tema 4 5to

1

TEMA 3: CONJUNTOS

CONJUNTOS

NOCIÓN

Entenderemos como conjunto a la reunión,

agrupación, agregado, clase, colección o

familia de integrantes homogéneos o

heterogéneos con posibilidades reales o

abstractas, que reciben el nombre de

elemento del conjunto.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

A. Extensión o forma tabular

Se enuncia todos los elementos válidos

para conjuntos con escasa cantidad de

elementos o para aquellos que siendo

excesivamente numerosos (o hasta

infinitos) poseen una cierta ley de

formación la cual resulta evidente.

B. Comprensión o forma constructiva

Se enuncia a sus elementos por medio

de una propiedad o cualidad común a

ellos y que le es valida únicamente a

estos.

Ejemplos:

A. Determinar el conjunto de las cinco

vocales

B. Determinar el conjunto de los

números impares (+) menores que

16.

PPoorr eexxtteennssiióónn::

A = {a, e, i, o, u}

B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

PPoorr ccoommpprreennssiióónn::

A = {x/x es una vocal}

B = {x/x es un número impar < 16}

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Un elemento pertenece () a un conjunto si

forma parte o es agregado de dicho

conjunto. Un elemento no pertenece () a

un conjunto si no cumple con la condición

anotada.

La relación de pertenencia vincula cada

elemento con el conjunto, más no vincula

elementos o conjuntos entre sí.

Ejm:

P = {a, b, c, … , x, y, z}

b P P

m P 1 P

5 P

RELACIÓN DE INCLUSIÓN

Se dice que A esta incluido en el conjunto B

cuando todo elemento “A” pertenece a “B” la

inclusión se simboliza por:

A B x A x B

También puede decirse que A es parte de,

es contenido en, es subconjunto de conjunto

B. Se puede denotar también por B A que

se lee “A” incluye, contiene o es

superconjunto del conjunto A.

Ejm:

M = {Tener}

N = {Perros}

P = {Mamíferos}

Entonces: M N P N P

2

CONJUNTO NULO O VACÍO

Un conjunto que no posee elementos se

denomina conjunto vacío, también se le llama

conjunto nulo.

Se le denota comúnmente por: ó { }.

Convencionalmente el conjunto vacío es un

subconjunto de cualquier otro conjunto.

CONJUNTO UNITARIO

Es el conjunto que consta de un solo elemento,

al conjunto unitario también se le llama

SINGLETON.

CONJUNTO UNIVERSAL

Es un conjunto de referencia para el marco de

una situación particular, es posible elegirlo de

acuerdo a lo que se trata.

CONJUNTO DISJUNTOS

Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen

elementos comunes, también se les llama

conjuntos excluyentes.

CONJUNTO POTENCIA

Se llama así al que está formado por todos los

subconjuntos de un conjunto dado. Dado un

conjunto “A” cuyo número de elementos

(cardinal) es n(A), el cardinal de su conjunto

potencia P(A) será aquella potencia de 2 cuyo

exponente es n(A)

n[P(A)] = 2n(A)

SUBCONJUNTO PROPIO

Es aquel que siendo subconjunto de un conjunto

dado no es igual a este. Para un conjunto a de

cardinal n(A) tenemos:

# de subconjuntos propios de A = 2n(A) - 1

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Colocar el valor de verdad a cada proposición si:

A = {2; 3; {1}; {2, 1}}

A

3 A

1 A

{1} A

{3} A

A

a) FVFFVV b) FFVVFF c) FFFVVV

d) FVFVFV e) VVFVFV

2. ¿Cuántos subconjuntos tiene

A = {1, {1}, 1, }?

a) 16 b) 15 c) 8

d) 4 e) 32

3. ¿Cuántos subconjuntos tiene el siguiente

conjunto?

A = {x2/x Z; -9 < 2x – 1 < 11}

a) 10 b) 12 c) 15

d) 18 e) 23

4. Calcular la suma de los elementos del conjunto

A.

