TEMA 6: NOCIONES

BÁSICAS DE PROBALIDAD

1. INTRODUCCIÓN

En cualquier investigación es importante poder generalizar o inferir nuestros resultados a un colectivo mucho más amplio al que hemos denominado población. Por esta razón estudiamos la probabilidad.

Seguiremos los ejemplos del libro

CONCEPTOS PREVIOS

Experimento aleatorio (3 características):- Todos los resultados posibles son conocidos

con anterioridad a su realización- No se puede predecir con certeza el

resultado que vamos a obtener- El experimento puede repetirse todas las

veces que se desee en idénticas condiciones. Ejemplo 6.1 pag 252

Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa por la letra E. En el ejemplo de tirar un dado, E serían todos los valores del 1 al 6.

CONCEPTOS PREVIOS

Suceso: Son los resultados de un experimento aleatorio o subconjuntos del espacio muestral. Pueden ser:

- Elementales: Un solo resultado del espacio muestral (un cuatro en el dado)

- Compuestos: Dos o más resultados del espacio muestral (número par en el dado)

Las siguientes tres letras muestran 3 sucesos distintos. A es elemental y B y C son compuestos. Este ejemplo va a ayuda para comprender los conceptos siguientes.

A=4B=2,4,6 (número par)C=3,6 (múltiplo de 3)

Suceso seguro: Es sinónimo de E, siempre ocurre. Suceso imposible: No puede ocurrir, se representa por Ø

(conjunto vacío)Ejemplo 6.2 pag 255

Operaciones con sucesos

Unión: Unión de dos sucesos A y B es el subconjunto de E formado por los sucesos elementales que pertenecen a A, a B o a ambos a la vez.

A∪B = 2,4,6

Intersección: La intersección de dos sucesos A y B es el subconjunto de E formado solamente por los sucesos elementales que pertenecen a A y a B a la vez.

A∩B = 4

Si la intersección no contiene elementos comunes diremos que los sucesos son incompatibles o excluyentes: A∩B = { } = Ø

complementario: De un suceso A es el subconjunto de E formado por todos los sucesos que no pertenecen a A. Se representa por

Ā = 1,2,3,5,6

Ejemplo 6.3, pag 257

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

Definición clásica: La probabilidad de un suceso es igual al cociente entre el número de casos favorables de que ocurra ese suceso y el número de casos posibles en el supuesto de que todos los casos tengan la misma oportunidad de ocurrir.

Probabilidad de un suceso = Número de casos favorables/número de casos posibles (Regla de Laplace)

Probabilidad de conseguir un 2 en el dado = 1/6Probabilidad de conseguir un número par = 3/6 Definición estadística: La probabilidad de un suceso es el límite al que

tiende la frecuencia relativa de aparición de un suceso A cuando el número de ensayos, n, tiende a infinito:

Definición axiomática: La probabilidad de un suceso A, definido en el espacio muestral E y que designamos por P(A), a un número real que asignamos al suceso A, tal que cumple las siguientes propiedades:

0 ≤ P(A) ≤1P(E) =1P(A) =1− (Ā)

Ejemplo 6.4 pag 261

Teorema de la suma

La probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B es igual a la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que ocurra B, menos la probabilidad de que ocurran ambos, A y B:

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

Ejemplo 6.5 pag 265

Si A y B son incompatibles o mutuamente excluyentes, la regla queda así:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de A está condicionada al suceso B.

P(A/B)= Probabilidad de A condicionada a B. Definición: Para dos sucesos cualesquiera A y B, la

probabilidad de A condicionado a B es igual a la probabilidad de la intersección dividido por la probabilidad de la condición B:

P(A/B) = P(A∩B)/P(B) (siempre que P(B) no sea 0)

P(B/A) = P(B∩A)/P(A) (siempre que P(A) no sea 0)

Si los sucesos A y B son independientes: P(A/B) = P(A) y P(B/A)=P(B)

Ejemplo 6.6, pag 267; ejemplo 6.7, pag 268

LA REGLA DEL PRODUCTO Y EL

TEOREMA DE BAYES

P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B/A) esto se conoce como la regla o teorema del producto

P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B) cuando los sucesos A y B son independientes

Ejemplos 6.8 y 6.9 pags 270-1

el Teorema de Bayes:

P(A/B) = P(A) − P(B/A)/P(B)

Ejemplo 6.11, pag 278

Teorema de la probabilidad total

Sean los sucesos A1,A2,...,Ak una partición del espacio muestral, es decir, son incompatibles dos a dosAi Aj= Ø y A1U A2U...U Ak=E=1 y sea B un suceso cualquiera, entonces:

ejemplo 6.10, pag 275

Para calcular P(B) es de gran ayuda la representación de un diagramade árbol como su muestra en el ejemplo.

Tenemos tres urnas, la primera contiene 4 bolas blancas y 2 negras,la segunda 3 blancas y 3 negra y la tercera 3 blancas y 6 negras.

Se elige una urna al azar (se supone que la elección de urnas es equiprobable) y se extrae una bola. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea negra.

P(N) = P( N / U1 )·P(U1)+P( N / U2 )·P(U2)+P( N / U3 )·P(U3)

Algunas aplicaciones de la probabilidad

condicionada a la psicología de la salud

- Prevalencia: proporción de casos existentes de una enfermedad en un momento determinado

Incidencia: proporción de casos nuevos de una enfermedad en una población durante un periodo determinado.

Existe una relación entre incidencia y prevalencia. Si los casos nuevos, incidentes, no se resuelven, se hacen crónicos, prevalentes

Otras aplicaciones

Análisis de factores de riesgo de o probabilidad de que aumente un problema o enfermedad Ejemplo 6.12, pag282

Valoración de la calidad de las pruebas diagnósticas

Sensibilidad o probabilidad de discriminar a los verdaderos positivos. Probabilidad de que los que tengan un trastorno den positivo en la prueba P(+/T)

Especificidad o probabilidad de detectar a los verdaderos negativos. Probabilidad de que los que no tienen el trastorno den negativo en la prueba p(-/NT)

Valor predictivo positivo P(T/+). [Falsos positivos P(NT/+)]

Valor predicitivo negativo P(NT/-). [Falsos negativos P(+/N)]

Ejemplo 6.13, pag 285