TEMA2. SUCESIONES DE NMEROSREALES Y COMPLEJOS

2.1 SUCESIONES DE NUMEROSREALES2.1.1 Definicin de sucesin denmeros realesDefinicin: Una sucesin de nmerosreales es una aplicacin del conjunto delos nmeros naturales en los reales:

x : n xn

- Una sucesin asigna a cada nmeronatural un nmero real determinado demanera nica.- A cada elemento de la sucesin lodenotamos por xn xn y lo llamaremostrmino.- La sucesin se denota por xn n simplemente xn - Al elemento xn se le llama trminon-simo de la sucesin.

Definicin: Una sucesin en formarecursiva o inductiva vendr dadacuando demos el valor de x1 y unafrmula para obtener xn1 a partir de xn.

Operaciones con sucesionesDefinicin: Si xn y yn son dossucesiones de nmeros reales , sedefine:Suma: xn yn xn ynProducto: xn yn xn ynCociente: Si zn es una sucesin conzn 0 n , entonces xnzn

xnzn

2.1.2 Sucesiones convergentesDefinicin: Diremos que el nmero real les el lmite de la sucesin xn yescribimos como

nlim xn l

si 0, n0 tal que n n0 |xn l|

Definicin: Se dice que la sucesin xnes convergente si existe l talque

nlim xn l .

Unicidad del lmiteTeorema: Una sucesin xn si tienelmite, este es nico, es decir, si

nlim xn a y

nlim xn b entonces a b.

Propiedades de las sucesionesconvergentesTeorema: Sean xn y yn dossucesiones de nmeros reales queconvergen a x e y respectivamente y sea . Entonces :1.

nlim xn yn

nlim xn

nlim yn x y

2.nlim xnyn

nlim xn

nlim yn xy

3.nlim xn

n lim xn x

4.nlim xnyn n

lim xn

nlim yn

xy si nlim yn 0.

Nota: Igualmente para sucesionesconvergentes se tiene:

a)nlim ln xn ln

nlim xn lnx

b)nlim axn a nlim xn ax con a 0

c)nlim xnyn

nlim xn

nlim yn

xy

Desigualdades entre sucesionesconvergentesTeorema: Sea xn una sucesinconvergente de nmeros reales , conxn 0 n . Entonces:

nlim xn 0.

Teorema: Sea xn y yn dos sucesionesconvergentes con xn yn, n .Entonces :

nlim xn

nlim yn.

Teorema: Sean xn, yn y znsucesiones de nmeros reales tales quexn yn zn, n y quenlim xn

nlim zn.Entonces :

nlim xn

nlim yn

nlim zn.

Teorema: Sea xn una sucesin denmeros reales estrictamente positivos,tales que L

nlim xn1xn . Si L 1,

entonces xn converge ynlim xn 0.

2.1.3 Sucesiones acotadasDefinicin: Una sucesin xn es acotadasi M tal que |xn | M,n .Por tanto una sucesin xn est acotadasi y slo si el conjunto xn : n desus trminos, est acotado en .Teorema: Toda sucesin de nmerosreales convergente, est acotada.

2.1.4 Sucesiones montonasDefinicin: Sea xn una sucesin denmeros reales . Diremos que xn esmontona creciente si :x1 x2 x3 . . . . . . . .xn xn1Diremos que es montona decrecientesi:x1 x2 x3 . . . . . . . .xn xn1.Teorema de la convergencia montona:Una sucesin de nmeros realesmontona es convergente es acotada.Adems:

a) Si xn es creciente y acotada ,entonces

nlim xn supxn.

b) Si yn es decreciente y acotada,entonces

nlim yn infyn.

2.1.5 SubsucesionesDefinicin: Sea xn una sucesin y sear1 r2 . . . . . . . rn . . . . una sucesinestrictamente creciente de nmerosnaturales. Entonces a la sucesin xn

xr1 ,xr2 , . . . ,xrn , . . . . se le llamasubsucesin de xn.Teorema: Si un sucesin xn converge ax, entonces cualquier subsucesin suyatambin converge a x.

2.1.6 Sucesiones divergentes

Definicin: Diremos que la sucesin xntiene lmite y escribimos como

nlim xn

Si M, n0 tal que n n0 xn M.Diremos que la sucesin xn tiene lmite- y escribimos como

nlim xn

Si M, n0 tal que n n0 xn M.Definicin: Las sucesiones que tienden a

, se llaman divergentes.

Propiedades de las sucesionesdivergentes

Teorema:Una sucesin de nmerosreales monptona es divergente es noacotada.

a) Si xn es creciente y no acotadanlim xn

b) Si xn es decreciente y noacotada

nlim xn

Teorema: Sean xn y yn dossucesiones de nmeros reales conxn yn n .

a) Sinlim xn

nlim yn

b) Sinlim yn

nlim xn

2.1.7 Clculo de lmitesIndeterminacionesCuando se opera con lmites infinitos se

pueden producir indeterminaciones (nose sabe el valor del lmite) .Estas puedenresolverse utilizando operacionesalgebraicas, infinitsimos o el Criterio deStolz.Recordemos los distintos tipos deindeterminaciones.a) tipo suma:Si an y bn , an bn es unaindeterminacin de tipo b) tipo producto o cociente:

b1 Producto: Si an y bn ,anbn da lugar a una indeterminacin0.

b2 Cociente: Si an 0 y bn 0, o sianbn an y bn anbn da lugar aindeterminaciones 00 y

,respectivamente.c) tipo potencial-exponencial

c1 Si an 1 y bn , anbn da lugar a una indeterminacin 1.Nota: El nmero e es el lmite de unasucesin de este tipo; de hecho, es iguala e donde

nlim bnan 1

c2 Si an 0 y bn 0, anbn dalugar a la indeterminacion 00

c3 Si an y bn 0, anbn dalugar a la indeterminacion 0Nota: No son indeterminaciones0 0,0 , , 0

InfinitsimosDefinicin: Se dice que xn y yn sonequivalentes si

nlim xnyn 1. Lo

escribiremos como xn yn- Si

nlim xn 0, a la sucesin xn se le

dice que es un infinitsimo.

- Sinlim xn , a la sucesin xn se le

dice que es un infinito.

Proposicin: Sean xn, yn y znsucesiones de nmeros reales tales quexn yn, entonces:

i Sinlim xnzn existe

nlim ynzn y

nlim xnzn

nlim ynzn

ii Sinlim znxn existe nlim

znyn existe y

nlim znxn nlim

znyn

Tabla de infinitsimos equivalentes

Sea an un infinitsimo, entonces severifica:1) sinan tanan log1 an an2) 1 cosan an

2

2

3) an sinan an364) tanan an an335) can 1 logcan6) Si limbn 1 logbn bn 17 Si a 0 n a 1 1n loga

Criterio de StolzCriterio de Stolz: Sean xn y yn dossucesiones. Si

nlim xn xn1yn yn1 existe

nnlim xn xn1yn yn1 lim

xnyn siempre que :

i yn sea estrictamente creciente yii

nlim yn .

2.2 Sucesiones de nmeros complejos

Definicin: Se llama sucesin denmeros complejos a una aplicacin , que denotaremos por znn o

simplemente zn, con zn .

Definicin: Diremos que una sucesinzn de nmeros complejos onverge a l si 0,N0 / n N0 |zn l| .

Proposicin: Sea zn xn yni y l a bilas expresiones en forma binmica de zny l respectivamente, entonces se tieneque

zn l xn a e yn b