A = {x/x N; 10 < 3x + 2 < 18}

a) 10 b) 12 c) 15

d) 18 e) 23

5. Colocar el valor de verdad a cada proposición si:

A = {8; 3; {2}; {1, 3}}

3 A ( ) 8 A ( )

2 A ( ) 3 {1, 3} ( )

{3} A ( ) 4 A ( )

6. Si el conjunto A tiene 2 elementos. ¿Cuántos

subconjunto propios tendrá P(A)?

a) 3 b) 7 c) 8

d) 31 e) 15

7. Determine por extensión el conjunto:

A = {x-1/ x N, 4 x < 9}

a) {0, 1} b) {0, 1, 2} c) {-1, 0}

3

d) {-1, 0, 1} e) {0,2}

8. Dado el conjunto:

B = {x+3/x Z, x2 < 9}

Calcule la suma de los elementos del conjunto

“B”

a) 12 b) 15 c) 3

d) 9 e) 18

9. Determine por extensión el siguiente conjunto:

T = {x/x = x12

x3

; x N}

a) {3} b) {3, 4} c) {0, 3}

d) {0, 3, 4} e) {0,4}

10. Sabiendo que el conjunto:

A = {a + b; a + 2b – 2; 10}

es un conjunto unitario

Dar el valor de a2 + b2.

a) 16 b) 80 c) 68

d) 58 e) 52

11. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene:

A = {x/x Z; -7 < 4x + 1 < 21}

a) 64 b) 63 c) 16

d) 15 e) 31

12. Sabiendo que los conjuntos:

A = {4a + 3b; 23}

B = {3a + 7b; 41}

son unitarios.

Hallar: a + b

a) 2 b) 4 c) 5

d) 7 e) 9

13. Si el siguiente conjunto es unitario:

A = {a + b; b + c; a + c; 6}

Calcular: a x b x c

a) 3 b) 6 c) 9

d) 18 e) 27

14. Determinar por extensión el siguiente conjunto:

A = {x2 – 3x + 2/ 1 x < 3 1x5 N}

a) { } b) {0} c) {1}

d) {2} e) {0, 1}

15. Dados los conjuntos:

A = {( x -3) Z/ 16 x2 625}

B = {(2y - 1) Z/ 2 2y3 7}

Hallar: n(A) + n(B)

a) 12 b) 14 c) 17

d) 23 e) N.A.

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Dados: A = {a2 + 9; b + 2}

B = {-9; 10}

Si se sabe que A = B. Calcular a – b

a) 9 b) 12 c) -10

d) -9 e) -12

2. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario.

M = {aa + b; 2a + b; 9}

Hallar: a . b

a) 8 b) 4 c) 6

d) 10 e) 12

3. Sean los conjuntos iguales:

A = {a3 + 2; 20}

B = {29; b5 – 4a}

Hallar: a2 + b2

a) 10 b) 12 c) 13

d) 18 e) 20

4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según

corresponda: M = {2; 3; {5}; {8; 10}}

I. n(M) = 5 IV. {2, {5}} M

II. {3} M V. {8; 10} M

III. {{5}} M

a) FFFVV b) VFVFV c) VFVVF

d) FFVVF e) FFVVV

5. Dado el conjunto: A = {; 5; 4; {4}}

¿Qué proposiciones son falsas?

I. A IV. A

II. {4} A V. {5} A

III. {5, 4} A

a) Solo IV b) Solo II c) Solo V

d) Solo IV y V e) N.A.

6. Calcular la suma de los elementos del conjunto B.

4

B = {x2/ x Z, -5 < x < 3}

a) 40 b) 30 c) 35

d) 32 e) 25

7. Sean los conjuntos iguales:

A = {a2 + 1; 12}

B = {a – b; 17}

¿Cuál puede ser el valor de a + b?

a) -12 b) -20 c) 12

d) 4 e) 10

8. El conjunto potencia de A tiene 512

subconjuntos. ¿Cuántos elementos tiene el

conjunto A?

a) 4 b) 2 c) 3

d) 8 e) N.A.

