tema vi rotación...recordatorio de las variables cinemáticas del movimiento circular de una masa...

10/12/2013 Tema VI. Rotación 1

Tema VI Rotación

Hemos tratado el movimiento de cuerpos fijándonos en cómo se mueve su CM.

Ahora estudiaremos rotación de sólidos rígidos (objetos extensos) alrededor de un eje fijo en un sistema inercial.

La rotación se encuentra en todas las escalas del Universo, desde los electrones en los átomos hasta galaxias enteras.

Necesitamos describir el movimiento de un cuerpo en rotación.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.

Contenido

Recordatorio de las variables cinemáticas del movimiento circular de una masa puntual.

Momento de inercia: obtención. Teorema de Steiner. Momento de una fuerza (torque) Momento angular. Conservación Ecuación dinámica de rotación Cuerpos rodantes. Ejemplos de aplicación.


Ejemplos de mov. rotacionales


Los púlsares son estrellas de neutrones que giran sobre sí mismas a una enorme velocidad y, a menudo, emitiendo ondas de radio y hasta rayos gamma al espacio. Las estrellas de neutrones son el resultado de un colosal aplastamiento de la materia por acción de la gravedad, y alcanzan densidades de más de un billón de veces la del plomo. Se conocen hoy más de 600 pulsares con períodos de rotación diversos que van desde el milisegundo a unos pocos segundos con un período promedio de rotación de 0,65 segundos

La cestilla de una noria

Fotografía, de varias horas de exposición, del cielo nocturno

Púlsar


Rotación de objetos extensos no sólidos

Galaxia Andrómeda Huracán


Recordatorio de la cinemática del movimiento circular

Magnitudes físicas para describir el movimiento circular • Angular displacement

• Angular velocity

• Angular acceleration

ω =dθdt

α =dωdt

=d 2θdt 2

θ

10/12/2013 6

Movimiento lineal y circular

Relaciones entre las magnitudes cinemáticas lineales (s, v, a) y angulares (θ,ω,α):

• Displacement, velocity, and acceleration • Energía cinética para el mov. de traslación (masa puntual) • Energía cinética para el mov. circular (masa puntual)

s = rθv = rωa = rα

K = 12 mv2

K = 12 mv2 = 1

2 m(rω )2 = 12 mr2ω 2

Tema VI. Rotación

Cálculo de ω y α



Sistema de varias partículas

La energía cinética de varias masas puntuales i=1…n

Si asumimos que estas partículas mantienen fijas sus mutuas distancias (sólido rígido), todas las partículas tienen igual velocidad angular y podemos escribir

Donde I es el momento de inercia dado por Mov. traslación CM y mov. rotación (eje fijo)

K = Kii=1

n

∑ = 12 mivi

2

i=1

n

∑ = 12 mi

i=1

n

∑ ri2ω i

2

K = 12 mi

i=1

n

∑ ri2ω 2 = 1

2 mii=1

n

∑ ri2

ω 2 = 1

2 Iω 2

I = mii=1

n

∑ ri2

Compare Klinear =12

mv2 ⇔ Kcircular =12

Iω 2


Momento de inercia de objetos continuos

Consideramos los objetos extensos como una colección de pequeños cubos de idéntico tamaño de volumen dV y densidad ρ

2 ( )V

I r r dVρ⊥= ∫

( )V

M r dVρ= ∫

Compare to


Algunos momentos de inercia

Cilindro macizo rotando respecto de su eje de simetría (también para un disco macizo)

Cilindro hueco rotando respecto de su eje de simetría (también para una rueda)

Cilindro macizo rotando respecto de un eje de simetría perpendicular

for R << h : I for thin rodrotating about center

I = 112

Mh2


Cálculo de I para un cilindro hueco (1)

Obtención del momento de inercia de un cilindro hueco, uniforme, girando alrededor de su eje de simetría (que pasa por el CM) • Densidad constante ρ • Radio exteriorR1 • Radio interior R2 • Altura h

• We will see that h cancels out • A wheel, a hollow cylinder, or a hollow disk will have the same form

for their moment of inertia


Cálculo de I para un cilindro hueco(2)

