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INTRODUCCIÓN A LA METROLOGÍAINTRODUCCIÓN A LA METROLOGÍACurso Académico 2011Curso Académico 2011--1212Curso Académico 2011Curso Académico 2011--1212

Rafael Muñoz BuenoRafael Muñoz BuenoLaboratorio de Metrología y MetrotecniaLaboratorio de Metrología y Metrotecnia

LMMLMM--ETSIIETSII--UPMUPM

TEMA 3. Evaluación de la incertidumbre típica

1. Clasificación de las medidas: Ejemplos.

Índice

Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología

1. Clasificación de las medidas: Ejemplos.

2. Función de transferencia.

3. Concepto de incertidumbre típica.

4. Evaluaciones tipo A y tipo B de la incertidumbre típica

Clasificación de las medidas (i)

CLASES DE

MEDIDAS DIRECTAS

Instrumento

Magnitud de salidaMEDIDA


CLASES DE MEDIDA

MEDIDAS INDIRECTAS

Instrumento#1

Magnitud de entrada 2Instrumento

#2

Relación funcional

Magnitud de entrada 1

Magnitud de salidaMEDIDA

Ejemplos de medidas directas

Clasificación de las medidas (i)

� Velocidad con un cinemómetro.


� Superficie de un rectángulo con una cámara y unsistema de digitalización que de el resultado enunidades de superficie.

� Resistencia eléctrica con un polímetro.

Ejemplos de medidas indirectas

Clasificación de las medidas (ii)

� Velocidad midiendo distancia y tiempot

LV =


� Superficie midiendo longitud de los lados

� Resistencia midiendo V e I

t

21 LxLA =

I

VR =

Función de transferencia: Función modelo (i)

( )XXXf ,...,Y =

Cualquier medida puede expresarse mediante una relaciónfuncional si se explicitan las correcciones aplicadas, pues siempreha de existir al menos la corrección de calibración


� Y ≡ Magnitud de salida del mensurando a determinar

� X1 ,X2 ,…X3 ≡ Magnitudes de entrada que permiten obtener el valordel mensurando.

� f ≡ función de transferencia o función modelo

( )nXXXf ,...,Y 21=

Función de transferencia: Función modelo (ii)

( )XXXf ,...,Y =

medidas directas

1Y X≈ Lectura directa del instrumento

Magnitudes de influencia consideradas


( )nXXXf ,...,Y 21= Magnitudes de influencia consideradasen el modelo de correcciones(corrección de calibración y otras).

3211L xxxccXY cE ++≡++=≡

Lectura directa del instrumento

Corr. por redondeo

Corr. calibración

Función de transferencia: Función modelo (iii)

( )nXXX ,...,ΦY 21=

medidas indirectas (i)

Magnitudes que intervienen en Φ(Ley física o geométrica)


( )nmm XXXXXf ,...,,,...,Y 121 +=

Magnitudes de influencia consideradas en el modelo decorrecciones (corrección por calibración y otras).

Función de transferencia: Función modelo (iii)

medidas indirectas (ii)

V


IV

R =

642

531

CIEI

CVEV

ccI

ccVYR

xxx

xxx

++++=

++++=≡

Lectura del amperímetro

Lectura del voltímetro

Corrección redondeo amp.

Corrección redondeo volt.

Corrección calib. volt.

Corrección calib. amp.

Función de transferencia: Función modelo (iv)

Consideraciones generales (i)

� Caracteriza el procedimiento de medida y la forma de evaluar elresultado, es decir, el modelo de medición decidido.

� Representa el sistema:


� Representa el sistema:

• Mensurando• Instrumento• Operador-entorno

� En general, la función modelo, f

• Suele responder a una expresión analítica.• Puede no ser explícita.• Puede no ser expresable analíticamente (algoritmo).

Función de transferencia: Función modelo (v)

Consideraciones generales (ii)

� Algunas variables de la función modelo se estiman con valores de entradaque no influyen sobre el valor de salida o valor resultante (y).

• Por ejemplo, una corrección de valor nulo. Sin embargo, la


• Por ejemplo, una corrección de valor nulo. Sin embargo, laincertidumbre de aquellas variables siempre son positivas ypueden ser significativas por lo que deben mantenerse dichas variables enla función modelo.

� A veces hay más de una variable de salida y por tanto varias funciones detransferencia (se suelen englobar en la matriz de transferencia).

