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TEMA 3: Contrastes de Hipótesis en el MRLEconometría I

M. Angeles Carnero

Departamento de Fundamentos del Análisis Económico

Curso 2011-12

Econometría I (UA) Tema 3: Contrastes de Hipótesis Curso 2011-12 1 / 39

Contrastes de Hipótesis en el MRL

Contrastes sobre un único coeficiente:

Supongamos primero que queremos contrastar

a)H0 : βj = β0

j

H1 : βj 6= β0j

b)H0 : βj = β0

j

H1 : βj > β0j

c)H0 : βj = β0

j

H1 : βj < β0j

El estadístico de contraste es el mismo para los tres casos, lo quevaría dependiendo de cuál sea la hipótesis alternativa es la regióncrítica.

Sabemos que bβj � Nh

βj, σ2(X0X)�1jj

idonde (X0X)�1

jj es el elemento (j, j) de la matriz (X0X)�1.


Bajo H0 bβj � Nh

β0j , σ2(X0X)�1

jj

iPodemos estandarizar bβj restando la media y dividiendo por ladesviación tipica

z =bβj � β0

jqσ2(X0X)�1

jj

� N(0, 1) bajo H0

Nótese que z sólo nos serviría como estadístico de contraste si σ2

fuese conocida, lo que no suele ocurrir en la práctica. Si σ2 esdesconocida, para construir el estadístico de contraste, tenemosque combinar z con otro estadístico que también dependa de σ2 deforma que al combinarlos obtengamos un estadístico que nodependa de σ2.


Puesto que bσ2(T� k)σ2 � χ2

(T�k)

y como bσ2 y bβj son independientes definimos el estadístico decontraste:

t =

bβj�β0jq

σ2(X0X)�1jjr

(T�k)bσ2

σ2(T�k)

=bβj � β0

jqbσ2(X0X)�1jj

=bβj � β0

j

SE(bβj)� tT�k bajo H0

Para un nivel de significación α, las regiones críticas son:

a) fjtj > tT�k,α/2gb) ft > tT�k,αgc) ft < �tT�k,αg


Ejemplo 1:

Consideremos un modelo simple que relaciona el número anualde delitos en los campus universitarios (crime) con el número dealumnos matriculados (enroll)

log(crime) = β1 + β2 log(enroll) + u

Notese que este es un modelo de elasticidad constante ya que eslineal en logarítmos. β2 mide la elasticidad de los delitos repectoal número de alumnos matriculados.En base a una muestra de 97 universidades americanas se hanobtenido los siguientes resultados

\log(crime) = �6,63(1,03)

+ 1,27(0,11)

log(enroll)

donde los números entre paréntesis son los errores estándar.


Vamos a contrastar si existe suficiente evidencia para afirmar queun aumento de un 1 % en el número de alumnos matriculadossupone un aumento de más del 1 % en el número de delitos.Primero tenemos que determinar la hipótesis nula y la hipótesisalternativa. Puesto que el incremento porcentual en el número dedelitos ante un aumento de un 1 % en la matricula viene dado porla elasticidad β2, tenemos que contrastar si hay evidenciasuficiente para afirmar que β2 > 1. Es decir tenemos quecontrastar

H0 : β2 = 1H1 : β2 > 1

El estadístico de contraste es

t =bβ2 � 1

SE(bβ2)� t95 bajo H0

El valor del estadístico de contraste para esta muestra est = (1,27� 1)/0,11 = 2,45. Como t = 2,45 > t95,0,05 = 1,66,podemos rechazar H0 al 5 %.


Hay suficiente evidencia para afirmar que un aumento de un 1 %en el número de alumnos matriculados supone un aumento demás del 1 % en el número de delitos.Caso Particular: Contraste de significatividad individual

H0 : βj = 0H1 : βj 6= 0

El estadístico de contraste es:

t =bβj

SE(bβj)� tT�k bajo H0

Este estadístico t se denomina t� ratio.


Contrastes de una restricción lineal:

Supongamos que ahora queremos contrastar una restricción linealcualquiera

a) H0 : Rβ = rH1 : Rβ 6= r b) H0 : Rβ = r

H1 : Rβ > r c) H0 : Rβ = rH1 : Rβ < r

donde R es un vector 1� k y r es un escalar.El estadístico de contraste es el mismo para los tres contrastes, loque varía dependiendo de cuál sea la hipótesis alternativa es laregión crítica.

