tema4 límits i continuitat

7/31/2019 Tema4 Lmits i continuitat

1/17

4. Lmits i continutat

4.1 Successions

Definicio 4.1.1 Una successio de nombres reals es una funcio tal que el seu

domini es el conjunt dels nombres naturals,N. Es a dir, es una funci o : NR, encara que usualment es denota per

{a0, a1, a2, a3, . . . },

o tambe per{an}nN, o b e {an}n=0.

Exemple 4.1.2 Una manera de definir una successi o es especificar quin es el

seu terme general. Per exemple,

n = n , n = (1)n , n = 1n

amb n > 0.

Definicio 4.1.3 Una successio {an} es diu que es convergent a un nombre real, i ho escriurem com {an} o be com

limn

an = ,

si per a tot > 0 existeix un nombre natural n0 tal que, si n > n0, aleshores

|an | < .

Les successions per a les quals el seu lmit es + o be sanomenendivergents.

Es ben facil comprovar que les successions constants son convergents i

que el lmit es la mateixa constant.

83


2/17

Exemples. Les dues primeres successions de lexemple anterior no son conver-

gents. La tercera convergeix a 0. Vegem-ho: La primera successio, definida per

n = n, no es convergent. En efecte, suposem que fora convergent a un nombre

real . Agafem = 12 , per la definicio de convergencia, existeix un n0 tal queper a tot n > n0, aleshores

|an | = |n | < 12

.

Aixo vol dir que per a tot n > n0, n ] 12 , + 12 [ i aixo no es cert.La segona successio tampoc es convergent. Es un exemple de les succes-

sions anomenades oscillants. Demostrarem ara que qualsevol nombre real nopot ser lmit de la successio. Suposem que es un nombre real distint de 1 i de

1. Siga = min{| 1|, | + 1|}. Es facil comprovar que per a aquest tenim

que1,1 / ] , + [.

Per tant, per a tot n N, tenim que |an | .La tercera successio s que es convergent i el lmit es 0. Demostrem-ho.

Siga > 0, aleshores, 1

> 0 i sempre podem agafar un nombre natural n0 que

siga major que 1

. Es a dir, siga n0 tal que1

< n0. Siga ara n > n0, aleshores

|an | = | 1n 0| = 1

ngrau(q(n)), aleshores

limn

p(n)

q(n)= .

Si el grau del numerador es menor que el del denominador, grau(p(n)) an.

Demostrem ara que la successio esta fitada superiorment.

Si en lexpressio de an calculada ades substitum els factors (1k

n) per 1, obtenim

que

an < 1 + 1 +1

2!+

1

3!+ +

1

n!.

Noteu tambe que per a qualsevol k N, 2k < k!, per tant

an < 1 + 1 +1

2+ (

1

2)2 + + (

1

2)n = 3 (

1

2)n1 < 3.

Es a dir, 3 es una fita superior de la successio.

En conclusio, la successio es creixent i esta fitada superiorment, per tant, es con-

vergent.

Hi ha moltes successions que son de la forma {(an)bn}n=0 i per a lesquals, aplicant-hi les propietats de les successions donades en la Propietat 4.1.4

sobte una indeterminacio del tipus 1. El lmit dalgunes daquestes succes-

sions es pot determinant reduint-les a expressions relacionades amb el numero

e. La propietat seguent ens mostra com es pot aconseguir la reduccio.

Propietat 4.3.2 Siga {an}n=0 una successio que divergeix a, llavors, la suc-cessio

{(1 + 1an

)an}n=0

es convergent al n umero e.

Exemples.

87


6/17

La successio {(1 + 1n2

)n}n=1 es convergent.

limn1 +

1

n2

n

= limn1 +

1

n2

n2

1

n2n

=

limn

1 +

1

n2

n2limn 1n= e0 = 1.

La successio {(1+ 1n2

)1n }n=1 es convergent, pero no es del tipus numero e

ja que el lmit de la successio de lexponent no es infinit, limn1n

= 0.

