tema 2.5 determinacion del tamaño de muestra

UNIDAD 2: TEORA DE ESTIMACIN.

1 de 11

Instituto Tecnolgico de Minatitln Carrera Ingeniera Industrial

Modalidad a Distancia

Estadstica Inferencial I

ESTADISTICA INFERENCIAL I


2.1 Introduccin

2.2 Caractersticas de un estimador

2.3 Estimacin puntual

2.4 Estimacin por intervalos

2.4.1 Intervalo de confianza para la media

2.4.2 Intervalo de confianza para la diferencia de medias

2.4.3 Intervalos de confianza para la proporcin

2.4.4 Intervalos de confianza para la diferencia de proporciones

2.4.5 Intervalos de confianza para la varianza

2.4.6 Intervalos de confianza para la relacin de varianzas

2.5 Determinacin del tamao de muestra

2.5.1 Basado en la media de la Poblacin

2.5.2 Basado en la proporcin de la Poblacin

2.5.3 Basado en la diferencia entre las medias de la Poblacin

Competencia especfica a desarrollar

Aplicar los fundamentos de la teora de estimacin en problemas que requieran el

clculo del tamao de la muestra, con los diferentes intervalos de confianza de la

media, proporcin y varianza, que se relacionen con la logstica.

Actividades de Aprendizaje

Proporcionar al estudiante dos situaciones hipotticas de procesos y/o poblaciones

finitas para que en grupo de 2 alumnos, obtengan de dichos procesos, un conjunto

de datos para su anlisis.

Obtener los valores de t, , F y Z de las diferentes distribuciones mustrales. Obtener los valores de probabilidad en tablas para los diferentes valores de los

estadsticos t, , F y Z Calcular dado un conjunto de datos los intervalos de confianza, segn proceda, para

la media, diferencia de medias, varianza, proporcin, diferencia de proporciones

varianza y relacin de varianzas.


2 de 11




Interpretar el significado de los intervalos de confianza para: la media, diferencia

de medias, la proporcin, diferencia de proporciones, varianza y relacin de

varianzas.

Dado un conjunto de datos diferenciar la importancia de utilizar estimadores

puntuales y estimadores por intervalos.

Determinar el tamao de la muestra.

11.- FUENTES DE INFORMACIN

DeVore, J. (2005). Probabilidad y Estadstica para Ingeniera y Ciencias. Mxico:

Thomson.

Hines, W. y Montgomery, D. (2003). Probabilidad y Estadstica para Ingeniera y

Administracin. Mxico: CECSA

Montgomery, D. C. y Runger, G. C. (1998). Probabilidad y Estadstica aplicadas a la

Ingeniera. Mxico: McGraw Hill.

Ross, S. M. (2001). Probabilidad y Estadstica para Ingenieros. Mxico: McGraw

Hill.

Salvatore, D., Reagle, D. (2004). Estadstica y econometra. Espaa: Mc Graw-Hill.

Spiegel, M. R. (1992). Manual de Frmulas y Tablas Matemticas. Mxico: McGraw

Hill.

Spiegel, M. R. (1988). Probabilidad y Estadstica. Mxico: McGraw Hill.

Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L. (1999). Probabilidad y Estadstica para

Ingenieros. Mxico: Pearson Prentice Hall.

2.5 DETERMINACIN DEL TAMAO DE MUESTRA

Al iniciar cualquier investigacin, la primera pregunta que surge es: de qu tamao debe

ser la o las muestras? La respuesta a esta pregunta la veremos en

2.5.1 BASADO EN LA MEDIA DE LA POBLACIN

Qu tan grande debe ser una muestra si la media muestral se va a usar para estimar la

media poblacional? La respuesta depende del error estndar de la media, si este fuera

cero, entonces se necesitara una sola media que ser igual necesariamente a la media

poblacional desconocida , porque = 0. Este caso extremo no se encuentra en la


3 de 11




prctica, pero refuerza el hecho de que mientras menor sea el error estndar de la

media, menor es el tamao de muestra necesario para lograr un cierto grado de precisin.

