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MATEMÁTICAS 2º Bach José Ramón Padrón

Tema 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales

BLOQUE 1: ÁLGEBRA

2


TEOREMA DE ROUCHÉ

• Supongamos el sistema siguiente:

=++

=++

=++

333·3231

223·2221

113·1211

bz·ayax·a

bz·ayax·a

bz·ayax·a

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

=

3333231

2232221

1131211

baaa

baaa

baaa

*A

Matriz de los coeficientes Matriz Ampliada

El sistema tiene solución rangA = rangA*


Tiene solución = compatible

No tiene solución = incompatibleVocabulario:

3


NOTACIÓN

Para simplificar en lugar de escribir:

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

=

3333231

2232221

1131211

baaa

baaa

baaa

*A

Suele escribirse:

=

3333231

2232221

1131211

baaa

baaa

baaa

*A/A

4


TEOREMA DE ROUCHÉ

• Ejemplo 1:

=+=+=−+

1zy·3

5y·2x

4zy·3x·2

−=

1

5

4

130

021

132

*AA

130

021

132

Adet

−= 300034 −−−+−= 2−= El rango de la matriz A es 3

Como la matriz A*, sólo tiene 3 filas el rango no puede ser mayor que 3

y , por lo tanto: rangA = rang A*

El sistema es compatible (tiene solución)


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TEOREMA DE ROUCHÉ

Ejemplo 2:

=+−−=−

=+−

4z·3y·4x

1yx

0zy·2x

−−−−

=4

1

0

341

011

121

*AA

341

011

121

Adet

−−−

= 601043 +−++−−= 0= El rango de la matriz A no es 3

Para determinar el rango de A*, orlamos el menor marcado en rojo con la cuarta columna y la tercera fila (en azul)

Elegimos el menor 2 x 2 marcado en rojo 0121

11

21≠=+−=

−−

El rango de la matriz A es 2

Y calculamos el determinante así obtenido

441

111

021

−−−

−2=

El rango de la matriz A* es 3

Como los rangos son diferentes, el sistema es incompatible (no tiene solución)


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REGLA DE CRAMER

• La regla de Cramer sirve para obtener la solución de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas donde rangA = rangA* = n

Recordemos del tema anterior la resolución de un sistema 2x2 general

21121221 cbcbxbaxba −=−

1221

2112

babacbcb

x−−=

Usando la nomenclatura de los determinantes, podemos ponerlo de la forma siguiente:

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x =

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y =análogamente

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

−=−−=+

212112

122121

cbybbxba

cbybbxba → 2bpormosmultiplica

→ − 1bpormosmultiplica


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REGLA DE CRAMER

• En general: la situación es parecida, por ejemplo si el sistema es de 4 x 4 lo expresaríamos así:

=+++=+++=+++=+++

444434241

334333231

224232221

114131211

bt·az·ay·ax·a

bt·az·ay·ax·a

bt·az·ay·ax·a

bt·az·ay·ax·a

Y las soluciones serían:

A

Ax x=

A

Ay

y=A

Az z=

A

At t=

Donde Ax representa la matriz que resulta de sustituir en la matriz A, la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes. Y , análogamente, Ay

, Az, At se obtienen sustituyendo en A la columna de los coeficientes de la incógnita correspondiente por la de los términos independientes


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REGLA DE CRAMER

Ejemplo :

=+=+=−+

1zy·3

5y·2x

4zy·3x·22

130

021

132

Adet −=−

=

2

131

025

134

x−

−

= 102

20

2

15020158=

−

−=

−

−−++−=

2

110

051

142

y−

−

=2

5

2

5

2

4000110−=

−=

−

−+++−=

2

130

521

432

z−

=2

17

2

17

2

33000124=

−

−=

−

−−−++=


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GENERALIZACIÓN DE LA REGLA DE CRAMER

¿Se puede utilizar la regla de Cramer si el determinante de los coeficientes es cero?