Per tant, el seu lmit es

limn

1 +

1

n2

1n

=

limn

1 +

1

n2

limn 1n= 10 = 1.

La successio {(11

n)

n

}n=1 es convergent.limn

1 1

n

n= lim

n

1 +

1n

n= lim

n

1 +

1

nn1

= e1 =1

e.

La successio {(n2+2n25 )

3n2+2}n=0 es convergent.

limn

n2 + 2

n2 53n2+2

= limn

n2 5 + (5 + 2)

n2 53n2+2

= limn

1 + 7

n2 53n2+2

= limn

1 +1

n257

n257

7

n25(3n2+2)

= elimn

21n2+14

n25 = e21.

4.4 Funcions elementals

Ara estudiarem algunes propietats de les funcions mes habituals i que uti-

litzarem durant la resta del curs.

88


7/17

Lmits i continutat

4.4.1 Funcions polinomiques

Definicio 4.4.1 Una funcio es diu que es polinomica de grau n si existeixen

nombre reals a0

, a1

, . . . , an

, amb an

= 0, tals que

f(x) = anxn + an1x

n1 + + a2x2 + a1x + a0,

per a totx R.

Noteu que el domini duna funcio polinomica es sempre tot R. Les fun-

cions polinomiques de grau zero reben el nom de funcions constants, f(x) = a0.

Nota. Les funcions polinomiques o polinomis son molt habituals i importants

en matematiques. Per exemple, hi ha un resultat molt important anomenat el

Teorema de Weierstrass de 1885 que diu que es possible aproximar uniforme-

ment funcions cont nues mitjancant polinomis. Es a dir, sempre podem trobar unpolinomi que saproxime tant com vullguem a una funcio contnua. La definicio

de funcio contnua es troba mes endavant, Definicio 4.5.3.

Una funcio f es diu racional si existeixen dues funcions polinomiques p, q

tals que

f(x) =p(x)

q(x)

per a tot x R. El domini duna funcio racional es el conjunt dels nombres realsmenys els punts on sanulla el denominador, R {x R tals que q(x) = 0}.

4.4.2 Funcio exponencial

Definicio 4.4.2 Siga a R, a > 0. La funcio exponencial amb base a es lafuncio f : R R definida perf(x) = ax.

El domini duna funcio exponencial es R i es una funcio injectiva. Al-

gunes de les propietats les teniu a continuacio.

Propietats 4.4.3 Siga f(x) = ax, amb a R, a > 0, aleshores

i) a0 = 1 ,

ii) a

x+y

= a

x

ay

,iii) axy = ax ay = axay

,

iv) (ax)k = akx .

89


8/17

4.4.3 Funcio logar tmica

Donat que la funcio exponencial es una funcio injectiva es pot definir la

seua inversa. Aquesta inversa es la funcio logartmica i es denota per g(x) =loga x, es a dir, loga x es lexponent al qual hi ha que elevar la base a per a

obtenir x,

loga x = b ab = x.

El domini de la funcio es ]0, +[ i el conjunt imatge es la recta real (els valorscompresos entre ]0, 1] tenen com a imatge els reals negatius i els valors entre

[1, +[ els reals positius).Si la base dels logaritmes es lanomenat numero e = 2, 71828 . . . , aleshores

la funcio logaritme es denota per ln x i sanomena logaritme neperia.

Algunes propietats importants de la funcio logartmica, i que nomes es-

criurem per a la funcio ln x, son les seguents

Propietats 4.4.4 Siga f(x) = ln x, aleshores

i) ln 1 = 0, (e0 = 1) ,

ii) ln x y = ln x + ln y ,iii) ln x

y= ln x ln y ,

iv) ln xk = k ln x .

Aquestes propietats es poden deduir de les de la funcio exponencial i del fet que

aquesta siga injectiva. En particular,

elnxy = x y = elnx eln y = elnx+ln y

elnxy =

x

y=

elnx

eln y= elnxln y

elnxk

= xk = (elnx)k = ek lnx.

