tema 9: introducción a la dinámica · es un enunciado alternativo de la segunda ley de newton...

Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2009/10 1

Tema 9: Introducción a la Dinámica

1º Ingenieros AeronáuticosEscuela Técnica Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla


Situación en la asignaturaSituación en la asignatura

Introducción

Mecánica

Cinemática

Estática

PrimerParcial

Dinámica9 – Introducción a la Dinámica

10 – Dinámica de un sistema de partículas


ÍndiceÍndice

Introducción

Leyes de Newton

Dinámica del punto material

Teoremas de conservación

Energía

Cantidad de movimiento

Momento cinético

Dinámica en sistemas de referencia no inerciales


IntroducciónIntroducción

La Dinámica estudia las causas que originan el movimiento de los

cuerpos

Junto con la Cinemática, permite determinar los movimientos de los

cuerpos

Estas causas se caracterizan con la magnitud física de fuerza

Una fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de equilibrio o

movimiento de un cuerpo, o de producir en él estados de tensión

Se representa con un vector

La masa de un cuerpo determina la “intensidad” con que una fuerza

afecta a su estado de movimiento


ÍndiceÍndice

Introducción

Leyes de Newton



Energía


Momento cinético



Leyes de NewtonLeyes de Newton

Relaciona fuerza, masa y aceleración

Fueron enunciadas por Isaac Newton en 1687: Philosophiae Naturalis

Principia Mathematica

Primera Ley o Ley de Inercia

Introduce el concepto de inercia y sistema de referencia inercial

Tercera Ley o Principio de acción y reacción

Relaciona las fuerzas mutuas que ejercen los cuerpos

Segunda Ley

Esta relacionada con la conservación de la cantidad de movimiento


Primera Ley de NewtonPrimera Ley de Newton

Un sistema de referencia inercial (SRI) es un sistema en reposo o con velocidad constante

Su rotación es cero

Un sistema que se traslada con velocidad uniforme respecto a un SRI también es un SRI

Todo punto material libre, no sometido a ninguna interacción, se mantiene

indefinidamente en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme respecto a un

sistema de referencia inercial

Todos los SRI miden la misma aceleración para un punto material cualquiera

O1

X1

Y1

Z1

1

SRI

P aP2 1 =aP

2 0

2

OX0 Y0

0

v0 1t r a s =(cte)

SRI


Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de Newton

La magnitud m es la masa inercial de la partícula

Mide la resistencia de la partícula a cambiar su estado de movimiento (su inercia)

Todo punto material sometido a una fuerza experimenta una aceleración en la misma

dirección y sentido en que actúa la fuerza y de módulo proporcional al módulo de la fuerza

La fuerza se mide en Newtons en el S.I. : 1 N = 1 kg m s-2

Si se conoce la fuerza proporciona una ecuación diferencial para

describir el movimiento

v

F

a

Si se conoce la aceleración y la masa permite medir la fuerza


Tercera Ley de NewtonTercera Ley de Newton

Cada fuerza se aplica en cuerpos diferentes

Si un punto material B ejerce una fuerza (FA B ) sobre otro punto material A, entonces A

responde con otra fuerza sobre B (FB A ) de igual módulo y dirección, pero de sentido

contrario

La aceleración que adquiere cada partícula depende de su masa inercial

Tierra

Aceleración de la masa

Aceleración de la Tierra

A B


Principio de superposiciónPrincipio de superposición

Cuando la partícula está sometida a n fuerzas se generaliza

Si sobre un mismo punto material actúan dos fuerzas simultáneamente, la aceleración que

adquiere es la suma vectorial de las aceleraciones que le comunicarían cada una de las

fuerzas por separado


ÍndiceÍndice

Introducción

Leyes de Newton



Energía


Momento cinético



Dinámica del punto materialDinámica del punto materialPunto libre

No hay ligaduras

Las fuerzas que actúan sobre él son fuerzas activas, Fi (muelle, gravedad, etc)

Punto vinculado

Tiene vínculos que restringen los movimientos posibles

Las fuerzas sobre él son fuerzas activas, Fi y fuerzas de reacción vincular, i

Descripción del movimiento

Ecuación diferencial Ecuaciones de ligadura Condiciones iniciales

Las fuerzas dependen del tiempo, la posición y la velocidad:


