TEMA 3. lgebra (I) Matemticas Aplicadas I

IES Melide 2015/16

1. Divisin de polinomiosAntes de recorder la diminish de pdinonios , traermos a

Nuestra memoria el cociente de monomios.

EC COCLEME DE UN Moron co EMRE OTRO mono nlo DE GRADO

INFERLOR es Oto monomio can coefiuerte el ( oiente de ( os coefiien -

tes y cuyo grade es La dferenia entire el grado del dividend

Menos el grade dei dinar .

( axml :(bxnl = xnn

Ejemplos : ( 79:(43 )=Iyx "=3(851 :( 44 . f- x

"=2

TECNICA DIUISIOI POLI non los

1.

Ordenamos ambos poliwonis de maner decrement en so

qrados .

2. En el pdinomo diidendo . al wlocarb para hawk

division, dejamos los hnecos comegnndieiles a los terminus

guefaltan .3. Dividing el moronic de mayor grdo del diidhdo

eke

I mmomio de mayor grdo del dinner .Este es el prime

moromio del Cociente .

4. Multiplicand el moromio obtenido en el pan anterior porCada monomio del diiw

,le Cambium os el sign y se to su .

Manos al dividend.

5.

Contimamosconesteprocedim.entohastagueeldiidendotengagradoinfeiwddiiWyeseserieLresto.Ljemplo4x5-4xhtt9xs-4tx2t57LxEil4xD@h2x3.Z

x't3-52113-412+5- 213+62+3=52+3+5+35lgg_

C 41=23+3-5

es elpknrnio cocienteRGI = - Fx es el pdinomio

rest.

La division anterior,

diremos que es una Division ENHRA pines el

resto no es cero .

EC resulted to podemos escribe Como :

145 . 44+193 - 412+5 = 23+3-5 - - 72-2-172 - Zx . I

Recordemos queen toda division, D= d. c tr . Por tan to ,

Dz=c+

Si el rest es cero,

la DNISIOJ es EXACTA.

EJERCLGOS 1,2 , 4 , 5 , 6 pA'

6 ) was 70 4 71

2. Dividir un polinomio por x - a. Regla de Ruffini

Supongamos que queens dindir 35-43 +72-6+5

entire xt 2 .

Como ambos pdinomics esta'm

ordenadosde manera decrement

respect de Sns grados , cdocamss en fila todoslos coefiientes deCada uno de los monomios . S

.

Jatta algui termini , ponemos 0 .

3 0 - 4 7 - 6 5

-2

En la parte itguierda ponemos - 2 ( Cambiamos de sign el n:

que hay

junto a de x +21 .

3 0 - 4 7 - 6 5

-2g - 6 12 - 16 18 - 24

03- 6 8 - 9 12

9Bajamos el 3 . Multiplicand el - 2 por 3 y el resulted ponemosdebajo del 0 y Swmamos esa Cohmna .Haumos el mismopaudimieto haste la iltima column a .Ee ultimo mimero es el rest de la diisio y los anterior son losCoefiuentes del cociente empetando desde un grado memos que eldividendy = 34 -63+82- 9+12Rlxl = - 19

EJERC ( ( 10 2 Pa'

61 Nn 72

Hagamos una division exacta . ( 34 - x ? 62 tmx . to ) :C x +2 )

3 - I - 6 11 - to

- 2 - 6 14 -16 to3 - 7 8 -5 LO

Para que sea exacta , el tdmiw independiente del polinoniodividendtiene que ser mibtiplo de 2 . Llegamos a La sigwente conclusion :Sinn polinomio tiene coefientes enters , para que sea divisible

for x. a es neusario que su termini independiente sea miltiplo de a .

Ee VALOR NUNERL ( o de un pdinomio , PK ) , para X=a , esel miner

que se obtiene al sustituir por a yhaw las opera cines . A ea mi -men se le llama Pca ) .

Si P(1= 53. 62+7-1, para x= 2 obtenemos :

PC 21=5.23 . 6.22+7.2 - 1=5.8-6.4+7.2 - 1=40 - 24+14-1=29

Si diidimos Pcx ) entre x - 2, obtenemos :

5 - 6 7 - 1 ( ()= 52+4+15z to 8 30 RK ) : 29

5 4 15 9Podemos observer que el rest coincide con el valor numetico de

PG ) en =2.

