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Semestre

3-2009 José Luis Quintero

Octubre 2009

TEMA 2

FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL

VARIABLE REAL

Cálculo III (0253)

Semestre 3-2009

Funciones Reales de Variable Vectorial

Prof. José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (0253) - TEMA 2

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al

estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de funciones reales de variable vectorial

haciendo énfasis en las funciones de dos variables independientes.

La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de

repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y

propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,

también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo

más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo III en

Ingeniería.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora

del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:

[email protected].

INDICE GENERAL Funciones Reales de Variable Vectorial


2.1. Superficies

2.2. Superficies cilíndricas

2.3. Superficies de revolución

2.4. Construcción de superficies

2.5. Superficies cuádricas

2.6. Intersección de superficies

2.7. Ejercicios resueltos

2.8. Introducción a las funciones de varias variables

2.9. Dominio

2.10. Límite de una función de dos variables

2.11. Continuidad de una función de dos variables

2.12. Derivadas parciales de una función de dos variables

2.13. Derivadas direccionales y vactor gradiente


2.15. Plano tangente

2.16. Diferenciabilidad de una función de dos variables

2.17. Diferencial total

2.18. Regla de la cadena

2.19. Derivación implícita

2.20. Máximos y mínimos de funciones de dos variables

2.21. Optimización sujeta a restricciones


2.23. Ejercicios propuestos

141

143

145

147

148

160

163

169

169

171

175

175

178

181

191

193

194

196

200

202

204

208

224

SUPERFICIES Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 141 de 305


2.1. SUPERFICIES

Definición 1. Se denomina superficie al conjunto de puntos 3P(x,y,z) R∈ que satisfacen

una ecuación de la forma F(x,y,z) 0= .

Ejemplo 1. Un plano Ax By Cz 0,+ + = es una superficie.

Ejemplo 2. Sean 0 0 0 0P (x ,y ,z ) y P(x,y,z) dos puntos del espacio; si 0P y P son tales que la

distancia entre ellos es una constante r, los puntos P forman una esfera de centro 0P y radio

r, cuya ecuación es 2 2 2 2

0 0 0(x x ) (y y ) (z z ) r− + − + − = .

Si de la ecuación en forma implícita F(x,y,z) 0= se puede despejar en forma única una

de las variables en función de las otras dos, por ejemplo z f(x,y)= (ecuación en forma

explícita), entonces la superficie definida por la ecuación F(x, y,z) 0= se puede ver como el

gráfico de la función f.

Definición 2. La intersección de una superficie y un plano se llama traza.

Ejemplo 3. Al graficar el plano de ecuación 2x 3y 5z 30 0+ + − = , se van a considerar las

trazas sobre los ejes coordenados. La traza sobre el plano xy se obtiene haciendo z 0= , es decir, 2x 3y 30 0+ − = , la cual es una recta en el plano xy. La traza sobre el plano yz es

3y 5z 30 0+ − = y la traza sobre el plano xz es 2x 5z 30 0+ − = . Una parte del gráfico se

muestra en la figura 1.

Ejemplo 4. Al graficar el plano de ecuación x 3 0− = , se van a considerar las trazas sobre los

ejes coordenados. La traza sobre el plano xy se obtiene haciendo z 0= , es decir, x 3 0− = , la

cual es una recta en el plano xy. La traza sobre el plano yz es 3 0− = (absurdo) lo que indica

que no hay intersección y la traza sobre el plano xz es x 3 0− = . Una parte del gráfico se

muestra en la figura 2.

Ejemplo 5. Al graficar la esfera de ecuación 2 2 2x y z 9+ + = , la traza sobre el plano xy es 2 2x y 9+ = , la cual es una circunferencia en el plano xy. La traza sobre el plano yz es 2 2y z 9+ = . La traza sobre el plano xz es 2 2x z 9+ = . Los gráficos se muestran en la figura 3.

SUPERFICIES Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 142 de 305


Figura 1. Gráfica del plano del ejemplo 3 en el primer octante

Figura 2. Gráfica del plano del ejemplo 4 en el primer octante

Figura 3. Gráficas de la esfera del ejemplo 5

SUPERFICIES CILÍNDRICAS Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 143 de 305


2.2. SUPERFICIES CILÍNDRICAS

La palabra cilindro designa una clase de superficie mucho más amplia que la del

cilindro circular recto conocido.

Definición 3. Un cilindro es una superficie generada por una recta que se mueve a lo largo

de una curva plana de tal manera que siempre permanece paralela a una recta fija que no

está contenida en el plano de la curva dada. La recta que se mueve se denomina generatriz

del cilindro y la curva plana dada se llama directriz del cilindro.

Definición 4. Sea C una curva plana en el plano xy (o en el plano yz o en el plano xz) y L

una recta que intersecta a C y que no está en el mismo plano de C. El conjunto de todas las

rectas paralelas a L que intersectan a C se llama superficie cilíndrica. La recta L se llama

generatriz y la curva C es la traza de la superficie en el plano xy.

Ejemplo 6. 2 2x y 16+ = (ver figura 4)

Figura 4. Gráficas de la superficie cilíndrica del ejemplo 6



Ejemplo 7. 2 29x 16y 144+ = (ver figura 5)


Ejemplo 8. z sen(y)= (ver figura 6)




Ejemplo 9. 2 225y 4z 100− = (ver figura 7)


2.3. SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Definición 5. Si una curva plana se gira alrededor de una recta fija que está en el plano de la

curva, entonces la superficie así generada se denomina superficie de revolución. La recta

fija se llama eje de la superficie de revolución, y la curva plana recibe el nombre de curva

generatriz (o revolvente).

Se sabe que una curva C girada alrededor de una recta L que está en el mismo plano

de C, genera una superficie de revolución. La recta L se llama eje de giro. Si la superficie es generada por la rotación de una curva C de ecuación f(x,z) 0= alrededor del eje x, entonces

un punto P(x,y,z) de la superficie pertenece a la circunferencia descrita por P(x,0,z ') de la

curva f(x,z ') 0= . Pero el radio de la circunferencia z ' satisface la relación

2 2z ' y z= + ,

por lo tanto 2 2f(x, y z ) 0+ = es la ecuación de la superficie de revolución.

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 146 de 305


Con un análisis similar se pueden deducir las ecuaciones de las superficies en caso de

que la curva plana C está en un plano coordenado y rota alrededor de un eje coordenado

situado en ese mismo plano. En la tabla 1 se presenta un resumen de ecuaciones de

superficies de revolución generada por la rotación de una curva C.

Curva Eje de giro Ecuación de la superficie f(x,y) 0= X 2 2f(x, y z ) 0+ =

f(x,y) 0= Y 2 2f( x z ,y) 0+ =

f(x,z) 0= Z 2 2f( x y ,z) 0+ =

f(x,z) 0= X 2 2f(x, y z ) 0+ =

f(y,z) 0= Y 2 2f(y, x z ) 0+ =

f(y,z) 0= Z 2 2f( x y ,z) 0+ =

Tabla 1. Ecuaciones de superficies de revolución y su curva de rotación

Ejemplo 10. Encuentre la ecuación de la superficie generada por la rotación de la curva 2 29x 4y 36+ = alrededor del eje y.

Solución.

Como la curva gira alrededor del eje Y, se reemplaza x por 2 2x z+ en la ecuación de la

curva, para obtener la superficie de ecuación 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z9( x z ) 4y 36 9(x z ) 4y 36 9x 9z 4y 36 1

4 9 4+ + = ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒ + + =

(elipsoide)

Su gráfica es (ver figura 8)

Figura 8. Gráfica de la superficie de revolución del ejemplo 10

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN



Ejemplo 11. Encuentre la ecuación de la superficie generada por la rotación de la curva

2z 4 x= − alrededor del eje z.

Solución.

Como la curva gira alrededor del eje Z, se reemplaza x por 2 2x y+ en la ecuación de la

curva, para obtener la superficie de ecuación 2 2z 4 (x y )= − + .

Su gráfica es (ver figura 9)

Figura 9. Gráfica de la superficie de revolución del ejemplo 11

2.4. CONSTRUCCIÓN DE SUPERFICIES

Dada una superficie definida por la ecuación F(x,y,z) 0= , se define el gráfico de ella

como el conjunto de puntos P(x,y,z) que satisfacen la ecuación. El esquema a seguir,

contiene ciertos detalles:

I. Intersecciones con los ejes coordenados.

a. Eje x: Encontrar puntos de la forma P(x,0,0) de la superficie.

b. Eje y: Encontrar puntos de la forma P(0,y,0) de la superficie.

c. Eje z: Encontrar puntos de la forma P(0.0,z) de la superficie.

CONSTRUCCIÓN DE SUPERFICIES



II. Trazas sobre los ejes coordenados. Son las curvas intersección de la superficie con los

planos coordenados.

a. Plano yz: Se hace x 0.= b. Plano xz: Se hace y 0.=

c. Plano xy: Se hace z 0.=

III.Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.

Si la ecuación de la superficie no se altera cuando

las variables x, y, z son reemplazadas por

La superficie es simétrica

con respecto al

-x, y, z Plano yz

x, -y, z Plano xz

x, y, -z Plano xy

-x, -y, z Eje Z

-x, y, -z Eje Y

x, -y, -z Eje X

-x, -y, -z Origen

IV.Secciones por planos paralelos a los planos coordenados

V. Información auxiliar de la superficie

VI.Gráfico de la superficie

2.5. SUPERFICIES CUÁDRICAS

Definición 6. Una superficie cuádrica es aquella que se puede representar mediante una

ecuación de segundo grado en dos variables, como por ejemplo, en la forma:

2 2 2Ax Bxy Cy Dz Ex Fy Gz H 0+ + + + + + + = .

Se verán los casos más simples de estas superficies y que corresponden, por analogía

con las cónicas: parábola, elipse, hipérbola. Se tratarán además superficies cuadráticas con

B 0= , que geométricamente significa que no están rotadas; su eje principal es paralelo a uno

de los ejes de coordenadas.

SUPERFICIES CUÁDRICAS Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 149 de 305


Elipsoide. Tiene como ecuación 2 2 2

0 0 02 2 2

(x x ) (y y ) (z z )1

a b c

− − −+ + = .

Si a b c= = corresponde a una esfera. Los números a, b y c son las longitudes de los semiejes

del elipsoide. Si dos cualesquiera de estos tres números son iguales, se obtiene un elipsoide

de revolución.

Ejemplo 12. 2 2 2x y z

19 16 25

+ + = .

Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que: I. Intersecciones con los ejes:

a. Eje x: 2x 9 x 3 (3,0,0) y ( 3,0,0)= ⇒ = ± ⇒ − son puntos de la superficie.

b. Eje y: 2y 16 y 4 (0,4,0) y (0, 4,0)= ⇒ = ± ⇒ − son puntos de la superficie.

c. Eje z: 2z 25 z 5 (0,0,5) y (0,0, 5)= ⇒ = ± ⇒ − son puntos de la superficie.

II. Trazas sobre los ejes:

a. Plano yz: 2 2y z

x 0 116 25

= ⇒ + = , entonces se tiene una elipse.

b. Plano xz: 2 2x z

y 0 19 25


c. Plano xy: 2 2x y

z 0 19 16


III.Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen

Relaciones Simetría F( x,y,z) F(x, y,z)− = plano yz F(x, y,z) F(x,y,z)− = plano xz F(x,y, z) F(x,y,z)− = plano xy F( x, y,z) F(x,y,z)− − = eje Z F( x,y, z) F(x,y,z)− − = eje Y F(x, y, z) F(x, y,z)− − = eje X F( x y, z) F(x,y,z)− − − = Origen

IV. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados

Los planos paralelos al plano xy tienen ecuación z k= . La curva intersección entre la

superficie y este plano se obtiene sustituyendo z k= en la ecuación del elipsoide, resultando 2 2 2x y k

19 16 25

+ = − .



Si 2k

1 025

− > , es decir k 5< , la curva es una elipse en el plano z k= .

V. Gráfico de la superficie (ver figura 10)

Figura 10. Gráfica de la superficie cuádrica del ejemplo 12

Hiperboloide de una hoja. Tiene como ecuación alguna de las siguientes: 2 2 2

0 0 02 2 2

(x x ) (y y ) (z z )1

a b c

− − −+ − =

2 2 20 0 0

2 2 2

(x x ) (y y ) (z z )1

a b c

− − −− + =

2 2 20 0 0

2 2 2

(x x ) (y y ) (z z )1

a b c

− − −− + + =

Si a b= , la superficie es un hiperboloide de revolución para el cual el eje es la recta que

contiene al eje conjugado.

Observación 1. La variable del término con signo negativo es el eje encerrado por el

hiperboloide de una hoja.

Ejemplo 13. 2 2 2x y z

19 16 25

+ − = .

Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que:



I. Intersecciones con los ejes:

a. Eje x: 2x 9 x 3 (3,0,0) y ( 3,0,0)= ⇒ = ± ⇒ − son puntos de la superficie.

b. Eje y: 2y 16 y 4 (0,4,0) y (0, 4,0)= ⇒ = ± ⇒ − son puntos de la superficie.

c. Eje z: 2z 25 no se int er sec ta con el eje z= − ⇒ .


a. Plano yz: 2 2y z

x 0 116 25

= ⇒ − = , entonces se tiene una hipérbola.

b. Plano xz: 2 2x z

y 0 19 25


c. Plano xy: 2 2x y

z 0 19 16



Relaciones Simetría F( x,y,z) F(x,y,z)− = plano yz F(x, y,z) F(x, y,z)− = plano xz F(x,y, z) F(x,y,z)− = plano xy F( x, y,z) F(x,y,z)− − = eje Z F( x, y, z) F(x,y,z)− − = eje Y F(x, y, z) F(x,y,z)− − = eje X F( x y, z) F(x,y,z)− − − = Origen


Los planos paralelos al plano XY tienen ecuación z k= . La curva intersección entre la

superficie y este plano se obtiene sustituyendo z k= en la ecuación del hiperboloide,

resultando 2 2 2x y k

19 16 25

+ = + .

Si 2k

1 025

+ > , es decir 2k 25> − , la curva es una elipse en el plano z k= . Los planos

paralelos al plano xz tienen ecuación y k= . La curva intersección entre la superficie y este

plano se obtiene sustituyendo y k= en la ecuación del hiperboloide, resultando 2 2 2x z k

19 25 16

− = − .

Si 2k

1 016

− ≠ , es decir si k 4≠ ± , la curva es una hipérbola en el plano y k= . Los

planos paralelos al plano yz tienen ecuación x k= . La curva intersección entre la superficie y

este plano se obtiene sustituyendo x k= en la ecuación del hiperboloide, resultando



2 2 2y z k

116 25 9

− = − .

Si 2k

1 09

− ≠ , es decir si k 3≠ ± , la curva es una hipérbola en el plano x k= .



Hiperboloide de dos hojas. Tiene como ecuación alguna de las siguientes:

2 2 20 0 0

2 2 2

(z z ) (x x ) (y y )1

c a b

− − −− − =

2 2 20 0 0

2 2 2

(z z ) (x x ) (y y )1

c a b

− − −− − + =

2 2 20 0 0

2 2 2

(z z ) (x x ) (y y )1

c a b

− − −− + − =

Si a b= , la superficie es un hiperboloide de revolución en el que el eje es la recta que

contiene al eje transverso de la hipérbola.

Observación 2. La variable del término con signo positivo es el eje abrazado por el

hiperboloide de dos hojas.



Hiperboloide de dos hojas. Tiene como ecuación

2 2 2

2 2 2

z x y1

c a b− − = .

