tema 3 analisis de flujo de carga

8/17/2019 Tema 3 Analisis de Flujo de Carga

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material del Prof. Alexis Diaz Vigl (281007) 1

Tema 3: Análisis de flujo de carga

TEMATICA

1 Descripcion del problema de flujo de arga

2 Definicion de las variables y marco de analisis

3 Tecnicas de Analisis

3.1 Exactas3.1.1 Gauss-Seidel

3.1.2 Newton-Rapshon

3.1.3 Newton-Rapshon Desacoplado Rapido

3.1.4 Inyeccion de corrientes

Analisis comparativo

3.2 Aproximadas

3.2.1 Metodo de Corriente continua

3.2.2 Metodo de la caida de tension


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c

2

Carga de resistencia constante V * comportamiento lineal

Carga de Potencia Constante V *

pero * ,

luego: * * * 0 relación no

→ =

+

= +

=

= + → − + =

c

c l

l c

c c

cl c c c c l

c

RV

R R

R I V

P V I

PV R V V V V P R

V lineal.

Problema de flujo de cargaObjetivo: partiendo de una condición de demanda y de generación conocida, se determina elcomportamiento de la red en términos de tensiones y flujos de potencia.

A fin evaluar:

Acciones de control sobre la red.

Efectos de cambios topológicos en el sistema.

Impacto de dispositivos reguladores de tensión y potencia.

Efectos de cargas. Requerimientos de reactivos.

Fundamental en la toma de decisión a nivel de acciones en la operación de redes eléctricas y en laplanificación de sistemas eléctricos.

Base de calculo en otros estudios de interés : Fallas, estabilidad transitoria, dinámica, estabilidadde voltajes, etc.

En principio se asume un sistema trifásico balanceado: se evalúa la red de secuencia positiva.De naturaleza no lineal: Cargas en términos de potencia


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Modelamiento estático: La red se representa por un conjunto de ecuaciones algebraicas. Con el propósito de obtener elestado de operación en régimen permanente. Comportamiento dinámico no es considerado: seevalúa la red en una particular condición de demanda :

Uso del Análisis de Flujo de carga: Empleado tanto en estudios de operación como de planificación de redes eléctricas.

A nivel de operación: estudios de seguridad de red aplicando análisis de contingencia: estudiodonde se evalúan un conjunto posibles de contingencias y estas se ponderan en función de su

severidad en términos de la magnitud de los limites operativos violados. Continencia: evento conalgún grado de riesgo sobre la red

A nivel de Planeación: se emplea para evaluar acciones de expansión de la red eléctrica con elpropósito de satisfacer adecuadamente el aumento pronosticado de la demanda.


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Por el algoritmo empleado o método de solución: La naturaleza del problema define el algoritmo a emplear. Según la naturaleza delproblema, la solución puede ser:

Simple en la programación de tal manera que sea fácil de mantener en el tiempo.

Programación estructurada, programación orientada a objeto, etc.

Simplicidad

Habilidad para la incorporación de características especiales como nuevas variables

de control, optimización de variables y mejoras de convergencia numérica.

Versatilidad

Problemas mal condicionados. Análisis de casos múltiples. Análisis en tiempo realConfiabilidad

Redes de grandes dimensiones. Computadoras con limitado recurso de memoriaPequeño espacio de

almacenamiento

Análisis de grandes redes eléctricas > 1000 nodos. Análisis en tiempo real .

Análisis de casos múltiples

Alta velocidad

Requerida en:Característica

Características del programa:

Casos multiplesCasos Simples

Fuera de líneaEn línea

Con control de LimitesSin control de limites

AproximadaPrecisa


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Tipos de barras. Caracteristicas

IncognitaDatoTipo de barra

PQDe Carga

PV

SlackDe Generacion 0espV ∠∠∠∠ gen gen genS P jQ= ±= ±= ±= ±

en y esp P V y genQ δ δδ δ

arg arg arg c a c a c aS P jQ= += += += + i iV δ δδ δ ∠∠∠∠


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Datos del problema:1 Condición de carga.

2 Potencias activas especificadas en las barras de generación (excepto en barra Slack)

3 Tensiones controladas en las barras de generación.

4 Fasor de tensión en la barra de generación de referencia (slack, swing):

Restricciones:

Equilibrio Energético:

Límites de reactivos :

Incógnitas:

Barras de Carga (PQ)

Barras de generación (PV)

i i i

i

V V δ

δ

= ∠ →

→

0oslack espV V = ∠

arg

sistema

generada pérdidas c aP P P= +∑ ∑

min maxgQ Q Q≤ ≤


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Método de Gauss – Seidel

1 11 12 1 1

2 2 1 2 2 2 2

1 2

..

..* *

: : : .. .. :

D onde :

Ve ctor de inyeccion es netas de corr iente .

M atriz de Adm itancia nodal de sec. +

V ector de tens iones nod ales .

En té rminos de p

= → =

=

=

=

n

n

n n n n n n

I Y Y Y V

I Y Y Y V I Y V

I Y Y Y V

I

Y

V

*

1

1

11 1 2 1 1*

22 1 22 2 2

2

1 2*

otencia neta inyectada (dato cono cido) se tiene:

..

..* p rob lem a no lineal

: : .. .. ::

= →

n

n

n n n n n

n

n

S V

Y Y Y V

S Y Y Y V V

Y Y Y V S

V


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Gauss Seidel (Continuación)

Conjunto de ecuaciones lineales que se resuelven mediante cálculos iterativos partiendode un vector de arranque de tensiones.

¿Cuántas Ecuaciones? ¿Cuál Vector de Arranque? ¿Qué criterio de Paro? ¿Método deGauss o de Gauss-Seidel?