Curiositat. Les escales de mesura de la intensitat dun terratremol mes

usades son de tipus logartmic. En particular, lescala de Richter utilitza una

escala logartmica de base 10, i per tant, un augment dun grau en aquesta escala

no es correspon amb un augment lineal de la magnitud dun terratremol, sinoexponencial. Per exemple, un terratremol de grau sis es deu vegades menys

intens que un de grau set, i cent vegades menys intens que un de grau vuit.

90


9/17

Lmits i continutat

4.4.4 Funcions trigonometriques

Les funcions trigonometriques associen a un angle uns determinats valors.

Un angle ve determinat per la seua mesura en radians (la longitud de larc de

la circumferencia unitat compres entre dues semirectes). El sentit positiu dels

angles es el que va de leix x a leix y. Aix, si langle es positiu segueix aquest

sentit i si es negatiu el sentit es el contrari.

Considerem la circumferencia unitat i un angle mesurat en radians de x

unitats. Langle x ens determina un punt en la cirumferencia unitat de coorde-

nades (a, b) aleshores definim les funcions

sinus com sin(x) = a, cosinus com cos(x) = b.

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

cos

sin tan

Una relacio fonamental es la identitat

sin2(x) + cos2(x) = 1.

Aquesta relacio es consequencia de la definicio ja que el punt (sin x, cos x) es

un punt de la circumferencia unitat.

Tant el sinus com el cosinus (i les funcions definides a partir delles) s on

funcions periodiques, es a dir, tornen a prendre els mateixos valors en diferents

intervals. Per tant, cap delles es injectiva en tota la recta real. A continuacio

podem vore les grafiques de la funcio sinus

-6 -4 -2 2 4 6

-1-0.5

0.5

1

sin(x)

91


10/17

i la funcio cosinus

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

cos(x)

Les altres funcions trigonometriques es defineixen a partir daquestes. Les

funcions tangent i secant, definides per a x = k + 2 , k Z,

tan(x) =sin(x)

cos(x), sec(x) =

1

cos(x).

Les funcions cotangent i cosecant, definides per a x = k, k Z,

cot(x) =cos(x)

sin(x), csc(x) =

1

sin(x).

Les seues funcions inverses, amb les precaucions sobre els dominis de

definicio, sanomenen arc sinus, arc cosinus i arc tangent i es denoten per

arcsin, arccos i arctan, respectivament. Les dues primeres estan definides en

linterval [1, 1] i lultima en R. Les altres inverses no son tan importants.

4.5 Lmits de funcions

El concepte intutiu de lmit duna funcio es pot expressar com: Quan

la variable x saproxima (tendeix) a un valor x0, el valor de la funcio f(x)

saproxima (tendeix) a . Amb un exemple entendrem millor aquest concepte.

Exemple 4.5.1 La funcio

f(x) =

x2 x [2, 1[,32

x = 1,

x2 + 2x + 1 x ]1, 3].

te com a grafica

92


11/17

Lmits i continutat

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

Aleshores, si sobserva la seua grafica sembla clar que el lmit de la funcio

quan x saproxima a x0 = 0 es igual a = 0 i que quan ens aproximem a x0 = 2

el lmit de la funcio es = 1. Pero que passa si ens aproximem a x0 = 1? Aixo

ho vorem de seguida.

Els nombres que estan prop dun punt real x0 els podem dividir entre els

que estan a la seua esquerra i els que estan a la seua dreta. Per tant, podrem

calcular:

el lmit de la funcio en x0 per lesquerra (quan ens aproximem a x0 ambvalors que estan a la seua esquerra), i ho denotarem per

limxx

0

f(x).

el lmit de la funcio en x0 per la dreta (quan ens aproximem a x0 ambvalors que estan a la seua dreta), i ho denotarem per

limxx+

0

f(x).