Si a b= , la superficie es un hiperboloide de revolución en el que el eje es la recta que

contiene al eje transverso de la hipérbola.

Observación 2. La variable del término con signo positivo es el eje abrazado por el

hiperboloide de dos hojas.

Ejemplo 14. 2 2 2z x y

125 9 16

− − = .



a. Eje x: 2x 9 no se int er sec ta con el eje x= − ⇒ .

b. Eje y: 2y 16 no se int er sec ta con el eje y= − ⇒ .

c. Eje z: 2z 25 z 5 (0,0,5) y (0,0, 5)= ⇒ = ± ⇒ − son puntos de la superficie.


a. Plano yz: 2 2z y

x 0 125 16


b. Plano xz: 2 2z x

y 0 125 9


c. Plano xy: 2 2x y

z 0 19 16

= ⇒ + = − , no describe ninguna curva real.


Relaciones Simetría F( x,y,z) F(x,y,z)− = plano yz F(x, y,z) F(x,y,z)− = plano xz F(x,y, z) F(x,y,z)− = plano xy F( x, y,z) F(x, y,z)− − = eje Z F( x,y, z) F(x,y,z)− − = eje Y F(x, y, z) F(x,y,z)− − = eje X F( x y, z) F(x, y,z)− − − = Origen




resultando



2 2 2x y k

19 16 25

+ = − .

Si 2k

1 025

− > , es decir k 5> , la curva es una elipse en el plano z k= . Los planos


plano se obtiene sustituyendo y k= en la ecuación del hiperboloide, resultando 2 2 2z x k

125 9 16

− = + .

Si 2k

1 016

+ ≠ , es decir si para todo k real, la curva es una hipérbola en el plano y k= .

Los planos paralelos al plano yz tienen ecuación x k= . La curva intersección entre la

superficie y este plano se obtiene sustituyendo x k= en la ecuación del hiperboloide,

resultando 2 2 2z y k

125 16 9

− = + .

Si 2k

1 09

+ ≠ , es decir para todo k real, la curva es una hipérbola en el plano x k= .





Cono. Tiene como ecuación alguna de las siguientes 2 2 2

0 0 02 2 2

(x x ) (y y ) (z z )0

a b c

− − −+ − =

2 2 20 0 0

2 2 2

(x x ) (y y ) (z z )0

a b c

− − −− + =

Observación 3. La variable del término con signo negativo es el eje abrazado por el cono.

Ejemplo 15. 2 2 2x y z9 16 25

+ = .

Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que: I. Intersecciones con los ejes:

Eje x: 2x 0 (0,0,0)= ⇒ es un punto de la superficie.


a. Plano yz: 2 2y z

x 016 25

= ⇒ = , entonces se tienen dos rectas secantes de ecuaciones

45y z= , 4

5y z= − .

b. Plano xz: 2 2x z

y 09 25


35x z= , 3

5x z= − .

c. Plano xy: 2 2x y

z 0 09 16

= ⇒ + = , describe el punto (0,0,0).


Relaciones Simetría F( x,y,z) F(x,y,z)− = plano yz F(x, y,z) F(x, y,z)− = plano xz F(x,y, z) F(x,y,z)− = plano xy F( x, y,z) F(x,y,z)− − = eje Z F( x, y, z) F(x,y,z)− − = eje Y F(x, y, z) F(x,y,z)− − = eje X F( x y, z) F(x,y,z)− − − = Origen


Los planos paralelos al plano XY tienen ecuación z k= . La curva intersección entre la


resultando 2 2 2x y k9 16 25

+ =



Si 2k

025

> , es decir k 0> , la curva es una elipse en el plano z k= . Los planos


plano se obtiene sustituyendo y k= en la ecuación del hiperboloide, resultando 2 2 2z x k

25 9 16− = .

Si 2k

016

≠ , es decir si k 0≠ , la curva es una hipérbola en el plano y k= . Los planos

paralelos al plano yz tienen ecuación x k= . La curva intersección entre la superficie y este

plano se obtiene sustituyendo x k= en la ecuación del hiperboloide, resultando 2 2 2z y k

25 16 9− = .

Si 2k

09

≠ , es decir si k 0≠ , la curva es una hipérbola en el plano x k= .



Paraboloide. Tiene como ecuación alguna de las siguientes:

2 2

0 0 02 2

(x x ) (y y ) z zca b

− − −+ = ,

2 20 0 0

2 2

(x x ) (z z ) y yba c

− − −+ = ,

2 20 0 0

2 2

(z z ) (y y ) x xac b

− − −+ = .

Observación 4. La variable del término lineal es el eje abrazado por el paraboloide y el

signo de su coeficiente indica como lo hace.



Ejemplo 16.

2 2x y z9 16 5

+ = .





a. Plano yz: 2 16x 0 y z

5= ⇒ = , entonces se tiene una parábola.

b. Plano xz: 2 9y 0 x z

5= ⇒ = , entonces se tiene una parábola.

c. Plano xy: 2 2x y

z 0 09 16

= ⇒ + = , describe el punto (0,0,0).


Relaciones Simetría F( x,y,z) F(x,y,z)− = plano yz F(x, y,z) F(x,y,z)− = plano xz F(x,y, z) F(x, y,z)− ≠ - F( x, y,z) F(x,y,z)− − = eje Z F( x,y, z) F(x,y,z)− − ≠ - F(x, y, z) F(x,y,z)− − ≠ - F( x y, z) F(x,y,z)− − − ≠ -




resultando 2 2x y k9 16 5

+ = .

Si k

05

> , es decir k 0> , la curva es una elipse en el plano z k= . Los planos paralelos

al plano xz tienen ecuación y k= . La curva intersección entre la superficie y este plano se

obtiene sustituyendo y k= en la ecuación del hiperboloide, resultando 2 2x z k9 5 16

= − .

Para todo k real, la curva es una parábola en el plano y k= . Los planos paralelos al

plano yz tienen ecuación x k= . La curva intersección entre la superficie y este plano se

obtiene sustituyendo x k= en la ecuación del hiperboloide, resultando



2 2y z k

16 5 9= − .

Para todo k real, la curva es una parábola en el plano x k= .



Paraboloide hiperbólico o silla de montar. Tiene como ecuación alguna de las siguientes: 2 2

0 0 02 2


− − −− = ,

2 20 0 0

2 2


− − −− = ,

2 20 0 0

2 2


− − −− =

2 20 0 0

2 2


− − −− + = ,

2 20 0 0

2 2


− − −− + = ,

2 20 0 0

2 2


− − −− + =

Ejemplo 17. 2 2x y z9 16 5

− = .







a. Plano yz: 2 16x 0 y z

5= ⇒ = − , entonces se tiene una parábola.

b. Plano xz: 2 9y 0 x z

5= ⇒ = − , entonces se tiene una parábola.

c. Plano xy: 2 2x y

z 09 16


34x y= , 4

5x y= − .


Relaciones Simetría F( x,y,z) F(x,y,z)− = plano yz F(x, y,z) F(x, y,z)− = plano xz F(x,y, z) F(x,y,z)− ≠ - F( x, y,z) F(x,y,z)− − = eje Z F( x, y, z) F(x,y,z)− − ≠ - F(x, y, z) F(x,y,z)− − ≠ - F( x y, z) F(x,y,z)− − − ≠ -



superficie y este plano se obtiene sustituyendo z k= en la ecuación del paraboloide

hiperbólico, resultando 2 2x y k9 16 5

− = .

Si k

05

≠ , es decir k 0≠ , la curva es una hipérbola en el plano z k= . Los planos


plano se obtiene sustituyendo y k= en la ecuación del paraboloide hiperbólico, resultando 2 2x z k9 5 16

= + .

Para todo k real, la curva es una parábola en el plano y k= . Los planos paralelos al

plano yz tienen ecuación x k= . La curva intersección entre la superficie y este plano se

obtiene sustituyendo x k= en la ecuación del paraboloide hiperbólico, resultando 2 2y z k

16 5 9= + .

Para todo k real, la curva es una parábola en el plano x k= .





2.6. INTERSECCIÓN DE SUPERFICIES

La intersección de dos superficies F(x,y,z) 0= y G(x,y,z) 0= es el conjunto de puntos

3(x,y,z) R∈ que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones, es decir, una curva en el

espacio.

Ejemplo 18. La curva intersección de la esfera 2 2 2x y z 4+ + = y el plano y x 1 0+ − = viene

dada por las soluciones del sistema 2 2 2x y z 4y x 1 0

+ + =

+ − =.

Se obtienen las proyecciones de esta curva en los planos de coordenadas eliminando una de

las variables, así:

a. Para obtener la proyección en el plano xz se elimina la variable y:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 21 1 1 74 2 2 2

21 22

7 74 2

x (1 x) z 4 x 1 2x x z 4 2x 2x z 3

2(x x ) z 3 2(x ) z

(x ) z1

+ − + = ⇒ + − + + = ⇒ − + =

⇒ − + + = + ⇒ − + =

−⇒ + =

INTERSECCIÓN DE SUPERFICIES



b. Para obtener la proyección en el plano yz se elimina la variable x:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 21 1 1 74 2 2 2

21 22

7 74 2

(1 y) y z 4 1 2y y y z 4 2y 2y z 3

2(y y ) z 3 2(y ) z

(y ) z1

− + + = ⇒ − + + + = ⇒ − + =

⇒ − + + = + ⇒ − + =

−⇒ + =

Una de las formas de expresar una curva en el espacio es dar sus ecuaciones

paramétricas. En el ejemplo se puede usar la proyección en el plano yz para obtener sus

ecuaciones paramétricas: 1 72 4

x(t) cos(t)= − , 1 72 4

y(t) cos(t)= + , 72

z(t) sen(t)= , t 0,2∈ π

En forma gráfica, se tiene: (ver figura 16)

Figura 16. Gráfica de las superficies y su intersección del ejemplo 18

Ejemplo 19. La curva intersección del paraboloide 2 2z x y= + y el plano x y z 10+ + = viene

dada por las soluciones del sistema 2 2z x y

x y z 10

= +

+ + =.

Se obtienen las proyecciones de esta curva en los planos de coordenadas eliminando una de

las variables, así:

a. Para obtener la proyección en el plano xy se elimina la variable z para llegar a 2 21 1 21

2 2 2(x ) (y )+ + + = .

INTERSECCIÓN DE SUPERFICIES



b. Para obtener la proyección en el plano yz se elimina la variable x para llegar a

2 22y 2yz z 20y 21z 100 0+ + − − + = .

c. Para obtener la proyección en el plano xz se elimina la variable y para llegar a 2 22x 2xz z 20x 21z 100 0+ + − − + = .

Se puede usar la proyección en el plano xy para obtener sus ecuaciones paramétricas:

1 212 2

x(t) cos(t)= − + , 1 212 2

y(t) sen(t)= − + , 21 212 2

z(t) 11 cos(t) sen(t)= − − , t 0,2∈ π .

En forma gráfica, se tiene: (ver figura 17)

Figura 17. Gráfica de las superficies y su intersección del ejemplo 19

EJERCICIOS RESUELTOS Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 163 de 305


2.7. EJERCICIOS RESUELTOS

1. Para cada ecuación, identifique la superficie que representa.

a. 2 2 29x 4y 36z 0− + =

b. 2 2 25x 6y 10z 30 0+ − + =

c. 2 24x y 9z 0+ + =

d. 2 2 2x y 2z 6 0− − + =

e. 2 2x 2y z= −

f. 2 2 2x y z 4 0+ + − =

g. 2 2 216x 9y 16z 32x 36y 36 0+ + − − + =

h. 2 2x y 4x 3y z 5 0+ − − − + =

i. 6x 3y 4z 12+ + =

j. 2 2 25x 6y 10z 30 0+ − − =

k. z sen(y)=

l. 2 2 2x y z 4− + = −

m. 2 29x 4z 36y 0+ + =

n. 2z 2 x= + o. 2 2y 2x z= −

p. 2 2 2x y z 2x 4y 6z 0+ + − − − =

q. 2 2 24x 4y z 8x 2z 11 0+ + + − − =

r. 2 2 24x y 4z 16x 6y 16z 9 0+ − − − − + =

Cono

Hiperboloide de dos hojas

Paraboloide

Hiperboloide de una hoja

Silla de montar

Esfera

Elipsoide

Paraboloide

Plano

Hiperboloide de una hoja

Superficie cilíndrica

Hiperboloide de dos hojas

Paraboloide

Superficie cilíndrica

Silla de montar

Esfera

Elipsoide

Cono

2. Construya la superficie de ecuación 2 2 24x 4y z 8x 2z 11 0+ + + − − = .

Solución.

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

4x 4y z 8x 2z 11 0 4(x 2x 1) 4y (z 2z 1) 11 4 1

(x 1) y (z 1)4(x 1) 4y (z 1) 16 1

4 4 16

+ + + − − = ⇒ + + + + − + = + +

+ −⇒ + + + − = ⇒ + + =

Sean x ' x 1, z ' z 1= + = − . Al graficar la ecuación 2 2 2x ' y z '

14 4 16

+ + =

se tiene: (ver figura 18)



Figura 18. Gráfica de la superficie cuádrica sin trasladar del ejercicio 2

Al trasladar los ejes x, z se tiene: (ver figura 19)

Figura 19. Gráfica de la superficie cuádrica trasladada del ejercicio 2

3. Construya la superficie de ecuación 2 2 24x y 4z 16x 6y 16z 9 0+ − − − − + = .

Solución.

2 2 2

22 2 2 2 2

4(x 4x 4) (y 6y 9) 4(z 4z 4) 9 16 9 16

(y 3)4(x 2) (y 3) 4(z 2) 0 (x 2) (z 2) 0 (cono)

4

⇒ − + + − + − + + = − + + −

−⇒ − + − − + = ⇒ − + − + =

Sean x ' x 2, y ' y 3, z ' z 2= − = − = + . Al graficar la ecuación 2 2

2 y ' z 'x ' 0

4 4+ − =

se tiene: (ver figura 20)



Figura 20. Gráfica de la superficie cuádrica sin trasladar del ejercicio 3

Al trasladar los ejes x, y, z se tiene: (ver figura 21)

Figura 21. Gráfica de la superficie cuádrica trasladada del ejercicio 4

4. Dadas las superficies 2 2 2z 4 y , z x y− = − = + , dé la proyección sobre el plano xy de la

curva intersección y determine una parametrización de dicha curva.

Solución. 2 2

2 2 2 2 2 x yx y 4 y x 2y 4 1

4 2+ − = − ⇒ + = ⇒ + = . Elipse

Parametrización:

r 2(t) (2cos(t), 2sen(t),2 cos (t) 2)= + o r 2(t) (2cos(t), 2sen(t),4 2sen (t))= − .



5. Halle la ecuación de la superficie de revolución S, que se obtiene al rotar la curva de

ecuaciones 2 2x z 1− = , y 0= alrededor del eje z y parametrice la curva de intersección

de la superficie S con la esfera de centro (2,0,0) y radio 3 .

Solución.

Superficie S: 2 2 2x y z 1+ − = (Hiperboloide de una hoja)

Esfera: 2 2 2 2 2 2(x 2) y z 3 z 3 (x 2) y− + + = ⇒ = − − − .

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

x y 3 (x 2) y 1 x y 3 x 4x 4 y 1 2x 2y 4x 0

(x 1) y 1.