*

1

*

1

*

1 1

: * *

1 : *

1 g : * *

=

≠

=

≠

+ +

= +

= −

= − +

∑

∑

ni

ii i ij j

ji

j i

ni

i ij j

jii i j i

k k k ii ij j ij jk

jii i

S A s í e n to n c e s Y V Y V

V

S L u e g o V Y V

Y V

S D e fo r m a e n é r ic a V Y V Y V Y V 1 1

= = +

≠ ≠

∑ ∑ z n

j z j i j i


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Ejercicio 3.1

Para la red que se muestra aplique una

Iteración del método de Gauss-Seidel.

0,85 – j 7,48

1.41 – j 10,33

0,85 – j 7,04

0,22 – j 4,99

j 0,10,015 + j 0,132 j 3,80,08 + j 0,7100L4

0,013 + j 0,095

0,017 + j 0,14

0,009 + j 0,2

j 3,6

j 3,4

j 3

L

(klm)

Linea

j 0,0950,07 + j 0,5100L3

j 0,1350,06 + j 0,5150L2

j 0,0950,04 + j 0,9120L1

J0,0625

Z

(0/1)

-j16 j 7,512013,8/230Tx1

Y

(0/1)

Z

(%)

Sn

(MVA)

Vn

(kV)

Tx

1

/

l Z

KlmΩ

1

/

sY

S Klm µ µµ µ

1

(0/1)

l Z 1

(0/1)

l Y 1 0,5

(0/1)

sY

13,8 kV barra 1

Vbase

529 ohm100 MVA

Zbase (230 kV)Sbase

00PQ3

1Slack1

2040PQ2

1020PQ4

30

P carga

MW

Q gmax

MVAR

15

Q carga

MVAR

5

Barra

PQ

Q gmin

MVAR

Pgen

MW

Vpro

(0/1)

Tipo


10/37



La matriz Ybus es:

Vector de Arranque:

Un vector de arranque adecuado conviene sea lo mas cercano a lo solución. Este puede ser la solución del sistemaen un estudio anterior que difiera poco del que se ejecuta, o en su defecto el vector plano de tensiones a saber:

Criterio de Paro:

En una corrida normal:

- 1,41 + j 10,332,26 – j 17,610- 0,85 + j 7,4804

5

3

2

1

Barra

- 0,85 + j 7,0401,07 – j 11,8- 0,22 + j 4,990

2,26 – j 17,14- 1,41 + j 10,33- 0,85 + j 7,0400

0- 0,85 + j 7,48- 0,22 + j4,991,07 – j 28,28 j 16

000 j 16-j 16

54321

1 1 -2 -4

o o

a) por convergencia cuando: : 1*10 1*10

o

b) por divergencia cuando: n de iteraciones > n maximo de iteraciones

k k

i iV V dondeξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ + ++ ++ ++ +

− < <


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Tema 3: Análisis de flujo de carga Solución ( para la primera iteración)

Finalizado el primer ciclo de cálculo se tiene:

El mayor error es : 0,0327. Si la tolerancia pre-establecida ubiese sido por ejemplo: 0,01 , se repetiría el ciclo de cálculo , peroempleando el nuevo vector de tensiones calculado. Este proceso iterativo continuaría hasta obtener una solución cuyo mayor error fuese

menor a la tolerancia en cuyo caso se ha obtenido la solución del problema, o en caso contrario por máximo numero de ciclos oiteraciones de cálculo establecido sistema diverge matemáticamente.

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))

*

1

2

*

1

3

1

4

1 0, 4 0,2 16 0, 22 4,99 0,85 7,48

1,07 28, 28

1 00,22 4,99 0,85 7,04

1,07 1

1 0 0,99 0,812

0,99 0,812 11,8

1

2

1 0 1 0

,01 0,

, 26 17,6

1 0

1 01 0

1

465

jV j j j

j

V j j j

V j

− −− −− −− − = − + − + + − + == − + − + + − + == − + − + + − + == − + − + + − + =

−−−−

= − − + + − + == − − + + − + == − − + + − + == − − + + − + =

−−−−

∠ ∠∠ ∠∠ ∠∠ ∠∠∠∠∠

∠∠∠∠∠∠∠∠

−−−−====−−−−

∠ ∠ −∠ ∠ −∠ ∠ −∠ ∠ −

∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

*

*

1

5

0,2 0,1 0,85 7,48 1, 41 10,33

1 0,3 0,150,85 7,04 1,41 10,33

2, 26 17,

0,99 0,812 0,999 1,01

1,01 0,465 0,999 1,01 1

1 01 0

,006 44 1 01

1,8

j j j

jV j j

j

−−−− − − + + −− − + + −− − + + −− − + + − ∠∠∠∠+ =+ =+ =+ =

− −− −− −− − = − − + + − + == − − + + − + == − − + + − + == − − + + − + =

−−−−

∠∠∠∠

∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −

∠ − ∠ − ∠ −∠ − ∠ − ∠ −∠ − ∠ − ∠ −∠ − ∠ − ∠ −

∠∠∠∠

[[[[ ]]]]

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

1 1 0

1 2 2

2 1 01 1 3 3

3 1 0

1 4 4

4 1 0

1 5 5

5

1 00,99 0,812 1 0

0,99 0,8121,01 0,465 1 0

1,01 0,4650,999 1,01 1 0

0,999 1,011,006 1,84 1

1,006 1,84

V V V

V V V

V V V V V

V V V

V

∠∠∠∠ ∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠−−−−

∠ −∠ −∠ −∠ − ∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠−−−− = = ∠ − → ∆ = == = ∠ − → ∆ = == = ∠ − → ∆ = == = ∠ − → ∆ = =

∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠−−−− ∠ −∠ −∠ −∠ − ∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠∠ − − ∠−−−− ∠ −∠ −∠ −∠ −

0,0173

0,0129

0,0176

0 0,0327

====


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Ejercicio 3.2

Para la red que se muestra aplique una

Iteración del método de Gauss-Seidel.

