tema 6 sesión 2 generación de rectas, …...dos rectas h1 y h2 con pendientes i1 y i2,...
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Proyecto
Tema 6
sesión 2:
Generación de Rectas,
Circunferencias y Curvas
Geometría Analítica
Isidro Huesca Zavaleta
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Proyecto
La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias muy importantes, conocidas y utilizadas: geometría Euclidiana y álgebra.
El autor de la idea fue el matemático y filósofo francés René Descartes (1700-1780).
Sus aspectos fundamentales son:
• La creación de un plano infinito, con dos ejes perpendiculares (eje 𝑥 horizontal, eje 𝑦 vertical) que se cruzan en un punto al que se le llama origen.
• La idea central consiste en asociar a cada punto del plano una pareja de números, el primero de los cuales corresponde a la distancia del punto al eje vertical y el segundo a la distancia del punto al eje horizontal.
La Integración de dos Ciencias
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Las cónicas
Las secciones cónicas son aquellas que se generan al intersectar uno o dos conos con un plano.
Circunferencia
Elipse
Parábola
Hipérbola
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Las cónicas
http://www.galileo2.com.mx/videos/reproductor.php?tipo=1&idvideo=129695675
En la siguiente liga encontrará un video donde se hace una descripción de las secciones cónicas y cómo obtenerlas con la ayuda de un software de la serie Galileo.
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La Recta
La recta es el conjunto de puntos que siguen una misma dirección.
Existen muchas formas de definir una recta, como un lugar geométrico, como una sucesión de puntos con una dirección, etc.
En algunos casos no es necesario tener un plano cartesianos como en el del primer postulado de Euclides, en otros casos es muy importante, pues se define la recta de acuerdo a la relación que guardan con los ejes, por ejemplo el ángulo de inclinación.
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La Recta En geometría analítica se le llama pendiente de la recta a la razón de crecimiento o decrecimiento que guardan los puntos que pertenecen a ella, ésta es constante y puede ser positiva, negativa, cero o estar indefinida.
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La Recta
¿Cómo calculamos la pendiente de una recta?
Como es la razón de crecimiento o decrecimiento que guardan los puntos, entonces es la división de la variación que hay en 𝑦 entre la variación que hay en 𝑥.
De acuerdo a lo anterior si tomamos dos puntos 𝑃(𝑥1, 𝑦1) y 𝑄 𝑥2, 𝑦2 , que pertenecen a la recta 𝑙, tenemos que se puede formar un triángulo rectángulo y obtener el punto 𝑅(𝑥2, 𝑦1), entonces la variación en 𝑦 entre la variación en 𝑥 es:
𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑚 =𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑦
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑥=
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Esta pendiente también puede ser calculada como la tangente del ángulo de inclinación de la recta, el cual es el que se forma entre el eje 𝑥 y la recta, pues la tangente es igual al cateto opuesto entre el adyacente.
𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶
Donde 𝛼 es el ángulo de inclinación de la recta.
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Las diferentes representaciones de la ecuación de la recta
La ecuación de una recta puede tener diferentes representaciones y la podemos obtener si nos dan algunos datos de ella, por ejemplo dos puntos, un punto y la pendiente, un punto y el ángulo de inclinación, etc.
Ecuación general: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
Ecuación pendiente y ordenada al origen: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Ecuación dado el punto 𝑃 𝑥1, 𝑦1 y la pendiente 𝑚: 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝒙𝟏)
Ecuación dados don puntos 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2 𝑥2, 𝑦2 : 𝒚 − 𝒚𝟏 =𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏(𝒙 − 𝒙𝟏)
Ecuación dadas las intersecciones con los ejes en (𝑝, 0) y (0, 𝑞)
en su forma simétrica: 𝒙
𝒑+
𝒚
𝒒= 𝟏
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Posiciones relativas de dos rectas
Cuando tenemos dos rectas estas se pueden intersectar o no. Si las rectas no se intersectan entonces decimos que son paralelas y si se intersectan puede ser de forma perpendicular o con un ángulo distinto de 90°.
Si 𝑙1 y 𝑙2 son dos rectas cuyas pendientes son 𝑚1 y 𝑚2 , respectivamente, entonces 𝑙1 y 𝑙2 son paralelas si y solo si 𝑚1 = 𝑚2
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Dos rectas 𝑙1 y 𝑙2 con pendientes 𝑚1 y 𝑚2, respectivamente, son perpendiculares si y solo si 𝑚1 𝑚2 = −1
Cualquier par de rectas que no son paralelas tienen siempre un punto que es común a ambas, y que se conoce como su intersección, algebraicamente hablando es la solución del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Posiciones relativas de dos rectas
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Familia de rectas
Se tiene una familia de rectas cuando solo se tiene uno de los parámetros, ya sea solo 𝑚 o solo 𝑏, en la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.
Solo 𝑚, por ejemplo 0.5 Solo 𝑏, por ejemplo 2
𝑦 = −2
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Definición de circunferencia
Una circunferencias es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de la circunferencia, y a la distancia constante se le llama radio de la circunferencia.