+ − + − + = ⇒ + − + − + + = ⇒ + − =

⇒ − + =

x(t) 1 cos(t)= + , y(t) sen(t)= , z(t) 1 2cos(t)= ± +

1 2r r(t) (1 cos(t),sen(t), 1 2cos(t)) (t) (1 cos(t),sen(t), 1 2cos(t))= + + = + − +

6. Parametrice la curva

2 2 2

x y 2C :

x y z 2(x y)

+ =

+ + = +

que se encuentra en el primer octante, recorrida desde el punto A (0,2,0)= hasta el

punto B (2,0,0)= .

Solución.

2 2 2 2 2 22 2 2

x y 2C : x (2 x) z 4 z 4x 2x z 4x 2x

x y z 2(x y)

+ =⇒ + − + = ⇒ = − ⇒ = −

+ + = +

por ser z 0≥ , ya que la porción de la curva recorrida pertenece al primer octante. De

acuerdo con lo anterior, la expresión paramétrica de la curva si x es el parámetro sería:

r 2(t) (t,2 t, 4t 2t )= − − , t 0,2∈ .

7. Halle las ecuaciones paramétricas de la curva intersección de las superficies de ecuaciones

y z 2 0− − = , 2 2x z 25+ = .

Solución.

Para encontrar las ecuaciones paramétricas de la curva C se tiene: x(t) 5cos(t)= , z(t) 5sen(t)= , y(t) 2 5sen(t)= + , 0 t 2≤ ≤ π .

Por lo tanto: r(t) (5cos(t),2 5sen(t),5sen(t))= + , 0 t 2≤ ≤ π .

8. Desde el punto (1,2, 1)− hasta el punto (1, 2, 1)− − , obtenga la curva de intersección de las

superficies dadas por 2x z 1+ = , 2 2z 8 x 2y= − − .

Solución.



2 2

2 2 2 2 (x 1) y1 2x 8 x 2y (x 1) 2y 8 1

8 4−− = − − ⇒ − + = ⇒ + =

r 32 2(t) (1 2 2 cos(t),2sen(t), 4 2 cos(t) 1) tπ π= + − − ≤ ≤ .

9. Sea C la curva de origen el punto (a,0,0), que se obtiene como intersección de las superficies de ecuaciones x z a+ = , 2 2 2 2x y z a+ + = ; a 0> es una constante. Encuentre

las ecuaciones paramétricas de C donde el recorrido de C es tal que la coordenada y

crece.

Solución.

p

r

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2a a4 2

2a 222 2 2a a a a a2 2 2 2 22 2 2a a

4 2

x y (a x) a x y a 2ax x a 2x 2ax y 0

2(x ax ) y

(x ) y2(x ) y 1 (t) ( cos(t), sen(t)) , 0 t π

+ + − = ⇒ + + − + = ⇒ − + =

⇒ − + + =

−− + = ⇒ + = ⇒ = + ≤ ≤

Por tanto r a a a a a

2 2 2 2 22(t) ( cos(t), sen(t), cos(t)) , 0 t π= + − ≤ ≤ .

10. Determine las ecuaciones paramétricas y cartesianas e identifique la intersección de las

superficies 2 2 2 2 2 2x y z 1 , y z x 1− + = + − = .

Solución. 2 2 2z 1 z 1 2z 2 z 1− + = ⇒ = ⇒ = ± .

Al sustituir z 1= se tiene 2 2 2 2x y 0 x y y x− = ⇒ = ⇒ = ± .

Sean las rectas: y x, z 1 ; y x, z 1= = = − = .

Ecuaciones paramétricas:

1 2r r x t (t) (t, t,1) (t) (t, t,1) t R= ⇒ = = − ∈

Al sustituir z 1= − se tiene 2 2 2 2x y 0 x y y x− = ⇒ = ⇒ = ± .

Sean las rectas: y x, z 1 ; y x, z 1= = − = − = − .

Ecuaciones paramétricas:

3 4r r x t (t) (t, t, 1) (t) (t, t, 1) t R= ⇒ = − = − − ∈

11. Determine la curva C dada por la intersección de las superficies de ecuaciones dadas por

2 2 21S : x y z 2z 3 , z 3 2+ + − = < y 2 2

2S : x y z 5 , z 1+ + = ≥ .

El recorrido de C es antihorario visto desde la parte superior de 2S .

Solución.

2 2 21S : x y z 2z 3 , z 3 2+ + − = < , esfera 2 2

2S : x y z 5 , z 1+ + = ≥ , paraboloide.



Curva intersección: = ∈ π r (t) (2cos(t),2sen(t),1) , t 0,2 .

12. Sea r un número positivo menor que 1. a. Pruebe que la intersección de la esfera de ecuación 2 2 2x y z 1+ + = con el cilindro de

ecuación 2 2 2x y r+ = , es la unión de dos circunferencias disjuntas 0C y 1C , donde 0C

contiene el punto 2r r0 2 2

P ( , , 1 r )= − − y 1C contiene el punto 2r r1 2 2

P ( , , 1 r )= − .

Solución. 2 2 2 22 2 2

2 2 2 02 2 2 2 2 2 2

1

2 2 2 2r r2 2 0 0

2 2 2 2r r 1 12 2

C : x y r , z 1 rx y z 1r z 1 z 1 r

x y r C : x y r , z 1 r

( ) ( ) r , z 1 r P CP C( ) ( ) r , z 1 r

+ = = − −+ + =⇒ + = ⇒ = ± − ⇒

+ = + = = −

+ = = − − ∈⇒

∈+ = = −

0C y 1C son disjuntas ya que viven en planos paralelos al eje z.

b. Considere un alambre que tiene la forma de la curva C de la parte a y del segmento que une el punto 0P con el punto 1P . Encuentre las ecuaciones paramétricas de la

curva C.

Solución. Ecuación paramétrica del segmento que une el punto 0P con el punto 1P .

2 2 2 2r r r r2 2 2 2

(t) ( , , 1 r ) t(0,0,2 1 r ) ( , , 1 r 2 1 r t) , t 0,1= − − + − = − − + − ∈ r

Ecuaciones paramétricas de la curva C: 2

2

2 2r r2 2

(r.cos(t),r.sen(t), 1 r ) t 0,2

(r.cos(t),r.sen(t), 1 r ) t 0,2

( , , 1 r 2 1 r t) t 0,1

− − ∈ π − ∈ π − − + − ∈

INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES



2.8. INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Al describir algún fenómeno tanto físico como de otras áreas mediante una función, es

común el uso de múltiples variables independientes entre sí.

Ejemplo 20. El volumen de un cilindro circular recto con base de radio r y altura h viene dado por 2V r h= π ; el radio y la altura son variables independientes, por lo tanto este

volumen es una función de dos variables: 2V(r,h) r h= π .

Ejemplo 21. La distancia de un punto 3(x,y,z) R∈ al origen está dada por la expresión

2 2 2x y z+ + , x, y, z las coordenadas del punto son variables dadas en forma independiente.

Esta distancia es una función de tres variables dada por la expresión 2 2 2d(x,y,z) x y z= + + .

2.9. DOMINIO

Si no se dan otras indicaciones, se supondrá que el dominio es el conjunto de todos los

puntos para los cuales la expresión que define la función tiene sentido.

Ejemplo 22. Grafique el dominio de la función 2f(x, y) y x= − .

Solución. 2D(f) {(x,y) / y x 0}= − ≥ .

La región sombreada indica el dominio de la función (ver figura 22).

Ejemplo 23. Grafique el dominio de la función 24 y x

f(x,y)ln(x y)

−=

+.

Solución. 2D(f) {(x,y) / y x 0 x y 0 x y 1}= − ≥ ∧ + > ∧ + ≠ .

La región sombreada representa el dominio de la función (ver figura 23).

DOMINIO Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 170 de 305


Figura 22. Representación gráfica del dominio del ejemplo 22

Figura 23. Representación gráfica del dominio del ejemplo 23

Definición 7. Sea z f(x,y)= definida en un conjunto D del plano, la gráfica de la función f

es el conjunto de puntos de 3R tales que (x,y, f(x,y)) con (x,y) D∈ .

Definición 8. Se llaman curvas de nivel a las curvas en 2R sobre las cuales la función z f(x,y)= es constante. Ellas reciben, de acuerdo a la disciplina, nombres especiales:

•••• Si la función es la presión en el punto (x,y) : f(x, y) k,= son curvas de presión constante

o isobaras. •••• Si la función es la temperatura en el punto (x,y) : f(x, y) k,= son curvas de temperatura

constante o isotermas. •••• Si la función es un campo de potencial eléctrico: f(x,y) k,= son las líneas

equipotenciales. •••• Si f(x,y) representa la altura de un punto (x,y) sobre el nivel del mar: f(x,y) k,= cotas

son líneas sobre un mapa topográfico de altura constante.

DOMINIO Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 171 de 305


Definición 9. Si la función es de tres variables w f(x,y,z)= , el conjunto de puntos en los

cuales la función es constante. f(x, y, z) c= es una superficie y se llamará superficie de

nivel de la función f.

Ejemplo 24. Siendo 2 2 2f(x, y,z) x y z= + − ,

las superficies de nivel 2 2 2x y z k+ − = :

Si k 0= , 2 2 2x y z+ = es un cono.

Si k 0,> 2 2 2x y z k+ − = es un hiperboloide de una hoja.

Si k 0,< 2 2 2x y z k+ − = es un hiperboloide de dos hojas.

2.10. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Definición 10. Un punto 0 0(x , y ) en un subconjunto A de 2R es un punto interior de A si

existe un círculo con centro en 0 0(x ,y ) totalmente contenido en A.

Definición 11. Un punto 0 0(x ,y ) en un subconjunto A de 2R es un punto frontera de A si

todo círculo centrado en 0 0(x ,y ) contiene puntos que están fuera de A, así como puntos que

están en A. El punto 0 0(x ,y ) no tiene que pertenecer a A.

Definición 12. Un conjunto 2A R⊂ es abierto si los puntos frontera no están en A.

Definición 13. Un conjunto 2A R⊂ es cerrado si los puntos frontera están en A.

Definición 14. Si A es un punto de nR y r es un número positivo, entonces la bola abierta

B(A;r) es el conjunto de todos los puntos P de nR tales que P A r− < .

Definición 15. Si A es un punto de nR y r es un número positivo, entonces la bola cerrada

B(A;r) es el conjunto de todos los puntos P de nR tales que P A r− ≤ .

Definición 16. Un punto 0P es un punto de acumulación de un conjunto S de puntos de nR

si toda bola abierta B(P;r) contiene un número infinito de puntos de S.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES



TEOREMA 1. Suponga que la función f está definida para todos los puntos de un disco abierto centrado en 0 0(x , y ) , excepto posiblemente en 0 0(x , y ) , y que

(x,y) (x ,y )0 0l í m f(x,y) L→

= .

Entonces, si S es cualquier conjunto de puntos de 2R que tiene a 0 0(x ,y ) como punto de

acumulación,

(x,y) (x ,y )0 0((x,y) en S)

l í m f(x,y)→

existe y siempre es igual a L.

TEOREMA 2. Si la función f tiene límites diferentes conforme (x,y) se aproxima a 0 0(x ,y ) a

través de dos conjuntos diferentes de puntos que tienen a 0 0(x ,y ) como un punto de

acumulación, entonces

(x,y) (x ,y )0 0l í m f(x,y)→

no existe.

Observación 5. Si los valores de una función z f(x,y)= se acercan a L cuando (x,y) se

acerca a 0 0(x ,y ) , se dirá que el límite de f(x,y) es igual a L cuando (x,y) tiende a 0 0(x ,y ) ;

este hecho geométrico se denota por:

(x,y) (x ,y )0 0lím f(x,y) L.→

=

Ejemplo 25. Calcule 2

2 2(x,y) (1,1)

x ylí m

x y→ +.

Solución. 2

2 2(x,y) (1,1)

x y 1.1 1lí m

1 1 2x y→= =

++.

Ejemplo 26. Calcule xy

(x,y) (0,0)

e sen(xy)lí m

xy→.

Solución. xy

xy

(x,y) (0,0) (x,y) (0,0) (x,y) (0,0)

e sen(xy) sen(xy)lí m lí m e . lí m 1.1 1

xy xy→ → →= = = .




Ejemplo 27. Calcule

1(x,y) ( ,1)2

arcsen(xy)lí m

1 xy→ +.

Solución. 1

621 31(x,y) ( ,1) 2 22

arcsen( )arcsen(xy)lí m

1 xy 91 .1

π

→

π= = =+ +

.

Ejemplo 28. Calcule 4 4

2 2(x,y) (0,0)

y xlí m

y x→

−+

.

Solución. 4 4 2 2 2 2

2 22 2 2 2(x,y) (0,0) (x,y) (0,0) (x,y) (0,0)

y x (y x )(y x )lí m lí m lí m (y x ) 0

y x y x→ → →

− − += = − =+ +

.


2 2(x,y) (0,0)

x ylím

x y→

−+

.

Solución. Sean 1S : conjunto de todos los puntos del eje x y 2S : conjunto de todos los puntos del eje y.

2

2(x,y) (0,0) x 0 x 0((x,y) en S )1

xlím f(x,y) lím f(x,0) lím 1

x→ → →= = = .

2

2(x,y) (0,0) y 0 y 0((x,y) en S )2

ylím f(x,y) lím f(0,y) lím 1

y→ → →= = − = − .

Como

(x,y) (0,0) (x,y) (0,0)((x,y) en S ) ((x,y) en S )1 2

lím f(x,y) lím f(x,y)→ →

≠

se concluye que el límite no existe.

Ejemplo 30. Calcule

2 2(x,y) (0,0)

xlím

x y→ +.

Solución.

Sea S el conjunto de todos los puntos del eje x. Entonces

2 2(x,y) (0,0) x 0

((x,y) en S)

x 1lím lím

xx y→ →=

+.

Por tanto, el límite no existe.




Definición 17. Siendo z f(x,y)= una función de dos variables, reciben el nombre de límites

iterados los siguientes límites:

x x y y y y x x0 0 0 0lím lím f(x,y) , lím lím f(x,y)→ → → →

.

TEOREMA 3. Si existen

x x y y y y x x0 0 0 0lím lím f(x,y) y lím lím f(x,y)→ → → →

pero son diferentes, entonces

(x,y) (x ,y )0 0lím f(x,y)→

no existe.


2 2(x,y) (0,0)

x ylím

x y→

−+

.

Solución. 2 2

2 2x 0 y 0

x ylím lím 1

x y→ →

− = + ,

2 2

2 2y 0 x 0

x ylím lím 1

x y→ →

− = − +

por lo tanto el límite no existe.

En el cálculo de un límite se puede pasar de coordenadas rectangulares a polares,

técnica que a veces tiene éxito.

TEOREMA 4. Si ( )ϕ θ es una función acotada (en alguna bola con centro en el origen) y (r)ψ

es una función que tiende a cero cuando r tiende a cero, entonces

r 0 r 0límg(r, ) lím ( ) (r) 0

→ →θ = ϕ θ ψ = .

Ejemplo 32. Calcule

2 2(x,y) (0,0)

xylím .

x y→ +

Solución. 2

2 2 2 2 2 2(x,y) (0,0) r 0 r 0 r 0

xy r cos( )rsen( ) r cos( )sen( )lím lím lím límr cos( )sen( ) 0

rx y r cos ( ) r sen ( )→ → → →

θ θ θ θ= = = θ θ =+ θ + θ

,

ya que cos( )sen( ) 1θ θ ≤ para todo valor de θ .

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES



2.11. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Definición 18. La función z f(x,y)= es continua en 0 0(x ,y ) si y sólo si

0 0(x,y) (x ,y )0 0lím f(x,y) f(x , y )→

= .

