Operaciones de TransferenciaDe Cantidad de Movimiento-

TEMA IV: MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS A TRAVES DE UN

FLUIDO

Prof.: Ing. Jorge R. Huk

AÑO: 2014

DE PARTICULAS A TRAVES DE UN FLUIDO.-

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Temas a Desarrollar:

1) Introducción: métodos de separación de los componentes de una mezclaa- Métodos Difusionalesb- Separaciones Mecánicas:

b.1- Separaciones mecánicas controladas por la mecánica de fluidosb.2- Separaciones mecánicas no controladas por la mecánica de fluidos

2) Ecuación general para el Movimiento de una Partícula a través de un Fluido:- En un campo gravitacional- En un campo centrífugo.

3) Velocidad Terminal de una Partícula:a- Concepto MOVIMIENTOb- Ecuaciones: b.1- Velocidad terminal en un Campo Gravitacional b.2- Velocidad Terminal en un Campo Centrífugo

c- Coeficiente de arrastre. Efecto de la forma y del Número de Reynolds c.1- Ecuación de Stokes c.2- Ecuación de Newton

4) Cálculo de la Velocidad Terminal a) Por tanteo directob) Método gráficoc) Determinación del Régimen de Sedimentación (criterio K)

5) Sedimentación impedida:- Definición- Cálculos

6) Sedimentación y ascenso de gotas y burbujas

7) Sedimentación de partículas muy pequeñas

8) Efecto de pared

9) Problemas de aplicación

MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS A TRAVÉS DE UN FLUIDO

1. INTRODUCCIÓN:

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Gran número de operaciones industriales tienen por objeto separar los componentes de una mezcla en fracciones individuales. Algunos ejemplos son: la destilación, la centrifugación, la sedimentación, etc. Los fines específicos de la separación pueden ser variados, como por ejemplo:-eliminar impurezas de un producto crudo-separar una mezcla de dos o más sustancias en varios productos puros-recuperar sustancias valiosas contenidas en una gran masa de material inerte (industria minera), etc.

Métodos de separación de mezclas: El método de separación que se puede utilizar depende del tipo de mezcla. Éstas pueden ser:a) mezclas homogéneas: son aquellas en las cuales los componentes se encuentran mezclados a

nivel molecular, como es el caso de la mezcla de líquidos miscibles (ej: alcohol-agua). Para separar este tipo de mezclas se utilizan los métodos difusionales, en los cuales, para lograr la separación de los componentes es necesario producir el cambio de fase de alguno de ellos (como en la destilación o evaporación) o la transferencia de masa o difusión de uno de los componentes a través del otro (ej: absorción).

b) mezclas heterogéneas: son aquellas en las que coexisten dos o más fases. Por ejemplo, el polvo es una suspensión de partículas sólidas en una masa de aire (mezcla sólido-gas), la leche es una mezcla de dos líquidos inmiscibles (solución acuosa-grasa), el material sólido granulado que se extrae de una mina es una mezcla de minerales valiosos con grandes cantidades de material inerte (mezcla sólido-sólido). Para separar las mezclas heterogéneas se utilizan los métodos o separaciones mecánicas. Estos métodos se basan en las diferencias en las propiedades físicas de los componentes a separar, como las diferencias de tamaño, de densidad, de forma, etc.