Dado que bβ � N(β, σ2(X0X)�1)

Rbβ � N(Rβ, σ2R(X0X)�1R0)


Bajo H0

Rbβ � N(r, σ2R(X0X)�1R0)

y puesto que Rbβ es un escalar podemos estandarizar sudistribución restando la media y dividiendo por la desviacióntípica

z =Rbβ� rp

σ2R(X0X)�1R0� N(0, 1) Bajo H0

Nótese que z sólo nos serviría como estadístico de contraste si σ2

fuese conocida, lo que no suele ocurrir en la práctica. Si σ2 esdesconocida, para construir el estadístico de contraste, tenemosque combinar z con otro estadístico que también dependa de σ2 deforma que al combinarlos obtengamos un estadístico que nodependa de σ2.


Puesto que(T� k)bσ2

σ2 � χ2T�k

y que bσ2 y bβ son independientes definimos el estadístico decontraste:

t =

Rbβ�Rβpσ2R(X0X)�1Rr(T�k)bσ2

σ2(T�k)

=Rbβ� rqbσ2R(X0X)�1R0

=Rbβ� rqR[var(bβ)R0 � tT�k

bajo H0

Para un nivel de significación α, las regiones críticas son:

a) fjtj > tT�k,α/2gb) ft > tT�k,αgc) ft < �tT�k,αg


Ejemplo 2:

Consideremos el modelo para el gasto en vestido y calzado que yavimos en el Tema 1.

gvest = β1 + β2renta+ β3nad+ β4nhijos+ u

El modelo estimado en base a una muestra de 7038 hogaresespañoles es

[gvestt = 1,2+ 0,064(0,0033)

rentat + 0,132(0,0419)

nadt + 0,159(0,0391)

nhijost

\var(bβ) =

26640,022784�0,000146 0,00001�0,004746 �0,000034 0,001752�0,003505 4,471e� 07 0,000495 0,001525

3775


donde gvest es el gasto anual del hogar en vestido y calzado (enmiles Euros), renta es la renta anual del hogar (en miles de Euros),nad es el número de adultos en el hogar y nhijos es el número dehijos menores de 18 años, y los números entre paréntesis son loserrores estándar.Vamos a contrastar si un aumento en el número de hijos tiene elmismo efecto sobre el gasto en vestido y calzado que un aumentoen el número de adultos. Es decir, vamos a contrastar

H0 : β3 = β4H1 : β3 6= β4

El vector R es en este caso R = (0, 0, 1,�1) y r = 0, por tanto

Rbβ� r = bβ3 � bβ4

R[var(bβ)R0 = \var(bβ3) +\var(bβ4)� 2 � \cov(bβ3, bβ4)


El estadístico de contraste esbβ3 � bβ4q\var(bβ3) +

\var(bβ4)� 2 � \cov(bβ3, bβ4)

� t7034 ' N(0, 1) Bajo H0

Utilizando \var(bβ) :

\var(bβ3) +\var(bβ4)� 2 � \cov(bβ3, bβ4) = 0,00175293+

+0,00152536� 2 � 0,00049591 = 0,002286

y el valor del estadístico de contraste en la muestra est = (0,132� 0,159)/

p0,002286 = �0,56.

Puesto que jtj = 0,56 � z0,025 = 1,96, no podemos rechazar H0 al5 % y por tanto concluimos que un aumento en el número de hijostiene el mismo efecto sobre el gasto en vestido y calzado que unaumento en el número de adultos.


Para realizar este contraste de forma más sencilla podemosreparametrizar el modelo de la siguiente forma. Sea θ3 = β3 � β4,la hipótesis que tenemos que contrastar es ahora

H0 : θ3 = 0H1 : θ3 6= 0

Dado que β3 = θ3 + β4 podemos escribir el modelo como

gvest = β1 + β2renta+ (θ3 + β4)nad+ β4nhijos+ ugvest = β1 + β2renta+ θ3nad+ β4(nad+ nhijos) + ugvest = β1 + β2renta+ θ3nad+ β4tfam+ u

donde tfam = nad+ nhijos.En base a la misma muestra se obtiene

[gvestt = 1,2+ 0,064(0,0033)

rentat � 0,027(0,048)

nadt + 0,159(0,0391)

tfamt

El valor del estadístico de contraste es t = �0,027/0,048 = �0,56que (salvo errores de redondeo) coincide con el resultado queobtuvimos antes.Econometría I (UA) Tema 3: Contrastes de Hipótesis Curso 2009-10 14 / 39

