derecha del cero serán los
positivos y a la izquierda los negativos. Todo número que se encuentre a la derecha del
otro, será mayor que él o todo numero que este a la izquierda de otro, será menor que
este, es decir,
El 1 está a la derecha del -3 por lo tanto el 1 es mayor que -3.
El -4 está a la izquierda del -2 por lo tanto el -4 es menor que -2.
- 6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Los números positivos se anotan con el signo + o sin él. (Ejemplo 3 y +3 es la misma
cantidad).
Lo números negativos se anotan con el signo - (Ejemplo: -3).
Los números positivos los conoces bastante bien por lo que en este material
aprenderemos algunas cosas importantes e interesantes sobre los números negativos.
Rescatando un poco de historia podemos mencionar que el concepto de número
negativo ha sido difícil de aceptar desde el nacimiento de las matemáticas hasta la
actualidad. Para aceptar la noción de número negativo tendría que existir la noción del
cero la cual como sabemos no todos los sistemas de numeración contaban con ello. Se
dice que desde el siglo XIV los matemáticos Europeos disponían del cero pero fue
preciso esperar hasta el final del siglo XV para ver aparecer entes numéricos no
positivos, que sin embargo no serán completamente aceptados como números.
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Es común estimar que la noción de número negativo nació de necesidades contables
(ganancias y pérdidas). Al parecer los chinos fueron los primeros que utilizaron los
números negativos. Los representaban con varillas negras y con varillas rojas los
positivos y así manipulando los palillos realizaban sus cálculos. Se encontró también en
documentos de matemáticos hindúes de los siglos VI y VII escritos como:
"Una deuda restada de la nada se convierte en un bien, un bien restado de la nada se
convierte en una deuda".
Los números negativos se usan para referirse a ciertas situaciones. Por ejemplo, la
temperatura "siete grados bajo cero" puede representarse mediante la expresión -7
grados. Los números negativos también se usan para referirse a deudas, por ejemplo,
si una persona debe $1000.00, esa deuda puede representarse mediante la expresión
-1000 pesos.
Comparación de Números con SignoPara comparar números con signo la mejor herramienta es hacerlo por medio de la
recta numérica localizando los números dados y determinar su posición.
Actividad 1
Resuelve las siguientes comparaciones utilizando la siguiente recta numérica. Escribemenor que, mayor que o igual que sobre la línea.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
1 _____________ -1 2 _____________ 1
1 _____________ -2 -3 _____________ -2
0 _____________ 1 0 _____________ -1
2 _____________ 2 -3 _____________ -3
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Sumas y Restas de Números con signoPara sumar y restar números con signo hay diferentes estrategias que podemos seguir
e implementar.
Una de ellas es por medio de la recta numérica o salto de la ranita en donde los
números negativos representarían saltos hacia la izquierda y los positivos hacia la
derecha partiendo del cero.
Por ejemplo para realizar la suma -2 + 3 representaríamos, partiendo del cero, dos
saltos hacia la izquierda y tres hacia la derecha. El lugar en donde quedamos seria la
respuesta o solución en este caso es 1.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Otra forma de resolver dicha operación es recordando un poco de la historia de los
chinos. Utilizando los palillos rojos y negros. Tendríamos así tres palillos rojos y dos
negros. Los palillos se eliminan en parejas un rojo con un negro y al final tendríamos un
palillo rojo es decir 1.
Actividad 2
Con la ayuda de las rectas resuelve las siguientes sumas o restas de números con
signo y compara tu respuesta utilizando los palillos. (Recuerda que siempre hay que
partir del cero)
-5 + 8
-2 – 3
5 – 8
4 – 5 + (-3)
6
Ahora una vez que ya tienes el concepto de suma y resta de números con signo
podemos rescatar que una manera muy sencilla de resolver estas operaciones sin la
necesidad de manipular objetos o hacer rectas numéricas es mediante el cálculo mental
siguiendo estas reglas.
Si “juntamos” dos números con signos iguales estos números se suman y prevalece el
signo, por ejemplo,
3 + 4= +7 -1 - 4 = -5
Si “juntamos” dos números con signos diferentes estos números se restan y prevalece
el signo del número cuyo valor absoluto sea mayor, por ejemplo.