Exemple. Per a la funcio de lexemple anterior (Exemple 4.5.1) es te que

limx1

= 1 , limx1+

f(x) = 2.

Per tant, segons per on ens aproximem al valor de x0 = 1 obtenim un resultat

diferent. En aquests casos direm que el lmit de la funcio no existeix quan x

tendeix a 1.

93


12/17

Definicio 4.5.2 Siga f : D R R una funcio i siga x0 D. Direm que ellmit de la funcio f quan x tendeix a x0 es un nombre real si per a tot > 0

existeix un > 0 tal que si 0 < |x x0| < , aleshores |f(x) | < . Enaquest cas escriurem

limxx0

f(x) = .

Intutivament aquesta definicio vol expressar la seguent nocio: ens po-

dem apropar a tant com siga necessari amb valors de la imatge de la funci o f

proxims a x0 i vice-versa, totes les imatges de punts proxims a x0 tambe estan

proximes a .

Nota. Encara que ja esta inclos en la definicio, direm que el lmit de la

funcio en x0 val si els dos lmits laterals son iguals a .

El concepte de lmit apareix tambe en la definicio de continutat duna

funcio.

Definicio 4.5.3 Una funcio f : D R R es diu que es contnua en unpunt x0 D si

limxx0

f(x) = f(x0).

Es diu que la funcio f es cont nua en D si ho es en tots els punts de D.

Per la definicio de lmit duna funcio quan x tendeix a x0, tenim que una

funcio es contnua en un punt x0 del seu domini si per a tot > 0, existeix > 0

tal que si

|x

x0|

< , aleshores|f(x)

f(x0)

|< .

Exemple. En lexemple 4.5.1 la funcio es contnua en x0 = 0 i en x0 = 2 pero

no es contnua en x0 = 1 ja que no existeix el lmit de la funcio en x0 = 1.

Idea geometrica. Sacostuma a dir que una funcio es contnua si es pot dibuixar(

o recorrer) la seua grafica sense alcar el llapis del paper en cap moment.

Exemples. Important! Les funcions polinomiques son contnues i per tant,

tambe les funcions constants. Les funcions racionals tambe (alla on estiguen

definides). Les funcions exponencials, les logartmiques i les trigonometriques

sinus i cosinus tambe. La tangent tambe ho es en els punts on esta definida. Es

a dir, totes les funcions elementals son contnues.

Nota. Com a consequencia de la definicio de continutat quan tinguem que

calcular el lmit duna funcio contnua quan x tendeix a x0 aquest lmit es igual

94


13/17

Lmits i continutat

al valor de la funcio en el punt x0, es a dir,

limxx0

f(x) = f(x0).

Un altre exemple es el seguent: Siga f : R R tal que

f(x) =

1x

x = 0,1 x = 0.

Aquesta es una funcio definida en tot R pero que no es contnua ja que no ho

es en x0 = 0. Vegem-ho. Siga = 1 i siga > 0 qualsevol. Agafem x < 0

tal que x < . Per tant, amb aquest x tenim que |x 0| = x < perof(x) = 1

x< 0 i per tant |f(x) 2| = 2 1

x> 2 > .

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

4

6

4.6 Criteri de lentrepa per a funcions

Aquest es un primer metode per tal de calcular alguns lmits mes compli-

cats i que es pot utilitzar en moltes ocasions.

Teorema 4.6.1 Siguen f , g , h : D R R tres funcions tals que per a totx D es compleix la seg uent desigualtat

f(x) g(x) h(x).

Aleshores, si

limxx0 f(x) = y = limxx0 h(x),

llavors tambe es compleix que limxx0 g(x) = y.

95


14/17

Exemple 4.6.2 Calculem el lmit de la funcio f(x) = xsinx quan x tendeix a

zero i vejam que

limx

0

x

sin x= 1.

Nomes cal recordar que per la mateixa definicio de les funcions trigonometriques,

tenim que, per a valors de x entre 0 i 2 , es compleix que

sin x x tan x,

ja que x es la mesura en radians de la longitud de larc de circumferencia entre

els punts (1, 0) i el punt (sin x, cos x).