Considere los limites de potencia reactiva

de las máquinas.

Tolerancia = 0,001

0,85 – j 7,48

1.41 – j 10,33

0,85 – j 7,04

0,22 – j 4,99

j 0,10,015 + j 0,132 j 3,80,08 + j 0,7100L4

0,013 + j 0,095

0,017 + j 0,14

0,009 + j 0,2

j 3,6

j 3,4

j 3

L

(klm)

Linea

j 0,0950,07 + j 0,5100L3

j 0,1350,06 + j 0,5150L2

j 0,0950,04 + j 0,9120L1

J0,0625

Z (0/1)

-j16 j 7,512013,8/230Tx1=Tx2

Y (0/1) Z (%) Sn (MVA) Vn (kV) Tx

1

/

l Z

KlmΩ

1

/

sY

S Klm µ µµ µ

1

(0/1)

l Z 1

(0/1)

l Y 1 0,5

(0/1)

sY

13,8 kV barra 1

Vbase

529 ohm100 MVA

Zbase (230 kV)Sbase

00100-100?1,02Slack1

3040PQ4

50100PQ2

00PQ3

5080PQ5

0

P carga

MW

100

Q gmax

MVAR

0

Q carga

MVAR

6

Barra

-501001,01PV

Q gmin

MVAR

Pgen

MW

Vpro

(0/1)

Tipo


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La matriz Ybus es:

Vector de Arranque:

:

:

0

2,26 – j 17,14

- 1,41 + j 10,33

- 0,85 + j 7,04

0

0

5

0- 1,41 + j 10,33- 0,85 + j 7,04005

02,26 – j 17,610- 0,85 + j 7,4804

6

3

2

1

Barra

j 1601,07 – j 27,8- 0,22 + j 4,990

- j160 j 1600

0- 0,85 + j 7,48- 0,22 + j4,991,07 – j 28,28 j 16

000 j 16-j 16

64321


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Solucion ( para la primera iteracion)

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

*

1

2

*

1

3

1

4

1 1 0,5 16 0, 22 4,99 0,85 7, 48

1,07 28, 28

1 00,22 4,99 0,85 7,04 16

1,07 27,

1 0 1 01 0

1 0 01

1,02 0 0,999 2.02

0,999 2.02 1,01 1,08

1

2,26

013 2,11

jV j j j

j

V j j j j

V

− −− −− −− − = − + − + + − + == − + − + + − + == − + − + + − + == − + − + + − + =

−−−−

= − − + + − + + == − − + + − + + == − − + + − + + == − − + + − + + =

−−−−

∠ ∠ −∠ ∠ −∠ ∠ −∠ ∠ −

====

∠∠∠∠

∠ ∠∠ ∠∠ ∠∠ ∠∠∠∠∠

∠ ∠∠ ∠∠ ∠∠ ∠∠∠∠∠

− ∠ −− ∠ −− ∠ −− ∠ −

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))

*

*

1

5

0,4 0,30,85 7, 48 1, 41 10,33

17,61

1 0,8 0,50,85 7,04 1, 41 10,33

2, 26 17,14

0,999 2.02 0,99 2,09

1,013 2,1

1 0

1 0,99 2

1 0

1 0,0

6 tipo

9 0,98 4,

P

72

j j j

j

jV j j

j

Barra

− −− −− −− − − − + + − + =− − + + − + =− − + + − + =− − + + − + =

−−−−

− −− −− −− − = − −= − −= − −= − −

∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −

∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −∠ − ∠ −

∠∠∠∠∠∠∠∠

∠∠∠∠+ + − + =+ + − + =+ + − + =+ + − + =

−−−−

→→→→

∠ −∠ −∠ −∠ −

{{{{ }}}} (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))){{{{ }}}}2g 2 2l

2 2 2 2g 2g

ero

2_min

V, luego:Calculo de la potencia reactiva generada: Q Q Q

Q 16 16 0,037 Q 0,037 (0/1) Q 3,7 Mvar

luego:

1 ) como -50 Mvar (Q )

1,01 1,01 1,013 2,11

3,2 Mv r

0 0

a

im V I im j j ∗∗∗∗∗∗∗∗

∠∠∠∠

= += += += +

= ∗ = ∗ −= ∗ = ∗ −= ∗ = ∗ −= ∗ = ∗ −∠∠∠∠ + ∗+ ∗+ ∗+ ∗−−−−∠∠∠∠ = → = → == → = → == → = → == → = → =


15/37




16/37



Metodo de Newton-Rapshon Sea las siguientes, el conjunto de ecuaciones no lineales que caracterizan a un problema:

( )

( )

( )( )

1 1 2 11

2 1 2 2 2

1 2

1 1 2 1 1 1 2

, , ....,

, ,...., donde vector solución del sistema

::

, ,....,

, ,...., , ,...

luego entonces:

= = = = =

= −

s s ssn

s s s sn s

ss s s

n

n n n

s s s s s

n

F x x x b x

F x x x b x X

x

F x x x b

G x x x b F x x( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1 2 2 2 1 2

1 2 1 2

., 0

G , ,...., F , ,...., 0

: : :

, ,...., , , ...., 0

Supongase que se descompone el

= = − =

= − =

s

n

s s s s s s

n n

s s s s s s

n n n n n

x

x x x b x x x

G x x x b F x x x

( ) ( )