-5 + 8 = 3 5 – 8 = - 3
Actividad 3
Resuelve por medio del cálculo mental y las reglas anteriores las siguientes
operaciones de números con signo.
7 + 9 = — 5 + 7 = 2 — 8 =
— 15 —17 = —72 + 30 —4 — 30 =
—40+50= — 0.5+ 2= 14 — 6 =
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Multiplicación y división de Números con signo
Para la multiplicación y la división de los números con signo recordemos que existen las
leyes de los signos.
( + ) ( + ) = ( + )
( + ) ( - ) = ( - )
( - ) ( + ) = ( - )
( - ) ( - ) = ( + )
Así al multiplicar o dividir números con signos iguales el resultado será positivo y
cuando tengan signos diferentes el resultado será negativo.
Actividad 4
Aplicando las leyes anteriores resuelve los siguientes ejercicios de multiplicación y
división de números con signo.
2 (-4) =
-7 (5) =
-3 (-12) =
-8(4) =
¡Bien, vas muy bien! ¿Qué te parece la manera en que los chinos revolvían los
problemas con números positivos y negativos? ¿Crees que eso de
representarlo con los palillos les facilite a los adultos comprender mejor el
tema?
4
-2=
-12
3=
-6
-6=
8
2. EL PLANO CARTESIANO
La necesidad de orientarse condujo a los seres humanos, desde la
antigüedad más lejana, a confeccionar mapas o cartas geográficas y a
relacionar los puntos de una superficie mediante números. Para fijar una
figura en el espacio o en un plano hace falta relacionarla con un sistema de
referencia.
Rene Descartes (1596 – 1650) introdujo el sistema de referencia que
actualmente conocemos como coordenadas cartesianas cuyo nombre deriva
de la forma latina de su apellido: Cartesius.
El sistema de coordenadas cartesianas o plano cartesiano está formado por
dos rectas numéricas una horizontal y otra vertical que se cortan en un
punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y
la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan
recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los
cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
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Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘x’ o absisas y
uno de las ‘y’ u ordenadas, respectivamente, esto indica que un punto se
puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se
representa como: P (x, y)
Localización de puntos en el plano.
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente
procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de “x” se cuentan las unidades
correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son
negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Para localizar la ordenada o valor de “y” partimos desde donde
localizamos el valor de “x” y contamos las unidades correspondientes hacia
arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se
localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Ejemplos:
Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano.
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Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las
coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano. Así
determinaremos primero cuantas unidades recorrimos en el eje de las
absisas o “x” y luego cuantas en el de las ordenadas o “y”.
Ejemplo: Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5)
Un ejemplo de un problema aplicado es el siguiente:
Lupe nos ha dicho que la plaza comunitaria donde podremos ir a tomar las
asesorìas para estudiar secundaria está dentro del centro de la ciudad.
Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la plaza
comunitaria.
Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que
nos oriente.
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El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras
hacía el norte. La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las
podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.
Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente
manera:
Para el problema planteado, el origen del plano será el punto de partida que
es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.
PlazaComunitaria
(5,6)
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Actividad 5
En el siguiente plano cartesiano localice los puntos
A (2,4) B (8,1) C (4,7) D (6,0)
E (0,6) F (-3,5) G (-5,3) H (-8,1)
I (-6,0) J (-3,-8) K (-8,-3) L (-1,-2)
M (1,-5) N (4,0) O (8,-1) P (4,-4)
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
8
7
6
54
32
1
-1
-2
-3
-4-5
-6-7
-8
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Actividad 6
Escribe las coordenadas de cada uno de los siguientes puntos ubicados en el
plano cartesiano.
A ( , ) B ( , ) C ( , ) D ( , )
E ( , ) F ( , ) G ( , ) H ( , )
I ( , ) J ( , ) K ( , ) L ( , )
•A
• K
• I
• B
•H
•D
• C
•F
•E
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
• G
• J • L
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3. JERARQUIA DE OPERACIONES
Se entiende por jerarquía de las operaciones la "fuerza" que tienen las diversas
operaciones con números reales a la hora de realizar las mismas; con otras palabras:
cuál es la primera operación que hay que efectuar.