Las separaciones mecánicas se pueden subdividir en dos grupos: b.1) Los métodos que utilizan directamente la diferencia de propiedades físicas de los componentes, como las separaciones eléctricas o magnéticas, el tamizado, etc. En la operación de tamizado el objetivo es separar una mezcla de partículas sólidas en varias fracciones de diferentes tamaños, es decir, la separación se basa en la diferencia de tamaños de las partículas. b.2) Un segundo grupo de separaciones mecánicas se basa en el movimiento de partículas en un fluido.Cuando una partícula se suspende en un fluido, si la densidad de la partícula es distinta a la densidad del fluido, la partícula tiende a moverse a través del fluido por acción de la fuerza de gravedad. Si la densidad de la partícula es mayor que la del fluido, la partícula “cae” (ej: partícula sólida en un fluido). Si la densidad de la partícula es menor que la del fluido, la partícula flota (ej: gota de aceite en agua).Esto significa que si dejamos en reposo una suspensión de partículas sólidas en agua, podemos lograr la separación de sólidos y líquido porque las partículas tienden a caer hacia el fondo del recipiente (esta operación recibe el nombre de sedimentación). La velocidad con que una partícula se mueve a través de un fluido, además de depender de la densidad del fluido, depende de las propiedades físicas de la partícula, como el tamaño, la densidad, la forma, etc. Por lo tanto, si las partículas sólidas suspendidas en el fluido tienen distintos tamaños y/o distintas densidades (son de distintos materiales), cada partícula se moverá a través del fluido a una velocidad distinta. Esto permite que una mezcla de partículas de distintos tamaños se pueda “clasificar”, o sea, dividir en varias fracciones de diferentes tamaños, descargando la mezcla en una corriente de agua o aire. O que una mezcla de partículas de diferentes materiales se pueda “concentrar”, o sea, separar en los componentes puros. En todos estos métodos (que serán objeto de estudio en los temas siguientes), el mecanismo de la separación es controlado por la mecánica de fluidos.

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Partícula: se utiliza para designar a cualquier gota líquida, burbuja de gas o partícula sólida suspendida en un fluido.-.Fluido: cualquier gas o líquido (fase continua)

2. Ecuación general para el movimiento de una partícula a través de un fluido :

Si en un fluido en reposo de densidad ρ se coloca una partícula de masa m y densidad ρP, y la densidad de la partícula es mayor que la densidad del fluido, ρp > ρ la partícula caerá a través del fluido por acción de la fuerza externa FE. En condiciones normales, la fuerza externa que actúa sobre el sistema es la fuerza de gravedad. En algunos equipos pueden actuar conjuntamente la fuerza de gravedad y una fuerza centrífuga. Las fuerzas que actúan oponiéndose al movimiento de la partícula son la fuerza de flotación FB y la fuerza de rozamiento FD . La fuerza resultante sobre la partícula es:

F.gc = m.dvdθ

= gc (FE - FB – FD)

Donde : v = velocidad de la partícula relativa al fluido dv/dθ = aceleración de la partícula

-Por la ley de Newton, la fuerza externa es igual a:

FE.gc = m. aE

Donde aE = aceleración debida a la fuerza externa

-Por el principio de Arquímedes “la fuerza de flotación” es igual al producto entre la masa de fluido desalojada por la partícula y la aceleración debida a la fuerza externa:

FB.gc = mF. aE

Como el volumen de fluido desalojado es igual al volumen de la partícula:

VF = VP = m/ρP

mF = ρ.VF = m.ρρP

En consecuencia: FB = m.( ρρP

)aE

-La “fuerza de rozamiento” a partir de la definición del coeficiente de arrastre es:

FD. gc = CD ρS v2

2

4

Dónde: S = área de la partícula proyectada sobre un plano normal a la dirección del movimiento.Por lo tanto, la fuerza resultante sobre la partícula es:

m.dvdθ

=m .aE−m .aE.ρρP

−CD ρ .S . v2

2m

En consecuencia: dvdθ

=aE ( ρP− ρρP

)−CD ρ . S . v2

2m

Esta ecuación recibe el nombre de: Ecuación general para el movimiento de una partícula a través de un fluido.Movimiento debido a la fuerza de gravedad: Si la fuerza externa es la fuerza de gravedad: aE = g

: dvdθ

=g( ρP−ρρP

)−CD ρ .S . v2

2m (ec. 1)

Movimiento debido a la fuerza centrífuga: Cuando se varía la dirección del movimiento de la partícula, se origina una fuerza centrífuga. La aceleración debida a la fuerza centrífuga en el movimiento circular es: aE = ω2.rDónde: r = radio de giro de la partícula. ω = velocidad angular = 2πN/60 (en sec ─1 ) N =(r.p.m.)