Contrastes de un conjunto de restricciones lineales:

Supongamos ahora que queremos contrastar q (q < k)restricciones lineales

H0 : Rβ = rH1 : Rβ 6= r

donde R es ahora una matriz q� k de rango q (que la matriz Rtenga rango q quiere decir que las restricciones lineales sonindependientes) y r es un vector q� 1Dado que bβ � N(β, σ2(X0X)�1)

Multiplicando por la izquierda por R

Rbβ � N(Rβ, σ2R(X0X)�1R0)


Bajo H0

Rbβ � N(r, σ2R(X0X)�1R0)

dado que ahora Rbβ es un vector q� 1 y no un escalar, no podemosestandarizar su distribución como hicimos en el apartado anterior,sin embargo, utilizando el Teorema 6 del tema 3

χ = (Rbβ� r)0(σ2R(X0X)�1R0)�1(Rbβ� r) � χ2q bajo H0

Nótese que χ sólo nos serviría como estadístico de contraste si σ2

fuese conocida, lo que no suele ocurrir en la práctica. Si σ2 esdesconocida, para construir el estadístico de contraste, tenemosque combinar χ con otro estadístico que también dependa de σ2

de forma que al combinarlos obtengamos un estadístico que nodependa de σ2.


Puesto que(T� k)bσ2

σ2 � χ2T�k

y como bσ2 y bβ son independientes definimos el estadístico decontraste:

F = (Rbβ�r)0(σ2R(X0X)�1R0)�1(Rbβ�r)/q(T�k)bσ2

σ2(T�k)

= (Rbβ� r)0(bσ2R(X0X)�1R0)�1(Rbβ� r)/q

= (Rbβ� r)0(R\var(bβ)R0)�1(Rbβ� r)/q � Fq,T�k bajo H0

para un nivel de significación α, la región crítica es fF > Fq,T�k,αg.


Ejemplo 3:

Consideremos el modelo para los salarios estimado en base a unamuestra de 935 individuos que ya vimos en el Tema 1.

\salariot = �7,92+ 0,605(0,056)

educt + 0,357(1,000)

edadt � 0,0022(0,015)

edad2t

\var(bβ) =

2664271,880,039628 0,003182�16,470229 �0,005031 1,0015720,246787 0,000076 �0,015031 0,000225

3775donde salario es el salario mensual en cientos de dolares, educ es elnivel de educación en años, edad es la edad en años y edad2 es laedad al cuadrado.


Vamos a contrastar si el efecto marginal de la edad sobre el salarioes cero. Si β3 y β4 son los coeficientes poblacionales de edad yedad2, el efecto marginal es

β3 + 2 � β4 � edad

y el efecto marginal será cero si y solo si

β3 + 2 � β4 � edad = 0

para todo valor de edad.Por tanto, tenemos que contrastar:

H0 : β3 = 0, β4 = 0H1 : β3 6= 0 y/o β4 6= 0

La matriz R y el vector r son

R =�

0 0 1 00 0 0 1

�, r =

�00

�


El estadístico de contraste es

F = (bβ3, bβ4)

24 \var(bβ3)\cov(bβ3, bβ3)

\cov(bβ3, bβ3)\var(bβ4)

35�1 bβ3bβ4

!/2 � F2,931

bajo H0

El valor del estadístico de contraste en la muestra es:

F =12(0,357,�0,0022)

�1,001572 �0,015031�0,015031 0,000225

��1 � 0,357�0,0022

�=

=12(0,357,�0,0022)

�639,70242 42557,26942557,269 2835618,9

� �0,357�0,0022

�=

12

28,40 = 14,2

Puesto que F = 14,2 > F2,931,0,05 = 3 podemos rechazar H0 al 5 % ypor tanto concluimos que los salarios dependen de la edad.Nota: Los estadísticos de contraste t y F no varían ante un cambiode unidades de medida en las variables explicativas y/o en lavariable dependiente.Econometría I (UA) Tema 3: Contrastes de Hipótesis Curso 2009-10 20 / 39

Estimación con restricciones lineales

Si sabemos que los coeficientes del modelo satisfacen una o másrestricciones lineales podemos imponer dichas restricciones paramejorar la eficiencia. El método de estimación por mínimos cuadradosimponiendo restricciones lineales en los parámetros del modelo sedenomina Estimación de Mínimos Cuadrados Restringidos.

