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TEMA 9. DERIVADAS

1. DEFINICIÓN DE DERIVADA.

Se define la derivada de una función f(x) en un punto x0 como la pendiente de la recta tangente a f en dicho punto, y se designa por f ’(x0).

Veamos cómo podemos calcular esa pendiente. Si tenemos una función f(x) y cogemos dos puntos de la misma: (x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)) La recta que pasa por estos dos puntos tiene por pendiente:

h

)x(f)hx(f 00

Ahora vamos a intentar aproximar los dos puntos que hemos cogido. Como podemos observar en la siguiente gráfica, las rectas secantes, al aproximarse los puntos, se acercan a la recta tangente a la función en el punto x0.

Y esa es la definición que habíamos dado anteriormente de derivada.

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Matemáticamente, para aproximar los dos puntos basta con hacer que x0 + h esté

cada vez más próximo a x0, es decir, que h se haga cada vez más pequeño. Para ello, hay que calcular el límite de la pendiente cuando h tiende a 0

f ‘(x0) = h

)x(f)hx(flim 00

0h

Cuando este límite existe y es finito, diremos que la función es derivable en x0. Ejemplo:

Calculemos la derivada de f(x) = 2x – 3 en x0 = 4

f ’(4) = h

)4(f)h4(flim0h

= h

3423)h4(2lim0h

=

= h

383h28lim0h

= hh2lim

0h = 2

Por lo tanto, f ’(4) = 2

Ejemplo: Calcula la ecuación de la recta tangente a f(x) = 2x2 + 3 en el punto x0 = 2. Para calcular una recta necesitamos un punto y la pendiente.

Como nos dice que ha de pasar x0 = 2, el punto será (2, f(2)) = (2, 11)

La pendiente la calculamos con la derivada,

f ‘(2) = h

)2(f)h2(flim0h

= h

113)h2(2lim2

0h

=

h113h8h28lim

2

0h

= )8h2(lim0h

= 8

Por lo tanto, la recta es y = 11 + 8(x-2), o sea, y = 8x – 5

NOTA: Éste no es el método que utilizaremos normalmente para calcular derivadas, es tan sólo la definición.

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2. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Si en la gráfica de una función se observa que en el punto considerado ésta cambia

bruscamente de dirección, es necesario considerar las derivadas laterales (límites laterales). Para que exista la derivada de la función en el punto, han de existir las derivadas laterales y tienen que ser iguales.

Ejemplo: Para estudiar la derivabilidad de la función f(x) =

1x31xx3

en x = 1,

como su gráfica presenta un cambio brusco de dirección en ese punto, hemos de estudiar las derivadas laterales. f‘- (1) = 3 y f’+ (1) = 0 Como no son iguales, la función no es derivable en x = 1.

Una propiedad importante dice que si una función es derivable en un punto,

necesariamente es continua en él. Con esta propiedad nos evitamos estudiar la derivabilidad en los puntos donde la función no sea continua.

Por el contrario, puede darse el caso de una función que sea continua y no

derivable en algún punto.

3. FUNCIÓN DERIVADA

En los ejemplos anteriores hemos calculado la derivada de una función en un punto, pero, ¿podríamos obtener la derivada de esta función en un punto cualquiera?

Sea f(x) = x2 + 1

f ‘(x) = h

)x(f)hx(flim0h

= h

1x1)hx(lim22

0h

=

h1x1xh2hxlim

222

0h

= h

xh2hlim2

0h

= )x2h(lim0h

= 2x

Por lo tanto, podemos asegurar que f ‘(x) = 2x, y la llamaremos función derivada.

A partir de esta función, podemos averiguar el valor de la derivada en cualquier punto, sin más que sustituir (f ‘(2) = 4, f ‘(3) = 6 …).

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4. CÁLCULO DE DERIVADAS

a) Derivada de una constante.

f(x) = k → f ‘(x) = 0 b) Derivada de la potencia.

f(x) = xn → f ‘(x) = n·xn-1

Ejemplos:

f(x) = x → f ‘(x) = 1 f(x) = x2 → f ‘(x) = 2x f(x) = x5 → f ‘(x) = 5x4

Esta regla se aplica también para exponentes negativos:

f(x) = nx1 = x –n → f ‘(x) = - n·x –n-1 = 1nx

n

Ejemplo:

f(x) = x1 = x -1 → f ‘(x) = -1·x -2 = 2x

1

También sirve para raíces:

f(x) = nm

n m xx → f ‘(x) = 1

nm

xnm

Ejemplo:

f(x) = x = x ½ → f ‘(x) = x2

1x21x

21 2

1121

c) Derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas.

f(x) = ax → f ‘(x) = ax · ln a f(x) = ex → f ‘(x) = ex

f(x) = loga x → f ‘(x) = a·lnx

1

f(x) = ln x → f ‘(x) = x1

Ejemplo:

f(x) = 7x → f ‘(x) = 7x · ln 7

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d) Derivada de las funciones trigonométricas.