Observación 6. Una función se dice continua si es continua en cada punto de su dominio.

Ejemplo 33. Las funciones

f(x,y) cos(x y)= + , 2 4g(x,y) x y 4= − , 2 2x yh(x,y) e +=

son continuas en cada punto de su dominio.

Ejemplo 34. La función

2 2

xysi (x,y) (0,0)

f(x,y) x y0 si (x,y) (0,0)

≠= + =

,

no es continua en el origen, puesto que

2 2(x,y) (0,0)

xylím

x y→ +

no existe, como ya se vio anteriormente.

2.12. DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Las derivadas parciales de funciones de varias variables son una extensión de la

derivada para funciones de una sola variable, en el sentido de que el incremento es en una

sola variable considerando las demás constantes.

Definición 19. Se definen las derivadas parciales de la función z f(x,y)= en el punto

0 0(x , y ) D(f)∈ de la siguiente forma:

Respecto de la variable x:

0 0 0 00 0 h 0

f(x h,y ) f(x ,y )f(x ,y ) lí m

x h→

+ −∂ =∂

,

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES



Respecto de la variable y:

0 0 0 00 0 h 0

f(x ,y h) f(x ,y )f(x ,y ) lí m

y h→

+ −∂ =∂

,

siempre que estos límites existan.

Observación 7. Las siguientes notaciones son equivalentes para las derivadas parciales:

x xf z

, , f , zx x

∂ ∂∂ ∂

(respecto de x);

y yf z

, , f , zy y

∂ ∂∂ ∂

(respecto de y).

Observación 8. A efectos de cálculo se pueden usar las reglas de derivación conocidas para funciones de una sola variable en la siguiente forma: para obtener xf (x,y) se toma y como

constante y recíprocamente para yf (x, y) se toma x como constante.

Ejemplo 35. El volumen V de un gas encerrado en un recipiente elástico es función de su presión P y de su temperatura T, según la ley KT

PV = , en donde K es cierta constante.

V KT P

∂ =∂

y 2

V KTP P

∂ =∂

miden las variaciones del volumen con la temperatura (a presión constante) y del volumen

con la presión (a temperatura constante), de modo respectivo.

Ejemplo 36. Siendo 3x 2yf(x, y) e += , calcule sus primeras derivadas parciales.

Solución.

Se tiene que:

3x 2y 3x 2y 3x 2y 3x 2yx yf (x, y) (e ) 3e , f (x,y) (e ) 2e

x y+ + + +∂ ∂= = = =

∂ ∂.

Observación 9. Las funciones xf (x, y) y yf (x,y) pueden ser derivadas nuevamente,

obteniéndose las derivadas parciales de segundo orden: 2

2

f f,

x xx

∂ ∂ ∂ = ∂ ∂∂ se deriva parcialmente

fx

∂∂

respecto de x.

2

2

f f,

y yy

∂ ∂ ∂= ∂ ∂∂ se deriva parcialmente

fy

∂∂

respecto de y.

2f f,

x y x y ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂

se deriva parcialmente fy

∂∂

respecto de x.

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES



2f f

,x y y x∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

se deriva parcialmente fx

∂∂

respecto de y.

Ejemplo 37. Siendo xyf(x, y) ye= se tiene:

2 xyfy e

x∂ =∂

, xy xy xyfe xye (1 xy)e

y∂ = + = +∂

.

22 xy 3 xy

2

f f(y e ) y e

x x xx

∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂∂ ,

2xy xy xy

2

f f((1 xy)e ) xe (1 xy)xe

y y yy

∂ ∂ ∂ ∂= = + = + + ∂ ∂ ∂∂ .

TEOREMA 5. Sea f una función de dos variables. Si x y xy yxf, f , f , f , f son funciones continuas

en un conjunto abierto entonces xy yxf f= en cualquier punto del dominio.

Ejemplo 38. Sea

2

2 2

3x ysi (x,y) (0,0)

f(x, y) x y0 si (x, y) (0,0)

≠= +

=

.

Pruebe que

a. f(x,y) es continua en (0,0).

Solución. 2 3 2

22 2 2(x,y) (0,0) r 0 r 0

3x y 3r cos ( )sen( )lím lím límr.cos ( )sen( ) 0

x y r→ → →

θ θ= = θ θ =+

.

b. xf (0,0) y yf (0,0) existen.

Solución.

x yh 0 h 0 h 0 h 0

f(h,0) f(0,0) 0 0 f(0,h) f(0,0) 0 0f (0,0) lím lím 0 , f (0,0) lím lím 0

h h h h→ → → →

− − − −= = = = = = .

c. xf (x, y) no es continua en (0,0).

Solución. 2 2 2 2 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3x y 6xy(x y ) 3x y.2x 6x y 6xy 6x y 6xyx x y (x y ) (x y ) (x y )

∂ + − + −= = = ∂ + + + +

.

Por lo tanto

3

2 2 2x

6xysi (x, y) (0,0)

f (x, y) (x y )0 si (x,y) (0,0)

≠= +

=

.

3 4 33 3

2 2 2 4(x,y) (0,0) r 0 r 0

6xy 6r cos( )sen ( )lím lím lím6cos( )sen ( ) 6 cos( )sen ( )

(x y ) r→ → →

θ θ= = θ θ = θ θ+

.

El límite no existe, por lo tanto, xf (x, y) no es continua en (0,0).

DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR GRADIENTE



2.13. DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR GRADIENTE

Definición 20. Sean f una función de dos variables y u 1 2(u ,u )= un vector unitario. Se define

en 0 0(x ,y ) la derivada de f en la dirección u por

u0 0 1 2 0 0 0 1 0 2 0 0

0 0 h 0 h 0

f((x ,y ) h(u ,u )) f(x ,y ) f(x hu ,y hu ) f(x ,y )D f(x ,y ) lí m lí m

h h→ →

+ − + + −= =

siempre que el límite exista. Observe que ahora el incremento es en las dos variables.

Observación 10. Las derivadas parciales fx

∂∂

y fy

∂∂

son casos particulares de derivadas direccionales en la dirección de los vectores i y j

respectivamente.

Ejemplo 39. Dada la función y

f(x,y)x y

=+

,

calcule la derivada de f en el punto (1,2), en la dirección

u1

(1,1)2

= .

Solución.

u

2 h/ 2 231 h/ 2 2 h/ 2

h 0 h 0 h 0

1 1f 1 h ,2 h f(1,2)

1 12 2D f(1,2) lí m lí m lí m .h h 2 9 23 2 3 h

2

++ + +

→ → →

+ + − − − = = = = − +

Definición 21. El vector formado por las derivadas parciales de z f(x,y)= se llama vector

gradiente de f y se denota como f f

f(x, y) (x,y), (x,y)x y

∂ ∂∇ = ∂ ∂ .

Otra forma de calcular la derivada direccional es usando el vector gradiente f∇ de la función z f(x,y)= . Usando el producto escalar y el gradiente se puede expresar la derivada

direccional de la forma siguiente:

u uD f(x,y) f(x,y)= ∇ • .




Existen muchas direcciones en las que se puede calcular la derivada direccional en un punto p(x,y) , de todas ellas una es la dirección de máxima pendiente. Sea α el ángulo entre

los vectores f(x,y)∇ y u en el punto p(x,y) . Como u es un vector unitario se tiene entonces

que

u u uD f(x,y) f(x,y) f(x,y) cos( ) f(x,y) cos( )= ∇ • = ∇ α = ∇ α .

Así, se ve que uD f(x,y) es máxima cuando 0α = , es decir, cuando f(x, y)∇ y u tienen

la misma dirección. Por lo tanto el valor máximo de uD f(x,y) se da en la dirección del

gradiente f(x, y)∇ y su valor máximo es

uD f(x,y) f(x,y)= ∇ .

Mientras que el valor mínimo de uD f(x,y) se da cuando α = π , es decir, en la dirección

del menos gradiente.

Ejemplo 40. Si 7

D f( 1,1)5

− =u cuando u1

(2,1)5

=

y

u4

D f( 1,1)2

− = cuando u1

( 1,1)2

= −

entonces demuestre que f( 1,1)

1x

∂ − =∂

y f( 1,1)

5y

∂ − =∂

.

Solución. Se sabe que u uD f( 1,1) f(1,1)− = ∇ • , de modo que se tiene:

2 1 7(a,b) , 2a b 7

5 5 5

• = ⇒ + =

y 1 1 4

(a,b) , a b 42 2 2

• − = ⇒ − + =

.

Al resolver el sistema 2a b 7a b 4

+ =− + =

,

se tiene a 1, b 5= = .

Ejemplo 41. La temperatura, en grados, en un punto (x,y) de una lámina metálica en el

plano es xyT(x,y) e xy 1= + + .

Encuentre la dirección en la que la temperatura se eleva con mayor rapidez en el punto (1,1)

y calcule la tasa a la que se eleva.




Solución. xy xyT(x,y) (ye y,xe x)∇ = + + , T(1,1) (e 1,e 1)∇ = + + ,

2T(1,1) 2(e 1) 2(e 1)∇ = + = + .

Ejemplo 42. Un cultivo de bacterias ha sido infectado por un contaminante, cuya

concentración, medida con un sistema coordenado xy, está dada por 2C(x,y,z) 2 4sen (x 3y 8xy)= + + + ,

donde x y y miden en centímetros y C en centigramos por litro. Una bacteria b se encuentra

en el punto de coordenadas (0,2). El vector C(0,2) (68sen(12),12sen(12)) 4sen(12)(17,3)∇ = =

da la dirección de movimiento de la bacteria en la cual ésta encontraría la mayor variación de

concentración de contaminante. Para que la bacteria b se puede mover en el cultivo sin tener

cambio en la concentración de contaminante, lo tendrá que hacer sobre una curva de nivel de la función C(x,y) correspondiente al nivel 2C(0,2) 2 4sen (6)= + .

Ejemplo 43. Suponga que la distribución de temperatura dentro de una habitación está dada

por 20.1x 0.4y 0.01zT(x,y,z) 25 0.02e + += +

donde x,y,z se miden a partir de uno de los rincones (dado). A partir de ese rincón (el punto

(0,0,0), se quiere saber en qué dirección aumenta la temperatura con más rapidez. Según ya

se ha visto, la velocidad de variación máxima se encuentra en la dirección del vector

gradiente de T en (0,0,0), es decir, en la dirección del vector T(0,0,0) T(0,0,0) T(0,0,0)

, ,x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Calculando estas derivadas se tiene que 20.1x 0.4y 0.01zT

0.002ex

+ +∂ =∂

, 20.1x 0.4y 0.01zT

0.008ey

+ +∂ =∂

, 20.1x 0.4y 0.01zT

0.0004zez

+ +∂ =∂

.

Evaluando estas derivadas en (0,0,0) se obtiene el vector T(0,0,0) (0.002,0.008,0)∇ =

que marca la dirección de mayor crecimiento de la temperatura partiendo del punto de origen.

TEOREMA 6. Si f(x,y) tiene derivadas parciales continuas en un circulo con centro en 0 0(x , y )

y 00 0f(x ,y )∇ ≠ entonces 0 0f(x , y )∇ es ortogonal a la curva de nivel de f que pasa por

0 0(x , y ) .




TEOREMA 7. Si f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas en 0 0 0(x ,y ,z ) y 00 0 0f(x ,y ,z )∇ ≠ ,

entonces 0 0 0f(x , y ,z )∇ es ortogonal a la superficie de nivel S descrita por f(x,y,z) que pasa

por 0 0 0(x ,y ,z ) .

Ejemplo 44. Sea la función 3 2

2 2

y yxsi (x, y) (0,0)

f(x, y) x y0 si (x, y) (0,0)

− ≠= + =

.

a. Encuentre las derivadas parciales en (0,0).

Solución.

30 h2 2h h

h 0 h 0 h 0 h 0

0 0f f(h,0) f(0,0) f f(0,h) f(0,0)(0,0) lím lím 0 (0,0) lím lím 1

x h h y h h→ → → →

− −∂ − ∂ −= = = = = =∂ ∂

b. ¿Es f continua en (0,0)?

Solución. 3 2 3 3 3 2

3 22 2 2(x,y) (0,0) r 0 r 0 r 0

y yx r sen ( ) r sen( )cos ( )lím lím límr.lím(sen ( ) sen( )cos ( )) 0

x y r→ → → →

− θ − θ θ= = θ − θ θ =+

.

Por tanto f si es continua en (0,0). c. Halle la derivada direccional de f en el punto (0,0) según la dirección u (1,1)

2= .

Solución.

u1 1 1

D f(0,0) .0 .12 2 2

= + = .


13. Si

2 2x yf(x,y)

2xy+= ,

demuestre que y

f 1, f(x, y)x

=

.

Solución. 2 2 2

2 22 2

y x y1

y x yx xf 1, f(x, y).y 2yx 2xy2x x

+++ = = = =



14. Grafique el dominio de 2 2

2 2

16 x y 1f(x,y)

y xx y 1

− −= +

−+ −.

Solución. 2 2 2 216 x y 0 x y 16− − ≥ ⇒ + ≤ , 2 2 2 2x y 1 0 x y 1+ − > ⇒ + > , y x 0 y x− > ⇒ > .

Gráfico del dominio: (ver figura 24)

Figura 24. Representación gráfica del dominio del ejercicio 2

15. Calcule el dominio de x

f(x,y) arcsen xy2 = +

.

Solución.

Sean

1f (x,y) arcsen(x 2)= y 2f (x,y) xy= .

Como 1 2f(x,y) f (x, y) f (x, y)= + entonces 1 2D(f) D(f ) D(f ).= ∩

{ }21D(f ) (x,y) R / 2 x 2 ,= ∈ − ≤ ≤

16. Determine y grafique el dominio de la función 2

2 2

x 4x 2yf(x,y) ln

9x 4y 36x

− − + = + −

.

Solución.



2

2 2

22 2 2

x 4x 2y0

9x 4y 36x

(x 2) y(x 2) 2(y 2) , 9(x 2) 4y 36 1

4 9

− +<

+ −

−− > − − − + < ⇒ + <

Gráfico (ver figura 25)


17. Sea 2 2

2 2

x y 4f(x,y)

x y

− +=+

.

a. Grafique su dominio. (ver figura 26)

Solución. Dom f(x,y) :

2 2

2 2 2 22 2

x y 40 x y 4 0 , (x,y) (0,0) y x 4 , (x,y) (0,0)

x y

− + ≥ ⇒ − + ≥ ≠ ⇒ − ≤ ≠+

b. Describa sus curvas de nivel.

Solución.

Curvas de nivel:

2 2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

x y 4 x y 4k k k (x y ) x y 4

x y x y

(k 1)x (k 1)y 4

− + − += ⇒ = ⇒ + = − ++ +

⇒ − + + =

2 2k 1 0 k 1 k 1− = ⇒ = ⇒ = .

Rectas horizontales y 2 , y 2= = − . 2 2k 1 0 k 1 0 k 1− < ⇒ < ⇒ ≤ < . Hipérbolas. k 1> . Elipses.




18. Describa las curvas de nivel de 2 2

2 2

x yf(x,y)

x y

−=+

.

Solución. 2 2

2 22 2

x yk (k 1)x (k 1)y 0

x y

−= ⇒ − + + =+

2(k 1)(k 1) 0 k 1 0 k 1 k ( 1,1)− + < ⇒ − < ⇒ < ⇒ ∈ − .