En consecuencia: dvdθ

=r ω2( ρP−ρρP

)−CD ρ .S . v2

2m

Siendo v la velocidad de la partícula relativa al fluido, en dirección radial. (Hacia afuera)3. Velocidad terminal:Cuando una partícula, partiendo del reposo, comienza a moverse a través del fluido por acción de la fuerza de gravedad, su velocidad aumenta rápidamente desde cero hasta un valor máximo.

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Como la fuerza de gravedad y la fuerza de flotación permanecen constantes durante el movimiento, al aumentar la velocidad, aumenta la fuerza de rozamiento: cuando FD iguala a (FE - FB), la aceleración de la partícula se hace igual a cero (dv/dθ = 0) y la velocidad alcanza su valor máximo, que se mantiene constante durante el resto del movimiento de la partícula. Esta velocidad constante de la partícula recibe el nombre de velocidad terminal En la (ec. 1), cuando dv/dθ = 0, será v = vmax = vt = constante:y despejando la velocidad terminal:

V t=ω√ 2 g ( ρP−ρ )mS . ρ. ρP .CD

(ec.2)

Esta ecuación es conocida como “ecuación de Newton para la velocidad terminal”.Si la fuerza externa es una fuerza centrífuga, la velocidad varía con la posición radial de la partícula además del tiempo, y la aceleración de la partícula dv/dθ nunca alcanza un valor igual a cero, por lo cual, para los cálculos se define una “velocidad terminal radial” que es constante para una posición radial particular del campo centrífugo:

Efecto de la forma y tamaño sobre la velocidad terminal:Si las partículas son esferas de diámetro Dp:

m=ρp π D p

2

6 S=

π D p2

4

6

V

t=¿√ 4g ( ρP−ρ) D p

3 ρC D

¿ (ec.3)

Para partículas no esféricas, se debe utilizar el diámetro equivalente definido como:Diámetro equivalente = diámetro de una esfera que tiene el mismo volumen que la partícula.

Como por definición: Vp (de la partícula no esférica) = Vo (de la esfera equivalente) = π Deq .

3

6

Deq .=( 6Vpπ )

1/3

Efecto de la forma y la orientación sobre el coeficiente de rozamiento:El coeficiente de rozamiento depende de la forma y orientación de la partícula, de la velocidad terminal de la misma, de la cercanía de otras partículas, etc.Las curvas experimentales de CD en función del número de Reynolds se obtienen para distintas formas de partículas, y se pueden representar directamente o en términos de la esfericidad definida como: ψ = superficie de una esfera de volumen igual al de la partícula /superficie real de la partícula = So / Sp

Como para una esfera: Vp=Vo=π Do3/6 Despejando Do = (6Vp/ ) So=π Do2=π (6Vp /π )2 /3

Por lo tanto:

ψ= πSp ( 6 Vp

π )2/3

Variación del coeficiente de arrastre con el número de Reynolds A bajos valores de número de Reynolds (Re < 0,1, o región de la ley de Stokes), la capa límite

que rodea a la partícula es laminar, y el coeficiente de arrastre es igual a : CD = 24/Re

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Por lo tanto, la velocidad terminal es:

V t=g . Dp2 ( ρP−ρ )

18 μ

Esta ecuación recibe el nombre de ecuación de Stokes para la velocidad terminal. Cuando los valores de Re (1000 < Re < 350.000, o región de la ley de Newton), el

coeficiente de arrastre es prácticamente constante e igual a 0,44, y por lo tanto, la velocidad terminal es:

V t=1,75√ g .Dp .(ρP−ρ)ρ

Para números de Reynolds comprendidos entre 01 y 1000 (región intermedia), el coeficiente de arrastre se puede calcular con la ecuación:

CD=24ℜ (1+0,14 ℜ0,70 )

4. Cálculo de la velocidad terminal de una partícula:La velocidad terminal es función del coeficiente de rozamiento, el cual a su vez, depende del número de Reynolds, y por lo tanto, de la velocidad terminal de la partícula. Es decir que las ecuaciones deducidas previamente son ecuaciones con dos incógnitas. (Ec. 2)

