tema 4 exponentes y polinomios
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MATEMATICAS BASICAS
Autora: Jeanneth Galeano PenalozaEdicion: Oscar Guillermo Riano
Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas
Sede Bogota
Enero de 2015
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y Polinomios 1 / 1
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Parte I
Algebra elemental
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Leyes de los exponentes
Si n es un entero positivo y a es un numero real, se define
an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸n veces
Si a 6= 0, como a · 1a = 1 escribimos a−1 = 1
a y a−n = 1an
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Leyes de los exponentes
Si n es un entero positivo y a es un numero real, se define
an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸n veces
Si a 6= 0, como a · 1a = 1 escribimos a−1 = 1
a y a−n = 1an
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Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn(ab
)n= an
bn
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Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn(ab
)n= an
bn
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Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n
Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn(ab
)n= an
bn
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Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn(ab
)n= an
bn
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Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn(ab
)n= an
bn
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Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn
(ab
)n= an
bn
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Leyes de los exponentes
Propiedades
Para m, n enteros positivos, a 6= 0, b 6= 0
aman = am+n
am
an = am−n Fam
am = a0 = 1
(am)n = amn
(ab)n = anbn(ab
)n= an
bn
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Radicales
Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.
Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a
Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal
que bn = a
Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.
Si a = 0, entonces n√a = 0
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Radicales
Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.
Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a
Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal
que bn = a
Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.
Si a = 0, entonces n√a = 0
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Radicales
Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.
Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a
Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal
que bn = a
Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.
Si a = 0, entonces n√a = 0
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Radicales
Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un numero real.
Si a > 0, entonces n√a es el numero real positivo b tal que bn = a
Si a < 0 y n es impar, entonces n√a es el numero real negativo b, tal
que bn = a
Si a < 0 y n es par, entonces n√a no es un numero real.
Si a = 0, entonces n√a = 0
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Propiedades de los radicales
( n√a)n = a, si n
√a es un numero
real
n√an = a, si a ≥ 0
n√an = a, si a < 0 y n es impar
n√an = |a|, si a < 0 y n es par
( 2√
25)2 = 25
3√
23 = 23√
(−2)3 = −22√
(−4)2 = 4 = |−4|
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Propiedades de los radicales
( n√a)n = a, si n
√a es un numero
realn√an = a, si a ≥ 0
n√an = a, si a < 0 y n es impar
n√an = |a|, si a < 0 y n es par
( 2√
25)2 = 253√
23 = 2
3√
(−2)3 = −22√
(−4)2 = 4 = |−4|
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Propiedades de los radicales
( n√a)n = a, si n
√a es un numero
realn√an = a, si a ≥ 0
n√an = a, si a < 0 y n es impar
n√an = |a|, si a < 0 y n es par
( 2√
25)2 = 253√
23 = 23√
(−2)3 = −2
2√
(−4)2 = 4 = |−4|
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Propiedades de los radicales
( n√a)n = a, si n
√a es un numero
realn√an = a, si a ≥ 0
n√an = a, si a < 0 y n es impar
n√an = |a|, si a < 0 y n es par
( 2√
25)2 = 253√
23 = 23√
(−2)3 = −22√
(−4)2 = 4 = |−4|
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Propiedades de los radicales
n√ab = n
√a n√b
n√
ab =
n√an√b
m√
n√a = mn
√a
2√
36 = 2√
4× 9 = 2√
4 2√
9
2
√3649 =
2√362√49
3√
2√
64 = 6√
64
OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n
√a y n√b no existe.
NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.
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Propiedades de los radicales
n√ab = n
√a n√b
n√
ab =
n√an√b
m√
n√a = mn
√a
2√
36 = 2√
4× 9 = 2√
4 2√
9
2
√3649 =
2√362√49
3√
2√
64 = 6√
64
OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n
√a y n√b no existe.
NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.
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Propiedades de los radicales
n√ab = n
√a n√b
n√
ab =
n√an√b
m√
n√a = mn
√a
2√
36 = 2√
4× 9 = 2√
4 2√
9
2
√3649 =
2√362√49
3√
2√
64 = 6√
64
OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n
√a y n√b no existe.
NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.
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Propiedades de los radicales
n√ab = n
√a n√b
n√
ab =
n√an√b
m√
n√a = mn
√a
2√
36 = 2√
4× 9 = 2√
4 2√
9
2
√3649 =
2√362√49
3√
2√
64 = 6√
64
OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n
√a y n√b no existe.
NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.
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Propiedades de los radicales
n√ab = n
√a n√b
n√
ab =
n√an√b
m√
n√a = mn
√a
2√
36 = 2√
4× 9 = 2√
4 2√
9
2
√3649 =
2√362√49
3√
2√
64 = 6√
64
OJO si n es par y a y b son negativos n√ab existe, pero n
√a y n√b no existe.
NOTA. Para que estas igualdades se den, recuerde que todas lasexpresiones involucradas deben existir y ser reales.
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Exponentes racionales
Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(
a1/n)n
= a(1/n)n = a1 = a
entonces, segun la definicion de la raız n-esima
a1/n = n√a.
En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos
am/n =(
n√a)m
.
am/n = n√am.
Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.
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Exponentes racionales
Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(
a1/n)n
= a(1/n)n = a1 = a
entonces, segun la definicion de la raız n-esima
a1/n = n√a.
En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos
am/n =(
n√a)m
.
am/n = n√am.
Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.
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Exponentes racionales
Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(
a1/n)n
= a(1/n)n = a1 = a
entonces, segun la definicion de la raız n-esima
a1/n = n√a.
En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos
am/n =(
n√a)m
.
am/n = n√am.
Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.
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Exponentes racionales
Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(
a1/n)n
= a(1/n)n = a1 = a
entonces, segun la definicion de la raız n-esima
a1/n = n√a.
En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos
am/n =(
n√a)m
.
am/n = n√am.
Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.
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Exponentes racionales
Con el fin de dar significado al sımbolo a1/n de manera que sea consistentecon las leyes descritas anteriormente,(
a1/n)n
= a(1/n)n = a1 = a
entonces, segun la definicion de la raız n-esima
a1/n = n√a.
En general, para m/n un numero racional, con n > 1 y a un numero realtenemos
am/n =(
n√a)m
.
am/n = n√am.
Si n es par, entonces es necesario que a ≥ 0.
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Exponentes
Ejemplo
Simplificar
45 × 63
92 × 104=
(22)5 × (2× 3)3
(32)2 × (5× 2)4
=210 × 23 × 33
34 × 54 × 24
=213 × 33
34 × 54 × 24
=29
3× 54
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Exponentes
Ejemplo
Simplificar
45 × 63
92 × 104
=(22)5 × (2× 3)3
(32)2 × (5× 2)4
=210 × 23 × 33
34 × 54 × 24
=213 × 33
34 × 54 × 24
=29
3× 54
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Exponentes
Ejemplo
Simplificar
45 × 63
92 × 104=
(22)5 × (2× 3)3
(32)2 × (5× 2)4
=210 × 23 × 33
34 × 54 × 24
=213 × 33
34 × 54 × 24
=29
3× 54
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Exponentes
Ejemplo
Simplificar
45 × 63
92 × 104=
(22)5 × (2× 3)3
(32)2 × (5× 2)4
=210 × 23 × 33
34 × 54 × 24
=213 × 33
34 × 54 × 24
=29
3× 54
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Exponentes
Ejemplo
Simplificar
45 × 63
92 × 104=
(22)5 × (2× 3)3
(32)2 × (5× 2)4
=210 × 23 × 33
34 × 54 × 24
=213 × 33
34 × 54 × 24
=29
3× 54
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Exponentes
Ejemplo
Simplificar
45 × 63
92 × 104=
(22)5 × (2× 3)3
(32)2 × (5× 2)4
=210 × 23 × 33
34 × 54 × 24
=213 × 33
34 × 54 × 24
=29
3× 54
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Exponentes
Ejercicio
Simplifique las siguientes expresiones.
