5 exponentes
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apuntes para la materia deálgebraEscuela Preparatoria Lázaro CárdenasUniversidad Michoacana de San Nicolás de HidalgoUruapan, Michoacan MexicoTRANSCRIPT
5. EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES.
5.1. Propiedades de los exponentes fraccionarios.
5.2. Operaciones con exponentes fraccionarios.
5.3. Definición de raíz
5.4. Propiedades de los radicales.
5.5. Simplificación de un radical.
5.6. Suma de radicales.
5.7. Multiplicación y división de radicales.
5.8. Racionalización.
Antecedentes
Vestigios arqueológicos encontrados en Mesopotamia han permitido comprobar que los babilonios
utilizaban la potenciación para efectuar multiplicaciones basándose en la propiedad de que el producto de
dos números es igual al cuadrado de la semisuma menos el cuadrado de su semidiferencia. El matemático
griego Diofanto utilizó la yuxtaposición para representar las potencias. De este modo x, xx, xxx…
representaban la primera, segunda y tercera potencias de x respectivamente. La notación actual con
exponentes fue introducida por René Descartes (1596-1650).
A principios del Siglo X y hasta el siglo XIV, los matemáticos chinos se interesaron en el álgebra
aritmética. Un matemático chino descubrió la relación entre el cálculo de raíces y el arreglo de
coeficientes binomiales del triángulo de Pascal. Este descubrimiento y la multiplicación repetitiva (con
iteraciones) se emplearon para extender la extracción de raíces y para resolver ecuaciones de grado mayor
al cúbico.
El signo de la raíz cuadrada puede rastrearse en el tiempo hasta Christoff Rudolf (1500-1545), quien
lo escribió como con dos trazos. Rudolf pensó que recordaba el aspecto de la r minúscula, la inicial
de la palabra radix, que significa raíz. Así la notación es x y se lee “la raíz cuadrada de x”
5.1 Propiedades de los exponentes fraccionarios Los exponentes fraccionarios provienen de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente del
término radicando se divide por el índice de la raíz; si el cociente no es una cantidad entera, la división
queda indicada, dando lugar al exponente fraccionario, es decir:
nn aa 1
n m
m
nnm
bbb
1
Exponentes fraccionarios y radicales
Capitulo 5
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 2
5.2 Operaciones con exponentes fraccionarios La ley de los exponentes en la multiplicación, que nos dice que para multiplicar potencias de la misma
base se suman los exponentes es general y se aplica igualmente cuando las cantidades que se multiplican
tienen exponentes negativos o fraccionarios.
a-4 a = a
-3 a
-1 a
-2 = a
-3 4
5
4
3
2
1
4
3
2
1
aaaa
a3 a
-5 = a
-2 a
3 a
-3 = a
0 = 1 4
1
2
1
4
3
2
1
4
3
aaaa
Recordando las propiedades de los exponentes:
mnnm aaa mnnm aa mmmbaab
nmaa
a nm
n
m
, nmaa
a mn
n
m
, m
m
aa
1
así mismo m
ma
a
1
Ejemplo:
Multiplicar 12
1
2
1
1 32
yyxx por 12
1
2
1
1
yyxx
Los polinomios están ordenados en orden ascendente con relación a x porque el exponente de x en el
segundo termino -½ es mayor que el exponente de x en el primer termino -1 y el tercer termino y-1
equivale a x0y
-1 y 0 es mayor que el -½.
Tendremos
12
1
2
1
1 32
yyxx
12
1
2
1
1
yyxx
112
1
2
3
2 32
yxyxx
2
3
2
1
112
1
2
3
32
yxyxyx
22
3
2
111 32
yyxyx
22
3
2
1
2
1
2
3
2 2 2
yyxyxx
Ejemplo:
Multiplicar 3
1
3
2
1 baaab por 13
1
233
1
babba
13
1
233
1
3
1
3
2
1
babba
baaba
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 3
23
2
343
4
baabba
13
1
23
2
3 babaab
113
1
23
2
baba
1 3 23
2
43
4
baba
El 1 último se obtiene porque el producto 111003
1
3
1
bababa
La ley de los exponentes en la división que nos dice que para dividir potencias de la misma base se resta
el exponente del dividendo, se aplica igualmente cuando los exponentes de las cantidades que se dividen
son negativos o fraccionarios.
