Tema 3. A hombros de gigantes: vuela con la bruja

¡Por fin había llegado la primavera!

Alicia se levantó muy temprano, desayunó y como todos los días fue a buscar a los animales de su finca "La Alfonsita" para darles de comer.

Después de estar un par de horas con ellos, empezó a notar a los perros un poco inquietos y enseguida las cabras y las gallinas.

Rápidamente salió al exterior de la finca y vio como las vacas no paraban de moverse y hacer ruido. Asustada fue a buscar a su hermanoMartín para ver que es lo que pasaba. Su hermano la tranquilizó y le explicó que muy cerca de la finca, iba a realizarse una exhibición aéreade vuelo acrobático a cargo de la Patrulla Águila del Ejército del Aire Español.

Felipe, que acababa de llegar, escuchó la conversación y comentó que esta patrulla estaba formada por siete aviones CASA C-101 defabricación española y que tenían una alta preparación a nivel mundial, destacando el looping invertido y el aterrizaje en formación.

Continuó explicando que los C-101 son aviones biplazas capaces de alcanzar una velocidad de 770 km/h y una altitud de 42000 pies (14 km).Son apodados «mirlos» y, más coloquialmente, «culopollos».

Imagen de Fernando Cuenca Romero bajo licenciaCreative Commons

En esta fotografía el dibujo que se forma con el humo blanco, representa la gráfica de una función polinómica. Estas representaciones gráficasademás de las de las funciones racionales, las estudiaremos a lo largo de este tema.

Para empezar relájate con este par de vídeos.

1. La Patrulla Águila

El hecho de que actuara la Patrulla Águila, era un acontecimiento digno de ver, por esoMartín había llamado a su amiga Alba, la profesora de Matemáticas de la Universidad deNogara.

Alba no faltó a la cita y fue acompañada de su hija pequeña María, ya que a ella leencantaban los aviones.

Cuando empezó la exhibición, a María se le escapó un precioso globo rojo que llevaba yempezó a llorar. Alba, su madre, enseguida la tranquilizó dándole un par de chucherías ymientras miraba como el globo se alejaba hacia el cielo se fijó en la forma de la cuerdadel globo y le dijo a Martín que la cuerda estaba describiendo una gráfica de una función

polinómica cuya ecuación se aproximaba a la de y=x3-6x2+9x+5.

Nuestro amigo Martín, al escuchar eso, lo primero que pensó es que Alba llevabademasiado tiempo al Sol y no sabía lo que decía.

La verdad es que los matemáticos de vez en cuando dicen cada cosa.

En este apartado veremos cómo podemos identificar la gráfica de una función polinómica y representarla, utilizando todo lo que hasta ahorahemos estudiado.

¡Ánimo y a seguir trabajando!

A la hora de representar gráficamente una función tenemos que tener en cuenta que poseemos varios elementos que nos dan muchainformación. A veces no necesitaremos utilizarlos todos, pero siempre nos ayudarán a realizar la gráfica de la forma más fiable.

Estos elementos son: dominio, recorrido, simetrías, asíntotas, máximos y mínimos, puntos de inflexión, puntos de corte con los ejes yotros puntos que puedan ayudarme a dibujar la gráfica.

Comprueba que Alba tenía razón en lo que decía de la cuerda del globo. Para ello representa la gráfica de la función f(x)=x3-6x2+9x+5.

Una función constante es una función polinómica de grado cero de la forma f(x)=a, cuya gráfica es una recta horizontal.

Una función lineal es una función polinómica de primer grado de la forma f(x)=ax+b, cuya gráfica es una recta, donde a representa lapendiente de la recta y b la ordenada en el origen.

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado de la forma y=ax2+bx+c, cuya gráfica es una parábola de ejevertical, donde a representa la abertura de la parábola.

Si a>0, la parábola está abierta hacia arriba y si a<0 la parábola está abierta hacia abajo.

Una función cúbica es una función polinómica de tercer grado de la forma f(x)=ax3+bx2+cx+d, con a≠0.

Corta al eje de abscisas en los puntos de la función cuyas primeras coordenadas son raíces del polinomio P(x)=ax3+bx2+cx+d, que seobtienen resolviendo la ecuación f(x)=0. Si las raíces son enteras, para encontrarlas se descompondrá el polinomio en factoresutilizando el método de Ruffini.

Corta al eje de ordenadas en el punto (0,d).

Ejemplo: f(x)= -(x+1)·(x-1)·(x-2) = -x3 + 2x2 + x - 2.

Una función polinómica de grado n es de la forma y = a1xn+a2x

n-1+ ... + an, con a1≠0.