0

1 1 1

0

2 2 2

0

0 0 0 0 0 01 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2

0

2 1 1

vector solución:: : :

Asi entonces:

, ,...., , ,...., 0

G ,

∆

∆ = +

∆

+ ∆ + ∆ + ∆ = − + ∆ + ∆ + ∆ =

+ ∆

s

s

s

n n n

n n n n

x x x

x x x

x x x

G x x x x x x b F x x x x x x

x x x( ) ( )0 0 0 0 02 2 2 2 1 1 2 2

1

,...., F , ,...., 0

: : : :

+ ∆ + ∆ = − + ∆ + ∆ + ∆ =n n n n

n

x x x b x x x x x x

G x( ) ( )0 0 0 0 0 01 2 2 1 1 2 2, ,...., , ,...., 0

+ ∆ + ∆ + ∆ = − + ∆ + ∆ + ∆ =n n n n n n x x x x x b F x x x x x x


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Metodo de Newton-Rapshon (continuacion)

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 2 1 1 2 1 1 20 0 0

1 1 2 1 2

1 2

0

2 1

Expresando el anterior set de ecuaciones, en términos de series de Taylor se tiene :

, ,., , ,., , ,.,0 = , ,., ... . . .

0 = ,

∂ ∂ ∂+ ∆ + ∆ + + ∆ +

∂ ∂ ∂

n n n

n n

n

G x x x G x x x G x x xG x x x x x x t o s

x x x

G x( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 1 2 2 1 2 2 1 20 0

2 1 2

1 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 1 2 1 20 0 0

1 2 1 2

1 2

, ,., , ,., , ,.,,., ... . . .

:

, ,., , ,., , ,.,0 = , ,., ... . . .

i el ve

∂ ∂ ∂+ ∆ + ∆ + + ∆ +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ ∆ + ∆ + + ∆ +

∂ ∂ ∂

n n n

n n

n

n n n n n n

n n n

n

G x x x G x x x G x x x x x x x x t o s

x x x

G x x x G x x x G x x xG x x x x x x t o s

x x x

S

( )

( )

0 0 0

0

0 0 0 1 1 11 1 2 1 2

1 2

0 0 0

2 1 2 1

ctor de arranque está sercano al vector solución: , entonces 0 y . . . 0 luego:

, ,., ... .

, ,.,

→ ∆ → →

∂ ∂ ∂− ≈ ∆ + ∆ + + ∆

∂ ∂ ∂

∂

− ≈ ∆

S

n n

n X X X

n

X X X t o s

G G GG x x x x x x

x x x

G

G x x x x

( )

0 0 0

0 0 0

2 2 22

1 2

0 0 0

1 2 1 2

1 2

...

: : : :

, ,., ...

∂ ∂

+ ∆ + + ∆∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂− ≈ ∆ + ∆ + + ∆

∂ ∂ ∂

n

n X X X

n n nn n n

n X X X

G G

x x x x x

G G GG x x x x x x

x x x


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Método de Newton-Rapshon (continuación)

( )

( )

( )

0 0 0

1 1 2

0 0 0

2 1 2

0 0 0

1 2

Como:

G(X) ( ) G(X) = b - F(X)

X

El Conjunto de ecuaciones anteriores puede expresarse matricialmente de la siguiente forma:

, ,.,

, ,.,

:

, ,.,

∂ ∂→ = −

∂ ∂

n

n

n n

F X

X

G x x x

G x x x

G x x x

[ ] [ ][ ]

[ ]

[ ]

0

1 1 1

1 2

1

2 2 2

21 2

1 2

:

:*

:: : : :

:

Donde:

= Vector de errores

Matriz

=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆

∂ ∂ ∂ ∆ ∂ ∂ ∂= → ∆ = ∆ ∆ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∆

=

n

n

n

n n n

n X X

F F F x x x

xF F F

x x x x F J x

xF F F

x x x

F

J

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

0

1 1

1

Jacobiana evaluada en X=X

Vector de correcciones.

Asi entonces:

= *

si ( ) criterio de parada del proceso itera

− +

+

∆ =

∆ ∆ → = + ∆

= ∆ ≤

k k k

k s S

x

X J F X X X

X X F X ξ tivo de cálculo.


19/37



Procedimiento:1) Se define una tolerancia, un máximo número de ciclos permisibles y un vector de arranque supuesto cercano a la

solución

2) Se calcula el vector de errores: G(x). Si el mayor, G(xi), es:

2.1) Menor a la tolerancia entonces : [X]k es la solucion del problema fin del cálculo

2.2) Mayor a la tolerancia, entonces:

2.2 1) Se calcula la jacobiana2.2.2) Se resuelve el sistema de ecuaciones

2.2.3) Se aplica el factor de corrección

2.3) Se inicia el paso 2 y se repite cíclicamente el procedimiento hasta obtener una solución práctica o en su

defecto se detiene el proceso por divergencia matemática.