� La función modelo se emplea para determinar el resultado (VALOR eINCERTIDUMBRE).

( )[ ]θ20α1LL −+=

Función de transferencia: Función modelo (vi)

Ejemplo: Modelo unidimensional de dilatación para correcciones térmicas


� Admisible para cuerpos esbeltos comobarras y varillas.

� Inadecuado para la distancia entre losejes de dos taladros del bloque de unmotor.

( )[ ]θ20α1LL θ20 −+=

OBJETIVO GENERAL que se persiguecon un sistema de medida:

Función de transferencia: Función modelo (vii)


� Determinar razonablemente la función f

� Obtener el valor que mejor caracteriza almensurando y la incertidumbre de dichovalor.

En la mayor parte de los casos, el mensurando Y no se midedirectamente, sino que se determina a partir de otras N magnitudesX1, X2, ..., XN , mediante una relación funcional, f

Incertidumbre típica de una medida (i)

( )XXXf ,...,Y =


� Y ≡ Magnitud de salida del mensurando a determinar

� X1 ,X2 ,…X3 ≡ Magnitudes de entrada que permiten obtener el valordel mensurando.

� f ≡ función de transferencia o función modelo

( )nXXXf ,...,Y 21=

EJEMPLO - Si se aplica una diferencia de potencial V a los bornes deuna resistencia cuyo valor depende de la temperatura, de laresistencia R0 a la temperatura definida t0 y del coeficiente lineal de

temperatura α, la potencia disipada P (el mensurando) por la

resistencia a la temperatura t es función de V, R0, α, y t, según:

Incertidumbre típica de una medida (ii)


resistencia a la temperatura t es función de V, R0, α, y t, según:

( )nXXXf ,...,Y 21=

( ) ( )[ ]00

2

0 1,,,

ttR

VtRVfP

−+==

αα

Una estimación del mensurando Y, representada por y, se obtieneutilizando las estimaciones de entrada x1, x2, ..., xN para los valoresde N magnitudes X1, X2, ..., XN. Así, la estimación de salida y, que esel resultado de la medición, viene dada por

Incertidumbre típica de una medida (iii)


( ) ( )tRVN xxxxfxxxfy ,,,,...,021 α==

( ) ( )tRVfXXXfY N ,,,,..., 021 α==

Donde: y ≡ Estimador de Y

x ≡ Estimador de X

Como los valores (x1, x2 ,..., xN) no pueden determinarse exactamente, el

valor resultante de la medida (y) tampoco es exacto y entran en juego las

incertidumbres.

Las incertidumbres de las variables de entrada (x1, x2 ,..., xN) y la función

Incertidumbre típica de una medida (iv)


Las incertidumbres de las variables de entrada (x1, x2 ,..., xN) y la función

modelo permiten determinar la incertidumbre del valor resultante (y) según

veremos.

En general, el resultado de una medición es solo una aproximación oestimación del valor del mensurando, y únicamente se halla completocuando está acompañado de una declaración acerca de la incertidumbre dedicha estimación.

Incertidumbre típica es la incertidumbre del resultado de una medición,expresada en forma de desviación típica

Incertidumbre típica de una medida (v)

La desviación típica asociada al resultado de medida y, denominada

incertidumbre típica combinada y representada por uc(y), se

determina a partir de la desviación típica asociada a cada estimación

de entrada x , denominada incertidumbre típica y representada

Incertidumbre típica combinada

Incertidumbre típica


de entrada xi, denominada incertidumbre típica y representada

por u(xi )

( ) ( )NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121 =⇒=

[ ])(),...(),()( 21 Nxuxuxufyu =

Incertidumbre típica de una medida (vi)

Cada estimación de entrada xi, así como su incertidumbre asociada

u(xi ) se obtienen a partir de una distribución de valores posibles de

la magnitud de entrada Xi.


Esta distribución de probabilidad puede basarse en una distribuciónde frecuencias; es decir, en una serie de observaciones Xi,k de las Xi,o puede tratarse de una distribución supuesta a priori.

Las evaluaciones de Tipo A de las componentes de la incertidumbretípica se basan en distribuciones de frecuencia mientras que lasevaluaciones de Tipo B se basan en distribuciones supuestas a priori.