Para la suma, resta, multiplicación y división, la jerarquía es la siguiente:
Primero: realizar las multiplicaciones y divisiones siguiendo el orden de izquierda
a derecha
Segundo: realizar las sumas y restas de izquierda a derecha
De todas formas, si en la operación aparecen paréntesis, éstos son los primeros que
hay que efectuar.
Por ejemplo: 3 (6) – 2 (7) + 2 =
Para resolver la operación anterior siguiendo la jerarquia de operaciones tendriamos
que resolver las multiplicaciones y divisiones. Asi obtendremos:
18 – 14 + 2 =
Y como segundo paso resolver sumas y restas.. Obtendremos como resultado 6.
4 + 2 = 6
Resolvamos otros ejemplos:
6 + 5 (8) 8 – 6 (3) + 4 =
1º multiplicaciones y divisiones resolviendo en orden de izquierda a derecha.
6 + 40 8 – 18 + 4=
6 + 5 – 18 + 4=
2º sumas y restas. Obteniendo como resultado -3.
11- 18 + 4 =
-7 + 4 = -3
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Ahora bien, cuando la operación tiene paréntesis como en este caso resolvemos
primero los paréntesis y luego seguimos la jerarquia natural. De tal forma que
obtendriamos en el primer paso:
( 6 + 4 ) (5) – 8 (6 3) =
Luego multiplicaciones y divisiones 10 (5) – 8 (2) =
y por último efectuando la resta obtenemos 34. 50 – 16 = 34
Actividad 7
Resuelve los siguientes ejercicios tomando en cuenta la jerarquia de operaciones.
( 10 X 12 ) – ( 10 X 12 + 3 ) =
( 25 X 2 + 4 9 ) – 6 =
( 3 X 24 ) + 8 2 =
Laura, asesora de nogales, está elaborando el informe de los gastos de una jornada
para que le repongan el dinero que le hizo falta. Dentro de lo que gastó esta reportando
7 fotografías a $4.50 cada una, 24 pasajes de camión a $5.00 cada uno y un garrafón
de agua a $8.00. Si le dieron $100 para los gastos. ¿Cuánto le van a reponer?
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4. ALGEBRA
El álgebra es una rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar
relaciones aritméticas. El álgebra se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en
vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar
dichos símbolos.
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia en el siglo XVI a.c.
quienes desarrollaron un álgebra elemental capaz de resolver ecuaciones lineales y
cuadráticas sencillas que usaron para resolver problemas cotidianos, los egipcios no
utilizaban una notacion simbólica, sino que utilizaban el jeroglifico hau que significaba
monton.
En el siglo IX d.c, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de los primeros libros árabes
de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con
ejemplos y demostraciones incluidas.
Lenguaje algebraico.
Como ya mencionamos en el álgebra se utilizan letras y símbolos para representar
problemas. El hecho de poder traducir un problema en una expresión algebraica es el
inicio del estudio del álgebra.
Una herramienta que puede facilitar esta traducción del lenguaje verbal al lenguaje
aljebraico es el siguiente diccionario algebraico.
es, es igual, equivale, da =de, producto, por, multiplica X , ( )( ) , •
entre, división, cociente, razón, repartir /
más, suma, agrega, es mayor en, aumentado en +resta, diferencia, disminuye, es menor en, menos que -Doble de y 2y , 2x y, 2(y)
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También debemos tener en cuenta, al plantear un modelo algebraico, respetar los
signos de puntuaciòn del problema y que después de un punto y seguido o una coma
se deberá iniciar nuevo plantemiento. Es muy importante además reconocer qué es lo
que no sabemos o buscamos, es decir, la incognita o las incognitas a las que les
asignaremos una letra a cada una de ellas.
Veamos algunos ejemplos.
a) El doble de un numero menos cuatro ………………..……… 2y – 4
b) Un numero aumentado en 4 ………..………….…………… x + 4
c) La diferencia de dos números cualquiera ………………………. m – n
d) Cinco entre un numero cualquiera ……………………………….. 5 / z
Ahora algunos ejemplos aplicados donde lo importante es plantear la expresión
algebraica que resuelve el problema no resolverlo numéricamente, lo cual se verá más
adelante.