9. ¿Cuántas elementos tiene el conjunto potencia

del conjunto A?

A = {x/x es una cifra del número 3575}

a) 2 b) 12 c) 15

d) 13 e) 16

10. Si el conjunto A tiene 1024 subconjunto.

¿Cuántos elementos tiene A?

a) 6 b) 8 c) 9

d) 10 e) N.A.

11. Si: A = B

A = {3a+2 ; 81}

B = {3b+2 + 2; 27}

Hallar: a . b

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

12. ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son

vacíos?

A = {x N/ x + 1 = 0}

B = {x Z/ 3x + 1 = 0}

C = {x Q/ x2 - 7 = 0}

D = {x R/ x4 + 4 = 0}

a) 1 b) 2 c) 3

d) F.D. e) Todos

13. Señalar verdadero o falso:

I. = 0 ( )

II. 2 {3, 4, 2} ( )

III. {5, 6} {3, 4} ( )

IV. {1, 3} {1, 3, 2} ( )

V. {2} {{2}, 3} ( )

14. Dado el conjunto:

A = {x Z / -5 x -2}

Hallar la suma de los elementos.

a) 13 b) 15 c) 23

d) 42 e) N.A.

15. Si: B = {2x -1 / x N 1 < x < 7}

entonces no es cierto que:

a) 1 B b) 5 B c) 7 B

d) 9 B e) N.A.

5

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Debemos tener en cuenta los siguientes gráficos:

A. UNIÓN O REUNIÓN

A B = {x/x A x B}

Cuando los conjuntos tienen algo en

común.

Cuando los conjuntos no tienen nada

en común.

Cuando un conjunto incluye a otro.

B. INTERSECCIÓN

A B = {x/x A x B}

C. DIFERENCIA

A - B = {x/x A x B}

A - B

A – B

A - B

B - A = {x/x B x A}

B - A

B – A

B - A

A B

A B

A

B

A B

A B

A

B

A B

A B

A

B

A B

A B

A

B

6

D. DIFERENCIA SIMÉTRICA

A B = (A - B) (B - A) = (A B) – (A B)

E. COMPLEMENTO

PPRROOPPIIEEDDAADDEESS

(A’) = A (A B)’ = A’ B’

U’ = (A B)’ = A’ B’

’ = U

LLEEYYEESS YY PPRROOPPIIEEDDAADDEESS DDEELL ÁÁLLGGEEBBRRAA DDEE

CCOONNJJUUNNTTOOSS

I. IDEMPOTENCIA

A A = A

A A = A

II. CONMUTATIVA

A B = B A

A B = B A

A B = B A

III. ELEMENTOS NEUTROS

A U = U

A U = A

A = A

A =

IV. COMPLEMENTO

A A’ = U

A A’ =

(A’)’ = A

V. DIFERENCIA DE CONJUNTOS

A – B = A’ B’

A – B = B’ - A’

VI. LEYES DE MORGAN

(A B)’ = A’ B’

(A B)’ = A’ B’

VII. ASOCIATIVAS

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

VIII. DISTRIBUTIVAS

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

IX. SI A y B SON DISJUNTOS

A B =

A – B = A

B – A = B

A B = A B

A B

A B

A

B

A

7

X. ABSORCIÓN

A (A B) = A

A (A B) = A

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

16. Si: U = {x/x N 0 x 9}

(A B)’ = {0, 6, 9}

A B = {1, 2, 7}

A – B = {3, 5}

¿Cuál es la suma de los elementos de (B - A)?

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

17. Si: A B = y además

n [P(A B)] = 256

n(A) – n(B) = 1

n[A B] = 3

Hallar: n(B)

a) 3 b) 5 c) 7

d) 8 e) 4

18. Determinar: E = (A - B) (B - C)

Si: A = {x/x N / x es divisor de 12}

B = {x/x es un número natural / x es divisor

de 18}

C = {x/x N / x es divisor de 16}

Dar como respuesta n(E)

a) 1 b) 0 c) 2

d) 3 e) N.A.