32121 aaaa
25353 aaaa
31212 aaaa
3
4
3
11
3
11
3
1
aaaaa
4
1
4
3
2
1
4
3
2
1
aaaa 4
3
2
1
4
1
2
1
4
1
aaa
Ejemplo:
Dividir 73531 2 baabba entre
443322 2 bababa Dividendo y divisor están ordenados en orden ascendente a la a. Tendremos:
312213 2 bababa 443322 2 bababa
73531 2 baabba
5431 2 abbba
54 32 abb
6254 242 baabb
73625 2 babaab
73625 2 babaab
Al dividir 2b-4 entre a2b-2 como en el dividendo no hay a y en el divisor hay a2 debe de tenerse presente que 2b-
4 equivale a 2a0b-4 y dividiendo esta cantidad entre a2b-2 tenemos
2a0b-4 a2b-2 = 2a0-2b-4+2 = 2a2b-2 que es el resultado del cociente.
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5 - 4
Ejemplo:
Dividir:
2
1
2
1
32
xx
2
1
2
1
14
xx 12
1
2
1
31174
xxxx
1 4 2
1
xx
2
1
2
1
108
xx
2
1
2
1
22 8-
xx
12
1
3312
xx
12
1
3312
xx
Al efectuar la división entre de 12 entre 2
1
4x podemos considerar que 12 tiene x0 y tendremos
2
1
2
10
2
1
02
1
33412412
xxxxx
O sea que si en el divisor hay una letra que no la hay en el dividendo, esa letra aparece en el cociente con
el signo cambiado.
5.3 Definición de raíz
La se llama signo radical. El número o expresión dentro del radical se llama radicando. Toda la
expresión, incluyendo el signo radical y el radicando recibe el nombre de expresión radical. Otra parte de
una expresión radical es su índice. El índice indica la “raíz” de la expresión. Las raíces cuadradas tienen
un índice de 2. El índice de las raíces cuadradas por lo general no se escribe.
x Significa 2 x .Otros tipos de expresiones radicales tienen índices diferentes. Por ejemplo 3 x es la
raíz tercera o cúbica de x. El índice de las raíces cúbicas es 3.
8 se lee “la raíz cuadrada de 8” y su radicando es 8
x5 se lee “la raíz cuadrada de 5x” y su radicando es 5x
y
x
2 se lee “la raíz cuadrada de x entre 2y” y el radicando es
y
x
2
Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una raíz cuadrada positiva y una raíz cuadrada negativa.
La raíz cuadrada positiva o principal de un número real positivo x, que se describe como x , es el
número positivo cuyo cuadrado es igual a x.
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5 - 5
Algo que debes de comprender bien es que las raíces cuadradas de los números negativos no son número
reales. Consideremos 4 ¿A que es igual 4 ? Para evaluar esto, 4 , debemos encontrar un
número cuyo cuadrado sea igual a –4. Pero sabemos que el cuadrado de cualquier número distinto de cero
debe de ser un número positivo. Por lo tanto ningún número elevado al cuadrado da –4 y 4 no tiene
valor real. Los números como 4 o la raíz cuadrada de cualquier número negativo, se llaman números
imaginarios.
Para ayudarnos en el análisis de los números racionales e irracionales, definiremos los números cuadrados
perfectos. Los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... se llaman números cuadrados perfectos porque cada uno
de ellos es el cuadrado de un número natural. Cuando un número cuadrado perfecto es un factor de un
radicando, nos referimos a él como un factor cuadrado perfecto.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... número naturales
12, 2
2, 3
2, 4
2, 5
2, 6
2, 7
2, ... cuadrados de los número naturales
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... números cuadrados perfectos
Un número racional es aquel que se puede escribir de la forma b
a, donde a y b son enteros diferentes de
cero (b0). Todos los enteros son números racionales, por que se pueden expresar con un denominador
igual a 1. Las raíces cuadradas de los números cuadrados perfectos también son números racionales
porque cada uno es un entero. Cuando un número racional se escribe como decimal, será un decimal
finito o periódico.