f(x) = sen x → f ‘(x) = cos x f(x) = cos x → f ‘(x) = - sen x

f(x) = tg x → f ‘(x) = xcos

12 = 1 + tg2 x

5. OPERACIONES CON DERIVADAS

a) La derivada del producto de un número por una función.

h(x) = k·f(x) → h ‘(x) = k· f ‘(x)

Ejemplos:

f(x) = 3x2 → f ‘(x) = 3·2x = 6x

f(x) = 7·lnx → f ‘(x) = x7

b) Derivada de una suma o una resta de funciones.

h(x) = f(x) ± g(x) → h ‘(x) = f ‘(x) ± g ‘(x)

Ejemplos:

f(x) = 3x2 + 6x → f ‘(x) = 6x + 6

f(x) = x1x → f ‘(x) = 2x

1x2

1

c) Derivada del producto de dos funciones.

h(x) = f(x) · g(x) → h ‘(x) = f ‘(x) · g(x) + f(x) · g ‘(x)

Ejemplo:

f(x) = x·sen x → f ‘(x) = 1·sen x + x·cos x = sen x + x·cos x

d) Derivada de un cociente de funciones.

h(x) = )x(g)x(f → h ‘(x) = 2)x(g

)x('g)·x(f)x(g)·x('f

Ejemplo:

f(x) = 2x1x → f ‘(x) = 4

2

4

2

xx2x

xx2)·1x(x·1

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e) Derivada de la composición de dos funciones. Regla de la cadena.

h(x) = g(f(x)) → h’(x) = g’(f(x))·f ‘(x)

Ejemplos:

f(x) = (3x + 1)2 → f ‘(x) = 2·(3x + 1)· 3 = 18x + 6 f(x) = (3x2 + x)3 → f ‘(x) = 3·(3x2 + x)2·(6x + 1) f(x) = sen (5x2) → f ’(x) = cos (5x2)·10x

6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función

Si observamos la siguiente gráfica, vemos que en los tramos en los que la función es creciente, su recta tangente también lo es y viceversa. Por lo tanto, cuando la función sea creciente, la pendiente de su recta tangente será positiva, y cuando sea decreciente, negativa.

Como la pendiente de la recta tangente a una función es su derivada, podemos asegurar que:

- f(x) es creciente en un punto x0 si f ‘(x0) > 0 - f(x) es decreciente en un punto x0 si f ‘(x0) < 0

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función,

calculamos los intervalos en dónde su derivada es positiva y negativa. Ejemplo:

f(x) = x2 → f ‘(x) = 2x Como 2x > 0 cuando x > 0 → f es creciente en ]-, 0[ y 2x < 0 cuando x < 0 → f es decreciente en ]0, +[

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Máximos y mínimos de una función

Observa en la gráfica que la recta tangente a la curva en los puntos donde ésta tiene un máximo o un mínimo es 0.

Por lo tanto, podemos afirmar que si una función f(x) cumple que f ‘(x0) = 0,

entonces tiene un máximo o un mínimo en x0. Para saber qué punto es máximo y cuál mínimo, estudiamos el crecimiento y el

decrecimiento. Ejemplo:

f(x) = 2/3 x3 + x2 – 4x + 5 → f ‘(x) = 2x2 + 2x – 4 Resolvemos la ecuación 2x2 + 2x – 4 = 0 y nos da las soluciones -2 y 1 Estudiamos el signo de la derivada a ambos lados de los puntos (es otra forma de ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento)

- 2 1 f(x) > 0 f(x) < 0 f(x) > 0

Como vemos en el esquema anterior, -2 es un máximo y 1 un mínimo. Concretamente:

(-2, 35/3) Máximo (1, 8/3) Mínimo

Otro procedimiento para diferenciar máximos de mínimos es utilizar la segunda derivada. Si es negativa en el punto, hay un máximo, y si es positiva, un mínimo.

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Ejemplo:

En el ejemplo anterior, f ‘’(x) = 4x + 2

f ‘’(-2) = -6 → Máximo f ‘’(1) = 6 → Mínimo

Hay ocasiones en las que el punto en el que la derivada se anula no es ni un

máximo ni un mínimo, es un punto de inflexión (como el que vemos en la gráfica siguiente). En estos casos, la derivada segunda también es 0.

Representación gráfica de funciones

Estudiar los intervalos dónde la función crece y decrece, así como los máximos y los mínimos nos ayuda a la hora de representar gráficamente la función

Ejemplo: f(x) = x3 – 3x2 + 4 Es una función polinómica, por lo tanto, definida en todos los números. Veamos dónde corta a los ejes:

Eje Y: x = 0 → y = 4 → (0, 4) Eje X: y = 0 → (2, 0) y (-1, 0)

Veamos ahora el crecimiento y los extremos:

f ‘(x) = 3x2 -6x = 0 → x = 2 y x = 2

0 2 f(x) > 0 f(x) < 0 f(x) > 0

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En (0, 4) tenemos un máximo En (2, 0) tenemos un mínimo

Veamos ahora las ramas infinitas

)x(flimx

= - )x(flimx

= +

Tan sólo tendríamos que dar algunos puntos más y representarla gráficamente.