Dos rectas secantes y perpendiculares. k 1 x 0= − ⇒ = Eje de las ordenadas. k 1 y 0= ⇒ = Eje de las abscisas

19. Sea la ecuación

2 2 24z 36y 9y 72x 36x 36= − + − − .

a. Identifíquela e indique los cortes con los ejes coordenados.

Solución. 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 22 2 2 2

4z 36y 9y 72x 36x 36 36x 72x 9y 36y 4z 36

36(x 2x 1) 9(y 4y 4) 4z 36 36 36

(y 2) z36(x 1) 9(y 2) 4z 36 (x 1) 1

4 9

= − + − − ⇒ − + − + = −

− + + − + + = − + +

−− + − + = ⇒ − + + =

Elipsoide. Cortes: (0,2,0) y (1,0,0).

b. Dé una parametrización de la curva intersección entre el gráfico de la ecuación anterior y el plano z 3y 3 0− + = .

Solución.



2 2 2 23

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 36 36125 25 5

2622 2 56 16

5 5 16 1620 25

3(y 1) 4y y 8x 4x 4 2(y 1) 4y y 8x 4x 4

4(y 1) 4y y 8x 4x 4 4y 8y 4 4y y 8x 4x 4

4x 8x 5y 12y 8 4(x 2x 1) 5(y y ) 8 4

(y )(x 1)4(x 1) 5(y ) 1

− = ± − + − − ⇒ − = ± − + − −

− = − + − − ⇒ − + = − + − −

− + − = − ⇒ − + + − + = − + +

−−− + − = ⇒ + =

r

6 32 4 125 5 5 55

6 32 4 125 5 5 55

x(t) 1 cos(t) , y(t) sen(t) , z(t) sen(t)

(t) (1 cos(t), sen(t), sen(t)) , 0 t 2

= + = + = +

= + + + ≤ ≤ π

c. Identifique y construya la ecuación de la curva de nivel sobre la cual la función

alcanza el valor de 2.

Solución.

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

5 209 9

16 36y 9y 72x 36x 36 36x 72x 9y 36y 52

36(x 2x 1) 9(y 4y 4) 52 36 36 36(x 1) 9(y 2) 20

(x 1) (y 2)1 elipse

= − + − − ⇒ − + − = −

− + + − + = − + + ⇒ − + − =

− −+ =

20. Sean 2 2 3

2 2 2 2

4x x y 1 xy y yf(x,y) , g(x,y) , h(x,y)

ln(x y ) x 2x y 1x y

− − + −= = =+ − + +−

.

a. Grafique el dominio de la función k(x,y) f(x,y) g(x,y)= + .

Solución. 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

4x x y 0 x 4x 4 y 4

(x 2) y 4

x y 0 , x y 0 , x y 1

− − ≥ ⇒ − + + ≤

⇒ − + ≤

− > + > + ≠

La región dominio no incluye el origen ni las curvas 2 2y x , x y 1= + = . (ver figura

27) b. Calcule (si existe)

(x,y) (1,0)lím h(x,y)

→.

Solución. 3 3

2 2 2 2(x,y) (1,0) (x,y) (1,0)

2 21 2

3 3

2 2 2(x,y) (1,0) y 0 y 0 (x,(x,y) S1

xy y y (x 1)y ylím lím

x 2x y 1 (x 1) y

S :{(x,y) R / x 1} , S :{(x,y) R / y x 1}

(x 1)y y ylím lím lím y 0 , lím

(x 1) y y

→ →

→ → →∈

+ − − +=− + + − +

∈ = ∈ = −

− + = = =− +

2 3

2 2y) (1,0) y 0(x,y) S2

y y 1 y 1lím

2 2y y→ →∈

+ += =+

Por lo tanto 3

2 2(x,y) (1,0)

xy y ylím no existe

x 2x y 1→

+ −− + +

.



Figura 27. Representación gráfica de las curvas de la pregunta 8

21. Si

2

2 4

xyf(x,y)

x y=

+,

demuestre que

(x,y) (0,0)lím f(x,y)

→

no existe.

Solución.

Sea 2 2S :{(x,y) R / x ky }∈ = . Se tiene entonces: 2 4

2 4 2 4 4 2 2(x,y) (0,0) y 0 y 0(x,y) S

xy ky k klím lím lím

x y k y y k 1 k 1→ → →∈

= = =+ + + +

lo que indica que depende del parámetro k por lo tanto el límite no existe.

22. Demuestre que

2 2(x,y) (0,1)

x(y 1)lím

x (y 1)→

−+ −

no existe.

Solución. Caminos: S: haz de rectas: y mx 1= + .

2

2 2 2 2 2 2 2 2(x,y) (0,1) x 0 x 0 x 0(x,y) S

x(y 1) x(mx 1 1) mx m mlím lím lím lím

x (y 1) (mx 1) (mx 1 1) x (mx) 1 m 1 m→ → → →∈

− + −= = = =+ − + + + − + + +

Por lo tanto, el límite no existe.



23. Si 2 2

2 2 2

x yf(x,y)

x y (x y)=

+ −,

demuestre que

(x,y) (0,0)lím f(x,y)

→

no existe.

Solución.

1S : y x= . 2 2 4

2 2 2 4(x,y) (0,0) x 0 x 0(x,y) S1

x y xlím lím lím1 1

x y (x y) x→ → →∈

= = =+ −

.

2S : y 2x= . 2 2 4 2

2 2 2 4 2 2(x,y) (0,0) x 0 x 0(x,y) S2

x y 4x 4xlím lím lím 0

x y (x y) 4x x 4x 1→ → →∈

= = =+ − + +

.

Por tanto, el límite no existe.

24. Sean las superficies f(x,y) xy 2x y 2= − − + y 2 2g(x,y) x y 2x 4y 5= + − − + .

a. Identifique g(x,y) y sus trazas con los planos z 1 y y 0= = .

Solución.

2 2 2 2

2 2 2 2

g(x,y) x y 2x 4y 5 z x y 2x 4y 4 1

z (x 2x 1) (y 4y 4) z (x 1) (y 2)

= + − − + ⇒ = + − − + +

⇒ = − + + − + ⇒ = − + −

La superficie g(x,y) es un paraboloide.

Traza con el plano z 1:= 2 21 (x 1) (y 2)= − + − que corresponde a la ecuación de una circunferencia en el plano

xy. Traza con el plano y 0 :=

2z (x 1) 4= − + que corresponde a la ecuación de una parábola en el plano xz.

b. Discuta la existencia de

(x,y) (1,2)

f(x,y)lím

g(x,y)→.

Solución.

2 2 2 2(x,y) (1,2) (x,y) (1,2) (x,y) (1,2)

2 2(x,y) (1,2)

f(x,y) xy 2x y 2 x(y 2) (y 2)lím lím lím

g(x,y) x y 2x 4y 5 (x 1) (y 2)(x 1)(y 2) 0

lím (indet er minación)0(x 1) (y 2)

→ → →

→

− − + − − −= =+ − − + − + −

− −= =− + −

.

Caminos: S: haz de rectas: y 2 m(x 1) y m(x 1) 2− = − ⇒ = − + .



2

2 2 2 2 2 2(x,y) (1,2) x 1 x 1(x,y) S

2 2x 1

(x 1)(y 2) (x 1)(m(x 1) 2 2) m(x 1)lím lím lím

(x 1) (y 2) (x 1) (m(x 1) 2 2) (m 1)(x 1)

m mlím

m 1 m 1

→ → →∈

→

− − − − + − −= =− + − − + − + − + −

= =+ +

Como el límite depende del parámetro de la familia, el límite no existe.

25. Calcule (si existe)

2 2(x,y) (0,0)

xylím .

x y→ +

Solución. 2

2 2 2 2 2 2 2(x,y) (0,0) r 0 r 0 r 0

xy r cos( )rsen( ) r cos( )sen( )lím lím lím lím cos( )sen( )

x y r cos ( ) r sen ( ) r→ → → →

θ θ θ θ= = = θ θ+ θ + θ

.

Como 12

cos( )sen( ) sen(2 ) 1θ θ = θ ≤ ,

entonces el límite toma valores entre 12− y 1

2 , por lo tanto el límite no existe.

26. Si

2 2x y si x.y 0f(x,y)

0 si x.y 0

+ ≠= =

,

demuestre que f

(0,1) 0.y

∂ =∂

Solución.

h 0 h 0

f f(0,1 h) f(0,1) 0 0(0,1) lím lím 0

y h h→ →

∂ + − −= = =∂

.

27. Sea 3 3

2 2

x ysi (x,y) (0,0)

f(x, y) x y0 si (x,y) (0,0)

− ≠= + =

.

Ver que:

a. f es continua en (0,0).

Solución. 3 3 3 3 3

3 32 2 2(x,y) (0,0) r 0 r 0 r 0

x y r (sen ( ) cos ( ))lím lím límr.lím(sen ( ) cos ( )) 0

x y r→ → → →

− θ − θ= = θ − θ =+

.

b. f f

(0,0) 1 , (0,0) 1x y

∂ ∂= = −∂ ∂

.



Solución.

h 0 h 0

f f(h,0) f(0,0) h 0(0,0) lím lím 1

x h h→ →

∂ − −= = =∂

h 0 h 0

f f(0,h) f(0,0) h 0(0,0) lím lím 1

y h h→ →

∂ − − −= = = −∂

c. Calcule la derivada direccional en (0,0) en la dirección del vector x y(z (1,1),z (1,1)) .

Solución. 3 3 2 2 2 3 3 4 2 2 4 3

2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 3

2 2 2

3 3 2 2 2 3 3 4 2 2 4 3

2 2 2 2 2 2 2 2

x y 3x (x y ) 2x(x y ) 3x 3x y 2x 2xyx x y (x y ) (x y )

x 3x y 2xy

(x y )

x y 3y (x y ) 2y(x y ) 3y 3x y 2y 2yxy x y (x y ) (x y )

∂ − + − − + − += = ∂ + + +

+ +=+

∂ − − + − − − − + −= = ∂ + + +

4 2 2 3

2 2 2

y 3x y 2yx

(x y )

+ += −+

x y x y2 2

1 3 2 6 3 1 3 2 6 3 3z (1,1) , z (1,1) , z (1,1),z (1,1) 2

4 2 4 2 2(1 1) (1 1)

+ + + += = = = − = − = − =+ +

Por lo tanto 2 3 3 2 3 3 2.3

D (0,0) z(0,0) (1, 1) , 22 2 2 23 2 3 2 3 2

= ∇ • = − • − = + = =

u u .

28. Si x y

u xy z

−= +−

,

demuestre que u u u

1.x y z

∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂

Solución.

2 2 2 2

u 1 u z x u x y 1 z x x y1 , , , 1 1.

x y z y z y z(y z) (y z) (y z) (y z)

∂ ∂ − ∂ − − −= + = = + + + =∂ − ∂ ∂ −− − − −

29. Verifique que 2 2 2f(x,y,z) x y y z z x= + + satisface la ecuación dada por

xx yy zzf f f 2(x y z)+ + = + + .

Solución. xx yy zzf 2y , f 2z , f 2x= = = . Se tiene que xx yy zzf f f 2(x y z)+ + = + + .



30. Suponga que, en cierta región del espacio, el potencial eléctrico V está dado por la función 2V(x,y,z) 5x 3xy xyz= − + .

a. Encuentre la razón de cambio del potencial en P(3,4,5), en la dirección del vector (1,1, 1)= −v .

Solución. V(x,y,z) (10x 3y yz, 3x xz,xy)∇ = − + − + , V(3,4,5) (38,6,12)∇ =

3213 3

D f(3,4,5) (38,6,12) (1,1, 1)= • − =v .

b. ¿Cuál es la mayor razón de cambio en P?

Solución.

uD f(3,4,5) f(3,4,5) 1624 2 406= ∇ = = .

31. Indique la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación, justificando su respuesta: Si f(x, y) g(x,y)∇ = ∇ entonces f(x,y) y g(x,y) son funciones iguales.

Solución.

Contraejemplo: Sean 2 2 2 2f(x, y) x y 1 , g(x,y) x y 2= + + = + + .

Se tiene que f(x, y) g(x,y) (2x,2y)∇ = ∇ = y sin embargo f y g no son iguales. Por lo tanto

es falsa.

32. La elevación de una colina sobre el nivel del mar en el punto de coordenadas (x,y) viene dada por la función 2 2H(x,y) 100 x y= − − . Un alpinista está situado en el punto ( 1,1,98).−

a. ¿En cuál dirección debe moverse si desea mantener la misma altura?

Solución. H(x,y) ( 2x, 2y)∇ = − − . Vector perpendicular (2y, 2x)− Dirección (2,2).

b. Dé la ecuación de la curva que debe recorrer en coordenadas cartesianas.

Solución. 2 2x y 2.+ =

c. ¿Cuál dirección debe tomar para ir por la ladera de mayor pendiente. Indique el valor

de la pendiente?

Solución. Dirección del gradiente: (2, 2)− . Valor de la pendiente: 2 2 .

33. Determine la derivada direccional de la función dada por xy

4 2

f(x, y) ln cos(2t ) dtπ= +∫



en el punto (1,0) y en la dirección de la recta tangente a la curva C : x(t) cos(t) , y(t) sen(t) , t 0,2= = ∈ π .

Solución.

u uD f(1,0) f(1,0)= ∇ • .

Cálculo de u. Sea r(t) (cos(t),sen(t))= , entonces r '(t) ( sen(t), cos(t))= − . Se tiene que u r '(0) (0,1)= = .

En consecuencia u yD f(1,0) f (1,0)= .

Cálculo de yf (1,0) .

xy

2y y 2

2

f(x,y) g(t)dt G(xy) G(2) f (x,y) xG'(xy) f (1,0) G'(0) ln( )= = − ⇒ = ⇒ = =∫ .

2.15. PLANO TANGENTE

Suponga que una superficie S tiene ecuación z f(x,y)= , donde f tiene derivadas

parciales de primer orden, y sea 0 0 0P(x ,y ,z ) un punto en S. Sean 1C y 2C las curvas

obtenidas en la intersección de los planos verticales 0y y= y 0x x= con la superficie S.

Entonces el punto P se encuentra en 1C y 2C . Sean 1T y 2T las rectas tangentes a las curvas

1C y 2C en el punto P. Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto P es el plano

que contiene las rectas tangentes 1T y 2T .

El plano tangente en P es el plano que se aproxima más a la superficie S en el punto P. Se sabe del tema 1 que cualquier plano que pase por el punto 0 0 0P(x ,y ,z ) tiene una ecuación

de la forma

0 0 0A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0− + − + − = .

Al dividir esta ecuación entre C y hacer a A /C= − y b B /C= − , se puede escribir como 0 0 0z z a(x x ) b(y y )− = − + − (*)

Si la ecuación (*) representa el plano tangente en P, entonces su intersección con el plano 0y y= debe ser la recta tangente 1T . Al hacer 0y y= en la ecuación (*) resulta

0 0z z a(x x )− = − , 0y y= y se reconoce esta ecuación como la de una recta con pendiente a,

sabiendo que cursos anteriores que 0a f '(x )= si z f(x)= , para el caso de z f(x,y)= se tiene

x 0 0a f (x , y )= . Del mismo modo, si se pone 0x x= en la ecuación (*), se obtiene

0 0z z b(y y )− = − , que debe representar la recta tangente 2T , de modo que y 0 0b f (x ,y )= .

PLANO TANGENTE Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 192 de 305


Definición 22. Suponga que f tiene derivadas parciales continuas. La ecuación del plano tangente a la superficie z f(x,y)= en el punto 0 0 0P(x ,y ,z ) es la ecuación dada por

0 x 0 0 0 y 0 0 0z z f (x ,y )(x x ) f (x ,y )(y y )− = − + − .