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]1 k k k

X X X ∆++++

= += += += +

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]1

( ) x X J G∆ −−−−

====

Representación gráfica de la técnica

En un sistema no lineal monovariable


20/37



2 2

1 1 2 1 2 2

2

2 1 2 2 1 1

( , ) 5 (2 3 )Las funciones de error seran respectivamente:

( , ) 10 (3 2 )

x x x x x

g x x x x x

= − −= − −= − −= − −

= − += − += − += − +

2 221 1 2 1 2

222 1 2 1 1

( , ) 2 - 3 5Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando Newton-Rapshon ( , ) 3 2 10

f x x x x x

f x x x x x

= == == == =

= + == + == + == + =

[[[[ ]]]]0

0 1

2

1,5 Se asume una tolerancia de 0,01 y se emplea como vector de arranque:

0,8

Luego entonces para el primer ciclo de cálculo:

Paso 1: x

X x

= == == == =

[[[[ ]]]]

00 1 1 2

( )

2 1 2

0

2 1 2

era

3,32( , ): cálculo y análisis del vector de errores paraPaso 2

4,12

4,12 0,01 no es solución. Comienza la

;( , )

Dado que 1 Iteracio( , X n)

x

g x xG

g x x

g x x

= == == == =

= > →= > →= > →= > →

0 0

2

1 2 1 20 2

22 2 2 1

1 1 1 2

2 1

4,8 0,3Paso 2.1

3,92 7,4 2 - 6: Determinación y evaluación de la Jacobiana :

3 2 26 X X

f x f x

f x f x x x x x J

x x x

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= = == = == = == = =

++++

−−−−

[[[[ ]]]]0 1

010 1

0 ( )

2

4,8 0,3 3,32: Cálculo del vector de correciones :

0,70Paso 2.2

0,

3,92 7,2 4 91 1, 2 x

x X J G

x

∆∆

∆

−−−−

−−−− −−−− = → = == → = == → = == → = =

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]1 0 0 1,5 0,70

: Cálculo del nuevo vector de soluciones :2,20

Pa

0,8 0,1

so 2.3

9 0,99

X X X ∆

= + = + == + = + == + = + == + = + =

[[[[ ]]]]

11 1 1 2

( )

2 1 2

1

1 1 2

era

1,64Paso 2

0,

( , ): cálculo y análisis del vector de errores para ;

( , )

Dado que ( , ) 1 no es s

87

,64 0,0 olución. Termina la 1 Iteracion sinX c1

x

g x xG

g x x

g x x

= == == == =

−−−−

====

>>>>

→→→→

−−−−

onvergencia !


21/37



Newton-Rapshon aplicado al análisis de Flujo de Potencia

( ) ( )i i

_ _

i j

_

S

Las potencias netas inyectadas a una barra son respectivamente:

P y Q

:

V , V y

Si V

= + − = − + −

= ∠ = ∠ = ∠

=

∑ ∑i j ij ij j i i j ij ij j i

i i j j ij ij ij

V V Y cos V V Y sen

Donde

V V Y Y

V

θ δ δ θ δ δ

δ δ θ

( ) ( )

1

2

esp

i i

Vector de solución de tensiones para una particular condición de carga:

Entonces:

P y Q

El vector de error

→

= + − = − + −∑ ∑

S

S

S

n

S S S S esp S S S S

i j ij ij j i i j ij ij j i

V

V

V V Y cos V V Y senθ δ δ θ δ δ

_ _

1 1

es empleado será: ( ) y ( )

El vector de correciones empleado será: y+ +

∆ = − ∆ = −

= + ∆ = + ∆

especificado especificado

K K K K K K

P P P V Q Q Q V

V V V δ δ δ


22/37



Newton-Rapshon aplicado al análisis de Flujo de Potencia (continuación)

Luego el sistema matricial básico es:

*

Por razones de simplicidad matemática se expresa de esta forma:

∂ ∂ ∂ ∂ ∆ ∆

= ∂ ∂ ∆∆ ∂ ∂

P PV P

Q Q V QV

δ δ

δ

1 1

*

Donde: 1 y+ +

∂ ∂ ∆ ∂ ∂ ∆ = ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂

∆ = + = + ∆

K

K K K K K

P PV V P

V Q QQ V V V

V V V

V

δ δ

δ

δ δ δ


23/37



Newton-Rapshon :cálculo de los términos de la Jacobiana

[ ]

( ) ( )

2

1 1

Supongase:

J , ,

Partiendo de :

cos cos

Q

= =

≠

∂ ∂∂ ∂= → = = = = ∂ ∂∂ ∂

= + − = + + −

= −

∑ ∑

n n

i i j ij ij j i i ii i j ij ij j i j j

j i

i i

j

H M Q QP P H M V N y L V V V N L

P V V Y V G V V Y

V

δ δ

θ δ δ θ δ δ

( ) ( )2

1 1

1

Sub-matriz H : Sub-matriz M:

= =

≠

=

≠

+ − = − − + −

∂= = +∂

∑ ∑

∑

n n

j ij ij j i i ii i j ij ij j i

j j i

n

iii i j ij ij

i j j i

V Y sen V B V V Y sen

P H V V Y sen

θ δ δ θ δ δ

θ δ δ ( ) ( )

( ) ( )

2 2

1

Q = 2 cos

=

S

s

b

co

u

=

=

≠

∂ − = − − = + + − = + ∂

∂ ∂= − + − = + − = −

∂ ∂

∑n

i j i ii i i ii i i i ii j ij ij j i ii i i

i j j i

i iij i j ij ij j i ij j i j ij ij j i ij

j j

P B V M V V V G V Y G V PV

P P H V V Y sen M V V V Y N

V

δ θ δ δ

θ δ δ θ δ δ δ

( )2

1

-matriz N: Sub-matr iz L:

cos = 2=

≠

∂ ∂= = + − = − = − −

∂ ∂∑n

i iii i j ij ij j i i ii i ii i i i ii j ij ij

i i j j i

Q Q N V V Y P G V L V V V B V Y sen

V θ δ δ θ

δ ( )

( ) ( )