Problemas de máximos y mínimos

En ocasiones nos interesa conocer los máximos o mínimos de funciones que se ajustan a situaciones reales determinadas, por ejemplo: maximizar beneficios, minimizar costes…

En estos casos, primero determinaremos la función y después determinaremos sus

valores extremos. Ejemplo: Un pastor tiene 1000 metros de valla para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin que el área encerrada sea máxima.

y x

Perímetro: 2y + x = 1000 Área: x·y

Hemos de maximizar el área, pero necesitamos que sea una función con una sola variable. Para ello, despejamos la x del perímetro: x = 1000 – 2y, y sustituimos en el área: (1000 – 2y)·y = 1000y – 2y2 Por lo tanto, hemos de maximizar la función f(y) = 1000y – 2y2

f ‘(y) = 1000 – 4y = 0 → y = 250

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f ’’(y) = - 4 < 0 → es un máximo Como x = 1000 – 2y = 1000 – 2·250 = 500 Entonces, las dimensiones son: 500 m. de largo por 250 m. de ancho. Ejemplo: Descomponer el nº 81 en dos sumandos positivos de forma que el triple del primero por el doble del segundo sea máximo. Si el primer sumando es x, el segundo es 81 – x Hemos de maximizar 3x·2(81 – x) = 486x – 6x2 = f(x)

f ‘(x) = 486 – 12x = 0 → x = 40,5 f ‘’(x) = -12 < 0 → es un máximo

Por lo tanto, los sumandos son 40,5 y 81 - 40,5 = 40,5.

Regla de l’hôpital

Es una técnica muy eficiente para el cálculo de ciertos límites (indeterminaciones

00 y

), utilizando el cálculo de derivadas.

)x('g)x('flim

)x(g)x(flim

axax

(siempre que éste segundo límite exista) Ejemplo:

2x xxlnlim

= indeterminación

= Por l’Hôpital = 2xx x2

1limx2x

1lim

= 0

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EJERCICIOS

1. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 + 3 en el punto x = 1.

2. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 -2x - 1 en x = 2.

3. Calcula el punto de f(x) = x2 + 3x – 2 en el que su tangente es paralela al eje X.

4. Calcula el punto de f(x) = x3 -2x - 1 en el que su tangente es paralela al eje X.

5. Estudiar la derivabilidad de f(x) =

1xx1xx 2

y g(x) =

0x2x0x2x

3

2

6. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a. f(x) = 2x – 7

b. f(x) = x4 – 3/5 x3 + 7x – 9

c. f(x) = x3

d. f(x) = 1x

x3

e. f(x) = 3x23

f. f(x) = 4sen x

g. f(x) = 2x + cos x

h. f(x) = 3

xcos

i. f(x) = x·tg x

j. f(x) = sen (2x + 2)

k. f(x) = cos (3x2 – 3)

l. f(x) = x5

m. f(x) = 6x5 2

n. f(x) = sen2 x

o. f(x) = 22

x2x

p. f(x) = (x3 – 2)3

q. f(x) = ln (3x2 + 2x – 1)

r. f(x) = ln (x2 – 3)

s. f(x) = (4ex + tg x)3

t. f(x) = (x – 5)·(x2 + 1)

u. f(x) = 2

2

)4x2(x3

v. f(x) = (3x – x2)3

w. f(x) = 3 22 )2x(

x. f(x) = 2

2 2x1x

y. f(x) = 3e2 – 2x5 - 4 1x2

z. f(x) = xx

1

7. Calcula f ’’’(x) si f(x) = -3x5 + 6x4 – 3x

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8. Calcula máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento de las funciones:

a. f(x) = 5x

4x5x 2

b. f(x) = 2x3 – 3x2

c. f(x) = 2x2

x 2

d. f(x) = x3 + 4x2 + 3x – 2 e. f(x) = -x3 + 3x

9. Descomponer el número 81 en dos sumandos positivos de modo que el triple del primero por el cuadrado del segundo sea máximo.

10. Hallar las dimensiones mínimas que debe tener una hoja de papel para contener

una superficie útil de 54 cm2 con unos márgenes de 1,5 cm a derecha e izquierda y de 1 cm. arriba y abajo.

11. Calcula las dimensiones de un cilindro inscrito en una esfera de radio 12 cm.

para que su volumen sea máximo.

12. Calcula la superficie máxima rectangular que puede ser contenida en un perímetro de 200m.

13. Descompón el número 972 como producto de dos números positivos tales que la

suma del doble del cuadrado del primero más el triple del segundo sea máxima.

14. Un vendedor de pisos tiene un sueldo fijo de 1000 € más una comisión que viene dada en función del número de pisos vendidos según la expresión 150x – x2, siendo x el número de pisos vendidos. Calcula el número de pisos que ha de vender para que sus ganancias sean máximas si tiene unos gastos fijos de 2 € por piso vendido.

15. Calcula el número que sumado con 25 veces su inverso se obtiene un valor

mínimo.

16. Calcula las medidas del triángulo rectángulo de área máxima que tiene 20 cm. de hipotenusa.

17. Entre todos los rectángulos de perímetro 24, ¿cuál tiene la diagonal menor?