Este result ado te generalize en lo que se llama TEORENA DEL RESTO .

Ee valor que toma un pdinomio , PCX) , anarcho hacemos xia . es decir ,

Pca ) , coincide can el resto de divider PK ) entre - a .

Es deir . Pca ) =r

3. Factorizacin de polinomiosEJERCI C ( os 6,7 PA

'

6.

93

Un miner a se llama RAIZ DE UN Poll non Lo Pk ) PCAI = 0 . Asi .

las rains de bn pdinomio son las tolnicnes de ( a eueccio 's PKHO

Si a es raiz de PG ),

enforces I poknmio PK ) es divisible por

X - a y sepuede escribe PKI = ( x - a ) CG ) .

PROCED in , END PARA FACDRIZARPolston

FACTORHAR un pdinomio es descompmerlo en product de pdinomios (factoreddel menu grade posible .Recor demos que las rains enters de un polinomio ( oncoeficien-enters son diisores del tirmino independiente .

Factor ice mos Pkk 4 - 33 -

32+11-6Las Postles routes enteras son : I , 2, 3

Probe mos, us

and Ruffini , = A .1 - 3 - 311

xI - 2 - 5 6 LO

Por tanto,

= 1 es raiz y ( - 1) es un factor .

Vdvemos a probar

por x= I .

I - 2 - 5 6

#:#X= I mete a so raiz y ( -11 es Jailor . Aharon mis no , ten dria .

Mos que PH = ( - 112 ( xtx - 6)

Ahora nos Jahan's por faetoritw xtx - 6 . Para ello , podemosresolver la ecnacioh de 2 grado x - 6=0 ysus solutions

serin las raius del polinomio .

Recordemos que si tenemos la euacion de Segundo gradoax2tbx+c= 0

,a 0 . enforces :

=- b X ac

En nnestro cab.

a=S ,b= . I , c= 6 g

= .tn#6eL=stF==nIzyxg.este=E=32 . I t=z1= - 2Por tanto

,PH = x " -33 - 32+10-6=1-114+211-3 )

Asouado a la raiz xi - 2,

T 4 a x=3 *

Si el polinomio de grado 2 no hubieie tenido roles , to de -

jariamos igual ..

Oto ejemplo : QK ) = 23+42 . 2-4

Posibles rains enteras : 1 ,2,4 .

Empetamos por x= I e iremos pnbando can el rest kata queacubem

: 4 - 2 - 4#f# Por tanto , QH=2 ( x - HKHI 1+2)

- 126 sihubiesemosresin: la euacion de 2 grado , tendria .

0 Mos gueponer el 2 igualmente .

Si aplicamos el proedimiento a La inverse , podemos inventor

los pdinomios con Las caraeteristicas que deseemos .

Antes de pond ejercicios recordemoslas identidades notables :

( at b)-

= a 2+2 abt b2 CUADRADO DE UNA Suma

( a - b)2

= a?

- 2 ab + b2 CUADRADO DE UNA DLFERENCIA

( Atb ) ( a - b ) = AZ - b2 SUMA POR DLFERENUA

ETERGCIOS I , 2,4 , 5 , 6 Pa'

65 74 4 75

ETERCKWS to Y 11 Patina 93

( OMEWTAR ESTE EJERCL ( co 10

4. Fracciones algebraicas Son fracciones en las que el numerator y el denominator son

pdinomios .

Por tanto, podemos SINPLIFLCAR FRACCIONES ALSEBRALCAS Para ello ,

factor itamos numerator y denominator y eliminamoslos factories

Comines a ambos.

Ejempw : ,IHg= MIMI=xPodemos tambien SUNAR FRACCLONES ALFEBRAICAS

.

Porcello tendremos

que redncirlas a comin denominator , Samar los numeradoes y

final mete , simplified , site puede .

Ejempl+x="x#+=YI-5yTamkdn podemos NULTIPLICARLAS o DNIDIRLAS usando el mismo

procedimiento que con frcciones de mimeos .

Vcr EJERCLCLOS RESUELTOS PA'

GINA 77.

ETERQCLOS 1,2 , 3 4 4 PAGINAS 76 Y 77

EJERCLCLOS 16 4 17 PA'

GINA 94