1(3×5)4×415
26×38
(35
)9
2 22/3×51/4
45/3
35√8×83/2
25/4 · 8√
164
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Parte II
Polinomios
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Polinomios
Definicion
Un polinomio en la variable x es una expresion de la forma
p(x) := anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x + a0
donde an, an−1, . . . , a1, a0 son reales, x representa una variable y n es unnumero natural.
Si n es la mayor potencia de la variable se dice que el polinomio es degrado n.
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Polinomios
Definicion
Un polinomio en la variable x es una expresion de la forma
p(x) := anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x + a0
donde an, an−1, . . . , a1, a0 son reales, x representa una variable y n es unnumero natural.Si n es la mayor potencia de la variable se dice que el polinomio es degrado n.
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Polinomios
Ejemplo
Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal.
Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.
Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.
Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.
Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.
3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.
x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.
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Polinomios
Ejemplo
Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.
Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.
Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.
Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.
3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.
x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.
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Polinomios
Ejemplo
Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.
Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.
Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.
Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.
3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.
x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.
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Polinomios
Ejemplo
Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.
Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.
Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.
Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.
3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.
x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.
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Polinomios
Ejemplo
Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.
Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.
Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.
Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante.
Por ejemplo,p(x) = 5.
3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.
x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.
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Polinomios
Ejemplo
Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.
Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.
Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.
Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.
3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.
x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.
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Polinomios
Ejemplo
Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.
Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.
Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.
Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.
3√x + 3x2 + 5
NO es un polinomio.
x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.
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Polinomios
Ejemplo
Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.
Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.
Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.
Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.
3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.
x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.
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Polinomios
Ejemplo
Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.
Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.
Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.
Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.
3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.
x2/5 + 3x4 − 1
NO es un polinomio.
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Polinomios
Ejemplo
Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.
Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.
Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.
Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.
3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.
x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.
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Operaciones entre polinomios
Suma
Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,multiplicacion y division, simplemente procedemos teniendo en cuenta queson sumas y productos de numeros reales.
Por ejemplo, al realizar la suma (2x + 3) + (x2 − x + 2), usando laspropiedades asociativa y conmutativa de numeros reales y factorizando lavariable tenemos:
(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)
= x2 + (2− 1)x + 5
= x2 + x + 5
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Operaciones entre polinomios
Suma
Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,multiplicacion y division, simplemente procedemos teniendo en cuenta queson sumas y productos de numeros reales.Por ejemplo, al realizar la suma (2x + 3) + (x2 − x + 2), usando laspropiedades asociativa y conmutativa de numeros reales y factorizando lavariable tenemos:
(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)
= x2 + (2− 1)x + 5
= x2 + x + 5
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Operaciones entre polinomios
Suma
Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,multiplicacion y division, simplemente procedemos teniendo en cuenta queson sumas y productos de numeros reales.Por ejemplo, al realizar la suma (2x + 3) + (x2 − x + 2), usando laspropiedades asociativa y conmutativa de numeros reales y factorizando lavariable tenemos:
(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)
= x2 + (2− 1)x + 5
= x2 + x + 5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y Polinomios 14 / 1