4.1. Cálculo por tanteo directo: La velocidad terminal se calcula suponiendo un valor de Re para obtener un valor estimativo inicial de CD, a partir de las curvas de CD vs. Re:-se supone un valor para el número de Re.-a partir de la gráfica se determina el CD para el valor de Re supuesto.-se calcula la velocidad terminal utilizando la ecuación general.-se verifica el valor del Re con el valor de velocidad calculado.4.2. Método gráfico:Se basa en la utilización conjunta de la ecuación general para la velocidad terminal y las gráficas experimentales de CD vs. Re:Como:

V

t=¿√ 4g ( ρP−ρ) D p

3 ρC D

¿

Despejando CD=43

g . Dp. ( ρP−ρ )ρ

1Vt 2 (¿)

Y ℜ= ρ. Dpμ

Vt => V t=μ

ρ. Dp .ℜ

Reemplazando en (¿)

CD=43

g . ρ . Dp3 ( ρP−ρ )μ2

1ℜ2

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Y aplicando logaritmos:

logC D=log [ 43

g .Dp . ( ρP−ρ )ρ ]−2 log ℜ (ec. 4)

(Que, para un dado sistema, tiene la forma: log.y = cte ─ 2.log.x, que en el plano log.CD vs. log Re, representa la ecuación de una línea recta de pendiente m = ─2).Por lo tanto, determinando un punto de la línea recta, a través del mismo es posible trazar la línea de pendiente m = ─ 2. La intersección de la misma con la curva experimental permite obtener el valor de CD o Re para el problema.O sea, si en la ecuación (4) se hace Re = 1, y como log 1 = 0; la ecuación se reduce a:

logC D=log [ 43

g .Dp . ( ρP−ρ )ρ ]

Que puede calcularse con los datos del problema. Los valores: Re = 1 y el C correspondiente, determinan un punto en el plano, a través del cual puede trazarse la recta de pendiente m = ─ 2. La intersección de ésta con la curva experimental,

permite obtener el valor de Rex =ρ Dp Vt

μ a partir del cual se puede calcular la velocidad terminal.

Los pasos a seguir para calcular la velocidad terminal de una partícula son: a) :Calcular el valor de CD para Re = 1b) Con esos dos valores, ubicar el punto en el plano log CD vs. log Rec) por el punto determinado, trazar una línea recta de pendiente m = ─2d) determinar el valor Rex al cual se produce la intersección de la línea de pendiente m = ─2 y la curva experimental

e) calcular la velocidad terminal a partir de dicho valor de Re : V t=μ

ρ. Dpℜx

Este método de cálculo también permite obtener el valor del diámetro de la partícula, cuando se conoce la velocidad terminal de la misma:

logC D= log [ 43

g .Dp . ( ρP−ρ )ρ2Vt 3 ]+ log ℜ

Ecuación que representa a una línea recta de pendiente m = +1 en el plano log CD vs. log Re.

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4.3. Determinación del régimen de sedimentación:La utilización de las ecuaciones de Stokes o de Newton implica el conocimiento del régimen de flujo (Re). Sin embargo, si no se conoce la velocidad terminal, no se puede calcular el número de Reynolds para la partícula.En la práctica, es posible estimar el régimen de flujo definiendo un parámetro adimensional K (o criterio K), independiente de la velocidad terminal, que puede relacionarse con el número de Re:

K = Dp[ρ . g . ( ρP−ρ )

μ2 ]1/3

(Si la fuerza externa es centrífuga, se reemplaza g por: r.ω2)

-para flujo laminar es: Vt=g . Dp2 ( ρP− ρ )

18 μ (Ec. de Stokes)

y como, por definición: Re = ρDp

μVt

Reemplazando el término de velocidad por la ecuación de Stokes:

ℜ= ρDpμ

=g . Dp2 ( ρP−ρ )