Para calcular los puntos de corte de una función polinómica de grado mayor que 2 con el eje X, necesitamos recordar el método deRuffini para factorizar un polinomio.

Representa la siguiente función: .

Previamente, completa los espacios en blanco y después señala cuál es la gráfica que le corresponde, A ó B.

1. Al ser una función es continua en todo R.

2. Cuando x tiende a -∞, la función tiende a ∞. Cuando x tiende a +∞, la función tiende a ∞.

3. La primera derivada de f(x) es f'(x)= x3+ x2+ x+ .

Para calcular los máximos y mínimos, igualamos la primera derivada a cero. Como tengo una ecuación de tercer grado, utilizo Ruffini,sabiendo que las soluciones son divisores de 24 (término independiente) y además son todas negativas, ya que todos los coeficientesde la ecuación son positivos.

También podemos probar, sustituyendo la x por -1, -2, -3, -4,-6,-12,-24.

Las soluciones son x=- , x=- , x=- .

El punto de corte con el eje Y es (0, ).

Si sabemos que corta al eje X en los puntos (-3,0) y (-1,0), la gráfica de f(x) es .

A B

1.1. Charles Babbage

Imagen de ricardo_ferreira bajo licencia Creative Commons

Después de la magnífica exhibición aérea de la Patrulla Águila, Martín invitó a su amiga Alba a tomar un refresco en un quiosco que habíanpreparado los organizadores del evento.

Mientras tomaban el refresco acompañado de unas patatas fritas. Alba le contó a Martín que había estado durante el verano 15 días enLondres, gracias a una beca de la universidad y que uno de los sitios que le llamó mucho la atención fue el Museo de Ciencias.

Allí pudo ver la máquina que aparece en la imagen superior, la máquina diferencial de Babbage Nº 2.

Martín le preguntó que para qué servía un "cacharro" tan grande y Alba le dijo que era como una calculadora digital diseñada para tabularfunciones polinómicas.

"Mira por donde, vuelven a aparecer estas funciones tan importantes que estamos estudiando".

En realidad, esta máquina lo que hace es calcular el valor numérico de una función polinómica obteniendo una tabla de valores que seaproxima a la función real.

Aunque esta máquina fue ideada por J. H. Mueller, Charles Babbage la redescubrió, aunque no llegó a construirla.

Una reconstrucción de esta máquina ha estado operativa desde 1991 en el Museo de Ciencia de Londres.

En este apartado veremos distintas gráficas de funciones y las identificaremos con su expresión analítica (y=f(x)) correspondiente a unafunción polinómica.

Identifica cada una de las siguientes gráficas con su expresión analítica.

Descubre la expresión analítica de aquella que no consigas identificar.

a) f(x) = x3 + 1

b) g(x) = x3 + 2x

2 - x - 2

c) h(x)= -x3 + 4x

2 - 4x

La expresión analítica correspondiente a la gráfica de f(x) de color rojo es:

(x-1)3

x3+1

-(x-1)3

La expresión analítica correspondiente a la gráfica de g(x) de color azul es:

x2·(x-1)

x3-x

x(x+1)2

En la siguiente escena de Descartes creada por Consolación Ruiz Gil, puedes analizar cómo se comporta una función polinómica de

grado 3 a la hora de representarla.

1.2. Vaya curvas

Para terminar de estudiar estas funciones que representan esa "belleza matemática", al menos para nuestra amiga Alba, como son lasfunciones polinómicas, vamos a ver cómo también nos ayudan a resolver problemas relacionados con la Geometría.

Problemas que aunque puedan parecer un poco complicados, si los analizamos y los vamos resolviendo poco a poco, nos producen una gransatisfacción cuando conseguimos resolverlos.

Antes de resolver ningún problema, te proponemos que busques fotografías donde puedas observar la representación de alguna funciónpolinómica o bien una aproximación. Verás como te sorprendes.

Imagen de iakiskiss bajo licencia Creative Commons Imagen de gonzalez-alba bajo licencia Creative CommonsImagen de catikaoe bajo licencia Creative

Commons

Vamos a intentar el siguiente problema que le planteó un importante matemático inglés a nuestra amiga Alba cuando estuvo en Londres.

"Dado un cuadrado ABCD de lado 2 cm, consideramos la recta PQR perpendicular a la diagonal AC en el punto Q.

¿Qué expresión analítica corresponde a la función que da el área de la figura APR en función de la distancia AQ, siendo esta distanciamayor o igual que 0 y menor o igual que la longitud de la diagonal del cuadrado?