Consideremos un conjunto de q restricciones lineales Rβ = r,donde R es una matriz q� k y r es un vector q� 1. El estimador deMínimos Cuadrados Restringidos se obtiene como solución delproblema de minimización con restricciones

m«ınb

T

∑t=1

e2t = m«ın

b

�e0e�

sujeto a Rb = r

donde e = Y�Xb.


La solución al problema de minimización es:

bβr =bβ� (X0X)�1R0

hR�X0X

��1 R0i�1 �

Rbβ� r�

No es necesario utilizar la fórmula general para calcular elestimador de Mínimos Cuadrados Restringidos. Lo que se hace enla práctica es imponer las restricciones en el modelo y calcular elestimador MCO del modelo restringido.


Ejemplo 2 (Continuación):Consideremos de nuevo el modelo

gvest = β1 + β2renta+ β3nad+ β4nhijos+ u (1)

Si imponemos la restricción que contrastamos anteriormente deque un aumento en el número de hijos tiene el mismo efecto sobreel gasto en vestido y calzado que un aumento en el número deadultos (β3 = β4) obtenemos el modelo

gvest = β1 + β2renta+ β3(nad+ nhijos) + u (2)

y el estimador de Mínimos Cuadrados Restringidos del modelo(1) imponiendo la restricción β3 = β4 es el estimador MCO delmodelo (2).


Propiedades del estimador bβr:

1 E[bβr] = β+ (X0X)�1R0hR (X0X)�1 R0

i�1(r� Rβ)

Entonces E�bβr

�= β cuando las restricciones Rβ = r son ciertas

Demostración

E[bβr] = E�bβ� (X0X)�1R0

hR�X0X

��1 R0i�1 �

Rbβ� r��=

=Ya que E[bβ]=β

β� (X0X)�1R0hR�X0X

��1 R0i�1

(Rβ� r)

=Si Rβ=r

β

2 Varhbβr

i= σ2(X0X)�1 � σ2(X0X)�1R0

hR (X0X)�1 R0

i�1R (X0X)�1

Nótese que Varhbβr

i� Var

hbβi con independencia de Rβ = r o no.


El contraste F:

Se puede demostrar que

e0rer = e0e+hr� Rbβi0 hR(X0X)�1R0

i�1 hr� Rbβi

Por tanto, el estadístico de contraste F para contrastar Rβ = q sepuede escribir como:

F =

�(Rbβ� r)0

hR (X0X)�1 R0

i�1(Rbβ� r)

��q

bσ2 =

=

�(e0rer � e0e)

�q��

(e0e)�(T� k)

� � Fq,T�k bajo H0


Si no cambia la variable dependiente como consecuencia de larestricción, entonces, de la definición de coeficiente dedeterminación se deduce que:

F =�(e0rer � e0e)

�q��

(e0e)�(T� k)

� = � �R2 � R2

r��

q��

(1� R2)�(T� k)

� � Fq,T�k bajo H0

Gracias a estas fórmulas es posible calcular los estadísticos decontraste utilizando sumas cuadráticas residuales de modelosestimados por MCO.


Ejemplo 2 (Continuación):

Consideremos de nuevo el modelo

gvest = β1 + β2renta+ β3nad+ β4nhijos+ u

y la restricción de que un aumento en el número de hijos tiene elmismo efecto sobre el gasto en vestido y calzado que un aumentoen el número de adultos (β3 = β4)Los resultados para la estimación del modelo no restringido y delmodelo restringido son

[gvestt = 1,2+ 0,064(0,0033)

rentat + 0,132(0,0419)

nadt + 0,159(0,0391)

nhijost,

SCR = e0e = 85138,162[gvestt = 1,2+ 0,064

(0,0033)rentat + 0,147

(0,0326)tfamt,

SCR = e0rer = 85141,9863

donde tfam = nad+ nhijos. El valor del estadístico en esta muestraes F = (85141,9863� 85138,162)/(85138,162/7034) = 0,3154 ycomo F = 0,3154 < F1,7034 no podemos rechazar H0 al 5 %.Econometría I (UA) Tema 3: Contrastes de Hipótesis Curso 2009-10 27 / 39