Decimal finito Decimal periódico
5.02
1 ...333.0
3
1
25.04
1 ...666.0
3
2
0.24 ...1666.0
6
1
Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales. Al escribir los números
irracionales como decimales, no son decimales infinitos ni periódicos. La raíz cuadrada de cualquier
entero positivo que no sea un cuadrado perfecto es un número irracional.
Por ejemplo, 2 y 3 son números irracionales.
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5 - 6
Número cuadrado
perfecto
Raíz cuadrada del número
cuadrado perfecto Valor
1 1 1
4 4 2
9 9 3
16 16 4
25 25 5
36 36 6
49 49 7
64 64 8
81 81 9
100 100 10
121 121 11
144 144 12
169 169 13
196 196 14
225 225 15
256 256 16
289 289 17
324 324 18
361 361 19
400 400 20
Clasificar los números que aparecen en la tabla siguiente; los que sean racionales expresarlos como el
cociente de dos enteros.
N U M E R O
-3 0 100 20% 0.333... 09.0 .333 12
25 7
43
2
3 25
2
32
Entero
positivo
Entero
negativo
Racional
Cociente
de dos
enteros 1
3
1
0
1
10
5
1
3
1
10
3
1000
333
12
5
5
2
1
4
Irracional
Hay ocasiones en que es más conveniente trabajar con radicales que con exponentes racionales y
viceversa. Con frecuencia es preferible intercambiar las dos formas. Las siguientes relaciones son útiles al
respecto:
Considera que para b no negativo, cuando n es par
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 7
nn aa 1
n m
m
nnm
bbb
1
Los siguientes ejemplos deben aclarar el proceso de cambiar una forma por la otra. Todas las variables
representan números reales positivos.
55 21
771
xx 3 23
2
mm o bien 23 m
355 33253
32 32333 vuvuvu 21
1313 233 23
23
2 111
yyyy
32
323 2
11
xxx
4
3
4 3 ww 41
444 44 yxyx
54
225422 33 yxyx
E J E R C I C I O S 5 .1 :
Cambia a la forma radical. No simplifiques
2
1
11 4
1
6 7
3
4y
3
2
5m 2
1
ba 2
1
7
5
3
U 52
34ab 3
1
5
4
3
x 7
3
4y 3
227 yx
Cambia a la forma exponente racional. No simplifiques. 21 y 6 4 w
7 m 5 3y 4 2a
4 3xy 5
4337 nm 22 yx
Para ayudarnos a cambiar y simplificar las expresiones con radicales, veremos varias propiedades de los
radicales. Para comenzar, consideremos los siguientes ejemplos:
Ejemplo:
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 8
22222 15
5
5
155 5
63694 o bien 63294
394
36 o bien 3
2
6
4
36
3 23
123
2
6
4
6
146 4 222222
5.4 Propiedades de los radicales Estos ejemplos sugieren las siguientes propiedades generales de los radicales. n, m y k son números
naturales 2, x y y son números reales positivos.
1.- xxn n 3.- n
n
n
y
x
y
x
2.- nnn yxxy 4.-n mkn km xx
Estas propiedades se comprueban de la siguiente manera:
1.- xxxx n
n
nnn n
1
3.-
n
n
n
nn
n
y
x
y
x
y
x
y
x
1
11
2.- nnnnnn yxyxxyxy
111
4.- n mn
m
kn
km
knkmkn km xxxxx 1
El siguiente ejemplo ilustra como se aplican estas propiedades. Todas las variables representan números
reales positivos.
Propiedad 1: yxyx 2552 33
Propiedad 2: 2522522550510
Propiedad 3: 32727
3
3
3
3xxx
o bien: 3
3
1x
Propiedad 4: 3 232 226 4 xxx
Las leyes de los radicales nos brindan los elementos para cambiar las expresiones algebraicas con
radicales por una variedad de formas equivalentes.