La circunferencia cuyo centro es el punto C(ℎ , 𝑘 ) y cuyo radio es la constante 𝑟, tiene por ecuación
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
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La ecuación de la circunferencia
Ya sabemos que la ecuación de la circunferencia, si conocemos su centro y radio, es 𝒙 − 𝒉 𝟐 − 𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝒓𝟐
Veamos como obtener esta ecuación si nos dan el centro 𝑪(𝒉, 𝒌) y el radio 𝒓
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La ecuación de la circunferencia
Localizamos el punto 𝐶(ℎ, 𝑘) en el plano cartesiano.
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La ecuación de la circunferencia
Consideramos un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que está a una distancia 𝑟 del punto 𝐶
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La ecuación de la circunferencia
Sabemos que la distancia entre estos dos puntos es de 𝑟
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La ecuación de la circunferencia
Trazamos dos segmentos uno paralelo al eje 𝑥 y otro al eje 𝑦 para formar un triángulo rectángulo, de tal forma que el segmento 𝐶𝑃 sea la hipotenusa, así obtenemos el punto 𝑅(𝑥, 𝑘).
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La ecuación de la circunferencia
La distancia que hay entre el punto 𝐶 y 𝑅 es: 𝑥 − ℎ La distancia que hay del punto 𝑃 al 𝑅 es: 𝑦 − 𝑘
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La ecuación de la circunferencia
Por el Teorema de Pitágoras sabemos que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, así que:
𝒙 − 𝒉 𝟐 + 𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝒓𝟐
Así llegamos a que esa es la ecuación de la circunferencia con centro en el punto 𝐶(ℎ, 𝑘) y radio 𝑟
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La ecuación de la circunferencia
Otra forma de obtener la ecuación de la circunferencia es bajo alguna de las siguientes condiciones :
Si se conocen tres puntos por donde pasa.
Se conocen tres rectas a las cuales es tangente.
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La ecuación de la circunferencia
La ecuación de la circunferencia 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2 se encuentra en su forma ordinaria, pero también se puede representar de una forma general, como
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Podemos pasar de la ordinaria a la general solo haciendo los siguientes pasos algebraicos.
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
𝑥2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 = 0
De la expresión anterior llegamos a que: 𝐷 = −2ℎ, 𝐸 = −2𝑘 y 𝐹 = ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2.
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La ecuación de la circunferencia Para pasar de la ecuación en su forma general a la ordinaria es necesario completar cuadrados.
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝑦2 + 𝐸𝑦 = −𝐹
𝑥2 + 𝐷𝑥 +𝐷2
4−
𝐷2
4+ 𝑦2 + 𝐸𝑦 +
𝐸2
4−
𝐸2
4= −𝐹
𝑥 +𝐷
2
2
+ 𝑦 +𝐸
2
2
−𝐷2
4−
𝐸2
4= −𝐹
𝑥 +𝐷
2
2
+ 𝑦 +𝐸
2
2
=𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
4
Así llegamos a que ℎ = −𝐷
2, 𝑘 = −
𝐸
2 y 𝑟2 =
𝐷2+𝐸2−4𝐹
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Familia de circunferencias
Para definir la ecuación de una circunferencia es necesario tener tres condiciones independientes, si solo se tienen dos, la ecuación de la circunferencia tiene un parámetro, es decir, una constante arbitraria, así que tendríamos una familia de circunferencias.
Familia de circunferencias con el mismo centro
Familia de circunferencias que pasan por dos puntos.
Familia de circunferencias tangentes a una recta en un punto fijo.
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Definición de Elipse
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano, a los cuales llamaremos focos, es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.
La elipse comenzó a ser estudiada a partir del descubrimiento de Kepler enunciado como las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas en torno al Sol
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La ecuación de la elipse
La ecuación de la elipse con centro en (ℎ, 𝑘) y eje focal paralelo al eje 𝑥, esta dada por le forma ordinaria
𝑥 − ℎ 2
𝑎2+
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2= 1
Si el eje focal es paralelo al eje 𝑦 , la ecuación en su forma ordinaria esta dada por
𝑥 − ℎ 2
𝑏2+
𝑦 − 𝑘 2
𝑎2= 1
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La ecuación de la elipse
Para cada elipse, 𝑎 es la longitud del eje mayor, 𝑏 es la longitud del eje menor, 𝑐 la distancia del centro a cada foco, la relación entre esta longitudes es:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
La excentricidad esta dada por la relación
𝑒 =𝑐
𝑎=
𝑎2 − 𝑏2
𝑎< 1
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Ejercicio a resolver
Debido al crecimiento de la ciudad es necesario construir otra estación de bomberos, la cual se pretende construir cerca del aeropuerto de la ciudad.
En la zona conurbada de la ciudad de Veracruz-Boca del Rio, existen 2 estaciones de bomberos.
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Ejercicio a resolver Para establecer la comunicación entre las tres estaciones de bomberos se instalará un sistema de comunicación vía radio, por lo que también se requiere la construcción de una torre de transmisión. Calcular la distancia a la cual estarán las estaciones de la torre de transmisión.
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Se debe colocar la NUEVA ESTACIÓN DE BOMBEROS en el origen del plano y hacer que el tamaño de la imagen en el laboratorio de geometría analítica sea de 900 × 600 pixeles.
Ejercicio a resolver