La mejor estimación disponible de la esperanza matemática µq de una

magnitud q que varía al azar (variable aleatoria), de la que se han obtenido n

observaciones independientes qk en las mismas condiciones de medida es lamedia aritmética de las n observaciones

Evaluación de Tipo A de la incertidumbre típica (i)

media aritmética de las n observaciones


∑=

=n

kkq

nq

1

1

ii Xx =

( ) ( )NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121 =⇒=xi estimador de Xi

Los valores de las observaciones individuales qk difieren en razón de lasvariaciones aleatorias de las magnitudes de influencia o de efectos aleatorios.

La varianza experimental de las observaciones, que estima la varianza

s2 de la distribución de probabilidad de q, viene dada por

Evaluación de Tipo A de la incertidumbre típica (ii)

s de la distribución de probabilidad de q, viene dada por


2

1

2 )(1

1)( qq

nqs

n

kkk −

−= ∑

=

Esta estimación de la varianza y su raíz cuadrada s(qk), denominadadesviación típica experimental, caracterizan la variabilidad de los valores

observados qk, es decir su dispersión alrededor de su media .q

La mejor estimación de la varianza experimental se obtendrá a partir de lavarianza experimental de la media:

n

qsqs k )(

)(2

2 =n

qsqs k )(

)( =

Evaluación de Tipo A de la incertidumbre típica (iii)

Tanto la Varianza experimental de la media, como la desviación típica

experimental de la media, cuantifican la bondad con que estima la

esperanza matemática µq de q, y una u otra pueden ser usadas como medida

q


Desviación típica experimental de la media

de la incertidumbre de .q

Varianza experimental de la media

)(qs

)(2 qs

Evaluación de Tipo A de la incertidumbre típica (iv)

( ) ( )NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121 =⇒=

En resumen


ii Xx =

n

XsXsxu i

ii

)()()( ==

n

XsXsxu i

ii

)()()(

222 ==

Estimador de X

Varianza de Tipo A

Incertidumbre típica de Tipo A

Evaluación de Tipo A de la incertidumbre típica (v)

Consideraciones finales

El número de grados de libertad νi de u(xi), igual a νi = n-1 en el caso

sencillo en que y se calcula a partir de n observacionesXx = )()( Xsxu =


sencillo en que y se calcula a partir de n observacionesindependientes, y debe indicarse siempre que se proporcionan lasevaluaciones de Tipo A de las componentes de la incertidumbre.

Es una información importante para estimar la fiabilidad de la evaluación dedicha desviación típica de tipo A.

Debe tenerse en cuenta que siempre debería ser n ≥ 10.

No se recomienda usar las expresiones anteriores si n < 5.

ii Xx = )()( ii Xsxu =

Para la estimación xi de una magnitud de entrada Xi que no ha sido obtenida apartir de observaciones repetidas, la varianza estimada asociada u2(xi ) o laincertidumbre típica u(xi ), se establecen mediante decisión científica basadaen toda la información disponible acerca de la variabilidad posible de Xi .

El conjunto de la información puede comprender:

Evaluación de Tipo B de la incertidumbre típica (i)

El conjunto de la información puede comprender:

• Resultados de medidas anteriores o las especificaciones del fabricante

• La experiencia o el conocimiento general del comportamiento y propiedades de losmateriales y los instrumentos utilizados

• Los datos suministrados por certificados de calibración u otros certificados

• La incertidumbre asignada a valores de referencia procedentes de libros ymanuales.

Cuando u2(xi ) o u(xi ), son así evaluadas, se denominan respectivamentevarianza de Tipo B e incertidumbre típica de Tipo B.


Evaluación de Tipo B de la incertidumbre típica (ii)

Ejemplos de evaluaciones tipo B

1. Si la estimación xi se obtiene a partir de una especificación del fabricante, deun certificado de calibración, de una publicación o de otra fuente, y suincertidumbre viene dada como un múltiplo específico de una desviación


incertidumbre viene dada como un múltiplo específico de una desviacióntípica.

2. Determinación tipo B cuando se conoce un único valor de la variable deentrada.

3. Determinación tipo B cuando se supone una distribución de probabilidad parala variable de entrada.

a. Normalb. Rectangular (uniforme)c. Triangulard. Tipo U

Evaluación de Tipo B de la incertidumbre típica (iii)

Estimación xi obtenida de una especificación del fabricante, donde su certidumbreviene dada como un múltiplo específico de una desviación típica.