2

1

cos =

=

≠

+ − = − +

∂ ∂= = − + − = − + − =

∂ ∂

∑n

j i ii i i

j j i

i iij i j ij ij j i ij j i j ij ij j i ij

j j

B V Q

Q Q N V V Y L V V V Y sen H

V

δ δ

θ δ δ θ δ δ δ


24/37



Ejercicio 3.3: Aplique una iteración de Newton-Rapshon a la red del ejercicio 3.2

Tolerancia = 0,001

La estructura del sistema de ecuaciones sería la siguiente:

6 6366

2 23 2422

3 33

63

2322

3332

42

53

23 2422

33 3536 32

44 4542

53 54

3536 32

44 454 42

53 5

55

4 555

232 22

33323

424

55

0 00

000

00

0 0

0

0

0

0

0

00

0

00

0 0

P H H

P H H H P H H H H

H H P H

H H H

M

M M M M

M

P

LQ L

L LQ

LQ

M

N N N

N N N N

N N N

N N N LQ

∆

∆∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

====

6

2

3

4

5

1

2 224

1

3 335

1

4 444 45

1

5 53 54 55

24

35

44 45

54 55

0 0

0

0

0

0

V V

V V

V V

V V

L

L

L L

L

M M

M

M

L

M

M

δ δδ δ

δ δδ δ

δ δδ δ

δ δδ δ

δ δδ δ

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−


25/37



Definido un vector de arranque:

Se determina el vector de errores:

Se compara el mayor error con la tolerancia pre-establecida:

0

6 6 6

2 2 2

3 3 3

4 44

5 55

2 22

3 33

4 44

5 55

0,70

1.

.00

0esp cal

esp cal

esp cal

esp cal

esp cal

esp cal

esp cal

esp cal

esp cal

P P P

P P P

P P P

P P P

P P P

Q QQ

Q QQ

Q QQ

Q QQ

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

−−−− −−−−

−−−− −−−− −−−−

−−−− −−−−= == == == =

−−−− −−−−

−−−− −−−−

0,70

0 ( ) 0.5

0.00 0.0039

0,4 ( ) 0,395

0,8

0,5 ( ) 0,003

0.00 ( )

0,3 (

0,05

0,0039

0,05

0,004

0,503

0,385

0,185

0

0,8004

0,385

) 0,115

0,5 ( ) 0, 273,227

− −− −− −− − − −− −− −− −

− − −− − −− − −− − −

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

− − =− − =− − =− − =

− − −− − −− − −− − − −−−−

− − −− − −− − −− − −

− − −− − −− − −− − −

−−−−

−−−−

−−−−

[[[[ ]]]]0

5 3Dado que : P 0,01 o Q 0,01 el vector de tensiones V no es adecuado.

aplica un primer ciclo de cálculo.

∆ ∆> >> >> >> >


26/37



Se calcula la potencia reactiva generada en las barras pv y se comparan estas con sus limites:

Se calcula la Jacobiana y se resuelve el sistema de ecuaciones:

Se corrigen las tensiones:

6

2

3

4

5

1

2 2

1

3 3

1

4 4

1

5 5

16 0 16.16 0 0

0 28.78 4.99 7.49 0

16.16 4.99 28.19 0 7.04

0 7.

0 1.12 0.22 0.85

0 0.22 1.07 0

0 0.85 0 2.31

0 0 0.85 1.41

49 0 17.73 10.33

0 0 7.04 10.33 1

V V

V V

V V

V V

δ δδ δ

δ δδ δ

δ δδ δ

δ δδ δ

δ δδ δ

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

− −− −− −− −

− − −− − −− − −− − −

− −− −− −− −

− −− −− −− −

−−−−

−−−−

====

10,70

0.5

0.0039

0,395

7.41 0,8

28.28 4.99 7.

0 0 0 0

1.02 0.22 0.85 0

0.22 1.07 0 0.

49 0

4.99 27.41 0 7.04

7.49 0 17.5 10.

85

0.85 0 2.21 1.41

0 0.85 1.41 2.26

0

0.85

1.41

2

33

0 7.04 10.33 16.87.26

−−−−

− −− −− −− − −−−−

−−−−− −− −− −− −

− −− −− −− −

−−−−

−−−−

−−−−

− −− −− −− −

− −− −− −− −

− −− −− −− −

− −− −− −− −

−−−−

−−−−

0.011

0.062

0.054

0,131

004 0,142

0,003 0,020

0,385 0,034

0,115 0,061

0, 273 0, 073

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

− −− −− −− −

− −− −− −− −

− −− −− −− −

− −− −− −− −

====

1 0 0

0 0 16

20 0

2

30 0

3

40 0

4

50 0

5

0 0.61 0.611(1 0.02)

0 3.55 3.551(1 0.03)

0 3.08 3.08 y1(1 0.0

0 7.48 7.48

0 8.15 8.15

V

V

V

V

δ δδ δ δ δδ δ

δ δδ δ

δ δδ δ

δ δδ δ

− −− −− −− − −−−− − −− −− −− − −−−− = + − = − == + − = − == + − = − == + − = − =

−−−− − −− −− −− −

− −− −− −− −

1

0 1

0

2

0

3

04

05

06

0

(p.u.) (p.u.)

0.98 3.55

0.97 3.08

0.94 7.48

0.93 8.15

0

1.02 0

1. .6101

0.98

0.97

6) 0.94

1(1 0.07) 0.93

V

V

V

V

V

V

→→→→

∠∠∠∠

∠−∠−∠−∠−

∠−∠−∠−∠−

∠−∠−∠−∠−

∠−∠−∠−∠−

∠−∠−∠−∠−

= == == == =

−−−−

**

6 6 6 6 36 3 66 6

gmin gmax

{ * }* * 16 Mvar

Dado que -50 Mvar (Q ) < 16 Mvar < 100 Mvar (Q ) Barra 6 controla voltaje.

g base baseQ im V I S V Y V Y V S= = + == = + == = + == = + =

→→→→


27/37




28/37



Newton-Rapshon Desacoplado Rápido

En líneas de transmisión:

90º

En la red de transmisión:

1 . .