18 μ= K3

18¿>K=(18 ℜ)1 /3

Ampliando el rango de validez de la ecuación de Stokes hasta valores de Re = 1 => K = 2,6

Quiere decir que, si K ≤ 2,6 puede utilizarse la ecuación de Stokes para calcular la velocidad

terminal, para flujo turbulento: (1000 ≤ Re ≤ 350000 V t=1,75√ g .Dp .(ρP−ρ)ρ

(Ec. de Newton)

ℜ= ρDpμ

1,75√ g . Dp .(ρP−ρ)ρ

=1,75K 1,5 => K=¿(ℜ

1,75)1/1,5

Para Re = 1000 => K = 68,9 Para Re = 350.000 => K ≈ 3.800

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Por lo tanto, la ecuación de Newton puede usarse para valores de K comprendidos entre:

68,9 ≤ K ≤ 3.800

Para valores de K: 2,6 < K < 68,9 ó K > 3.800. Debe usarse alguno de los métodos generales para el cálculo de la velocidad terminal. Para cálculos rápidos con fines prácticos, puede usarse la Fig. 5-80 de Perry VI, que presenta una serie de curvas de velocidades terminales en función del diámetro de partículas, para distintas densidades de aire y agua a 70 °F.5. Sedimentación Impedida: Efecto de la Concentración

-Se llama sedimentación libre al proceso en el cual el movimiento de la partícula no es afectado por la presencia de otras partículas o por superficies sólidas (tiene lugar en suspensiones muy diluidas)-si el movimiento de las partículas es afectado por otras partículas (como ocurre en suspensiones con concentraciones de sólido mayores a 0,1 % v/v)), el proceso recibe el nombre de sedimentaciónimpedida. En estas condiciones, las velocidades de sedimentación son más bajas debido a que al aumentar la concentración aumenta tanto la viscosidad como la densidad de la suspensión. Para el caso de suspensiones de partículas esféricas de tamaños uniformes, la velocidad de asentamiento se puede calcular a partir de la velocidad terminal en sedimentación libre, utilizando la ecuación:

Vs = Vt. (Xl)n

Dónde: Xl = fracción volumétrica de líquido en la suspensión, (ε) = vol. de líquido/volumen total de la suspensión y n varía en función del número de Reynolds

Re = ρDpVt

μ

n

≤ 0,1

1

10

10

≥ 10

4,6

4,3

3,7

3,0

2,5

Valores del exponente n en función de Re.-

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Para calcular la velocidad de sedimentación impedida (Vs ) el procedimiento es el siguiente: -Calcular el valor de K (usando las propiedades del fluido puro) -Seleccionar la ecuación o método para calcular la velocidad terminal (Vt ) en sedimentación libre -Calcular la Vt -Con el valor de Vt obtenido, calcular el valor del Re -Leer el valor de n (de tabla o gráfico) -Calcular Vs usando la ecuación anterior

Para el caso de sedimentación de partículas homogéneas que no aglomeran, el cálculo de la velocidad de sedimentación impedida se puede hacer considerando que cada partícula sedimenta a través de un fluido con densidad y viscosidad iguales a las de la suspensión, propiedades que pueden calcularse a partir de las siguientes ecuaciones:

ρm = Xsρs + (1 ─Xs)ρ

μm = μ .101,82 (1− xl)

xlDónde. Xs = fracción volumétrica de sólidos en la suspensión. xl = fracción volumétrica de líquido en la suspensión.

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6. Sedimentación y ascenso de gotas y burbujas: (partículas no rígidas) Las gotas y burbujas presentan la característica de que pueden cambiar de forma a medida que se mueven a través de una fase continua, debido al rozamiento. Por otra parte, la fricción superficial tiende a desarrollar modelos de circulación en el interior de las mismas. Estos factores influyen en el valor de los coeficientes de arrastre, y como consecuencia de ello, en las velocidades de sedimentación. Sin embargo, las gotas o burbujas de diámetro menor a aproximadamente 0,5 mm son casi esféricas y tienen coeficientes de rozamiento y velocidades límite muy similares a las de las esferas rígidas, pudiendo utilizarse para el cálculo las ecuaciones desarrolladas previamente.