Observación 11. Si f(x,y,z) 0= representa la superficie de nivel cero del funcional dado por

w f(x,y,z)= , entonces la ecuación del plano tangente a esa superficie en el punto

0 0 0P(x ,y ,z ) es

x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0f (x ,y )(x x ) f (x ,y )(y y ) f (x ,y )(z z ) 0− + − + − = .

Definición 23. La recta que pasa por el punto 0 0 0P(x ,y ,z ) y cuyo vector director es

0 0 0f(x ,y ,z )∇ se llama recta normal a la superficie en el punto 0 0 0P(x ,y ,z ) .

Ejemplo 45. Halle la ecuación del plano tangente a la superficie de nivel de ecuación 2 2x 2xy yz 3z 7+ − + = en el punto (1,1,-1) y la recta normal en ese punto.

Solución.

El vector gradiente de la superficie es f (2x 2y,2x z,6z y)∇ = + − −

y el vector normal a la superficie en (1,1,-1) es f(1,1, 1) (4,3, 7)∇ − = − . Por lo tanto la ecuación

del plano tangente es 4(x 1) 3(y 1) 7(z 1) 0− + − − + =

y la ecuación de la recta normal en forma vectorial es r (t) (1,1, 1) t(4,3, 7) t R= − + − ∈ .

Ejemplo 46. Halle la ecuación de la recta tangente y el plano normal a la curva intersección de las superficies 2 2 2x 4y 2z 27+ + = (Elipsoide) y 2 2 2x y 2z 11+ − = (Hiperboloide) en el

punto (3,-2,1).

Solución.

Sean 2 2 2

1F x 4y 2z 27= + + − y 2 2 22F x y 2z 11= + − −

entonces se tiene que 1 2F (2x,8y,4z) y F (2x,2y, 4z)∇ = ∇ = − .

En el punto (3,-2,1) en particular se obtiene que 1 2F (6, 16,4) y F (6, 4, 4)∇ = − ∇ = − − . Como

1F∇ y 2F∇ son ortogonales a la curva intersección en el punto (3,-2,1) entonces el producto

1 2F F∇ × ∇ es tangente a la curva en el mismo punto. Calculando se tiene que

1 2F F 8(10,6,9)∇ × ∇ = , luego la ecuación de la recta tangente es

r (t) (3, 2,1) t(10,6,9) t R= − + ∈

y la ecuación del plano normal viene dada por 10(x 3) 6(y 2) 9(z 1) 0− + + + − = .

DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES



2.16. DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Definición 24. La función lineal dada por

x yL(x,y) f(a,b) f (a,b)(x a) f (a,b)(y b)= + − + −

se denomina linealización de f en (a,b) y la aproximación dada por la expresión x yf(x, y) f(a,b) f (a,b)(x a) f (a,b)(y b)≈ + − + −

se llama aproximación lineal o aproximación de plano tangente de f en (a,b).

Se debe enfrentar el hecho de que, con todo, hay algunas funciones extrañas para las

que la aproximación lineal es muy deficiente. La función dada por

xy

2 2x y(x,y) (0,0)

f(x,y)0 (x,y) (0,0)+

≠= =

es función para la cual sus derivadas parciales existen en el origen y, en realidad, xf (0,0) 0=

y yf (0,0) 0= . La aproximación lineal sería f(x,y) 0≈ , pero 12f(x, y) = en todos los puntos en

la recta y x= . Por tanto, una función de dos variables se puede comportar bastante mal aún

cuando existan sus dos derivadas parciales. Para excluir tal comportamiento, se formula la

idea de función diferenciable de dos variables.

Se recordará que para una función de una variable, y f(x)= , si x cambia de a a a x+ ∆ ,

se define el incremento de y como y f(a x) f(a)∆ = + ∆ − . También se recordará que si f es

diferencialbe en a, entonces y f '(a) x x∆ = ∆ + ε∆ donde 0ε → cuando x 0∆ → . Ahora considere

una función de dos variables, z f(x,y)= , y suponga que x cambia de a a a x+ ∆ y y cambia de

b a b y+ ∆ . Entonces el correspondiente incremento de z es z f(a x,b y) f(a,b)∆ = + ∆ + ∆ − .

Entonces el incremento z∆ representa el cambio en el valor de f cuando (x,y) cambia de (a,b) a (a x,b y)+ ∆ + ∆ . Por analogía con respecto a las funciones de una sola variables se define la

diferenciabilidad de una función de dos variables como sigue:

Definición 25. Si z f(x,y)= , entonces f es diferenciable en (a,b) si z∆ se puede expresar

en la forma x y 1 2z f (a,b) x f (a,b) y x y∆ = ∆ + ∆ + ε ∆ + ε ∆

donde 1 0ε → y 2 0ε → cuando ( x, y) (0,0)∆ ∆ → .

DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES



La definición anterior dice que una función diferenciable es aquella para la que la

aproximación lineal es una buena aproximación cuando (x,y) está cerca de (a,b). En otras

palabras, el plano tangente aproxima bien la gráfica de f cerca del punto de tangencia. A

veces es difícil emplear la definición anterior directamente para verificar diferenciabilidad de

una función, pero el siguiente teorema constituye una condición suficiente, fácil de

comprobar, para la diferenciabilidad.

TEOREMA 8. Si las derivadas parciales xf y yf existen cerca de (a,b) y son continuas en

(a,b), entonces f es diferenciable en (a,b).

Ejemplo 47. Demuestre que xyf(x, y) xe= es diferenciable en (1,0) y encuentre su

linealización en ese punto. Luego, utilícela para aproximar f(1.1, 0.1)− .

Solución.

Las derivadas parciales son xy xy

xf (x,y) e xye= + , 2 xyyf (x,y) x e= , xf (1,0) 1= , yf (1,0) 1= .

Tanto xf como yf son funciones continuas, de modo que f es diferenciable por el teorema 8.

La linealización es

x yL(x,y) f(1,0) f (1,0)(x 1) f (1,0)(y 0) 1 1(x 1) 1.y x y= + − + − = + − + = + .

La correspondiente aproximación lineal es xyxe x y≈ + , así que f(1.1, 0.1) 1− ≈ . Compare esto

con el valor real de 0.11f(1.1, 0.1) 1.1e 0.98542−− = ≈ .

2.17. DIFERENCIAL TOTAL

Para una función de una variable, y f(x)= , se definió el diferencial dx como una

variable independiente, es decir, dx puede tomar el valor de cualquier número real. El diferencial de y se define entonces como dy f '(x)dx= . y∆ representa el cambio en altura de

la curva y f(x)= y dy representa el cambio en altura de la recta tangente cuando x cambia en

una cantidad dx x= ∆ .

Para una función de dos variables, z f(x,y)= , se definen los diferenciales dx y dy como

variables independientes, es decir, pueden tomar cualesquiera de los valores dados. Entonces

el diferencial dz, que también se llama diferencial total, está definido por

x yz z

dz f (x,y)dx f (x,y)dy dx dyx y

∂ ∂= + = +∂ ∂

(*)

DIFERENCIAL TOTAL Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 195 de 305


Si se toma dx x x a= ∆ = − y dy y y b= ∆ = − en (*), entonces el diferencial de z es

x ydz f (a,b)(x a) f (a,b)(y b)= − + − .

Por tanto, en la notación de diferenciales, la aproximación lineal se escribe como f(x, y) f(a,b) dz≈ + .

Ejemplo 48. Si 2 2z f(x,y) x 3xy y= = + − , encuentre el diferencial dz. Si x cambia de 2 a 2.05

y y cambia de 3 a 2.96, compare los valores de z∆ y dz.

Solución. x ydz z dx z dy (2x 3y)dx (3x 2y)dy= + = + + − .

Si se hace x 2= , dx x 0.05= ∆ = , y 3= y dy y 0.04= ∆ = − ,

se obtiene dz 2(2) 3(3) 0.05 3(2) 2(3) ( 0.04) 0.65= + + − − = .

El incremento de z es 2 2 2 2z f(2.05,2.96) f(2,3) (2.05) 3(2.05)(2.96) (2.96) 2 3(2)(3) 3 0.6449 ∆ = − = + − − + − =

Note que z dz∆ ≈ pero dz es más fácil de calcular.

Ejemplo 49. El radio de la base y la altura de un cono circular recto son 10 cm y 25 cm,

respectivamente, con un posible error en medición de hasta 0.1 cm en cada uno. Utilice

diferenciales para estimar el máximo error en el volumen calculado del cono.

Solución.

El volumen V de un cono con radio r de la base y altura h es 2V r h /3= π , por tanto, el

diferencial de v es 2

r h2 rh r

dV V dr V dh dr dh3 3π π= + = + .

Como este error es, a lo más 0.1 cm, se tiene r 0.1∆ ≤ , h 0.1∆ ≤ . Para hallar el error

máximo del volumen se toma el máximo error en la medición de r y de h. En consecuencia, se toma dr 0.1= y dh 0.1= junto con r 10= , h 25= . Esto da

500 100dV (0.1) (0.1) 20

3 3π π= + = π .

Por tanto, el máximo error en el volumen calculado es alrededor de 3 320 cm 63 cmπ ≈ .

REGLA DE LA CADENA Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 196 de 305


2.18. REGLA DE LA CADENA

Se recordará que la regla de la cadena para funciones de una sola variable da la regla para derivar una función compuesta: Si y f(x)= y x g(t)= , donde f y g son funciones

diferenciales, entonces y es indirectamente una función diferencial de t y dy dy dxdt dx dt

= .

Para funciones de más de una variable la regla de la cadena tiene varias versiones que

dan la regla de diferenciación de la composición de funciones para diferentes casos. La primera versión se aplica cuando z f(x,y)= y cada una de las variables x y y son a su vez

funciones de una variable t. Eso significa que z es indirectamente una función de t, z f(g(t),h(t))= , y la regla de la cadena da la fórmula para diferenciar z como función de t. Se

asume que f es diferenciable. Se recordará que es el caso cuando xf y yf son continuas.

TEOREMA 9. Suponga que z f(x,y)= es una función diferencial de x y y, donde x g(t)= y

y h(t)= son funciones diferenciales de t. Entonces z es una función diferencial de t y

dz f dx f dydt x dt y dt

∂ ∂= +∂ ∂

.

Ejemplo 50. Sean 2y 2wz z= + , donde xw e= y z cos(x)= . Halle dy/dx.

Solución.

x x x

x x

dy y dw y dz. . 2z.e (2w 2z).sen(x) 2cos(x).e 2(e cos(x)).sen(x)

dx w dx z dx

2e cos(x) 2e sen(x) 2sen(x)cos(x)

∂ ∂= + = − + = − +∂ ∂

= − −

Ahora se considera el caso en el que z f(x,y)= , pero tanto x como y es una función de

dos variables s y t: x g(s, t)= , y h(s, t)= . Entonces z es indirectamente una función de s y t y

se desea hallar zs

∂∂

y zt

∂∂

.

Se recordará que al calcular zt

∂∂

se conserva s fija y se calcula la derivada ordinaria de z con respecto a t. por tanto, se aplica

el teorema 9 y se obtiene



z z x z yt x t y t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Para zs

∂∂

se cumple un argumento semejante y, por tanto, se ha demostrado la siguiente versión de la

regla de la cadena.

TEOREMA 10. Suponga que z f(x,y)= es una función diferenciable de x y y, donde x g(s, t)=

y y h(s, t)= son funciones diferenciables de s y t. Entonces

z z x z ys x s y s

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, z z x z yt x t y t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Ejemplo 51. Sea z f(x,y) arctg(xy)= = , con 2 2x u v= + y 2 2y u v= − . Halle zu

∂∂

y zv

∂∂

.

Solución.

2

f yx 1 (xy)

∂ =∂ +

, 2

f xy 1 (xy)

∂ =∂ +

, x

2uu

∂ =∂

, y

2uu

∂ =∂

, x

2vv

∂ =∂

, y

2vv

∂ = −∂

.

2 3

2 2 4 4 2 4 4 2

z y y 2u.2u 4u.2u .2u

u 1 (xy) 1 (xy) 1 (u v ) 1 (u v )

∂ = + = =∂ + + + − + −

2 3

2 2 4 4 2 4 4 2

z y y 2v.2v 4v.2v .2v

v 1 (xy) 1 (xy) 1 (u v ) 1 (u v )

∂ = − = − = −∂ + + + − + −

.

Ejemplo 52. Si 2 2 2 2g(s, t) f(s t , t s )= − − y f es diferenciable, demuestre que la función g

satisface la ecuación g g

t s 0s t

∂ ∂+ =∂ ∂

.

Solución. Sea 2 2 2 2x s t , y t s= − = − . Entonces g(s, t) f(x,y)= y la regla de la cadena da

g f x f y f f(2s) ( 2s)

s x s y s x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, g f x f y f f

( 2t) (2t)t x t y t x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Por tanto se tiene g g f f f f

t s 2st 2st 2st 2st 0s t x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − + − + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ .



Ahora se considera la situación general en la que una variable dependiente u es una función de n variables intermedias 1 nx ,..., x , cada una de las cuales es, a su vez, una función

de m variables independientes 1 mt ,..., t . Note que hay n términos, uno por cada variable

intermedia.

TEOREMA 11. Suponga que u es una función diferenciable de las n variables 1 2 nx ,x ,...,x y

cada jx es una función diferenciable de las m variables 1 2 mt , t ,..., t . Entonces u es una

función de 1 2 mt , t ,..., t y

1 2 n

i 1 i 2 i n i

x x xu u u u...

t x t x t x t∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

para cada i 1,2,...,m= .

Observación 11. Si z f(x,y)= tiene derivadas parciales continuas de segundo orden y

x x(u,v)= y y y(u,v)= se tiene entonces

z f x f y. .

u x u y u∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, z f x f y

. .v x v y v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

y

2

2

z z f x f y f x f y. . . .

u u u x u y u u x u u y uu

f x x f f y y f. . . .

u x u u u x u y u u u y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2

2

f x f y x x f. . . .

x x u y x u u u u x

f x f y y y f. . . .

x y u y y u u u u y

f x f. .

u x yx

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂∂

2 2 2 2

2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

y x x f f x f y y y f. . . . . .

u u x y x u u u yu y u

f x f y x x f f x y f y y f. . . . . . . .

u x y u u x y x u u u yx u y u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

2

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

z z f x f y f x f y. . . .

v v v x v y v v x v v y vv

f x f y x x f f x f y y y. . . . . . .

v x y v v x y x v v vx v y v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

2

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

f.

y

f x f y x x f f x y f y y f. . . . . . . .

v x y v v x y x v v v yx v y v

∂∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂



Ejemplo 53. Sean 2u 3xy 4y= − , rx 2se= , sy re−= . Calcule 2

2

u

r

∂∂

utilizando la regla de la cadena.

Solución.

Se tiene que

2

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

u u u x u y u x u y. . . .

r r r x r y r r x r r y rr

u x u y x x u u x u y y y. . . . . . .

r x y r r x y x r r rx r y r

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ 2

u.

y∂∂

2r s

2

2 2 2 2 2r

2 2 2

u x u y u3y , 2se , 3x 8y , e , 0 ,

x r y r x

u x u u y3 , 2se , 3 , 8 , 0

x y y xr y r

−∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = − = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = − =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

2r s r r r s s

2

2r s r r s 2s r s s r 2s

2

r s r s 2s r s 2s

u(0.2se 3e ).2se 2se .3y (3.2se 8e ).e 0.(3x 8y)

r

u6se 6yse 6se 8e 12se 6re se 8e

r

12se 6rse 8e 6se (2 r) 8e

− − −

− − − − − −

− − − − −

∂ = + + + − + −∂∂ = + + − = + −∂

= + − = + −

Ejemplo 54. Sea 2 2u f(x 2yz,y 2xz)= + + . Pruebe que

2 2 2u u u(y zx) (x yz) (z xy) 0

x y z∂ ∂ ∂− + − + − =∂ ∂ ∂

.