Una forma muy útil es la forma radical más simple. Se dice que una expresión algebraica con radicales
está en la forma radical más simple, cuando satisface las cuatro condiciones siguientes:
Forma radical más simple
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5 - 9
1.- El radicando (expresión dentro del signo radical) no contiene ningún factor polinomial de una potencia
mayor o igual al índice del radical.
3x Viola esta condición
2.- La potencia del radicando y el índice del radical no tienen ningún factor común, que no sea 1.
6 4x Viola esta condición
3.- No aparece un radical en el denominador.
5
3Viola esta condición
4.- No aparece ninguna fracción dentro del radical.
3
2Viola esta condición
Es necesario comprender que ocasionalmente, pueden ser más útiles otras formas que no sean con la
forma radical más simple. La elección depende de la situación.
Ejemplo:
Cambia a la forma radical más simple
26262672 22
xxxxxxx 2224248 223
3 29 6 xx
33
33
3
3
3
3
3
3x
xxx
2
2
4
2
4
2
22
2
2
xxxxx
o bien x2
2
1
Al proceso de suprimir los radicales de un denominador se le llama racionalización del denominador.
5.5 Simplificación de un radical Una expresión que contiene radicales está en su forma más sencilla sí:
No se puede sacar ningún factor del radicando.
No puede reducirse ningún índice.
No hay fracciones dentro del radical.
No hay radicales en el denominador.
Ejemplo:
Reducir:
23232318 22
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5 - 10
xxx 5525 4 24 2
2
2
4
22
4
28
4
16
4
4
4
1
4
1 3333
3 3
3
3 2
3 2
33
5
52
5
2
5
4
5
4
2
1
x
x Para eliminar el radical 2 del denominador recordemos la formula del producto de binomios
conjugados (a-b)(a+b)=a2-b
2; así multiplicando el numerador y el denominador de la
expresión por (x+2), obtenemos:
2
212
2
2
2
12
2
x
xx
x
x
x
x
5.6 Suma y resta de radicales Con frecuencia es posible simplificar las expresiones algebraicas con radicales sumando o restando
términos que contengan exactamente las mismas expresiones.
Ejemplo:
Combinando todos los términos posibles
393453435
3 23 23 23 2 57272 xyxyxyxy
33333 9772437423 xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy
Así vemos que, si dos términos contienen exactamente el mismo radical con el mismo índice y también el
mismo radicando, se pueden combinar en uno solo.
Ejemplo:
Expresemos ahora, los términos en su forma radical más simple y combinarlos hasta donde sea posible.
18284 292244
2628
22
3
1122
33
31342
3
334
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 11
3
3
14
3
3
11 o bien
3
311
33
9181 3
2
3 3
3
3
3
133
33 3
3
133
3 3
3
13
3 33
8
5.7 Multiplicación y división con radicales Ahora estudiaremos varios tipos de productos y cocientes especiales con radicales. En nuestro
planteamiento de estos problemas la propiedad distributiva de los números reales desempeña un papel
importante.
Ejemplo:
Multiplicamos y simplificamos
3102 32102
2320
2354
5232 15252322
15222
1322
53 xx 1553 xxxx
152 xx
3 233 23 nmnm 3 333 223 3 nmnnmm
nnmm 3 22
Recuerda que para expresar 2/3 en su forma radical más simple multiplicamos por 3 el numerador y el
denominador, con el propósito de suprimir del denominador el radical.
3
6
33
32
3
2
El denominador se convierte así en un número racional.
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 12
5.8 Racionalización El proceso de convertir los denominadores irracionales en formas racionales se llama racionalización del
denominador.
Veamos ahora como se racionaliza el denominador binomial de23
1
De nada sirve multiplicar el numerador y denominador por 3 o por 2. Pero al recordar el producto
notable: (a-b)(a+b)=a2-b
2. Observamos que conviene multiplicar el numerador y el denominador pero con
el signo central opuesto. Así:
23
23
23
2323
231
23
1
23
2
232
2
2232
46
2212
2626
262
26
2
yx
yxyx
yxyx
yxyx
yx
yx
2
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 13
E J E R C I C I O S 5 .2 :
Extrae raíz cuadrada a los siguientes números.