ÍndiceÍndice

Introducción

Leyes de Newton



Energía


Momento cinético



Teoremas de conservaciónTeoremas de conservaciónExisten una serie de magnitudes físicas que, según en que circunstancias, se

mantienen invariantes en el tiempo

Energía

Cantidad de movimiento o momento lineal

Momento cinético

Desde el punto de vista matemático son integrales primeras

Las ecuaciones que definen el movimiento son ecuaciones diferenciales de segundo

grado

Las magnitudes conservadas involucran derivadas de primer grado (la velocidad)

Estas magnitudes dan información sobre el comportamiento del sistema sin tener que

resolver las ecuaciones de movimiento


Trabajo mecánicoTrabajo mecánicoTrabajo mecánico de una fuerza sobre una partícula

v

F

dr

r(t)

El signo depende del sentido relativo

si F ⊥ dr no hay trabajo mecánico

En un recorrido finito el trabajo total es la suma de los trabajos infinitesimales

vF(r)

dr

r(t)

AB

F(r)

Se mide en Julios (J)


ÍndiceÍndice

Introducción

Leyes de Newton



Energía


Momento cinético



Energía cinéticaEnergía cinética

v

F

dr

r(t)

En un recorrido finito el trabajo total es la variación de la magnitud entre paréntesis

vA

AB vB

F

dr

Teniendo en cuenta la definición de velocidad y la Segunda Ley de Newton


Energía cinéticaEnergía cinéticaDefinición de la energía cinética de una partícula

Teorema de la energía o de las fuerzas vivas

Se mide en Julios (J)

Definición de potencia instantánea

Se mide en Watios(W)

Versión local Versión finita

Versión instantánea


Conservación de la energía cinéticaConservación de la energía cinética

Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o perpendicular a su

trayectoria, su energía cinética se conserva constante a lo largo del tiempo

Ejemplos

Partícula libre

Movimiento de la Tierra respecto al Sol (considerando la órbita circular)


Energía potencialEnergía potencialUna fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un punto material que se

desplaza entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida

A

B

F

drdr

F

dr

Fdr

F 12

La diferencia de energía potencial entre dos puntos es el trabajo realizado por la

fuerza conservativa cuando la partícula se mueve entre esos dos puntos, cambiando

el signo

El orígen de la energía potencial es arbitrario


Energía potencial gravitatoriaEnergía potencial gravitatoria

A

B

F

drdr

F

dr

Fdr

F 12z

Zg

Fuerza gravitatoria

Trabajo realizado por Fg en un desplazamiento

infinitesimal

Diferencia de energía potencial entre dos puntos

Fijando una referencia arbitraria en z=0


Energía potencial de un muelle idealEnergía potencial de un muelle ideal

PO

Fuerza del muelle

Trabajo realizado por Fg en un desplazamiento

infinitesimal

Fijando una referencia de energía potencial en l0


Fuerza a partir de energía potencialFuerza a partir de energía potencial

Energía potencial gravitatoria → Fuerza gravitatoria

Energía potencial elástica → Fuerza elástica

Esta operación se llama hacer el gradiente de la función potencial


Energía mecánicaEnergía mecánica

Se define como la suma de la energía cinética y la energía potencial total (una energía

potencial por cada fuerza conservativa)

Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre una partícula son conservativas su

energía mecánica se conserva

Si hay fuerzas no conservativas el trabajo que realizan varía la energía mecánica

Demostración


ÍndiceÍndice

Introducción

Leyes de Newton



Energía


Momento cinético



Cantidad de movimientoCantidad de movimientoLa cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula es el producto de su

masa por su velocidad

Teorema de la cantidad de movimiento

Es un enunciado alternativo de la Segunda Ley de Newton

Impulso mecánico (Teorema de la cantidad de movimiento en forma elemental y finita)

Es útil cuando la partícula sufre una fuerza en un intervalo de tiempo pequeño

[p] = kg m s-1


Conservación de la cantidad de movimientoConservación de la cantidad de movimiento

Si la dirección de la fuerza es constante, se conserva la cantidad de movimiento en las

direcciones perpendiculares a la fuerza

Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula se conserva su

cantidad de movimiento

Demostración

Z

XF=mg

v0

Ejemplop

p

pxp

x


ÍndiceÍndice

Introducción

Leyes de Newton



Energía


Momento cinético



Momento cinéticoMomento cinéticoEl momento cinético de un punto material respecto a un punto O es el producto vectorial

[L] = kg m2 s-1 OP

Teorema del momento cinético


Conservación del momento cinéticoConservación del momento cinético

Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o es central con

centro en un punto fijo O, su momento cinético respecto a O es constante

Demostración

Si el momento de la fuerza es perpendicular a un vector n, se conserva la proyección

del momento cinético sobre n

Ejemplo: en el movimiento central se conserva el momento cinético

OP En este caso


ÍndiceÍndice

Introducción

Leyes de Newton



Energía


Momento cinético



Sistemas de referencia no inercialesSistemas de referencia no inercialesUn punto material realiza un movimiento circular con velocidad angular constante

Aplicamos la Segunda Ley de Newton en el sistema OX1Y1Z1 para obtener la fuerza

Es una fuerza centrípeta

Se puede aplicar la Segunda Ley de Newton pues el sistema “1” es un S.R.I.