19. En los diagramas mostrados como se puede

expresar lo sombreado.

I.

II.

III.

20. Sean A = {1, 5, 7, 8, 9}

B = {1, 5, 8, 9}

C = {1, 8}

D = {1, 9, 7}

Hallar: (A C) – (B D)

a) {8} b) {9} c) {7, 8}

d) {9, 7} e) {9, 8}

21. Para dos conjuntos A y B se tiene que:

A B = {x/x Z / 2 x 8}

A B = {5}

A – B = {4, 6, 7}

Hallar la suma de los elementos de B.

a) 31 b) 12 c) 18

d) 15 e) N.A.

22. Sean A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {2, 4, 6, 8, 10}

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Hallar:

E = [A (B C)’] (A’ – B’)

Siendo:

U = {x/x N x < 12}

a) {9, 11} b) {9, 10, 11} c) {8, 9, 10}

d) {8, 10, 11} e) N.A.

23. Sean los conjuntos:

A = {x/x Z, x2 < 400}

B = {x/x Z, -2 < x + 1 < 400}

Determinar el cardinal del conjunto:

L = (A - B) B

a) 20 b) 21 c) 40

d) 38 e) 41

24. Se conoce que:

1. (A B C)’ = {1, 8, 12}

2. (A C) = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 11}

A B U

A B U

A B U

C

8

3. (A B) = {2, 3, 4, 5, 7, 9}

4. (A C) = {5}

5. (B C) =

6. B’ = {1, 2, 5, 6, 8, 10, 11, 12}

Calcular la suma de los elementos de:

D = (B C) – A

a) 30 b) 35 c) 41

d) 43 e) 47

25. Dado el conjunto universal “U” y los conjuntos

“A”, “B” y “C” sabiendo además:

1. A C = {7}

2. (A B C)’ = {2, 10}

3. B’ = {2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11}

4. A C = {1, 3, 5, 6, 7, 9, 11}

5. A B = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 11}

6. B C =

Calcular: “2n(A) + n(B)”

26. Se tiene dos conjuntos A y B tales que:

1. n(A) – n(B) = 3

2. n[P(A B)] = 2048

3. n[P(A B)] = 16

4. n(B’) = 9

¿Cuántos subconjuntos tiene A’?

a) 8 b) 16 c) 64

d) 128 e) 32

27. Si: C – B = {7, 5, 6}

C – A = {7, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B = {2, 3, 4, 8, 9, 10}

C = {4, 5, 6, 7, 9, 10}

¿Cuántos elementos hay en la parte

sombreada?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

28. Si “A”, “B” y “C” tienen 1, 2, 3 elementos

respectivamente:

A = {a + b; 7; b + c2}

B = {a; c2; b + 1; (b + 2)}

C = {3; a – 1; c2 + 3}

Donde: a, b y c Z

Hallar: n[P [(A C) (B C)]]

a) 4 b) 3 c) 8

d) 16 e) 32

29. Si: U = {1, 2, 3, 4, 5}

A B = {1, 2, 3, 4}

A B = {1, 3}

A – B = {2}

Luego el conjunto B es:

a) {1, 2} b) {2} c) {1, 2, 3}

d) {1, 3, 4} e) {3, 5}

30. Siendo: A = {1, b, c, d, e}

B = {a, b, d}

C = {c, e, b}

Hallar el cardinal del conjunto

M = [(A B) - C] ( A B)

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Siendo A y B dos subconjuntos del conjunto

universal U se sabe que:

n(A’) = 10

n(B’) = 5

n(U) = 17

n[(A B)’] = 13

Hallar: n(A B) + n(A B)

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 19

2. Si: M = {1, 2, 3, 5}

N = {2, 3, 4, 5, 6}

P = {0, 1, 2, 3}

Diga cual de las siguientes igualdades es

correcta:

a) M (N P) = (M N) P

A B

C

9

b) P (M N) = (M N) (M P)

c) (M N) (M P) = M (N P)

d) M (N P) = (M N) (M P)

e) N.A.