Coeficiente de Resistencia C para burbujas de aire que ascienden por agua a temperatura ambiente.

7. Sedimentación de partículas muy pequeñas: Si las partículas son muy pequeñas, se produce el movimiento browniano. Este es un movimiento al azar debido a las colisiones de la partícula con las moléculas de fluido que la rodean. Este efecto se hace apreciable para tamaños de partícula del orden de 2 a 3 micrómetros, y predomina sobre la fuerza de gravedad para tamaños de partícula menores a 0,1 micrómetros, evitando la sedimentación de las partículas.

8. Efecto de la pared del recipiente: Cuando el diámetro de la partícula adquiere proporciones apreciables con respecto al diámetro del recipiente en el cual se está sedimentando, las paredes del mismo ejercen un efecto de retraso (disminución de velocidad). La velocidad de sedimentación se calcula multiplicando la velocidad terminal por un factor de corrección Kw .

Vs = Kw. Vt

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Kw depende de la relación β = diámetro de partícula/diámetro del recipiente. El efecto pared aparece a valores de β ≥ 0,01 (partículas grandes).

Cálculo de la Velocidad Terminal según R.H.PERRY.-Se basa también en la utilización conjunto de las curvas experimentales: log CD vs log Re y la ecuación de Newton.Si de la ecuación de Newton despejamos CD y reemplazamos la velocidad terminal (que es la incógnita del problema) por su equivalente en términos del nro. de Re, obtenemos:

CD=43

g Dp3 ( ρP−ρ )μ2

1ℜ2

(1)

Esta es una ecuación con 2 incógnitas: CD y Re; agrupando a la izquierda las incógnitas, obtenemos

CD . ℜ2= 43

g Dp3 ( ρP−ρ )μ2

(2)

El término de la derecha agrupa propiedades conocidas del sistema.Por otra parte, si de la curva experimental log CD vs log Re tomamos los valores de CD que corresponden a distintos valores de Re, podemos construir la tabla:

Re CD CD.ℜ2

(Estos datos se pueden graficar para obtener las curvas que relacionan CD o Re con CDℜ2).-

Cálculo de la Velocidad Terminal.-

1). Con los datos del problema se calcula el valor CDℜ2. (Ec. 2)

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2). De la Tabla 5- 22 del manual Perry, se obtiene el valor de Re correspondiente al producto CD.ℜ2 calculado.3). Se calcula la velocidad terminal a partir de la ecuación del Re.

Cálculo del Diámetro de una Partícula cuando se conoce la Velocidad Terminal.-

De la ecuación de Newton se despeja el CD y se reemplaza el Dp en función del Re, y se obtiene:

CD=43

g ( ρP− ρ ) μρ2 vt3 ℜ (3)

Se agrupan a la izquierda los términos desconocidos:

CD

ℜ =43

gμ ( ρP− ρ )ρ2vt 3 (4)

De la curva experimental log CD vs log Re, para distintos valores de Re, se leen los correspondientes valores de CD y se construye la tabla:

Re CD CD/Re

De aquí se pueden obtener las curvas.

Cálculo de Dp cuando se conoce la Velocidad Terminal de la partícula.-

1). Se calcula CD/Re con los datos del problema. Ec. (4)2). De la tabla 5- 22 del manual Perry, se lee el valor de Re correspondiente.3). Se calcula el Dp a partir del Re.

Bibiografía específica: 1). A. Foust y otros: Principios de Operaciones Unitarias. Ed. CECSA. 1978. 2). McCabe y Smith: Operaciones Básicas de Ingeniería Química. McGraw Hill. 1991. 3). R. H. Perry: Manual del Ingeniero Químico. McGraw Hill. 6° y 7° Edición. 4). Brown: Operaciones Básicas de la Ingeniería Química.- 19555). Ing. Elizabeth Kolb: Apuntes de Cátedra.

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Fig. 5- 80 Perry VI

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