Se estableci antes que una forma de disminuir el error de estimacin es aumentar el

tamao de la muestra, si ste incluye el total de la poblacin, entonces sera igual a

cero. Con esto en mente, parece razonable que para un nivel de confianza fijo, sea posible

determinar un tamao de la muestra tal que el error de estimacin sea tan pequeo como

queramos, para ser ms preciso, dado un nivel de confianza y un error fijo de estimacin

, se puede escoger un tamao de muestra n tal que P( ) = Nivel de confianza. Con el propsito de determinar n. El error mximo de estimacin esta dado por:

Si se eleva al cuadrado ambos lados de esta ecuacin y se despeja n de la ecuacin resultante, obtenemos:

Como n debe de ser un nmero entero, redondeamos hacia arriba todos los resultados fraccionarios.

En el caso de que se tenga una poblacin finita y un muestreo sin reemplazo, el error de

estimacin se convierte en:

De nuevo se eleva al cuadrado ambos lados y se despeja la n, obteniendo:


4 de 11




Ejemplos:

1. Un bilogo quiere estimar el peso promedio de los ciervos cazados en el estado de

Maryland. Un estudio anterior de diez ciervos cazados mostr que la desviacin

estndar de sus pesos es de 12.2 libras. Qu tan grande debe ser una muestra

para que el bilogo tenga el 95% de confianza de que el error de estimacin es a lo

ms de 4 libras?

Solucin:

En consecuencia, si el tamao de la muestra es 36, se puede tener un 95% de

confianza en que difiere en menos de 4 libras de .

2. Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin aproximadamente

normal con una desviacin estndar de 40 horas.

a) De qu tamao se necesita una muestra si se desea tener 96% de confianza que

la media real est dentro de 10 horas de la media real?

b) Qu pasara si en lugar de tener un error de estimacin de 10 horas slo se

requiere un error de 5 horas?

Solucin:

a) De qu tamao se necesita una muestra si se desea tener 96% de confianza que

la media real est dentro de 10 horas de la media real?

Se necesita una muestra de 68 focos para estimar la media de la poblacin y tener

un error mximo de 10 horas.


5 de 11




b) Qu pasara si en lugar de tener un error de estimacin de 10 horas slo se

requiere un error de 5 horas?

Se puede observar como el tamao de la muestra aumenta, pero esto tiene como

beneficio una estimacin ms exacta.

3. Suponga que en el ejercicio anterior se tiene una poblacin de 300 focos, y se

desea saber de qu tamao debe de ser la muestra. El muestreo se realizar sin

reemplazo.

Solucin:

Como se tiene una poblacin finita y un muestreo sin reemplazo es necesario utilizar la

frmula con el factor de correccin.

Si se tiene una poblacin finita de 300 focos slo se tiene que extraer de la poblacin una

muestra sin reemplazo de 56 focos para poder estimar la duracin media de los focos

restantes con un error mximo de 10 horas.

2.5.2 BASADO EN LA PROPORCIN DE LA POBLACIN

Clculo del Tamao de la Muestra para Estimar una Proporcin

Se desea saber que tan grande se requiere que sea una muestra para asegurar que el

error al estimar P sea menor que una cantidad especfica .


6 de 11




Elevando al cuadrado la ecuacin anterior se despeja n y nos queda:

Esta frmula est algo engaosa, pues debemos utilizar p para determinar el tamao de la

muestra, pero p se calcula a partir de la muestra. Existen ocasiones en las cuales se tiene

una idea del comportamiento de la proporcin de la poblacin y ese valor se puede

sustituir en la frmula, pero si no se sabe nada referente a esa proporcin entonces se

tienen dos opciones:

Tomar una muestra preliminar mayor o igual a 30 para proporcionar una estimacin

de P. Despus con el uso de la frmula se podra determinar de forma aproximada

cuntas observaciones se necesitan para proporcionar el grado de precisin que se

desea.

Tomar el valor de p como 0.5 ya que sustituyendo este en la frmula se obtiene el

tamao de muestra mayor posible. Observe el siguiente ejemplo:

Se desconoce el valor de P, por lo que se utilizarn diferentes valores y se sustituirn en

la frmula para observar los diferentes tamaos de muestras. El nivel de confianza que se

utilizar es del 95% con un error de estimacin de 0.30.

p

n

0.10

3.84

0.20

6.82


7 de 11




0.30

8.96

0.40

10.24

0.50

10.67

0.60

10.24

0.70

8.96

0.80

6.82

0.90

3.84

Como se puede observar en la tabla anterior cuando P vale 0.5 el tamao de la muestra

alcanza su mximo valor.