Elegimos coordenadas cilíndricas: r, φ, h (eje z) El elemento diferencial de volumen viene dado por

Calculamos la masa del cilindro hueco:

dV = rdrdφdh


Cálculo de I para un cilindro hueco(3) Obtenemos (dm= ρdV)

ρ=cte= Masa/Volumen:

M = ρ dVV∫ = ρ dh

−h /2

h /2

∫

dφ

0

2π

∫

r dr

R2

R1

∫

= ρh dφ0

2π

∫

r dr

R2

R1

∫

= ρh2π r drR2

R1

∫

= ρh2π 12 R1

2 − 12 R2

2( )= π R1

2 − R22( )hρ

M = π R12 − R2

2( )hρ ⇔ ρ =M

π R12 − R2

2( )h


Cálculo de I para un cilindro hueco(4)

Calculamos I

Insertamos la expresión de la densidad,

Finalmente ,

(anillo, tubo…)

I = ρ r2 dVV∫ = ρ dh

−h /2

h /2

∫

dφ

0

2π

∫

r3 dr

R2

R1

∫ = ρh dφ0

2π

∫

r3 dr

R2

R1

∫

I = ρh2π r3 drR2

R1

∫ = ρh2π 14 R1

4 − 14 R2

4( )

I = 12 ρhπ R1

4 − R24( )= M

π R12 − R2

2( )h12 hπ R1

4 − R24( )

( )4 4 2 2 2 2

2 211 22

1 22

(since: ( )( ))

Note that for ,

a b a b a b

I M

I

R R

R R R MR

− = + −

= +

≈ = =


Momento de inercia para otras geometrías

Prisma rectangular

Rotating around axis though the center

Esfera sólida

Rotating around axis through the center

Capa esférica delgada

Rotating around axis through the center

I = 23 MR2


Ejemplo: Energía cinética rotacional de la Tierra

Question: ¿Cuál es la energía cinética rotacional de la Tierra?

Answer:

( )( ) ( )

2

2

24

6

5

2 224 6 5

12

Take the Earth as a sphere with constant density255.98 10 kg

6.37 10 m2 2 1hour 7.29 10 Hz

24 hours 3600 s1 2 5.98 10 kg 6.37 10 m 7.29 10 Hz2 5

2.6

K I

I MR

MR

T

K

K

ω

π πω −

−

=

=

= ⋅

= ⋅

= = = ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ 29 3310 J (compare with 2.6 10 J translational K)⋅


Teorema de los ejes paralelos [Steiner] (1)

Ahora que se ha obtenido el momento de inercia de un cuerpo en rotación alrededor de un eje z que pasa por el CM, vamos a obtener el momento de inercia respecto de otro eje de rotación z’ paralelo al eje z y que no pasa por el CM.

Elegimos los ejes de coordenadas como en la figura: el origen en el CM, siendo el eje z, el eje respecto del cual conocemos Icm .


Teorema de los ejes paralelos(2)

Relación entre viejas y nuevas coordenadas

Distancia perpendicular en las nuevas coordenadas

Momento de inercia alrededor de z’

x ' = x − dx; y ' = y − dy; z ' = z

r '⊥2 = x '2+ y '2 = (x − dx )2 + (y − dy )2 =

= x2 − 2xdx + dx2 + y2 − 2ydy + dy

2

= (x2 + y2 ) + (dx2 + dy

2 ) − 2xdx − 2ydy

= r⊥2 + d 2 − 2xdx − 2ydy

IP= r '⊥2 ρdV

V∫

= r⊥2ρdV

V∫ + d 2 ρdV

V∫ − 2dx xρdV

V∫ − 2dy yρdV

V∫

CM


Teorema de los ejes paralelos(3)

Evaluamos las integrales individualmente

La 1ª es I alrededor de z: Icm La 2ª es d2M La 3ª y la 4ª: coordenadas xcm e ycm

del c.m. => por construcción el CM está en el origen y esas integrales son 0. Resultado final:

2 2 2 2x yV V V V

I r dV d dV d x dV d y dVρ ρ ρ ρ⊥= + − −∫ ∫ ∫ ∫

2cmI I Md= +

CM


Producto vectorial (1)

Multiplicación de vectores hasta ahora: • Un vector por un escalar es un vector:

• Un vector producto escalar por otro vector es un escalar:

• Question: Se pueden multiplicar dos vectores de manera que resulte otro vector?