Nótese que este contraste es equivalente al contraste t que vimosanteriormente para este ejemplo ya que, cuando estamoscontrastando una única restricción, t2 = F. En este ejemploobtuvimos t = �0,56 y por tanto t2 = 0,3136 que no coincideexactamente con el valor que hemos obtenido para F por loserrores de redondeo.Supongamos que en el modelo del Ejemplo 2 queremos contrastarla hipótesis de que un aumento en el número de hijos tiene unefecto mayor sobre el gasto en vestido y calzado que un aumentoen el número de adultos. La hipótesis que tenemos que contrastares ahora

H0 : β3 = β4

H1 : β3 < β4


Supongamos que sólo disponemos de información sobre lassumas cuadráticas residuales del modelo restringido y sinrestringir. A partir del estadístico F, sólo podemos realizarcontrastes bilaterales. Sin embargo, a partir del estadístico Fpodemos obtener el estadístico t, puesto que

t = �p

F = �0,5616

Para saber si debemos coger la raíz positiva o negativa, debemossaber el signo del estadístico de contraste t. El estadístico t paraeste contraste es:

t =β̂3 � β̂4

SE�

β̂3 � β̂4

�y por lo tanto, puesto que el error estándard siempre es positivo, tes positivo si β̂3 � β̂4 > 0 y es negativo si β̂3 � β̂4 < 0. Dadas lasestimaciones del modelo: β̂3 � β̂4 = 0,132� 0,159 = �0,0270 y porlo tanto concluimos que el estadístico t de contraste que debemosutilizar es t = �0,5616.


La región crítica para este contraste unilateral es:

ft < �t7034,0,05g ' ft < �z0,05g = ft < �1,645g

Puesto que el estadístico de contraste no pertenece a la regióncrítica, no hay suficiente evidencia para afirmar que un aumentoen el número de hijos tiene un efecto mayor sobre el gasto envestido y calzado que un aumento en el número de adultos.



Consideremos de nuevo el modelo para los salarios estimado enbase a una muestra de 935 individuos

\salariot = �7,92+ 0,605(0,056)

educt+ 0,357(1,000)

edadt� 0,0022(0,015)

edad2t, R2 = 0,8690

Vamos a contrastar utilizando ahora el modelo restringido si elefecto marginal de la edad sobre el salario es cero, es decir

H0 : β3 = 0, β4 = 0H1 : β3 6= 0 y/o β4 6= 0

donde β3 y β4 son los coeficientes poblacionales de edad y edad2.Los resultados de la estimación imponiendo las restricciones son:

\salariot = 1,47+ 0,602(0,057)

educt, R2 = 0,8651


El valor del estadístico de contraste para esta muestra es

F = [(0,8690� 0,8651)/2] / [(1� 0,8690)/931] = 13,86 > F2,931,0,05

Puesto que F = 13,86 > F2,931,0,05 podemos rechazar H0 al 5 % ypor tanto concluimos que los salarios dependen de la edad.Nótese que el valor de F no coincide exactamente con el quecalculamos anteriormente para este mismo ejemplo debido a loserrores de redondeo.


Caso Particular: Contraste de significatividad global de laregresión.

Este contraste analiza la hipótesis nula de que todos loscoeficientes del modelo, excepto el término constante, son igualesa cero

H0 : β2 = β3 = ... = βk = 0

Utilizando la expresión que acabamos de ver para el estadístico Fen función del R2 tenemos

F =� �

R2 � R2r��

q��

(1� R2)�(T� k)

� = R2/(k� 1)(1� R2)/(T� k)

� Fk�1,T�k bajo H0

ya que el coeficiente de determinación del modelo restringido es 0en este caso.