→ = ∠ →

≈ ≈

l l l l l l

i j

R X G B además Y Y donde

V V p u

θ θ

( ) 0

Partiendo del Concepto Básico del método: *

Es fácil evaluar que: 0 y 0.

Asi se puede desacoplar el siste

≈ → − ≈

∂ ∂ ∆ ∆

= ∂ ∆∆ ∂

∂∂ →

∂∂

→

∂

∂∂

∂

i j i jademás

PP

Q V QV

PV

QPV

Q

δ δ δ δ

δ

δ

δ

δ

[ ] [ ]

[ ]

ma de ecuaciones:

*

*

∂ ∆ ≈ ∆∂

∂∆ ≈ ∆ ∂

PP

QQ V

V

δ δ


29/37



Newton-Rapshon Desacoplado Rápido (continuación)…

2 2

2

De igual forma: pero 0; en todo caso

Así, entonces: *

- ( )

∂= − − →

∂

∂ ∂≈ − → ≈= −

∂ ∂

∂

= + −∂

iii i i i ii i

i

i iii i ii i i

i i

i i j ij ij j i

j

P B V Q Q B V Q

P P B V B V V

PV V Y sen

δ

δ δ

θ δ δ δ

1 1

-

Finalmente: * *= =

∂

→ ≈∂

∆∆ ≈ − ∆ → ≈ − ∆

∑ ∑

i ij i j

j

n ni

i i j ij j ij j

j ji

P B V V

PP V V B B

V

δ

δ δ

( )

2 2

iDe igual forma: V pero

En consecuencia:

Aplicando estas simplifacion

∂= − +

∂

∂≈ −

∂

∂ ∂= − + − → ≈ −

∂ ∂

iii i i ii i i

i

iii i

i

i ii ij ij j i i ij

j j

Q B V Q B V Q

V

Q B V

V

Q QV Y sen V B

V V

θ δ δ

( ) ( )ii1 1

Qes se tiene: Q * *

= =

∆∆ = − ∆ → = − ∆∑ ∑

n n

i ij ij j j j ji

V B V B V V


30/37



Newton-Rapshon Desacoplado Rápido (continuación)…

2

2

22 23 2 2

3

32 33 3 33

2 3

Estas simplificaciones expresadas en forma matricial son las siguientes:

:

: * y: : : : :

::

∆

∆ ∆ ∆

= −

∆ ∆

n

n

n n nn nn

n

PV

B B BP

B B BV

B B BP

V

δ

δ

δ

[ ] [ ] [ ]

2

2

22 23 2 2

3

32 33 3 33

2 3

11

:

:* :: : : :

::

Luego:++

∆

∆ ∆ ∆

= −

∆ ∆

= + ∆ =

n

n

n n nn nn

n

k k k k

QV

V B B BQ

V B B BV

V B B BQ

V

V V δ δ δ + ∆ k k

V

Representación gráfica de la técnica

En un sistema no lineal monovariable


31/37



Ejercicio 3.4: Aplique una iteración de Newton-Rapshon a la red del ejercicio 3.2

Tolerancia = 0,001

Definido un vector de arranque:

Se calcula los vectores de error en potencia activa y reactiva:

Se compara el mayor error con la tolerancia pre-establecida:

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

0 11

6 6 66 6

11

2 2 22 2

11

3 3 33 3

11

4 4 44 4

11

5 5 55 5

0,636

0,05

0

0,8

,0039

0, 1

04

0

esp cal

esp cal

esp cal

esp cal

esp cal

V P PV P

V P PV P

V P PV P

V P PV P

V P PV P

∆

∆

∆

∆

∆

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−

−−−− = = −= = −= = −= = −−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

011

2 2 22 2

11

3 3 33 3

11

4 4 44 4

11

5 5 55 5

0,

0,003

0,115

0,27

5

3

38

esp cal

esp cal

esp cal

esp cal

V Q QV Q

V Q QV Q

V Q QV Q

V Q QV Q

∆

∆

∆

∆

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−− −−−− −−−− = == == == = −−−−−−−− −−−− −−−−

−−−−

[[[[ ]]]]1 1 0

5 5 3 3 : 0,01 0,01 .

.

Dado que V P o V Q el vector de tensiones V no es adecuado

aplica un primer ciclo de calculo

∆ ∆− −− −− −− −

> >> >> >> >


32/37



Se calcula la potencia reactiva generada en las barras pv y se comparan éstas con sus limites:

Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Se aplican las correciones angulares y modulares de las tensiones:

**

6 6 6 6 36 3 66 6

gmin gmax

{ * }* * 16 Mvar

Dado que -50 Mvar (Q ) < 16 Mvar < 100 Mvar (Q ) Barra 6 controla voltaje.

g base baseQ im V I S V Y V Y V S= = + == = + == = + == = + =

→→→→


33/37




34/37



Método de inyección de corrientes

Método rápido en sistemas radiales

No requiere formación de Ybus

* 1) Se calculan todas las inyecciones de corriente partiendo de un vector de arranque de tensiones:

* , 1, 2,....2

2) Se calculan las contribucione

= − → = − −

espk k ii io ik

i

S I Y V i n n n

V

,

s de corrientes de "ramas" a "tronco" (en sentido ascendente):

donde: i = nodo suministrador ; j = nodo receptor.