• Answer: Sí, via el producto vectorial.

( , , ) ( , , )x y z x y zE sA s A A A sA sA sA= = =

( , , ) ( , , )x y z x y z x x y y z zA B A A A B B B A B A B A B• = • = + +


Producto vectorial (2) Dos vectores y Definición de producto vectorial:

Dirección: regla de la mano derecha Magnitud Anticommuta:

A = (Ax , Ay , Az )

B = (Bx , By , Bz )

x y z z y

y z x x z

z x y y x

C A BC A B A BC A B A BC A B A B

= ×= −

= −

= −

sinC A B θ=

B A A B× = − ×


Momento de una fuerza (Torque)

Definición (respecto de un punto O): τ = r x F • Magnitud

• Comunica aceleración angular • Par de fuerzas

τ = rF sinθ


Dirección del Torque

Atornillar un tornillo en una tabla: • Giro horario=> momento hacia adentro • Giro antihorario=> momento hacia afuera

Aplicación


La llave de tuercas mide 0.80 m. La dirección de la fuerza aplicada de 300 N forma un ángulo de 71º con el mango. ¿Cuál es el momento de torsión aplicado? El origen es el punto de apoyo.

τ = 0.80 x 300 x sen(180º-71º) N.m τ ≈ 227 N.m La dirección es horizontal (la de la tubería)

y el sentido es horario(a la izquierda en la foto).


Momento Angular

Momento lineal de una masa puntual m Magnitud equivalente en el movimiento de rotación:

El momento angular • Usamos el símbolo L para nombrar el momento angular Momento angular de una masa puntual

Magnitud del vector momento angular

p mv=

L r p= ×

L = rpsinθ


Dirección del momento angular

Regla de la mano derecha

( )

El momento angular es siempre perpendicular al momento lineal y al vector de posición.

(El origen se toma sobre el eje de giro)


Derivada temporal de L

Dado que

Y recordando la definición de

Obtenemos

( ) ( )( )d d d dL r p r p r p v p r Fdt dt dt dt

= × = × + × = × + ×

( )0 ||v p v p× =

r F τ× =

d Ldt

τ=

reminds you of dp Fdt

=


L para un sistema de partículas

Generalizamos los resultados para una partícula a un sistema de n partículas

Tomamos la derivada temporal 1 1 1

n n n

i i i i i ii i i

L L r p m r v= = =

= = × = ×∑ ∑ ∑

1

1 1 1( )

n

i ii

n n n

i i i i i neti i i

d dL r pdt dt

d r p r Fdt

τ τ

=

= = =

= ×

= × = × = =

∑

∑ ∑ ∑


L para sólidos rígidos (1)

Partiendo de la definición de momento angular para un conjunto de partículas y tomando el módulo

Sólido rígido: todas las partículas giran con la misma velocidad angular alrededor del eje de rotación (eje z): ωi = ω para todo i

Relación entre las velocidades lineal y angular: vector: vi = (ω x ri) magnitud:

L Iω=

1 1

n n

i i i i i ii i

L L m r v m r v= =

= = × = ×∑ ∑

vi =ωri⊥

|ri x vi | = | ri x (ω x ri) | = ri vi = ri (ω ri senθi) Liz = mi |ri x vi |cos(90º- θi) =mi ri (ω ri senθi) senθi = mi ω (ri sen θi )2 = (mi ri┴

2) ω Lz=Σ Liz = Σ (mi ri┴

2) ω =Iω Lz=Iω (ω es un vector en el eje z)


vi =ωri⊥

Si el eje z de rotación es eje de simetría del sistema, entonces L = Lz

(ri┴ es Ri en la figura) =ωri senθi


2

1 1 1 1( )

n n n n

i i i i i i i i i i ii i i i

L m r v m r v m r r m rω ω⊥ ⊥ ⊥ ⊥= = = =

= × = = =∑ ∑ ∑ ∑

= I ⇒ L = Iω q.e.d.