¿A qué tipo de función corresponde dicha expresión?

¿Cuál es el dominio de definición de la función que representa dicha área?

Representa gráficamente la función resultante.

Observa el dibujo: la figura que se obtiene es un triángulo si AQ es menor (o igual) que la mitad de la diagonal AC o un pentágonoADRPB en otro caso."

Triángulo Pentágono

Solución:

Como el lado del cuadrado mide 2 cm su diagonal medirá cm.

Para calcular la función área consideramos primero valores de la x, como ya hemos comentado, menores que la mitad de la diagonal,esto es, entre 0 y . En este caso, en los triángulos que se van formando, la medida de PQ es igual a la de QR y esta igual a AQ=xya que al ser PR paralela a la diagonal de un cuadrado los triángulos APR son triángulos rectángulos isósceles.

Por tanto, la base del triángulo es 2x y la altura x y entonces, el área del triángulo APR es .

Para valores de la x entre y calculamos el área del pentágono ADRPB restando al área del cuadrado el área del triánguloCPR.

En ese triángulo, sigue siendo iguales las longitudes PQ, QR y CQ, pero ahora esta es la longitud dela diagonal menos la longitud de x,es decir, .

Así, el área del triángulo CPR es:

El área entonces del pentágono es:

Como podemos apreciar, la función área está definida por dos expresiones dependiendo del valor que tome la x entre 0 y . Portanto, tendremos una función definida a trozos cuyo dominio de definición es el intervalo

Para valores de la x entre 0 y dibujamos una parábola abierta hacia arriba (y=x2), y para valores de la x entre y dibujamosuna parábola abierta hacia abajo con el vértice en el punto

Su representación gráfica es:

El punto donde la función cambia de curvatura, se denomina punto de inflexión.

En la siguiente escena de Descartes creada por Ángel Cabezudo Bueno, puedes ver los pasos necesarios para poder representar unafunción polinómica.

Señala los puntos de corte con el eje X de la siguiente función polinómica de tercer grado: f(x) = x3-x2-x+1

(-2,0)

(-1,0)

(0,0)

(1,0)

(2,0)

(3,0)

Señala los puntos de corte con el eje X de la siguiente función polinómica de tercer grado: g(x) = -x3+2x2+x-2

(-2,0)

(-1,0)

(0,0)

(1,0)

(2,0)

(3,0)

Señala los puntos de corte con el eje X de la siguiente función polinómica de tercer grado: h(x) = -x3+x2+6x

(-2,0)

(-1,0)

(0,0)

(1,0)

(2,0)

(3,0)

Señala los puntos de corte con el eje X de la siguiente función polinómica de tercer grado: i(x) = x3+3x2+3x+1

(-2,0)

(-1,0)

(0,0)

(1,0)

(2,0)

(3,0)

Halla el punto de corte con el eje Y de las siguientes funciones polinómicas de tercer grado.

El punto de corte con el eje Y de la función polinómica de tercer grado f(x) = x3-x2-x+1 es (0, ).

El punto de corte con el eje Y de la función polinómica de tercer grado g(x) = -x3+2x2+x-2 es (0, ).

El punto de corte con el eje Y de la función polinómica de tercer grado h(x) = -x3+x2+6x es (0, ).

El punto de corte con el eje Y de la función polinómica de tercer grado i(x) = x3+3x2+3x+1 es (0, ).

Dada la siguiente gráfica, relaciona cada función (A, B, C ó D) con su expresión analítica.

La gráfica de f(x) = x3-x2-x+1 es la que tiene la letra .

La gráfica de g(x) = -x3+2x2+x-2 es la que tiene la letra .

La gráfica de h(x) = -x3+x2+6x es la que tiene la letra .

La gráfica de i(x) = x3+3x2+3x+1 es la que tiene la letra .

Maria Gaetana Agnesi

2. La curva de la hechicera

Se estaba haciendo tarde y Alba tenía que regresar a su casa. Aunque sabía que su amigo Martín tenía poco tiempolibre, quiso regalarle un bonito libro con la biografía de mujeres matemáticas a lo largo de la historia.

Martín le dio las gracias y esa misma noche empezó a leerlo.

Mirando el índice le llamó la atención un apartado que hablaba de una bruja y de una curva de una hechicera y se fuedirectamente a ese capítulo.