=−=−+=+−

21yx11

15z3y5x2

2zy2x3 1.- Vamos a comprobar si es compatible, esto es, si rangA=rangA*

0

0111

352

123

A =−

−−

=

El menor marcado en rojo es distinto de cero y por lo tanto rangA = 2

Miramos ahora los menores de orden 3 de A*, son solamente 2 (orlados del menor de A ) diferente de cero

0

0111

352

123

=−

−−

0

21011

1532

213

=−

3Arang)FF·3F( 213 ≠→+=

CONCLUSIÓN: rangA=rangA*; es decir, el sistema tiene solución


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Como rangA* = 2, quiere decir que solo dos ecuaciones son independientes, en otras palabras: Nos está sobrando una de las ecuaciones ¿cuál?

2.- Vamos a ver cómo podemos utilizar la regla de Cramer para expresar la solución del sistema:

En primer lugar procedemos a eliminar la ecuación que no vamos a utilizar. El sistema entonces queda de la siguiente forma:

=−

=+−

21yx11

2zy2x3Además, nos sobra una incógnita, ¿cuál? (ver diapositiva siguiente)

+=+=+

y21x11

y22zx3

La pasamos al otro miembro de la igualdad y nos queda el sistema siguiente:


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La que no hemos utilizado para calcular el rango

Lo que nos sobra siempre es

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3.- Vamos a ver la solución. El determinante de A, es ahora el que ya hemos calculado antes, es decir:

11011

13A −==

11

0y21

1y22

x−+

+

=11

y21

11

y21 +=

−

−−=

11

y1941

11

y2222y363 +−=

−

−−+=

11

y2111

y223

z−

++

=

Habitualmente la solución suele expresarse así:

λ+−=

λ=

λ+=

11

1941z

y11

21xPara cada valor que le demos a λ obtenemos una solución,

es decir, el sistema tiene infinitas soluciones, por eso se le llama: COMPATIBLE INDETERMINADO


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SISTEMAS HOMOGÉNEOS

• Se llama homogéneo a un sistema de ecuaciones cuyos términos independientes son todos cero.

Ejemplo:

=−−=+−=++

0zy2x

0zyx2

0zyx

Características:

1.- x=0, y=0, z=0; es una solución para cualquier sistema homogéneo. Esta solución se llama SOLUCIÓN TRIVIAL

2.- Para que tenga otras soluciones además de la trivial debe ocurrir que:rangA < nº incógnitas


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SISTEMAS CON PARÁMETROS(1)

Ejemplo 1: Discutir y resolver el siguiente sistema en función de los valores del parámetro “a”

0-211

-2111

2-301

=++=++=++

1azyx

1zayx

1zyax1.- Discusión: realizar un análisis de los rangos y decidir en quécasos hay solución y en qué casos no

a11

1a1

11a

aaa11a3 −−−−−= 2a3a3 −−=

Igualamos a cero y resolvemos mediante la regla de Ruffini para decidir el rango de la matriz A

02a3a3 =−−

-2-2

021

01

211

Las soluciones son :

a = 1; a = -2


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SISTEMAS CON PARÁMETROS (1)

En Resumen:

• El determinante no es cero y por lo tanto rangA = 3

• a = -2 ó a = 1 El determinante es cero y hay que analizar más cosas para determinar el valor del rango

1a2 ≠≠−

� a = 1 el determinante es

111

111

111rangA = 1

� a = -2 el determinante es

211

121

112

−−

−

Como el menor siguiente no es cero, concluimos que el rangA=2

31421

12=−=

−−


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• Para cada uno de los casos anteriores, tenemos que ver cuánto vale rangA* y así poder saber si el sistema es compatible o no

Caso1: rangA = 3 1a2 ≠≠−

Como la matriz A* tiene 3 filas y 4 columnas, el rango mayor que puede tener es 3 y como tampoco puede tener rango menor que la matriz A, se concluye que: rangA*=3.