3. Si: U = {x/x N 0 x 9}

(A B) ‘ = {0, 6, 9}

(A B) = {1, 2, 7}

(A - B) = {5, 3}

¿Cuál es la suma de los elementos B – A?

a) 12 b) 18 c) 15

d) 10 e) 20

4. El siguiente grafico indica cantidades de

elementos por zona. ¿Cuántos elementos tendrá

la expresión?

(E - F)’ (G’ - E)

a) 8 b) 17 c) 20

d) 24 e) 30


A = {4, 5, 8, 9, 10}

B = {5, 6, 7, 8, 9}

C = {2, 3, 4, 5, 6}

Hallar el cardinal de:

(A C) (B - A)

a) 4 b) 3 c) 5

d) 6 e) N.A.

6. Hallar la suma de elementos de A B siendo:

A = {x + 1/ x N, 5 x < 10}

B = {3

1x N / x N, 6 < x 20}

a) 36 b) 43 c) 45

d) 34 e) 39

7. ¿Qué operación representa la zona sombreada?

a) (B C) – (A - B)

b) (C - B) (B - A)

c) (C - A) (B - C)

d) (B - C) (A C)

e) (B - A) (C - A)

8. Si: U = {x/x N, 0 < x < 15}

A = {x2 + x + 2/ x N; 2 x < 6}

B = {2x + x / x N; 1 x < 5}

Hallar el cardinal de (A B)’

a) 4 b) 5 c) 6

d) 9 e) 8


U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {x-1 / x N, 2 x 6}

B = {x/x N, 2 x 5}

C = {x N / (x - 1) (x - 2) (x-6) = 0}

Hallar: [(B C)’ – (A B C)]’

a) b) {2, 3} c) {1, 2, 3}

d) {4} e) {2}

10. Si: A = {a + b; 12; 2a – 2b + 4}

Es un conjunto unitario y

B = {x/x N, b < x < a}

C = { x/x N, a – 3 < x < 3b - 2}

¿Cuántos subconjuntos tiene:

“(B C) A”?

a) 8 b) 16 c) 4

d) 3 e) 32

11. Con la siguiente información:

U = {x/x Z, -4 < x 5}

A B = {2, 3}

(A B)’ = {-3, 1}

A’ = {-1, 0, 1, -3}

Hallar cuantos subconjuntos tiene: A B

a) 8 b) 4 c) 16

d) 2 e) 32

12. Dados los conjuntos A y B se conocen:

n(A) – n(B) = 2

n(A - B) = n(A’)

n[P(A’)] = 128

n[U] = 20

Hallar n[P(B - A)]

E

6

4 5

7 9

6

3

F

G

8

A B

C

U

10

a) 16 b) 8 c) 32

d) 4 e) N.A.


U = {x/x Z, 2 x < 13}

A = {2, 5, 6, 7}

B = {x/x A x < 5}

C = {x/x A x < 10}

Hallar cuantos subconjuntos tiene:

[(A - B)’ (C - B)’]’

a) 1 b) 2 c) 4

d) 8 e) 16

14. Si: U = {x/x N, 1 < x < 12}

A = {x/x N, x2 = 3x + 10}

B = {x/x N, (x + 5) (x - 4) (x - 2) = 0}

Hallar: n(A B)’

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 4

15. En el siguiente gráfico se muestran las

cantidades de elemento por zonas, hallar la

cantidad de elementos de:

E = [(A B) – (C D)] [(C - B) [(D - A)]

a) 6 b) 8 c) 9

d) 7 e) N.A.

2 2 3 4 4

3

A

C D

B

tema 4 5to

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