1.- Multiplica un número de dos cifras y extráele la raíz cuadrada.
2.- Multiplica un número de 3 cifras por si mismo. y extráele raíz cuadrada.
3.- Comprueba que el número 1.7320 es la raíz cuadrada del número 3.
4.- Encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números. Los números que no tienen raíz cuadrada
perfecta, encuéntrala con dos decimales.
a) 5 b) 61 c) 121 d) 1000
e) 6 f) 81 g) 225 h) 12345
i) 49 j) 100 k) 235 l) 123456
5.- Expresa las siguientes potencias en forma de radical.
a) 52
3 = b) e) m8
3 = c) i) ( 27 x 2 )
13 =
d) 491
2 = e) f) xy1
2 = f) j) a
m
n =
g) x2
5 = h) g) 49 21
2x = i) k) 3
1
x =
j) a7
2 = k) h) (8 x3 )
13 = l) ( x3
yz9)
13 =
6.- Expresa los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario
a) 3x b) 6 3mn c) 8 86 yx
d) xy e) 7 325 yx f) 3 453 zyx
g) 5 223 yx h) 5 47ab i) 3yx
j) 23 yx k) 3 2cb
E J E R C I C I O S 5 .3 :
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 14
Saca del radical los factores que tengan raíz perfecta.
(a) 32 (b) 4 32
(c) 54 (d) yx38
(e) 80 (f) 3 5427 zy
(g) 75 (h) 8620 yx
(i) 72 (j) 3 9654 yx
(k) 98 (l) 3718 yx
(m) 28 (n) 3 357 yba
(o) 128 (p) 4 34916 zyx
(q) 3 54 (r) 5 1297 zyax
(s) 3 162 (t) 7 89 zx
(u) 45 (v) 4 3681 ba
(w) 63
E J E R C I C I O S 5 .4 :
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 15
Suma los siguientes radicales:
1.- 3 5 + 2 5 -5=
2.- 5 2 +7 2 -2=
3.- 33a + 5
3a - 6
3a =
4.- b + 2 b =
5.- 5 + 20 + 2 5=
6.- 52 + 50 =
7.- 18 - 32=
8.- 72 + 98 -200 =
9.- 316 - 3
354 =
10.- 7 + 28 + 63 =
11.- 3x x3y +5x
2xy =
12.- 2a3 a
4 b
4 -3a
2bab =
13.- 332 +
3108 + 3
3256=
14.- 3 24 + 53 =
15.- 45 + 20 +80 =
16.- 24 +54 +96=
17.- 5ax5y
3 + ax
2yxy =
18.- 3xx7 + 5x
9 + x
11 =
19.- 5aa2 x
3 y
5 + 2a
2yxy
3 =
E J E R C I C I O S 5 .5 :
Multiplicación de radicales
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 16
1.- 102525 * Pueden multiplicarse si tienen el mismo índice.