Intervalos de confianza

La estimación por intervalos consiste en proponer un intervalocuyos límites sean estadísticos, y que contendrán al verdaderovalor del parámetro con una probabilidad determinada.Para una muestra concreta el intervalo contendrá o no elverdadero valor del parámetro y no tiene sentido hablar de laprobabilidad de que contenga al verdadero parámetro.Si obtuviésemos sucesivas muestras aleatorias de un determinadotamaño muestral y calculásemos los intervalos cada vez, elporcentaje de intervalos que contendrían el verdadero valor delparámetro sería en torno al 100(1� α).


Intervalos de confianza para βjPuesto que bβj � N

hβj, σ2(X0X)�1

jj

iPodemos estandarizar bβj restando la media y dividiendo por ladesviación tipica

z =bβj � βjq

σ2(X0X)�1jj

� N(0, 1) bajo H0

Sabemos que bσ2(T� k)σ2 � χ2

(T�k)

y puesto que bσ2 y bβj son independientes

t =

bβj�βjqσ2(X0X)�1

jjr(T�k)bσ2

σ2(T�k)

=bβj � βjqbσ2(X0X)�1

jj

=bβj � βj

SE(bβj)� tT�k


Por tanto

Prob

�tT�k,α/2 <

bβj � βj

SE(bβj)< tT�k,α/2

!= 1� α

Manipulando esta expresión tenemos

Prob��tT�k,α/2SE(bβj) <

bβj � βj < tT�k,α/2SE(bβj)�= 1� α

Prob�bβj � tT�k,α/2SE(bβj) < βj <

bβj + tT�k,α/2SE(bβj)�= 1� α

y el intervalo de confianza para βj al 100(1� α)% de confianza es

[bβj � tT�k,α/2SE(bβj), bβj + tT�k,α/2SE(bβj)]



Consideremos de nuevo el modelo

log(crime) = β1 + β2 log(enroll) + u

En base a una muestra de 97 universidades americanas se hanobtenido los siguientes resultados

\log(crime) = �6,63(1,03)

+ 1,27(0,11)

log(enroll)

Como t95,0,025 = 1,98, el intervalo de confianza al 95 % para laelasticidad de los delitos repecto al número de alumnosmatriculados (β2) es

[1,27� 0,11 � 1,98, 1,27+ 0,11 � 1,98] = [1,0522, 1,4878]

Existe una relación entre los intervalos de confianza y los contrastede hipótesis: Se rechaza a nivel α la hipótesis nula H0 : βj = β0

j

frente a la alternativa H1 : βj 6= β0j si y sólo si β0

j no pertenece alintervalo de confianza para βj al 100(1� α)% de confianza .


Intervalos de confianza para una combinación lineal de los βjSea R un vector 1� k, puesto que

bβ � Nh

β, σ2(X0X)�1i

Rbβ � NhRβ, σ2R(X0X)�1R0

iPodemos estandarizar restando la media y dividiendo por la

desviación tipicaz = Rbβ�Rβpσ2R(X0X)�1R0

� N(0, 1) bajo H0

Sabemos que bσ2(T� k)σ2 � χ2

(T�k)

y puesto que bσ2 y bβ son independientes

t =

Rbβ�Rβpσ2R(X0X)�1R0r(T�k)bσ2

σ2(T�k)

=Rbβ� Rβqbσ2R(X0X)�1R0

=Rbβ� Rβ

SE(Rbβ) � tT�k


Por tanto

Prob

�tT�k,α/2 <

Rbβ� Rβ

SE(Rbβ) < tT�k,α/2

!= 1� α

Manipulando esta expresión tenemos

Prob��tT�k,α/2SE(Rbβ) < Rbβ� Rβ < tT�k,α/2SE(Rbβ)� = 1� α

Prob�

Rbβ� tT�k,α/2SE(Rbβ) < Rβ < Rbβ+ tT�k,α/2SE(Rbβ)� = 1� α

y el intervalo de confianza para Rβ con nivel de confianza100(1� α)% es

[Rbβ� tT�k,α/2SE(Rbβ), Rbβ+ tT�k,α/2SE(Rbβ)]Existe una relación entre los intervalos de confianza y los contrastede hipótesis: Se rechaza a nivel α la hipótesis nula H0 : Rβ = rfrente a la alternativa H1 : Rβ 6= r si y sólo si r no pertenece alintervalo de confianza para Rβ al 100(1� α)% de confianza .


tema 3: contrastes de hipótesis en el mrl - rua: … · nótese que z sólo nos serviría como...

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