Ejemplo: Un certificado de calibración indica que la masa mS de un patrón demasa de acero inoxidable de valor nominal igual a 1 kg es de 1000,000 325 g y


masa de acero inoxidable de valor nominal igual a 1 kg es de 1000,000 325 g yque “la incertidumbre de este valor es de 240 µg, para un nivel 3s (3 desviacionestípicas).

La incertidumbre típica del patrón de masa es simplemente:

u(mS ) = (240 µg)/3 = 80 µg.

La varianza estimada es:

u2(mS) = (80 µg)2 = 6,4 x 10-9 g2

Evaluación de Tipo B de la incertidumbre típica (iv)

Determinación tipo B cuando se conoce un único valor de la variable de entrada.

• Sólo se mide un vez (medida destructiva)

• El resultado se toma de documentación técnica (coef. dilatación)


• Resultado facilitado por terceras personas (certificado de calibración)

- Valor del mensurando, el valor único.- Incertidumbre típica: facilitada por la fuente (documentación o certificado).- En su defecto, calcular en base a la experiencia.

Ejemplo: Un (BPL) de calidad 00 lleva grabado el valor del coeficiente de dilatación

lineal α = 11,6·10-6 K-1 pero no indica su incertidumbre.

El evaluador considera que la información es suficientemente fiable para adoptar comoincertidumbre típica la mitad del valor de la última cifra significativa grabada, es decir

u(α)=0,05·10-6 K-1

Evaluación de Tipo B de la incertidumbre típica (v)

Determinación tipo B cuando se supone una distribución de probabilidad para lavariable de entrada.

Distribución normal


X

Se utiliza cuando se dispone:

a) De resultados experimentales de observacionesrepetidas. La incertidumbre típica es igual a ladesviación típica:

b) De un intervalo de confianza (x ± a) conindicación del nivel de confianza, por ejemplo 95%u otro. La incertidumbre típica se calcula porejemplo para un nivel de confianza del 95 % como:

n

Xsxu

)()( =

2

a)( =xu

+a-a

Evaluación de Tipo B de la incertidumbre típica (vi)


Distribución rectangular


X

Se utiliza cuando, por ejemplo, se dan límites (± a) sinespecificar el nivel de confianza y es esperable quetodos los valores sean igualmente probables.

Cº3

5,0)( =xu mm

Exu

12

01,0

3

2/)( ==

-a +a

2a

Ejemplo: t = (t0 ± 0,5) ºC(a= 0,5 ºC)

Ej.: Resolución instrumento E.(E=0,01 mm; a=E/2 mm)

Evaluación de Tipo B de la incertidumbre típica (vii)


Distribución triangular

2a


X

-a +a

2a Se utiliza cuando la información es menos limitadaque para una rectangular y se puede suponer quelos valores cercanos al valor central son másprobables que los valores extremos.

La incertidumbre típica se calcula como:

6)(

axu =

Evaluación de Tipo B de la incertidumbre típica (viii)


Distribución tipo U


Se utiliza cuando se puede suponer que losvalores más probables son los situados en loextremos de la distribución.

La incertidumbre típica se calcula como:

X

-a +a

2)(

axu =

Evaluación de Tipo B de la incertidumbre típica (ix)

La distribución rectangular es una descripción razonable en términos de

probabilidad del conocimiento que se tenga sobre la magnitud de entrada Xicuando no existe ninguna otra información más que sus límites de

En resumen (i)


cuando no existe ninguna otra información más que sus límites devariabilidad.

Pero si se sabe que los valores de la magnitud en cuestión próximos al centrodel intervalo de variabilidad son más probables que los valores próximos a losextremos, un modelo más adecuado sería una distribución triangular onormal.

Cuando los valores cercanos a los extremos son más probables que losvalores cercanos al centro, es más apropiada una distribución tipo U.

Evaluación de Tipo B de la incertidumbre típica (ix)

En resumen (ii)

Distribución tipo BEstimador de

la magnitud, xi

Incertidumbre típica, u(xi )


NORMALii Xx =

la magnitud, xi típica, u(xi )

RECTANGULARii Xx =

TRIANGULARii Xx =

TIPO Uii Xx =

n

Xsxu i

i

)()( =

2

a)( =ixu

3)(

axu =

6)(

axu =

2)(

axu =

tema 3. evaluación de la incertidumbre típica [modo de

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