En el caso de que se tenga una poblacin finita y un muestreo sin reemplazo, el error de

estimacin se convierte en:

De nuevo se eleva al cuadrado ambos lados y se despeja la n, obteniendo:


8 de 11




Ejemplos:

1. En una muestra aleatoria de 500 familias que tienen televisores en la ciudad de

Hamilton, Canad, se encuentra que 340 estn suscritas a HBO. Qu tan grande se

requiere que sea una muestra si se quiere tener 95% de confianza de que la

estimacin de P est dentro de 0.02?

Solucin:

Se tratarn a las 500 familias como una muestra preliminar que proporciona una

estimacin de p=340/500=0.68.

Por lo tanto si basamos nuestra estimacin de P sobre una muestra aleatoria de

tamao 2090, se puede tener una confianza de 95% de que nuestra proporcin

muestral no diferir de la proporcin real por ms de 0.02.

2. Una legisladora estatal desea encuestar a los residentes de su distrito para

conocer qu proporcin del electorado conoce la opinin de ella, respecto al uso de

fondos estatales para pagar abortos. Qu tamao de muestra se necesita si se

requiere un confianza del 95% y un error mximo de estimacin de 0.10?

Solucin:

En este problema, se desconoce totalmente la proporcin de residentes que conoce la

opinin de la legisladora, por lo que se utilizar un valor de 0.5 para p.


9 de 11




Se requiere un tamao de muestra de 97 residentes para que con una confianza del 95%

la estimacin tenga un error mximo de 0.10.

Clculo del Tamao de la Muestra para Estimar la Diferencia de Proporciones

Si se recuerda a la distribucin muestral de diferencia de medias se tiene que error esta

dado por:

En esta ecuacin se nos pueden presentar dos casos:

Los tamaos de muestra son iguales.

Los tamao de muestra son diferentes .

Para el primer caso no se tiene ningn problema, se eleva al cuadrado la ecuacin y se

despeja n ya que n1 es igual a n2.

Para el segundo caso se pondr una n en funcin de la otra. Este caso se utiliza cuando las poblaciones son de diferente tamao y se sabe que una es K veces mayor que la otra.


10 de 11




Ejemplo:

3. Una compaa de productos alimenticios contrat a una empresa de investigacin de

mercadotecnia, para muestrear dos mercados, I y II, a fin de comparar las

proporciones de consumidores que prefieren la comida congelada de la compaa con

los productos de sus competidores. No hay informacin previa acerca de la

magnitud de las proporciones P1 y P2. Si la empresa de productos alimenticios quiere

estimar la diferencia dentro de 0.04, con una probabilidad de 0.95, cuntos

consumidores habr que muestrear en cada mercado?

Se tendr que realizar encuestas a 1201 consumidores de cada mercado para tener una

estimacin con una confianza del 95% y un error mximo de 0.04.

2.5.3 BASADO EN LA DIFERENCIA ENTRE LAS MEDIAS DE LA POBLACIN

Clculo del Tamao de la Muestra para Estimar la Diferencia de Medias

Si se recuerda a la distribucin muestral de diferencia de medias se tiene que error esta

dado por:

En esta ecuacin se nos pueden presentar dos casos:

Los tamaos de muestra son iguales.

Los tamao de muestra son diferentes.


11 de 11




Para el primer caso no se tiene ningn problema, se eleva al cuadrado la ecuacin y se

despeja n ya que n1 es igual a n2.

Para el segundo caso se pondr una n en funcin de la otra. Este caso se utiliza cuando las poblaciones son de diferente tamao y se sabe que una es K veces mayor que la otra.

Ejemplo:

1. Un director de personal quiere comparar la efectividad de dos mtodos de

entrenamiento para trabajadores industriales a fin de efectuar cierta operacin de

montaje. Se divide un nmero de operarios en dos grupos iguales: el primero recibe

el mtodo de entrenamiento 1, y el segundo, el mtodo 2. Cada uno realizar la

operacin de montaje y se registrar el tiempo de trabajo. Se espera que las

mediciones para ambos grupos tengan una desviacin estndar aproximadamente de

2 minutos. Si se desea que la estimacin de la diferencia en tiempo medio de

montaje sea correcta hasta por un minuto, con una probabilidad igual a 0.95,

cuntos trabajadores se tienen que incluir en cada grupo de entrenamiento?

Cada grupo debe contener aproximadamente 31 empleados.

tema 2.5 determinacion del tamaño de muestra

Documents