Solución. Sean 2 2v x 2yz , w y 2xz= + = + . Se tiene:

u u v u w u u. . .2x .2z

x v x w x v w∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, u u v u w u u

. . .2z .2yy v y w y v w

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

u u v u w u u. . .2y .2x

z v z w z v w∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Sustituyendo:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

u u u u u u(y zx) .2x .2z (x yz) .2z .2y (z xy) .2y .2x 0

v w v w v w

u u u u u u u u.2xy .2x z .2zy .2z x .2zx .2z y .2yx .2y z

v v w w v v w wu u u u

.2yz .2y x .2z xv v w

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − + + − + + − + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + − + − + − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂− + −∂ ∂ ∂

2.2x y 0w

=∂

DERIVACIÓN IMPLÍCITA Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 200 de 305


2.19. DERIVACIÓN IMPLÍCITA

La regla de la cadena puede ser usada para dar una descripción en detalle del proceso de derivación implícita. Se supone que una ecuación de la forma F(x,y) 0= define a y

implícitamente como una función diferenciable de x, es decir, y f(x)= , donde F(x, f(x)) 0=

para toda x en el dominio de f. Si F es diferenciable, se aplica el teorema 9 de la regla de la cadena para derivar ambos lados de la ecuación F(x,y) 0= con respecto a x.

Como x y y son funciones de x, se obtiene F dx F dy

0x dx y dx

∂ ∂+ =∂ ∂

.

Pero dx / dx 1= , de modo que si F / y 0∂ ∂ ≠ , despejando dy/dx se obtiene:

x

y

Fdy F / xdx F / y F

∂ ∂= − = −∂ ∂

(1)

Para derivar esta ecuación se supone que F(x,y) 0= define a y implícitamente como

función de x. El teorema de la función implícita, demostrado en cálculo avanzado, da

condiciones bajo las cuales esta suposición es válida. Expresa que si F está definida en un disco que contiene (a,b), donde F(a,b) 0= , yF (a,b) 0≠ , y xF y yF son continuas en el disco,

entonces la ecuación F(x,y) 0= define y como función de x cerca del punto (a,b) y la

derivada de esta función está dada por la ecuación (1).

Ejemplo 55. Encuentre y’ si 3 3x y 6xy+ = .

Solución. La ecuación dada se puede escribir como 3 3F(x,y) x y 6xy 0= + − = , por lo cual la ecuación (1)

da 2 2

x2 2

y

Fdy 3x 6y x 2ydx F 3y 6x y 2x

− −= − = − = −− −

.

Ahora se supone que z está dada implícitamente como una función z f(x,y)= por una

ecuación de la forma F(x,y,z) 0= . Esto significa que F(x,y, f(x,y)) 0= para toda (x,y) en el

dominio de f. Si F y f son diferenciales, entonces se puede usar la regla de la cadena para derivar la ecuación F(x,y,z) 0= como sigue:

F x F y F z0

x x y x z x∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

DERIVACIÓN IMPLÍCITA Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 201 de 305


Pero

(x) 1x∂ =

∂ y (y) 0

x∂ =

∂,

de modo que esta ecuación se convierte en

F F z

0x z x

∂ ∂ ∂+ =∂ ∂ ∂

.

Si F / z 0∂ ∂ ≠ , se despeja z / x∂ ∂ y se obtiene la primera fórmula en las ecuaciones (2). La fórmula para z / y∂ ∂ se obtiene de modo semejante.

z F / x z F / y

,x F / z y F / z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2)

De nuevo, una versión del teorema de la función implícita da condiciones bajo las

cuales la suposición es válida. Si F está definida dentro de una esfera que contiene (a,b,c), donde F(a,b,c) 0= , zF (a,b,c) 0≠ , y xF , yF y zF son continuas dentro de la esfera, entonces la

ecuación F(x,y,z) 0= define z como función de x e y cerca del punto (a,b,c) y las derivadas

parciales de esta función están dadas por (2).

Ejemplo 56. Calcule

z z

,x y

∂ ∂∂ ∂

si 3 2 24z 3xz xyz 2xy 7 0+ − − + = .

Solución.

Sea 3 2 2F(x,y,z) 4z 3xz xyz 2xy 7= + − − +

entonces

2 2 2F F F3z yz 2y , xz 4xy , 12z 6xz xy

x y z∂ ∂ ∂= − − = − − = + −∂ ∂ ∂

,

Luego

2 2

2 2

z 3z yz 2y z xz 4xy,

x y12z 6xz xy 12z 6xz xy

∂ − − ∂ += − =∂ ∂+ − + −

.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES



2.20. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

TEOREMA 12. Suponga que z f(x,y)= es una función continua en el dominio R, entonces f

alcanza un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el dominio R.

La función z f(x,y)= puede alcanzar su máximo o mínimo absoluto en un punto

interior de R o en un punto que está en la frontera de R. Si (a,b) es un punto interior

entonces:

Definición 26. Se dice que f(a,b) es un valor máximo local de f si existe un disco circular con centro en (a,b) tal que f está definida en el disco y f(x, y) f(a,b)≤ para todo (x,y) en el

disco.

Definición 27. Se dice que f(a,b) es un valor mínimo local de f si existe un disco circular con centro en (a,b) tal que f está definida en el disco y f(x,y) f(a,b)≥ para todo (x,y) en el

disco.

TEOREMA 13. Si z f(x,y)= tiene un extremo local (máximo o mínimo) en (a,b) y

f(a,b)

x∂∂

, f

(a,b)x

∂∂

existen, entonces f f

(a,b) (a,b) 0x y

∂ ∂= =∂ ∂

.

Observación 12. Un punto (a,b) donde f f

0x y

∂ ∂= =∂ ∂

puede corresponder a un mínimo local o a un máximo local o a ninguno de los dos. Así, la

condición del teorema es necesaria pero no suficiente.

Definición 28. Un punto (a,b) interior de R en el que f f

(a,b) (a,b) 0x y

∂ ∂= =∂ ∂

ó f

(a,b)x

∂∂

o f

(a,b)y

∂∂

no existe

se llama punto crítico.




TEOREMA 14. Suponga que z f(x,y)= tiene un punto crítico en (a,b) y que f tiene derivadas

parciales de segundo orden continuas en un disco con centro en (a,b). Sean

2 2 2

22 2

f f fA (a,b) , B (a,b) , C (a,b) , D AC B

x yx y

∂ ∂ ∂= = = = −∂ ∂∂ ∂

.

Entonces se verifica que:

a. f alcanza un máximo local en (a,b) si D 0> y A 0< .

b. f alcanza un mínimo local en (a,b) si D 0> y A 0> .

c. f tiene un punto de ensilladura en (a,b) si D 0< .

d. Si D 0= el criterio no concluye nada.

Ejemplo 57. Halle los puntos críticos de la función 3 3 2 2f(x, y) x y 3x 18y 81y= + + − +

y clasifíquelos.

Solución.

Se tiene que

2

22

f3x 6x 0 x(x 2) 0x

f y 12y 27 03y 36y 81 0y

∂ = + = + =∂ ⇒∂ − + == − + =

∂

.

De la primera ecuación se obtiene x 0, x 2= = − y de la segunda y 3,= y 9= , por lo tanto los

puntos críticos son (0,3), (0,9), (-2,3), (-2,9). Para clasificar los puntos extremos se tiene: 2

2 2

2 2

f f f6x 6, 0, 6y 36

x yx y

∂ ∂ ∂= + = = −∂ ∂∂ ∂

y con la siguiente tabla se clasifican los puntos.

Pto Crítico A B C D Tipo de punto

(0,3) 6 0 -18 -108 Ensilladura

(0,9) 6 0 18 108 Mínimo

(-2,3) -6 0 -18 108 Máximo

(-2,9) -6 0 18 -108 Ensilladura

Ejemplo 58. Halle los puntos críticos de 3 3 2f(x, y) x y 3y 3x 9y 2= + + − − +

e indique su naturaleza.

Solución.




2

2

3x 3 0 x 1 , x 1y 3 , y 13y 6y 9 0

− = = = −⇒ = − =+ − =

.

Puntos críticos: (1, 3) , (1,1) , ( 1, 3) , ( 1,1)− − − −

Sean:

2 2 2

22 2

f f fA (a,b) , B (a,b) , C (a,b) , D AC B

x yx y

∂ ∂ ∂= = = = −∂ ∂∂ ∂

.

Entonces

2 2 2

2 2

f f f6x , 0 , 6y 6

x yx y

∂ ∂ ∂= = = +∂ ∂∂ ∂

y con la siguiente tabla se clasifican los puntos:

Pto

Crítico

A B C D Tipo de punto

(1,-3) 6 0 -12 -72 Ensilladura

(1,1) 6 0 12 72 Mínimo

(-1,-3) -6 0 -12 72 Máximo

(-1,1) -6 0 12 -72 Ensilladura

2.21. OPTIMIZACIÓN SUJETA A RESTRICCIONES

Muchas veces se necesita encontrar los valores extremos de una función sobre algún

conjunto geométrico descrito mediante una ecuación (restricción), como por ejemplo los

valores extremos de una función sobre una recta, una esfera, o bien sobre una curva

intersección entre dos superficies. Para estos problemas de optimización se usa el método de

los multiplicadores de Lagrange, debido al matemático francés Joseph Louis Lagrange (1736-

1813).

TEOREMA 15 (TEOREMA DE LAGRANGE). Sean f y g funciones de dos variables con

derivadas parciales de primer orden continuas en un conjunto abierto que contenga la curva g(x,y) 0= (restricción) y suponga que 0g∇ ≠ en cualquier punto de la curva. Si f tiene un

extremo relativo sobre la curva g(x,y) 0= , entonces este extremo ocurre en un punto 0 0(x ,y )

en el que los gradientes 0 0f(x , y )∇ y 0 0g(x ,y )∇ son paralelos, es decir 0 0 0 0f(x ,y ) g(x , y )∇ = λ∇

para algún Rλ ∈ , donde λ recibe el nombre de multiplicador de Lagrange.

OPTIMIZACIÓN SUJETA A RESTRICCIONES



Ejemplo 59. ¿En qué punto de la curva 2 2x y 1+ = la suma x y+ es máxima?

Solución. Se quiere maximizar la función f(x,y) x y= + con la condición de que el punto (x,y) esté

sobre la curva 2 2g(x,y) x y 1 0= + − = (restricción). f g,∇ = λ∇ o sea (1,1) (2x,2y),= λ esta

ecuación vectorial y la restricción dan lugar al sistema:

2 2

1 2 x 01 1 1 1

1 2 y 0 (x,y) , ; ,2 2 2 2

x y 1

− λ = − λ = ⇒ = − − + =

.

Calculando la suma f(x,y) x y= + en cada uno de ellos:

1 1 2f ,

2 2 2

=

(valor máximo) 1 1 2

f ,2 2 2

− − = −

(valor mínimo)

Ejemplo 60. Determine los puntos (x,y,z) del elipsoide 2 2 22x 4y 5z 70+ + = de modo que la

suma de su primera y tercera coordenada sea la mayor y la menor posible.

Solución. Planteamiento: 2 2 2optimizar x z sujeto a 2x 4y 5z 70+ + + = .

Utilizando los multiplicadores de Lagrange se tiene que:

2 2 2

1 4λx0 8λy 5

y 0 , x z1 10λz 2

2x 4y 5z 70

= =

⇒ = = = + + =

.

Por lo tanto los puntos encontrados son:

1P (5,0,2) . Al evaluarlo en el funcional se tiene f(5,0,2) 7= . Valor máximo.

1P ( 5,0, 2)− − . Al evaluarlo en el funcional se tiene f( 5,0, 2) 7− − = − . Valor mínimo.

Suponga ahora que se quiere hallar los valores máximo y mínimo de f(x,y,z) sujetos a dos restricciones (condiciones) de la forma g(x,y,z) k= y h(x,y,z) c= . Geométricamente,

esto significa que se está buscando los valores extremos de f cuando (x,y,z) está sobre la curva intersección de las superficies de nivel g(x,y,z) k= y h(x,y,z) c= . Se puede demostrar

que si un valor extremo se presenta en 0 0 0(x ,y ,z ) entonces el vector gradiente 0 0 0f(x ,y ,z )∇

está en el plano determinado por 0 0 0g(x ,y ,z )∇ y 0 0 0h(x ,y ,z )∇ (Se supone que estos

gradientes no son nulos ni paralelos). Por tanto, hay números λ y µ (llamados

multiplicadores de Lagrange) tales que

0 0 0 0 0 0 0 0 0f(x ,y , z ) g(x , y ,z ) h(x , y ,z )∇ = λ∇ + µ∇ .




Ejemplo 61. Para la curva en el espacio definida por la intersección de la esfera

2 2 2x y z 4+ + = y del plano x z 1+ = , calcule los puntos de mayor y menor altura.

Solución. Se debe optimizar la función f(x,y,z) z= sujeta a las restricciones

2 2 2g(x,y,z) x y z 4 0 y h(x,y,z) x z 1 0.= + + − = = + − =

De la ecuación vectorial f(x,y,z) g(x,y,z) h(x, y,z)∇ = λ∇ + β∇ y de las condiciones resulta el

sistema:

2 2 2

0 2 x0 2 y

1 2 z

x y z 4x z 1

= λ + β = λ = λ + β + + = + =

.

De la solución del sistema y evaluando en la función a optimizar se desprende que los puntos

críticos

1 7 1 7,0,

2 2

+ −

y 1 7 1 7

,0,2 2

− +

son el de mínima y máxima altura respectivamente.

TEOREMA 16. Si f es continua en una región del plano cerrada y acotada entonces

a. Existe al menos un punto de la región donde f alcanza su valor mínimo.

b. Existe al menos un punto de la región donde f alcanza su valor máximo.

Ejemplo 62. Encuentre los valores extremos de la función 2 2f(x, y) xy(1 x 2y )= − − en el

círculo 2 2x y 1 / 4.+ ≤

Solución.

Estudio en el interior del circulo. Criterio del Hessiano:

2 2 2 2x yf y(1 3x 2y ) ; f x(1 x 6y )= − − = − − .

Igualando a cero se obtiene el sistema 2 2

2 2

y(1 3x 2y ) 0

x(1 x 6y ) 0

− − =

− − =,

que tiene como soluciones

1 1 1 1

(0,0), , , , ,2 22 2 2 2

−

1 1 1 1 1 1, , , , 0, , 0, , (1,0), ( 1,0).

2 22 2 2 2 2 2

− − − − −

Observe que solamente los cinco primeros puntos son interiores al círculo 2 2x y 1 / 4+ ≤ . Los

cuatro últimos por estar fuera del círculo se descartan. Aplicando el criterio del Hessiano se

tiene: (0,0) es un punto de ensilladura, en




1 1

,2 2 2

y en 1 1

,2 2 2

− −

f tiene un valor máximo relativo, en 1 1

,2 2 2

−

y en 1 1

,2 2 2

−

f tiene un valor mínimo relativo.