L Iω=


Resumen: Momento angular

Momento angular de una partícula

Magnitud del momento angular

Momento angular y momento de una fuerza:

Sólidos rígidos:

L r p= ×

L = rpsinθ

d Ldt

τ=

L Iω=


Ecuación de la dinámica de rotación

Utilizando y (sólido rígido)

Analogía de este resultado (ec. dinámica de rotación)

con la segunda ley de Newton (ec. dinámica de traslación)

( )d d dL I I Idt dt dt

ω ω α τ= = = =

Iτ α=

F ma=

d Ldt

τ= L Iω=


Ejemplo: Momento de una fuerza, τ (1)

Un bloque de 1,50 kg está suspendido por un cuerda sin masa que se enrolla alrededor de una polea como se muestra en la figura. La polea puede ser considerada como un disco sólido con la masa de 0,750 kg y el radio de 0,250 m que gira alrededor de su centro. La masa se libera y comienza a moverse hacia abajo.

Question: ¿Cuál es la magnitud de la aceleración lineal de la masa?


Ejemplo: Momento de una fuerza(2)

T − mbg = −mba ⇒ T = mb g − a( )

Diagrama de cuerpo libre

T

Answer: Comenzamos con la masa (ec. mov. traslación)

Fg=− mb g j


Ejemplo: Momento de una fuerza(3) Ahora la polea (ec. mov. rotación)

τ = Iα I = 12 mpR2 α =

aR

τ = TR

T

R

Diagrama de cuerpo libre


Ejemplo: Momento de una fuerza(4)

putting these equations together we getTR = Iα

mb g − a( )( )R = 12 mpR2( ) a

R

now cancel factors of R :mb g − a( )= 1

2 mpa(result independent of R!)Sort terms with and without a :a( 1

2 mp + mb ) = mbg

a =mbg

( 12 mp + mb )

=1.50 kg ⋅9.81 m/s2

12 0.750 kg +1.50 kg( )= 7.85 m/s2


Cuerpo rodante

De radio R que rueda sin deslizar El eje de rotación se traslada paralelamente a sí mismo

Relaciones especiales entre las magnitudes lineales y angulares

• Displacement s= Rφ • Velocity

• Acceleration

v = Rωa = Rα

Cuerpo rodante



Energía cinética de un cuerpo rodante Traslación del CM y rotación alrededor de un eje

que pasa por el CM Ejemplos:pelota que rueda cuesta abajo rollo de papel que se desenrolla

es la velocidad del CM

K = Ktrans + Krot =12 mv2 + 1

2 Iω 2

v = Rω

mgh=1/2mv2+1/2Iω2; v= ωr; I=2/5mr2


v=5.42 m/s

Ejercicio (10.1B). Una esfera sólida de masa 5.15 kg y radio 0.340 m rueda desde el reposo por un plano inclinado desde una altura de 2.10 m sin deslizar bajo la influencia de la gravedad. ¿Cuál es la velocidad lineal del CM de la esfera justo cuando llega a la base del plano inclinado?

Ejercicio propuesto

Se suelta una esfera sólida desde el reposo y rueda hacia abajo por un plano inclinado y luego recorre un bucle circular de radio R. ¿Cuál es la altura mínima h desde la cual se debe soltar la esfera para que no abandone el bucle? Condición: ac ≥ g


h


“La carrera” de cuerpos rodantes

La aceleración de un objeto bajo la acción de la gravedad es independiente de la masa del objeto (caída libre)

En el caso de un cuerpo rodante (se traslada y gira), importa la masa y cómo se distribuye

importa el radio Sean tres objetos con la misma masa, el mismo radio, pero

diferente distribución de la masa , rodando por un plano inclinado • Una esfera sólida • Un cilindro sólido • Un cilindro hueco

Comienzan a la misma altura y sin velocidad inicial ¿Cuál ganará?