Lourdes es un año menor que Paty, ésta es un año menor que Antonia. Si la suma de
sus edades es de 146 años. ¿Cuántos años tiene Paty?
Si P es la edad de Paty la expresion algebraica al problema anterior seria:
(P-1) + (P +1) + P = 146
Pedro y Cecilia tienen entre los dos 57 láminas y Cecilia tiene 11 más que Pedro,
¿cuántas láminas tiene cada uno?
Si las láminas de Pedro son X la expresión quedaría:
X + (X + 11) = 57
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Actividad 8
Traduce las siguientes expresiones al lenjuague algebraico.
El doble de un numero menos el triple de otro es igual a 12
________________
El cociente de dos números da 10
_________________
La mitad de un numero multiplicado por 3
_________________
El cuadrado de un numero menos el triple del mismo
_________________
El producto de dos números menos cuatro veces uno de ellos
_________________
Traduce al lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas.
x + 3 ______________________________________________________________
2m – 4n____________________________________________________________
z - 3y = xy__________________________________________________________
-3x + (-5) = 10_______________________________________________________
t / 2 = 6_____________________________________________________________
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Expresión Algebraica
Una expresiòn algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales
relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas.
Partes de una expresión algebraica
Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + (más) o – (menos)
se llaman términos de la expresión.
Por ejemplo la siguiente expresión consta de tres términos.
4x + 3 x2 – 6
Cada término puede estar formado por un coeficiente, una variable y un exponente o
potencia.
El coeficiente es el término numérico que acompaña a la variable.
La variable es la literal que se utiliza para representar la incognita.
3 x2Coeficiente
Literal o Variable
Exponente
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Simplificación de expresiones algebraicas
Para simplificar una expresión algebraica debemos “juntar”, es decir, sumar o restar los
términos semejantes. Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas
letras y afectadas por el mismo exponente.
Un metodo sencillo es identificar los términos que sean semejantes subrayándolos
cada grupo o “familia” de diferente manera. Algunos con dos rayitas otros con tres,
quizá encerrarlos en un círculo, otros en cuadrado y otros en triángulos pequeños, de
tal manera que podamos identificar cual juntaremos con cual.
Por ejemplo si se tiene:
4a + 5b – 7a2 – 2a + 10 a2 – 2b
4a -2a +5b -2b -7a2 + 10 a2
Lo podemos simplificar a: 2a + 3b + 3a2
Actividad 9
Simplifica las siguientes expresiones algebraicas.
2n – 9 + n + 10 =
9xy + 7xy – 2 =
- 3x + y + 8 + x – 5y =
4a2 + 6 – 7a2 - 10 =
w2 + 2z – 15 + 3w2 – 5w – 6z + 8 =
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2m + m3 – 5m2 + m – 8m 3 + 3 =
15a2 – 6ab – 8a2 + 20 – 5ab – 31 + a2 – ab =
4 – 5g2 + 6f3 – 8 + 3g2 – f3 +10 =
-6x + 81x3 + 19y4 – 30z + 6y + 80x + x3 - 25y – 7y4 =
-2r + 8m – 5n + 4m2 + r – 2m + 6n – m2 =
Evaluar expresiones algebraicas.
Para encontrar el valor de una expresión algebraica debemos sustituir el valor numérico
asignado a la variable y realizar las operaciones correspondientes. Dicho de otra
manera en vez de poner x ponemos el valor asignado a ella a lo cual llamaremos
sustitución.
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Por ejemploSi queremos encontrar el valor de la siguiente expresión
6 + x – 2x2 – 3x + 20 cuando x vale 5
Sustituyendo 6 + (5) – 2(5)2 – 3(5) + 20
Realizando las operaciones tenemos 6 + 5 – 50 – 15 + 20 = - 34
Sigamos con otro ejemplo. Encuentra el valor numérico de la siguiente expresión.
2q + 3 – 6r cuando q vale 2 y r vale 3
Sustituyendo 2(2) + 3 – 6(3)
Realizando las operaciones 4 + 3 – 18 = -11
Actividad 10Evalua las siguientes expresiones algebraicas.