Se trataba de Maria Gaetana Agnesi, matemática, filósofa y lingüista, conocida popularmente por la curva de lahechicera.La mal llamada curva de la hechicera la había estudiado previamente Fermat en 1703 y Grandi, en 1718, la bautizócon el nombre de versoria (en latín) o versiera (en italiano), refiriéndose al cabo que hace girar la vela de una nave.Cuando Colson aprende italiano para traducir al inglés una obra tan importante, confundió versiera con avversiera(hechicera) y lo tradujo como witch of Agnesi (la bruja Agnesi) produciéndose la paradoja de que una mujer quededicó su vida y su fortuna a los demás pase a la posteridad con el sobrenombre de bruja.

La curva de la hechicera es un caso particular de una función racional de segundo grado y como imagino irás intuyendo, en este temaestudiaremos las funciones racionales.

En la siguiente escena de GeoGebra creada por José María Vázquez de la Torre, si desplazas el punto B sobre la recta y=a (en este casoy=4), la trayectoria que dibuja el punto P es la representación de la curva de la hechicera.

Una función racional está formada por un cociente de funciones polinómicas de la forma , donde Q(x)≠0.

El dominio de una función racional está formado por el conjunto de todos los números reales menos aquellos valores de la x que anulan

el denominador.

Asíntotas verticales: sus abscisas son los valores que anulan el denominador, es decir las raíces del polinomio Q(x).

Asíntota horizontal u oblicua

Si grado de P(x) ≤ grado de Q(x), la recta y=k es una asíntota horizontal, donde .

Si grado de P(x) = grado de Q(x) + 1, hay asíntota oblícua de la forma y=mx+n, donde mx+n es el cociente de la división entreP(x) y Q(x).

Si grado de P(x) > grado de Q(x) + 1, entonces hay ramas parabólicas.

La curva de la hechicera tiene como expresión analítica .

Analiza esta función racional para el valor a=2.

Representa la siguiente función racional:

Previamente, completa los espacios en blanco y después señala cuál es la gráfica que le corresponde, A ó B.

1. Al ser una función racional es continua en todo R menos en los valores de x que anulan el denominador, que son x= y x= .

2. Como f(-x)=-f(x) es simétrica respecto del .

3. Tiene dos asíntotas verticales en y .

4. Como el grado del numerador es igual al grado del denominador + 1, hay una asíntota oblicua cuya ecuación es .

5. La primera derivada de f(x), una vez simplificada es .

Para calcular los máximos y mínimos, igualamos la primera derivada a cero. Como tengo un cociente, calculo los valores de x que

anulan el numerador, que son x= , x=- y x= .

6. La segunda derivada se anula en x=0, luego el punto (0,0) es un .

Para x=- la segunda derivada es positiva, luego el punto P=(- , ) es un .

Para x= la segunda derivada es negativa, luego el punto P=( , ) es un máximo.

7. El punto de corte con el eje Y es ( , ) y con el eje X ( , ) .

8. La gráfica de f(x) es .

En esta página de Descartes creada por M.ª José García Cebrián, puedes analizar distintos tipos de funciones racionales.

Ejemplo:

a) Información extraída de la función

b) Información extraída de la derivada

c) Dibujar la gráfica

Mary Lucy Cartwright

2.1. El conjunto de Julia

Col fractal: Imagen de Efrén Sánchez bajo licencia Creative Commons

Sonó el despertador y Martín dio un salto de la cama, cayéndose al suelo el libro que le había regalado su amiga Alba, ya que se habíaquedado dormido leyéndolo.

Mientras se lavaba la cara, recordó que después de haber leído a Gaetana Agnesi, le llamó la atención una fotografía que se parecía a unacol que su amigo Felipe había encontrado el mes pasado en la finca "La Alfonsita" .

En el libro hablaban de un término muy raro que era la primera vez que él lo leía, algo así como "fractal" y deuna matemática, Mary Lucy Cartwright, que con su “Teorema de Cartwright”, que trata sobre máximos defunciones, recurre a métodos que harán avanzar mucho su investigación sobre funciones y en especial sobrefunciones que dan lugar a fractales.

Impresionado por este tema y deseoso de aprender, llamó a Alba y le preguntó que si tenía algún libro defractales.

Alba le dijo que tenía varios y que le enviaría uno.

A la semana siguiente, cuando Martín recibió el libro, se detuvo en un tipo de fractal que se llama "Conjunto deJulia". Al principio creyó que Julia era una mujer, pero después leyendo el libro, se dio cuenta de que el fractalera de Gaston Maurice Julia, matemático francés precursor en lo que hoy se conoce como fractales.

Fue el primero en estudiar el tema y su notoriedad culminó al ser publicado su artículo informe sobre la iteraciónde las funciones racionales, galardonado por la Academia de las Ciencias Francesa.