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Operaciones entre polinomios
Suma
Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,multiplicacion y division, simplemente procedemos teniendo en cuenta queson sumas y productos de numeros reales.Por ejemplo, al realizar la suma (2x + 3) + (x2 − x + 2), usando laspropiedades asociativa y conmutativa de numeros reales y factorizando lavariable tenemos:
(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)
= x2 + (2− 1)x + 5
= x2 + x + 5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y Polinomios 14 / 1
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Operaciones entre polinomios
Suma
Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,multiplicacion y division, simplemente procedemos teniendo en cuenta queson sumas y productos de numeros reales.Por ejemplo, al realizar la suma (2x + 3) + (x2 − x + 2), usando laspropiedades asociativa y conmutativa de numeros reales y factorizando lavariable tenemos:
(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)
= x2 + (2− 1)x + 5
= x2 + x + 5
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y Polinomios 14 / 1
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Operaciones entre polinomios
Diferencia
De forma analoga con la diferencia:
(2x + 3)− (x2 − x + 2)
= −x2 + (2x − (−x)) + (3− 2)
= −x2 + (2 + 1)x + 1
= −x2 + 3x + 1
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y Polinomios 15 / 1
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Operaciones entre polinomios
Diferencia
De forma analoga con la diferencia:
(2x + 3)− (x2 − x + 2) = −x2 + (2x − (−x)) + (3− 2)
= −x2 + (2 + 1)x + 1
= −x2 + 3x + 1
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Operaciones entre polinomios
Diferencia
De forma analoga con la diferencia:
(2x + 3)− (x2 − x + 2) = −x2 + (2x − (−x)) + (3− 2)
= −x2 + (2 + 1)x + 1
= −x2 + 3x + 1
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Operaciones entre polinomios
Diferencia
De forma analoga con la diferencia:
(2x + 3)− (x2 − x + 2) = −x2 + (2x − (−x)) + (3− 2)
= −x2 + (2 + 1)x + 1
= −x2 + 3x + 1
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Operaciones entre polinomios
Producto
Para el producto:
(2x + 3)(x2 − x + 2)
= 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)
= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6
= 2x3 + x2 + x + 6
Note que aquı la propiedad distributiva del producto con respecto a lasuma es muy importante.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y Polinomios 16 / 1
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Operaciones entre polinomios
Producto
Para el producto:
(2x + 3)(x2 − x + 2) = 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)
= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6
= 2x3 + x2 + x + 6
Note que aquı la propiedad distributiva del producto con respecto a lasuma es muy importante.
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y Polinomios 16 / 1
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Operaciones entre polinomios
Producto
Para el producto:
(2x + 3)(x2 − x + 2) = 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)
= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6
= 2x3 + x2 + x + 6
Note que aquı la propiedad distributiva del producto con respecto a lasuma es muy importante.
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Operaciones entre polinomios
Producto
Para el producto:
(2x + 3)(x2 − x + 2) = 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)
= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6
= 2x3 + x2 + x + 6
Note que aquı la propiedad distributiva del producto con respecto a lasuma es muy importante.
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Operaciones entre polinomios
Producto
Para el producto:
(2x + 3)(x2 − x + 2) = 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)
= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6
= 2x3 + x2 + x + 6
Note que aquı la propiedad distributiva del producto con respecto a lasuma es muy importante.
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Operaciones entre polinomios
Factorizacion
Si un polinomio p(x) se puede expresar como producto de polinomios demenor grado, decimos que el polinomio se encuentra factorizado.
Por ejemplo,
p(x) = x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)
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Operaciones entre polinomios
Factorizacion
Si un polinomio p(x) se puede expresar como producto de polinomios demenor grado, decimos que el polinomio se encuentra factorizado.Por ejemplo,
p(x) = x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)
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Operaciones entre polinomios
Productos notables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2
(a− b)(a + b) = a2 − b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y Polinomios 18 / 1
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Operaciones entre polinomios
Productos notables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2
(a− b)(a + b) = a2 − b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y Polinomios 18 / 1
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Operaciones entre polinomios
Productos notables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2
(a− b)(a + b) = a2 − b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y Polinomios 18 / 1
![Page 69: Tema 4 Exponentes y Polinomios](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022052603/55cf92ce550346f57b99b23b/html5/thumbnails/69.jpg)
Operaciones entre polinomios
Productos notables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2
(a− b)(a + b) = a2 − b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Exponentes y Polinomios 18 / 1
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Operaciones entre polinomios
Productos notables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2
(a− b)(a + b) = a2 − b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
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Operaciones entre polinomios
Factorizacion
a2 − b2 = (a− b)(a + b)
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
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Operaciones entre polinomios
Factorizacion
a2 − b2 = (a− b)(a + b)
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
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Operaciones entre polinomios
Factorizacion
a2 − b2 = (a− b)(a + b)
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
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