-6w + 15 – 2w +25 cuando w = 5
3xy – 5x + 4y -5 cuando x = 2 , y = 1
-2z + 3z – 6 + 4z cuando z = 3
(3p + 5m ) cuando p = 5 , m = 3
5n + 3 – 3m – 6n – 10 + m cuando n = 5 , m = 3
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Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad entre dos
expresiones algebraicas o entre una
expresión y un valor.
La solución de una ecuación es el valor de la variable que satisface y cumple con la
igualdad, es decir, que hace que la expresión sea verdadera.
Para encontrar la solución de una ecuación hay que “despejar” la incognita, lo cual
consiste en realizar operaciones a ambos lados para no alterar la igualdad buscando
que la incognita nos quede sola de un lado de la ecuación, éstas operaciones deben ser
la inversa que tenga el término que queremos eliminar.
Por ejemplo:Encuentra la soluciòn de las siguientes ecuaciones.
______________________________________________________________________
x + 9 = 12Como lo que queremos es dejar sola la x tendríamos que quitar el 9, y como está
sumando, según la tabla, la operación inversa es la resta por lo que restaremos nueve a
ambos lados
x + 9 – 9 = 12 – 9x = 12-9
Solución x = 3
______________________________________________________________________
Tipo de operación Operación inversa
Suma + Resta -
Multiplicación x División /
Potenciación Radicación
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______________________________________________________________________
-2 + y = -6Si queremos despejar y tenemos que quitar el -2 como esta restando, según la tabla,
tenemos que sumar dos a ambos lados.
-2 + y + 2 = -6 + 2Soluciòn y = -4
______________________________________________________________________
2m = 6Si queremos despejar m tenemos que quitar el 2, como éste esta multiplicando
usaremos la operación inversa que es la divisiòn. Por lo que dividiremos entre 2 a
ambos lados.
2m = 6 asi m = _6_ m= 3
2
_____________________________________________________________________
Como lo que queremos es despejar x tenemos que quitar el 3, éste esta dividiendo por
lo que al utilizar la operación inversa tendriamos que multiplicar por 3 a ambos lados de
la igualdad.
de aquí que: x = 15
_____________________________________________________________________
x 2 = 25En este caso lo único que tenemos que quitar es el exponente 2. como la raiz es la
función inversa a la potencia sacamos raiz cuadrada a ambos lados.
x=5
______________________________________________________________________
2 2
x
3= 5
x3
= 5(3) (3)
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Siempre que tratemos de encontrar la solución a una ecuación algebraica debemos
primero reducir los términos semejantes y después proceder al despeje.
Por ejemplo:
2m + 2 – 6m = 6En este caso reduciremos pimero los teminos semejantes
-4m + 2 = 6
Luego como queremos dejar sola a la m restaremos dos a ambos lados
-4m + 2 – 2 = 6 – 2
-4m = 4
Ahora dividimos entre menos cuatro a ambos lados
- 4m = 4 m = -1
Actividad 11Encuentra la solución a las siguientes ecuaciones.
2x + 2 = 10
x – 24 = 56
3m + 5 = m + 1
y / 4 + 6 = 4
4s + 2( 1 – s ) = 6
11f + 5f – 1 = 65 f – 36
a – ( 2a + 1 ) = 8 – ( 3a + 3 )
x2 +2 = 18
– 4 – 4
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Actividad 12Traduce los siguientes problemas encontrando la ecuación que los represente y
resuelvela.
La suma de las edades de Pedro y Luis es 84, si Luis
es 8 años menos que Pedro. ¿Cuál es la edad de
cada uno de ellos?
La suma de tres números enteros consecutivos es 156. ¿Cuáles son esos números?
Pagué $325.00 por un coche, un caballo y sus arreos. El caballo costó $80 más que el
coche y los arreos $25 menos que el coche ¿Cuánto pagué por cada cosa?
Viajando de paseo por lo pueblos del río con mi familia, recorrimos cuatro kilometros
menos de regreso que de ida ¿Cuántos kilometros recorrimos de ida si en total
recorrimos 68 kms?
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Ecuaciones lineales.Las ecuaciones se clasifican según el mayor exponente de sus variables. Se llaman
ecuaciones lineales a la ecuación cuyo mayor exponente de las variables es uno;
cuadráticas cuando el exponente mayor es 2, etc.