Explicación de la carrera

La energía arriba y abajo del plano inclinado para cada objeto es la misma

mgh =1/2 (mv2+Iω2) mgh =1/2 mv2 [1+I/(mR2) ] v=Rω I(esfera)=2/5 mR2 menor que I(cilindro)=1/2 mR2 menor que I(tubo)= mR2

a menor I, mayor v

E = K +U = K0 +U0


Ejercicio (10.3B). Intentando poner un rollo de papel higiénico en su portarrollos, se te cae y logras sujetar la primera hoja de manera que el papel se desenrolla al caer como se ve en la figura. ¿Cuánto tarda el papel en llegar al suelo si cayó de una altura de 0.73 m? El rollo tiene una masa de 274 g, R1= 2.7 cm R2= 6.1 cm


Ejemplo: Máquina Atwood (1)

Dos masas diferentes cuelgan de los extremos de una cuerda guiada por una polea.

¿Cuál es la aceleración?

m2 m1

a a

mp


Ejemplo: Máquina Atwood(2)

Caso de la polea sin masa: mp∼0 Diagrama de cuerpo libre

Sumando ecs.: m2 m1

a a

mp

m2g

T T

m1g

T − m2g = m2a

−T + m1g = m1a

(m1 − m2 )g = (m1 + m2 )a ⇒

a = g m1 − m2

m1 + m2


Ejemplo: Máquina Atwood(3) La polea tiene masa Fuerza neta sobre la polea es cero porque su CM permanece en reposo Nota: las tensiones ahora son diferentes! m2

m1

a a

mp

T2 − m2g = m2a

−T1 + m1g = m1a

T1

mpg

T2

m2g

T2

T1

m1g


Ejemplo: Máquina Atwood(4) La polea gira Momentos respecto del eje de rot.

Momento de inercia (disco)

Aceleración angular

Combinando esto:

m2 m1

a a

mp τ net = Iα

τ net = R(T1 −T2 )

I = 12 mpR2

α = a / R

R(T1 − T2 ) = 12 mpR2 a

R⇒

T1 − T2 =12 mpa

T1 T2

R


Ejemplo: Máquina Atwood(5) Tres ecs. para tres incógnitas

Lo más fácil: sumar las ecs. m2

m1

a a

mp

T1 − T2 =12 mpa

T2 − m2g = m2a

−T1 + m1g = m1a

(m1 − m2 )g = (m1 + m2 +12 mp )a ⇒

a = g m1 − m2

m1 + m2 +12 mp

Varilla horizontal en caída

Una varilla delgada de longi-tud L= 2.50 m y masa M = 3.50 kg está suspendida horizontalmente por un par de cuerdas verticales fijadas a los extremos A y B. La cuerda del extremo B se corta. ¿Cuál es la aceleración lineal del extremo B de la varilla inme-diatamente después de cortar la cuerda?


solución

IA = (1/12) ML2+ M(L/2)2= (1/3) ML2

τA= r F=(L/2)Mg ; τA = IA α= (1/3) ML2 α a=L α ; (L/2)Mg = (1/3) ML2 (a/ L)

g/2=a/3 a=1.5 g



Conservation of L

If the net torque is zero, then

Angular momentum is conserved Las fuerzas centrales conservan L The conservation of angular momentum has many

interesting consequences • Gyroscopes • Dancers • Ice-skaters…

0 0if 0 constant ( ) ( )net L L t L t Lτ = ⇒ = ⇒ = ≡

0 0I Iω ω=


Example: Death of a Star simulación, densidad creciente hacia el interior

Question: Si el núcleo de hierro de una estrella (m>5M ) moribunda gira inicialmente a 9.00 rev por día y si el radio del núcleo disminuye durante el colapso por un factor de 700 ¿cuál es la velocidad angular del núcleo de hierro al final del colapso(assuming, actually not justified, that the iron core is a uniform sphere before and after collapse)?

Answer: Angular momentum is conserved

Iω = I0ω0

ωω0

=I0

I=

25 mcoreR0

2

25 mcoreR

2 =R0

2

R2 = 22.72 = 515

ω = 515 ⋅ω0 = 515 ⋅ 3.20 rad/s = 1650 rad/s = 15,700 rpm

7002 ; ω0 =2π9/(24x3600)=6.55 10-4 s-1

321 rad/s = 51.1 rps = 4.4 x 106 rev por día

tema vi rotación...recordatorio de las variables cinemáticas del movimiento circular de una masa...

Documents