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

Caso2: rangA = 2 2a −=

−−

−=

1211

1121

1112

*A

121

112

111

−− 09221141 ≠=++−++= rangA*=3

SISTEMA INCOMPATIBLE


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Caso3: rangA = 1 1a=

=1111

1111

1111

*A

Todas las filas son iguales, el rango entonces es 1 rangA*=1

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO


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Faltará ahora resolver los casos de compatibilidad (caso 1 y caso 3)

Caso 1: rangA = rangA*=3

Coincide con el número de incógnitas, podemos aplicar directamente la regla de Cramer, eso si, para un valor de a genérico porque no nos dicen cuánto vale a

2a3a

a11

1a1

111

x3 +−

=( )

=+−

−−−++=

2a·)1a(

1aa11a2

2

( ) 2a

1

2a)1a(

1a2a2

2

+=

+−

+−

Análogamente se calculan las incógnitas y, z


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Caso 3: rangA = rangA*=1

En realidad solo nos queda una ecuación (todas son iguales) 1zyx =++

Sólo nos servirá entonces una de las incógnitas. Su solución se expresa dándole un valor (paramétrico) a dos de las incógnitas y poniendo la otra en función de ellas

µ−λ−=µ=λ= 1z,y,x


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Ejemplo 2: Discutir y resolver el siguiente sistema en función de los valores del parámetro “K”

=−=−=+

ky4x

11ykx

7yx

En este caso es más sencillo empezar por A* (ya que es cuadrada)

k41

111k

711

*A

−−= 2k44711k28k −+++−−= 62k29k2 +−−=

Igualamos el resultado a 0 y resolvemos la ecuación de segundo grado

( )2

62·1·42929k062k29k

22

−

−−±=→=+−−

31k

2k

−=

==

Es decir, el determinante de la matriz ampliada vale 0 en estos dos casos, en los demás es diferente de 0


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En resumen:

• El determinante no es cero y por tanto rangA*=3.

• k=2 ó k = -31, rangA* no es 3 y hay que analizar más

31k2 −≠≠

k=2

−−=

241

1112

711

*A 032112

11≠−=−−=

−

rangA*=2

k=-31

−−−−=

3141

11131

711

*A 030311131

11≠=+−=

−−

rangA*=2


22



• Para cada uno de los casos hay que analizar si coincide el rango de A* con el de la matriz A


Caso1: rangA* = 3 31k2 −≠≠

La matriz A, solo tiene dos columnas luego no puede tener rango 2:

rangA rangA* SISTEMA INCOMPATIBLE≠

Caso2: rangA* = 2 2a= La matriz tiene rango 2 porque cualquier menor que elijamos no es cero, por ejemplo:

−−=

41

1k

11

A

−−=

41

12

11

A 032112

11≠−=−−=

−SISTEMA COMPATIBLE

23




Caso3: rangA* = 2 31a −= La matriz tiene rango 2 porque cualquier menor que elijamos no es cero, por ejemplo:

−−−=

41

131

11

A 030311131

11≠=+−=

−− SISTEMA COMPATIBLE


Como el rango es 2, tenemos que despreciar una ecuación, en ambos casos puede ser la tercera porque no influye en el cálculo de los rangos

Nos queda entonces el sistema con 2 ecuaciones y 2 incógnitas que resolveremos por el método que queramos

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FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

• Un sistema de ecuaciones lleva aparejadas tres matrices:


−=−+−=+−=−−

52z3y5x2

18z3x

1zyx

−−−

−−=

352

301

111

A

=z

y

x

X

−=

52

18

1

C

MATRIZ DE LOS COEFICIENTES

INCÓGNITAS TÉRMINOS INDEPENDIENTES

Este sistema puede expresarse en forma matricial así:

−=

−−−

−−

52

18

1

z

y

x

·

352

301

111CX·A =

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FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Si la matriz A tiene inversa, podemos despejar X del siguiente modo


C·AX·A·A 11 −− = C·AX 1−=

CX·A =

Es decir, hemos reducido nuestro problema a calcular la matriz inversa de los coeficientes y después una multiplicación de matrices

−=

7

5

3

z

y

xLa solución del sistema es

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