Una ecuación lineal que tiene las variables x e y puede representarse graficamente en
el plano cartesiano mediante una línea recta.
Para graficar una ecuación lineal hay que encontrar dos o más puntos que satisfagan la
ecuación y unirlos. Para ello podemos utilizar el siguiente procedimiento:
Por ejemplo si queremos encontrar la recta que está definida por la ecuación
x + y = 4
1º Debemos despejar una de las incognitas, la que nosotros escojamos o se nos haga
mas facil. En este caso escojeremos la y.
x + y – x = 4 – x
y = 4 – x
2º Haremos una tabla de valores donde le asignaremos un valor numérico a x y
encontraremos el de y que satisfaga la ecuación.
Esta tabla que obtuvimos son las coordenadas de los puntos por donde pasa la recta.
Al graficarlos en el plano y unirlos obtendremos la recta que buscamos.
x y-1 50 41 3
Si x = -1 y = 4 – (-1) Si x = 0 y = 4 - 0y = 5 y = 4
Si x = 1 y = 4 – 1y = 3
•••
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Se nos plantea el siguiente sistema de ecuaciones (recordemos que cuando decimosSISTEMA estamos diciendo que las incógnitas tienen el mismo valor en una ecuaciónque en la otra)
Despejamos una incógnita en cada ecuación(puede ser la misma), las incógnitas lastransformamos en VARIABLES, a la quedespejamos la llamamos DEPENDIENTE y a laque no despejamos la llamamosINDEPENDIENTE.
Le asignamos valores a la variableindependiente y, de acuerdo a los valoresasignados, la variable dependiente tomará unvalor determinado.Vamos a asignarle 2 valores porque se trata defunciones lineales y, con 2 valores, podemosgraficarlas.Hacemos una tablita para cada ecuación.
Luego, representamos los valoresobtenidos en un par de eje cartesianos.En el eje horizontal (eje de las absisas)represento los valores de X y en el ejevertical (eje de las ordenadas)represento los valores de Y.
Desde el punto de intersección de las dosrepresentaciones graficas de las funciones trazamos rectasperpendiculares a cada uno de los ejes.
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Actividad 13Encuentra la gráfica de las siguientes ecuaciones.
a) 2x + y = -1 b) x + 2y = 0
c) x + 3y = 6 d) 2x – y = 4
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Sistema de Ecuaciones de 2X2
Un sistema lineal de dos ecuaciones
con dos incógnitas es un par de
expresiones algebraicas que debemos
resolver simultáneamente.
Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser:
x + y = 10x - y = 2
Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas
soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado,
infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al considerar juntas ambas
ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que
cumplan a la vez las dos.
Los sistemas de ecuaciones responden a planteamientos de problemáticas muy
diversas, además como ya vimos anteriormente cada ecuación representa una recta
por lo que gráficamente un sistema de ecuaciones de “dos por dos" representa en el
plano dos rectas que se cruzan en un punto.
Para resolver un sistema de ecuaciones existen tres métodos o procedimientos: método
de sustitución, método de suma y resta, método de igualación.
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Método de Sustitución:De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:
1) Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.
2) Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la
ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.
3) Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación
despejada obtenida en el primer paso.
Por ejemplo. x + y = 10x - y = 2
1º paso:
x = 10 – y (Despejar una incógnita de cualquiera de las dos ecuaciones)
2º paso:
(10 – y ) – y = 2 (Susttuir el valor obtenido en la otra ecuación)
10 – 2y = 2 (Resolviendo la ecuación)
-2y = 2 – 10y = -8 / -2y = 43º paso:
x = 10 – (4) (Sustituyendo el valor obtenido)
x = 6Asi la solución al sistema es: x = 6
y = 4
Método de Igualación:
Consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un
sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en
las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una
ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:
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1) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2) Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una
incógnita que resulta.
3) Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las
ecuaciones despejadas de primer paso.
Resolvamos el mismo ejemplo pero ahora por este metodo.
x + y = 10x - y = 2
1º paso:
x = 10 – y x = 2 + y (Despejando x de ambas ecuaciones)
2º paso:
10 – y = 2 + y (Igualando)
- y – y = 2 – 10 ( Resolviendo la ecuación )
- 2y = -8y = 43º paso:
x = 2 + 4x = 6Por lo tanto la solución al sistema es: x = 6
y = 4
Método de Suma y Resta (Reducción).