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

cos

sin tan

Per tant, si x > 0, podem dividir lexpressio anterior per sin x i obtenim

1 xsin x

tan xsin x

=1

cos x.

Podem aplicar ara el criteri de lentrepa, ja que el lmit de la funcio constant

f(x) = 1 es el mateix valor, i el lmit de h(x) = 1cos x quan x tendeix a 0 es

tambe 1. Quan x < 0 podem fer el mateix pero cal anar amb compte amb els

signes i les desigualtats.

96


15/17

Lmits i continutat

4.7 Exercicis

1 Calcula el domini de les seguents funcions:

f(x) = 1| x 2 | , g(x) =1

2 x +5, p(x) =2 x, q(x) = 4+10xx2.

2 Donades les funcions f(x) =

x + 1x

i g(x) =

x 1x

.

Calcula f + g, f g, f g i fg

.

3 Laltura dun cert cilindre es igual al diametre de la seua base. Expressa el

volum, larea lateral i larea total del cilindre com a funcio de la seua altura.

4 Prova que si

f(x) = ln

1 x1 + x

,

aleshores

f(x) + f(y) = f(x + y

1 + xy).

5 Prova que la grafica de x2 + y2 = 100 talla la grafica de y = x + 14 en els

punts (8, 6) i (6, 8).

6 Determina el polinomi de grau 3 tal que per als valors de la variable 1, 2, 3 i

4 pren els valors 2, 13, 38 i 83 respectivament.

7 Determina el polinomi de grau menor o igual que 8 que per a x = 0, a,a, 2a,2asanulla, per a x = a2 ,3a2 pren el valor 1 i per a x = a2 , 3a2 pren el valor

1.

8 Siga g(x) = 1x1+x . Troba una relacio entre g(x) i g(x). Calcula la funcioinversa de g.

9 La funcio f(x) = x2+x6x24 es contnua en R {2, 2}. Defineix f(2) per a

que f siga contnua en x = 2. Podries fer el mateix per a x = 2?

10 Calcula els seguents lmits:

limx2

4 x22 x2 , limx1

x3 1x2 1 , limx1

x

x2 x .

11 Calcula els seguents lmits:

limx0

x(1 + x)

2x2, lim

x0x

|x| , limx1x2 1

x2 2x + 1 , limx0sin x

x(cos x)13

.

97


16/17

12 Prova que limx0sinxx

= 1.

13 Calcula els seguents lmits

limx1

x2 5x + 6x2 4 , limx2

x2 5x + 6x2 4 , limx2

x2 5x + 6x2 4 .

La grafica daquesta funcio es

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

14 Estudia la continutat de les seguents funcions:

a) f(x) =

x2 + 4 x < 2,

x3 x 2 b) g(x) =x2 x < 0,1x x 0

15 Estudia la continutat de les seguents funcions:

a) f(x) =

x2 + 5 x < 2,10 x = 2,

1 + x3 x > 2

b) g(x) =

1 x x < 1,1 x = 1,

x2 1 x > 1

16 Calcula els valors de a i b per tal que la funcio f siga contnua en x = 1 i

discontnua en x = 2,

f(x) =

ax b x 1,3x 1 < x < 2,

bx2 a 2 x.

17 Determina si les seguents successions son fitades i creixents/decreixents

an =n 1

n, bn =

n2 + 1

3n + 2, cn = sin(

n + 1) , dn =

(2)nn10

.

98


17/17

Lmits i continutat


a) limn

n + 1

n

2, b) lim

n

n 1n2 + 2

, c) limn

n5 + n2

n2

1

, d) limn

2n4 + n2

3n4

n3

.


a) limn

n + 1

n

n2

, b) limn

n 1n + 2

2n, c) lim

n

n2 + n

n2 1 3n

2

.

99

tema4 límits i continuitat

Documents