X1

Y1

Z1,Z0

X0,X2

Y0

P

Z2

0 1

R

v P2 1F

a P2 1

O


Sistemas de referencia no inercialesSistemas de referencia no inerciales¿Se puede aplicar la Segunda Ley de Newton en el sistema “0”?

¿Hay alguna forma de analizar el problema desde el sistema “0”?

En el sistema “0” la partícula está en reposo

X1

Y1

Z1,Z0

X0,X2

Y0

P

Z2

0 1

R OEs un sistema no inercial

No se puede aplicar la Segunda Ley

Para poder analizar la dinámica en el sistema “0” hay que introducir fuerzas de inercia

F-maP

0 1

-maP0 1 es la fuerza centrífuga, que no es la reacción de la centrípeta


Sistemas de referencia no inercialesSistemas de referencia no inerciales

S.R.I.

1

0

S.R. no inercial

O

Pm

F

Fa r r

Fc o r

2

Segunda Ley de Newton en un sistema no inercial (0 1 ≠0 y/o aO0 1 ≠0 )

F es la fuerza real en el S.R.I.

Fa r r es la fuerza de arrastre

Fc o r es la fuerza de Coriolis

Propiedades de la fuerzas de inercia

Son aparentes o ficticias para el observador inercial, pero para el no inercial tienen los

mismos efectos que una fuerza real (realizan trabajo, pueden ser conservativas)

Son proporcionales a la masa

No añaden incógnitas al problema dinámico {20} (conocido el movimiento {01})


Fuerza de CoriolisFuerza de Coriolis

0 1

vP2 0

Fc o r = -2m0 1×vP

2 0

X1

Y1

X0

Z1,Z

0

Y0

vP2 0

El término de Coriolis empuja el sólido hacia la derecha en

el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur

El sólido 2 es un punto P moviéndose con velocidad v0

paralela la superficie de la Tierra

Fc o r =-2m

0 1×vP

2 0

P

P

Este efecto se deja sentir sólo en sistemas de tamaño muy grande o que

se mueven muy rápido, o en los que se acumula el efecto en el tiempo

Huracanes

Péndulo de Foucault

El efecto en el sentido de giro del agua en los desagües es despreciable


Fuerza de Coriolis: sentido de giro de los huracanesFuerza de Coriolis: sentido de giro de los huracanes

En las tormentas, una zona de bajas presiones relativas atrae el aire formando un corriente convergente de aire

En el hemisferio norte el flujo de aire se desvía hacia la derecha, y en el hemisferio sur hacia la izquierda, formando la estructura espiral del torbellino

Hemisferio norte Hemisferio sur


Fuerza de Coriolis: péndulo de FoucaultFuerza de Coriolis: péndulo de Foucault

El término de Coriolis hace girar el plano de oscilación de un péndulo

01

X1

Y1

X0

Z1,Z0

Y0

En cada oscilación, el término de Coriolis empuja al péndulo hacia la derecha (en el hemisferio norte)

vP2 0

2

0

A1

B1

A2

B2

A lo largo del tiempo, el plano de oscilación gira respecto a la Tierra, pero no respecto al espacio. Esto demuestra que la Tierra tiene un movimiento de rotación

Fc o r =-2m0 1×vP

2 0


Fuerza de Coriolis: péndulo de FoucaultFuerza de Coriolis: péndulo de Foucault

Experimento de Foucault enel Pantheon en París, 1851

Péndulo de Foucault enel Pantheon en París


ResumenResumen

Concepto de fuerza

Leyes de Newton

Ley de inercia

Segunda Ley

Principio de ación y reacción

Principio de superposición


Ecuación diferencial, ligaduras y condiciones iniciales


ResumenResumen

Magnitudes cinéticas

Trabajo, energía


Momento angular

Sistemas de referencia no inerciales

tema 9: introducción a la dinámica · es un enunciado alternativo de la segunda ley de newton...

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