En resúmen, consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s)
de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de
la “x” o los de la “y” sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las
ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una
incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una
consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción);
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la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar
la otra. Veamos el proceso por fases.
1 )Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de
las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
2) Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
3) Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
4) Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se
despeja la otra.
Ahora analizando el mismo ejemplo pero con éste metodo.
x + y = 10x - y = 2
1º paso:
Como en las ecuaciones hay una incognita que cumple con los requisitos del paso uno,
no necesitaremos multiplicar por ningun numero.
2º paso: x + y = 10 (Sumando)
x - y = 2
2x = 12
3º paso: x= 12 / 2 ( Resolviendo )
x = 6
4º paso: x + y = 10(6) + y = 10 ( Sustituyendo )
y = 10 – 6y = 4
Solución x = 6y = 4
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Observemos que aplicando cualquiera de los tres métodos obtenemos el mismo valor
para las incognitas, es decir, la misma solución al sistema de ecuaciones.
Ahora veamos la solución gráfica del sistema.
1) Graficar cada una de las ecuaciones
2) Localizar el punto donde se cruzan dichas rectas.
Recta A: x + y = 10
y = 10 – x Si x = -1y = 10-(-1) y = 11Si x = 0y = 10 – 0 y = 10Si x = 1y = 10 – 1 y = 9
x y-1 110 101 9
Recta B: x - y = 2
y = x - 2 Si x = -1y = (-1) - 2 y = -3Si x = 0y = 0 - 2 y = -2Si x = 1y = 1 - 2 y = -1
x y-1 -30 -21 -1
•••
A
•••
B
•Soluciónx = 6 , y = 4
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Aplicaciones en la vida cotidiana.Como ya mencionamos los sistemas de ecuaciones representan problemáticas muy
diversas de las cuales muchas de ellas son de la vida cotidiana. Un ejemplo muy
antiguo de un problema que se resuelve mediante un sistema de ecuaciones es el
siguiente:
Un caballo y una mula caminaban juntos llevando sobre su lomo pesados sacos.El caballo se quejaba de lo pesado de la carga, a lo que la mula dijo: “¿De que tequejas? Si yo te quitara un saco mi carga seria el doble que la tuya. En cambio, site doy un saco, tu carga se igualará a la mia”. ¿Cuántos sacos lleva el caballo ycuantos la mula?El primer paso para resolver un problema de este tipo es identificar las incognitas, es
decir, lo que andamos buscando.
x = sacos que llevaba la caballo
y = sacos que llevaba el mula
Del primer planteamiento tenemos y + 1 = 2 ( x-1)
De la siguiente expresión y – 1 = x + 1
Ya que tenemos el sistema resolveremos por cualquiera de los tres metodos. En este
caso lo haremos por sustitucion.
y + 1 = 2x – 2
1º paso:
y = 2x -2 – 1 (Depejando una incognita de cualquiera de las dos ecuaciones)
y = 2x -3
2º paso:
(2x-3) – 1 = x + 1 ( Sustituir el valor de la incognita encontrada en la otra ecuacion )
2x – 4 = x + 1 (Resolviendo)
2x – x = 1 + 4
x = 5
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3º paso:
y – 1 = 5 + 1 (Sustituir el valor en la otra ecuacion)
y = 6 + 1
y = 7
Entonces el caballo llevaba 5 sacos y la mula 7
Actividad 14Resuleve los siguientes sistemas de ecuaciones con el metodo que se te indique.
FIN DEL CURSO.
¿Qué te pareció el contenido? ¿Será de utilidad para enseñar las matemáticas a los
adultos y estar mejor preparados para presentar el módulo de operaciones avanzadas?
Autores: Lic. Guadalupe Janeth Galvez NavarroLic. Horacio Pineda AntolínEspecialistas de matemáticas
Unidad de Diseño y ElaboraciónOficina Académica
Por Suma y Resta
a) x + y = 14
x – y = 6
Por Sustitucion
b) 3x + 5 = y
y – 11 = 6x
Por Igualacion
d) 5x + y = 8
4x + y = 6
Por graficación
c) y – x = -1
x + y = -1