3) Barriendo el árbol en

∈ ≠

= − + ∑k k ij j jss j s i

I I I

1 1

sentido aguas abajo (descendente) se determinan las nuevas tensiones:

* donde: impedancia serie del elemento entre i y j.

4) Calculo iterativ

+ += − =

k k k

j i ij ij ijV V Z I Z

k+1 k

i io que culmina cuando la mayor desviación: V V− ≤ ε


35/37



Gauss –Seidel :

Fortalezas:

Fácil de implementar.

Bajo requerimiento de memoria.

Menos sensible al vector de arranque queNR.

Mejor comportamiento frente a redes conproblemas de reactivos.

Lenta divergencia: divergencia gradual.

Debilidades: Lenta convergencia.

Tiempo de computación dependiente deltamaño de la red.

Problemas en redes con compensaciónserie: Impedancia negativa.

Lento en el cálculo de grandes redeseléctricas.

Newton -RaphsonFortalezas Rápida convergencia, poco dependiente del

tamaño de la red. No Presenta problemas con Impedancias

Serie Negativas. Adecuado para el manejo de grandes redeseléctricas.

Debilidades: Mas sensible al vector de arranque que GS. Cuando Diverge lo hace rápidamente. Problema de convergencia en redes con

problemas de reactivos. Mayores requerimientos de memoria que

GS.

Newton –Raphson Rápido DesacopladoFortalezas Mismas ventajas que el NR. Mas rápido que el NR.Debilidades: Mismas debilidades que el NR. Problemas de convergencia en sistemas

con alta R/X.

Técnicas de Análisis de Flujo de Carga: Evaluación Cualitativa


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Flujo de carga en Corriente Directa (cd) ( método de Stott)Metodo aproximado empleado en analisis de contingencias y para criterio de mejora de convergencia.

Presesenta dos pasos: calculo de los angulos y calculo de las tensiones.

Calculo de los angulos (en barras PV y PQ)

( ) ( ) ( )

* *

1

Potencia compleja inyectada en la barra i: ´

En coordenadas cartersianas: ´

Aplicando sobre esta ecuació

=

+ =

→ + = + − −

∑

∑

i i i ij j

n

i i i i i ik ik k k k

k

P jQ V Y V

P jQ V Cos jsen G jB V Cos jsenδ δ δ δ

i

k

n, las siguientes simplificaciones:

1. 0 1 y 2. 0.

3. V 1 . . 4. * 0

Se tiene: ´

≈ → ≈ ≈ → ≈

≈ ≈

+

k k k ik ik ik

j k

i

Cos sen R X G

p u

P jQ

δ δ δ δ

δ δ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

1

1 1 1 1

1

1 1

Luego entonces: ´ Re 1 * 1

De forma resumida: P * * P

Donde:

P

=

= = = =

−

≈ + − −

→ ≈ − − + = − = −

= → =

=

∑

∑ ∑ ∑ ∑

n

i i ik k

k

n n n n

i ik k i ik i k ik i ik k

k k k k

j jB j

P jB j j B B B

B B

δ δ

δ δ δ δ δ δ

δ δ

[ ]

[ ]

Vector de Potencias netas inyectadas

Parte imaginaria de la matriz de admitancia nodal

ángulos de las tensiones (radianes)

=

=

B

δ


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Calculo de los modulos de las tensiones (en barras PQ)

( )( ) ( ) ( )

( )

* *

1

1

Potencia compleja inyectada en la barra i: ´ y multiplicando por se tiene:

´

s

=

=

−+ =

+ − = − −

− = − +

∑

∑

∑

i i i ij j

n

i i i i i ik ik k k k

k

n

i i i i i k ik k ik

k

i jP jQ V Y V

P jQ Cos jSen V G jB V Cos jsen

Q Co PSen V V G Sen B Cos

e δ

δ δ δ δ

δ δ δ δ ( )

( )( ) ( ) ( )

pq pv

k l

l=1k=1k i

Sustituyendo ahora: (1 ) y separando las barras PV de las barras PQ:

(1 ) (1 ) V(1 )

Definiendo:

≠

= + ∆

−= − + ∆ + − + ∆ + − +

+ ∆ ∑ ∑

k

i i i i

ik k ik k ii i ii i il l il li

i

V V

Q Cos PSenV G Sen B Cos V G Sen B Cos G Sen B Cos

V

δ δ δ δ δ δ δ δ

( )

1

ik

pq pv

ii k ik l il

l=1k=1k i

A y asumiendo que: (1 ) (1 )

Se tiene: (1 ) (1 )A (1 )A V A

Reagrupando términos se tiene:

−

≠

= + + ∆ ≈ − ∆

− − ∆ = − + ∆ − + ∆ −

−

∑ ∑

ik k ik k i i

i i i i i i

i i i i

G Sen B Cos V V

Q Cos PSen V V V

Q Sen PCos

δ δ

δ δ

δ δ ( )

[ ] [ ]

[ ]

1

pq i

1 1

Ecuación que aplica a cada barra PQ, formando el siguiente sistema matricial: *

: vector de orden N *1 F =

== =≠

+ + = − − ∆ − ∆

= ∆

= → −

∑ ∑ ∑ pq pv Pq

ik l il i i i i ii ik k il

i i

k k k i

A V A Q Sen PCos A V A V

F L V

Donde F Q Sen P

δ δ

δ

[ ]

1

pq pq

i

1

matriz de orden N *N

Vector de corrección de voltajes V 1

==

+ +

= → = − − = −

∆ = → = + ∆

∑ ∑ pq pv

i i ik l il

l

ii i i i i ii ik ik

i

k

Cos A V A

L L Q Sen PCos A y L A

V V

δ

δ δ

tema 3 analisis de flujo de carga

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