2.- 27249277147
3.- 424284533 6329292 yxyxyxyxxy multiplicados los coeficientes
4.- 2322
5.- 155
6.- 33 933
7.- 142
8.- xx 76
9.- 33 516
10.- 33 525
11.- yxxy 33 53
12.- xxy 23
13.- 63
14.- 66
15.- 1010
16.- 3 23 xx
17.- 852
18.- 8325
19.- xx 55
20.- xx 2727
21.- 2
2 x
22.- 2
532
23.- 2
3x
E J E R C I C I O S 5 .6 :
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 17
a) ( x ) 2 =
b) ( x2 y
2 )
1
2 ( x3 y
3 )
1
3 =
c) x
1
5 x
1
6 = d) ( a b )
1
2 ( a
1
3 b
1
4 )
1
4 =
e) 3
2
3 3
5
2 = f) ( x
1
2 y
1
2 )
1
3 ( x5 y
5 )
1
6 =
g) (81)
5
4 = h) x
2
3 ( 2x
1
2 -3 x
1
3 ) =
i) ( y3 )
3
2 = j) ( 3x
1
2 - 1)(3x
1
2 + 1) =
k) (x
3
2 )
5
4 = l) (x + 2 ) (x - 2 ) =
m) (3x )
1
3 = n) x(x -2) =
o) ( a b )
1
3 = p) ( + 1) (x - x+ 1)=
q) ( a2 b
2 )
5
3 = r) (
3 x
3 + 2 ) (
3x
3 - 2 =
s) ( 5x)
7
4 = t) 33 3
5
3 =
u) 3x(2x2y)
1
2 = v) 16
1
2 =
w) ( 2 x
1
3 y
1
2 )( 3 x
1
3 y
1
2 ) = x) 42
3 =
y) ( 18 )
1
2 = z) ( 5x
1
2 +6 )( 5 x
1
2 - 6 )=
aa) ( x
1
5 y
1
2 )5 = bb) ( 2
3 x
1
2 ) 2 ( 2 x
5
2 )3 =
cc) (a
1
2 b
3
2 )2 = dd) 3
1
2 3
1
4 =
ee) (3 2 )
1
5 = ff) 5
2
3 5
10
3 =
gg) ( 1 6 )
1
4 =
E J E R C I C I O S 5 .7 :
División de potencia de la misma base y exponente negativos.
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 18
1) x
x
x x x x
1
2
1
4
12
14
4 2
8
2
8
1
4
2) 5
5
2
3
2
4
3) (2-2
)2 = 4)
2
2
8
5
2
5
5) 21
2
12
6) x
x
6
5
2
3
7) (xy2)
-2 = 8)
a
a
7
4
1
4
9) x
x
5
10) b
b
3
4
15
4
11) (x-3)
3 = 12)
a
a
1
2
2
3
4
2
13) (5x-2
y)-1
= 14)
9
27
3
2
1
2
15) x y
x y
2 3
4 5 16)
x y
x y
2
3
1
2
1
3
1
2
17) (22)
0 + 1 = 18)
a b
a a
3
5
6
7
2
5
1
7
19) 210
x 20)
x y
x y
1
2
1
3
3
1
2
1
28
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 19
21) 2(xy)0 + 2 = 22)
2
4
1
3
1
5
1
2
1
2
1
2
x y
x y
23) (3 + 40)
2 = 24)
3
27
1
2
1
2
2
3
4
13
a b
x y
25) 3 7-1
= 26) 27
81
2
3
1
4
27) 2 1 21
2x y
28)
a b
a b
1
35
2
3
2
5
3
2
5
29) 3 31 2 13 3 2
3 x y y 30)
a
a
5
2
3
4
12
31) 3x2 y z 2x
-1 y
-2 z
-3= 32)
x y
x y
7
2
2
5
12
1
2
3
2
32
33) (x-1+2)
2= 34)
z
z
3
4
5
4
4
35) (x0+3)
2= 36)
a
a
2
3
5
4
12
37) x y1
21
22
2 38)
a b
a b
2
5
6
5
2
3
2
5
6
6
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 20
39) a
1
31
22
5 3 40) 64
16
1
3
1
2
41) (2x-1
+ 4)(2x-1
- 4)= 42) x-2x
6 = x
-2+4 = x
4
43) x y
3 21
3 44) x xx
2 1 2
2
1
45) 2 3
4 2
1 1
2 3
46) x-2
x-3
=
47) 7 5
2 6
2 1
3 1
48) 2-3
25 =
49) 3 6
4 3
2 1
1 3
E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S
5 - 21
E J E R C I C I O S 5 .8 :
Divide los siguientes radicales.
1.- 15
45 10.- 7 5 2
2.- 6
3 11.- a b a b8 9 3 5
3.- 20
5 12.- x y x
4.- 9
183 13.- 26 279 11 7 3x y x y
5.- 32
4
3
3 14.- 2 2 + 3 =
6.- 3
2 15.- 3 5 - 7 =
7.- x y
xy
3 3
16.- 11 13
17
8.- 18
2
3
3 4
ab
a b 17.- 7 14 3 2x x y
9.- 27
3
6 5
3
a b
a b