Como te habrás dado cuenta, tienen mucha importancia las funciones que ahora estamos estudiando, las funciones racionales.

Si alguna vez habías oído hablar de fractales, seguramente habrías escuchado el conjunto de Maldebrot en vez de el de Julia, esto es debidoa que Julia murió antes que se volvieran muy populares los fractales, a inicios de los años ochenta y el matemático también francés BenoitMandelbrot, tuvo una ventaja enorme sobre Gaston Maurice Julia: pudo aprovechar la invención del ordenador.

A finales de los ochenta, los artistas se interesaron en el conjunto de Mandelbrot y en menor medida en los conjuntos de Julia, que estánintrínsecamente relacionados.

En este apartado veremos distintas gráficas de funciones y las identificaremos con su expresión analítica (y=f(x)) correspondiente a unafunción racional.

Conjunto de Julia: Imagen de Wikimedia Commons bajo licencia Creative Commons

Identifica razonadamente cada una de las siguientes gráficas con su expresión analítica.

a) b) c)

La expresión analítica de la gráfica de color rojo de la función f(x)

es:

La expresión analítica de la gráfica de color azul de la función g(x)es:

Conoce un poco más del mundo apasionante de los fractales conestos vídeos.

En el primero puedes ver una entrevista muy interesante de EduardPunset a Mandelbrot, en el segundo descubre los fractales en lanaturaleza y por último prepárate para viajar al interior de una

figura fractal.

2.2. Bodega "La Alfonsita"

Con todo lo que estaba leyendo y aprendiendo Martín últimamente, sobre todo graciasa los libros que le enviaba su amiga Alba, empezó a plantearse en serio lo de montaruna bodega.

Antes tenía que hacer un examen para poder pedir los permisos para montarla.

Buscó tiempo donde no lo había, pero él tenía que aprobar y su amiga Alba le habíadicho que para superar el examen, tenía que estudiar más de 15 horas.

Martín le preguntó que cómo sabía ella eso y Alba le dijo que existía una función atrozos, formada por una función lineal y una función racional que lo afirmaba.

Por curiosidad, Martín le preguntó que cuál era esa función y que si estudiandomuchas horas podía sacar más de un 10.

Alba le dijo que la función era:

, siendo x el número de horas dedicadas a

la preparación del examen, y que era imposible sacar más de un 10.

Con todo lo que llevas estudiado, seguro que eres capaz de explicarle a Martín porqueno puede sacar más de un 10 y que necesita más de 15 horas de preparación parapoder aprobar.

Imagen de Paco Calvino bajo licencia Creative Commons

Explícale a Martín por qué si estudia menos de 15 horas no llegará al 5 y que nunca sacará más de un 10.

Para ello, representa y analízala para encontrar la explicación.

Una vez aprobado el examen, Martín pide ayuda a Alba para saber cuánto dinero tiene que invertir en la empresa "Bodega LaAlfonsita", a partir de qué año la empresa dejará de tener pérdidas y si en el transcurso del tiempo sus beneficios habrá un momentoque no crecerán más.

Alba le dice que hay una función que a veces sirve y otras veces no, pero que para hacerse una idea puede utilizarla.

La función representa los beneficios de una empresa en miles de euros, donde x representa los años de vida de la empresa cuandox>0.

Esta función racional viene dada por la expresión:

Ahora te toca a ti ayudarle a Martín, para ello completa los espacios en blanco.

a) El dominio de B(x) para cualquier valor de x es todo R menos x= . (Si el valor es una fracción, escríbelo en forma decimal

utilizando la coma decimal).

b) La gráfica de la función corta al eje X en el punto ( , ).

c) La gráfica de la función corta al eje Y en el punto ( , ).

d) La función tiene una asíntota vertical en .

e) La función tiene una asíntota horizontal en .

f) Respecto al crecimiento y decrecimiento, la función siempre es en todo su dominio, ya que la primera derivada

es .

Con todos estos datos, ya puedes decirle a Martín que tiene que hacer una inversión de mil euros, que a partir del

año dejará de tener pérdidas y que los beneficios con el transcurso del tiempo no sobrepasarán los mil euros.

Para ver el comportamiento de una función racional, modifica los valores de a, b, c, d, e, f y g en la siguiente escena de Geogebracreada por José María Vázquez de la Torrre.

En este tema hemos visto como se representan las funciones polinómicas y racionales, pero hay muchas más. En este enlace puedespracticar con algunas funciones como estas y otras más.

En la página que se muestra tienes una serie de funciones y si vas pulsando sobre los números vas a ir viendo los distintos ejerciciosresueltos.