Estudio en la frontera de la región: El estudio sobre la curva frontera, si ésta es tal que su

gradiente existe y es no nulo en cada punto de la curva, se hace usando multiplicadores de Lagrange. En este caso la curva frontera es 2 2x y 1 / 4.+ = Se repite la función

2 2f(x,y) xy(1 x 2y )= − − y la restricción 2 2x y 1 / 4.+ = El sistema asociado es:

2 3

3 2

2 2

y 3x y 2y 2 x

x x 6xy 2 y

x y 1 / 4

− − = λ − − = λ + =

.

Dando solución al sistema y evaluando se tiene:

En 1 1

1 33, 9 334 2 4 2

− + −

f alcanza un valor máximo.

En 1 1

1 33, 9 334 2 4 2

− − + −

f alcanza un valor mínimo.




34. Demuestre que las superficies 2 2x 4y z 0+ + = y 2 2 2x y z 6z 7 0+ + − + = son tangentes

entre sí en el punto (0, 1,2).−

Solución.

Se tienen: 2 2

1 1 1F (x,y,z) x 4y z F (x,y,z) (2x,4,2z) F (0, 1,2) (0,4,4)= + + ⇒ ∇ = ⇒ ∇ − = . 2 2 2

2 2 2F (x,y,z) x y z 6z 7 F (x,y,z) (2x,2y,2z 6) F (0, 1,2) (0, 2, 2)= + + − + ⇒ ∇ = − ⇒ ∇ − = − − .

Se puede ver que

1 2F (x,y,z) 2 F (x,y,z)∇ = − ∇

por lo tanto son tangentes las superficies dadas.

35. Encuentre el punto que pertenece a la curva intersección de la superficie 2 2z x y= + con

el plano x 3= ; en el cual la pendiente de la recta tangente a dicha curva es 4/5 y halle la

ecuación del plano tangente a la superficie en ese punto.

Solución.

Al intersectar la superficie con el plano x 3= se tiene la curva 2z 9 y= + . Al derivar se

tiene 2

22

y 4 16 yz ' y 4

5 25 9 y9 y= = ⇒ = ⇒ = ±

++.

De acuerdo al enunciado se toma y 4= . Entonces al sustituir en la ecuación de la

superficie se tiene z 5= . De modo que el punto es (3,4,5). Si 2 2F(x,y,z) x y z= + −

su gradiente es

2 2 2 2

x yF(x,y,z) , , 1

x y x y

∇ = − + +

.

Evaluando en el punto se tiene el vector 3 4

, , 15 5 −

y el plano tangente es 3 4

(x 3) (x 4) (x 5) 05 5

− + − − − = .



36. Las dimensiones de una caja rectangular se miden como 75 cm, 60 cm y 40 cm, y cada

medida tiene un margen de error de 0.2 cm. Utilice diferenciales para estimar el máximo

error posible cuando el volumen de la caja se calcule a partir de estas medidas.

Solución. Si las dimensiones de la caja son x, y y z, su volumen es V xyz= , por tanto,

dV yzdx xzdy xydz= + + .

Al considerar que x 0.2∆ ≤ , y 0.2∆ ≤ y z 0.2∆ ≤ ,

se puede hallar el máximo error en el volumen, V dV (60)(40)(0.2) (75)(40)(0.2) (75)(60)(0.2) 1980∆ ≈ = + + = .

En consecuencia, un error de sólo 0.2 cm en la medida de cada dimensión puede conducir

a un error de hasta 1980 3cm en el volumen calculado. Este error es de sólo 1%.

37. Sea x y 2 si x 1 ó y 1

f(x,y)2 si x 1 y y 1

+ − = == ≠ ≠

.

Pruebe que:

a. f(1,1)

x∂

∂ y

f(1,1)y

∂∂

existen.

Solución.

h 0 h 0

f(1,1) f(1 h,1) f(1,1) h 0lím lím 1

x h h→ →

∂ + − −= = =∂

.

h 0 h 0

f(1,1) f(1,1 h) f(1,1) h 0lím lím 1

y h h→ →

∂ + − −= = =∂

.

b. f no es diferenciable en (1,1).

Solución.

Sean las trayectorias { }2S (x,y) R / y x= ∈ = y { }2R (x,y) R / y 1= ∈ = . Se tiene:

(x,y) (1,1) x 1 x 1(x,y) S

lím f(x,y) lím f(x,x) lím 2 2→ → →∈

= = = .

(x,y) (1,1) x 1 x 1(x,y) R

lím f(x,y) lím f(x,1) lím(x 1) 0→ → →∈

= = − = .

Por tanto f no es continua en (1,1) y en consecuencia no es diferenciable en (1,1).

38. La presión P (en kilopascales), el volumen V (en litros), y la temperatura T (en grados kelvins), de un mol de un gas ideal están relacionados por la ecuación PV 8.31T= . Halle

la razón a la que cambia la presión cuando la temperatura es de 300 K y aumenta a razón

de 0.1 K/s y el volumen es 100 L y crece a razón de 0.2 L/s.

Solución.



Si t representa el tiempo transcurrido en segundos, entonces en el instante dado se tiene T 300= , dT / dt 0.1= , V 100,= dV / dt 0.2= . Como P 8.31T / V= , la regla de la cadena

da

2 2

dP P dT P dV 8.31 dT 8.31 dV 8.31 8.31(300)(0.1) (0.2) 0.04155

dt T dt V dt V dt dt 100V 100

∂ ∂= + = − = − = −∂ ∂

.

La presión está decreciendo a razón de unos 0.042 KPa/s.

39. Sea la función 2 2f(x, y) x y g(u,v)= − + , donde u xy= , 2v x y y= − , g( 1,0) 1,− =

ug ( 1,0) 3− = y vg ( 1,0) 1− = − . Halle en el punto ( 1,1)− :

a. xf y yf .

Solución.

x u x v x u vf 2x g .u g .v 2x y.g 2xy.g= + + = + + .

x u vf ( 1,1) 2 g ( 1,0) 2g ( 1,0) 2 3 2 3− = − + − − − = − + + = . 2

y u y v y u vf 2y g .u g .v 2y x.g (x 1).g= − + + = − + + − . y uf ( 1,1) 2 g ( 1,0) 2 3 5− = − − − = − − = − .

b. Una dirección donde la razón de cambio de f sea igual a 0.

Solución. Sea u (a,b)= con 2 2a b 1+ = . Se tiene entonces que:

u uD f( 1,1) f( 1,1) (3, 5) (a,b) 0 3a 5b 0− = ∇ − • = − • = ⇒ − = . Se tiene el sistema

2 2 22 2 2 2

3a 5b 0 3a 5b 9 34 5a a 1 a 1 a .

25 25a b 1 a b 1 34

− = = ⇒ ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ±

+ = + =

Una dirección es

u5 3

,34 34

=

.

c. La ecuación del plano tangente al gráfico de f.

Solución. 2f( 1,1) ( 1) 1 g( 1,0) 1− = − − + − = .

Ecuación del plano tangente:

x yf ( 1,1)(x 1) f ( 1,1)(y 1) (z 1) 0 3(x 1) 5(y 1) (z 1) 0

3x 5y z 9

− + + − − − − = ⇒ + − − − − =

⇒ − − = −

40. Demuestre que todos los planos tangentes a la superficie y

z x.fx =

en el punto 0 0 0M(x ,y ,z ) , con 0x 0≠ , pasan por el origen de coordenadas.

Solución. El plano tangente a una superficie de la forma z g(x,y)= esta dado por



x 0 0 0 y 0 0 0 0g (x ,y )(x x ) g (x ,y )(y y ) (z z ) 0− + − − − = ,

donde 0 0 0(x ,y ,z ) es el punto de tangencia. En este caso

yz g(x,y) x.f x.f(u)

x = = =

,

luego

x 2

y yg (x,y) f(u) x.f '(u). f(u) f '(u).

xx= − = − , y

1g (x,y) x.f '(u). f '(u)

x= = .

El plano tangente sería:

00 0 0 0 0 0

0

yf(u ) f '(u ). (x x ) f '(u )(y y ) (z z ) 0

x

− − + − − − =

,

donde

00

0

yu

x= .

Al evaluar en (0,0,0) se obtiene

00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0

yf(u ) f '(u ). x f '(u )y z x .f(u ) f '(u ).y f '(u )y z

x

x .f(u ) z 0

− + − + = − + − +

= − + =

Como 0 0 0M(x ,y ,z ) pertenece a la superficie entonces

00 0

0

yz x .f

x

=

.

En consecuencia

0 00 0

0 0

y yx .f x .f 0

x x

− + =

.

41. Sean la recta

x 1 tL : y 2 t , t R

z 7 2t

= − + = + ∈ = +

,

la superficie 2 2S : z x y= + y el plano z

:2x y 32

π − + = .

a. Halle todos los puntos 0 0 0P(x ,y ,z ) de intersección de L con S.

Solución.

2 2 2 2 2 2

2 2

z(t) (x(t)) (y(t)) 7 2t (t 1) (t 2) 7 2t t 2t 1 t 4t 4

7 2t 5 2t 2 t 1

= + ⇒ + = − + + ⇒ + = − + + + +

⇒ = + ⇒ = ⇒ = ±

Puntos de intersección de L con S: 1P ( 2,1,5)− y 2P (0,3,9) .

b. En uno de los puntos 0 0 0P(x ,y ,z ) hallados anteriormente el plano tangente a S es

paralelo a π . Encuentre su ecuación.



Solución. Se tiene que 2 2 2 2z x y x y z 0= + ⇒ + − = . Un vector normal de π es ( 4,2, 1)− − .

Si 2 2F(x,y,z) x y z= + − , entonces F(x,y,z) (2x,2y, 1)∇ = − .

Evaluando en los puntos hallados: F( 2,1,5) ( 4,2, 1)∇ − = − − y F(0,3,9) (0,6, 1)∇ = − . De

modo que en 1P ( 2,1,5)− el plano tangente a S es paralelo a π . La ecuación de este

plano tangente viene dada por

( 4,2, 1) (x 2,y 1,z 5) 0 4(x 2) 2(y 1) (z 5) 0

4x 8 2y 2 z 5 0 4x 2y z 5− − + − − = ⇒ − + + − − − =

⇒ − − + − − + = ⇒ − + − =�

42. Sea 2 3 2F(x,y) f(x y ,5x 7y 1,3x y)= + + − , donde f es un campo escalar diferenciable y

f(2,1,3) (3,2,1)∇ = . Determine la derivada direccional de F en el punto ( 1,1)− en la

dirección del vector unitario u que forma un ángulo 3πθ = con el gradiente en ese punto.

Solución. 2 3 2F(x,y) f(x y ,5x 7y 1,3x y) f(u,v,w)= + + − =

x u x v x w x

u v w

x u v w

F (x,y) f (u,v,w).u (x,y) f (u,v,w).v (x,y) f (u,v,w).w (x,y)

2x.f (u,v,w) 5.f (u,v,w) 6xy.f (u,v,w)

F ( 1,1) 2.f (2,1,3) 5.f (2,1,3) 6.f (2,1,3) 2.3 5.2 6.1 2

= + += + +

− = − + − = − + − = −

y u y v y w y

2 2u v w

y u v w

F (x,y) f (u,v,w).u (x,y) f (u,v,w).v (x,y) f (u,v,w).w (x,y)

3y .f (u,v,w) 7.f (u,v,w) 3x .f (u,v,w)

F ( 1,1) 3.f (2,1,3) 7.f (2,1,3) 3.f (2,1,3) 3.3 7.2 3.1 26

= + +

= + +− = + + = + + =

u u u 2 21 1 13 2 2 2

D F( 1,1) F( 1,1) F( 1,1) cos( ) 4 (26) 680 2 .170 170π− = ∇ − • = ∇ − = + = = =

43. Sean uT(x,y) x.sen(2y) , P(1, 3) , (1,1, 1)= = − .

a. Suponga que la temperatura en el punto (x,y) del plano es T(x,y) grados centígrados

( C)� y que la distancia en el plano xy se mide en metros (m). Una partícula se mueve

en sentido antihorario alrededor de una circunferencia de radio 2 m con centro en el

origen. ¿Con qué rapidez cambia la temperatura de la partícula en C / seg� en el

punto P?.

Solución.

La partícula se mueve en sentido antihorario alrededor de una circunferencia de radio

2 m con centro en el origen, entonces su recorrido viene dado por r (t) (2cos(t),2sen(t)) , t 0,2= ∈ π .

Por tanto: r' (t) ( 2sen(t),2 cos(t)) , t 0,2= − ∈ π .



Si t̂ 0,2∈ π entonces

rˆ2cos(t) 1ˆ ˆ ˆ ˆ(t) (2cos(t),2sen(t)) (1, 3) t

3ˆ2sen(t) 3

= π= = ⇒ ⇒ ==

Se tiene entonces que: dT(x,y) T dx T dy

. . sen(2y).2sen(t) x.2 cos(2y).2 cos(t)dt x dt y dt

∂ ∂= + = − +∂ ∂

.

Evaluando en P:

3 3

dT(1, 3)sen(2 3).2sen( ) 2 cos(2 3).2cos( ) 3sen(2 3) 2 cos(2 3)

dtπ π= − + = − + .

b. La derivada de f(x,y,z) en un punto Q es máxima en la dirección de u y su valor es igual a 2 3 . Encuentre el valor de f(Q)∇ y el de la derivada direccional de f en Q en

la dirección (1,1,0).

Solución. Del enunciado se deduce que u y f(Q)∇ tienen la misma dirección y sentido, por tanto

u uf f f

f(Q) , , (1,1, 1) f(Q) 3 3x y z

∂ ∂ ∂∇ = λ ⇒ = λ − ⇒ ∇ = λ = λ = λ ∂ ∂ ∂ .

Por otro lado, se sabe que f(Q) 2 3∇ = , entonces

uf(Q) 2 3 3 2∇ = λ ⇒ = λ ⇒ λ = .

Se tiene que f(Q) 2(1,1, 1) (2,2, 2)∇ = − = − .

Sea v1

(1,1,0)2

= , entonces

v v1 2 2 4

D f(Q) f(Q) (2,2, 2) (1,1,0) 2 22 2 2 2

= ∇ • = − • = + = = .

44. Una función u es definida como x y

u(x,y) xyfxy

+=

.

Pruebe que u satisface la ecuación dada por 2 2u u

x y u.G(x,y)x y

∂ ∂− =∂ ∂

y encuentre G(x,y).

Solución. u x y y x y

yf f 'x xy x xy

∂ + += − ∂ ,

u x y x x yxf f '

y xy y xy ∂ + += − ∂

.

Sustituyendo:



2 2 2 2

2 2

u u x y x y x y x yx y x yf xyf ' y xf xyf '

x y xy xy xy xy

x y x y x y x yf y xf xyf .G(x,y) G(x,y) x y , xy 0

xy xy xy

∂ ∂ + + + +− = − − + ∂ ∂

+ + += − = ⇒ = − ≠

45. Sea z(x,y) xf(x y) yg(x y)= + + − , donde f y g son funciones reales de una variable real,

dos veces derivables. Calcule la expresión 2 2 2

2 2

z z z2

y xx y

∂ ∂ ∂+ −∂ ∂∂ ∂

,

en términos de las derivadas de f y g.

Solución. x y x yu x y u 1 , u 1 , v x y v 1 , v 1= + ⇒ = = = − ⇒ = = − .

x yz (x,y) f(x y) x.f '(u) y.g'(v) , z (x,y) x.f '(u) g(x y) y.g'(v)= + + + = + − − .

xx yyz (x,y) f '(u) f '(u) x.f ''(u) y.g''(v) , z (x,y) x.f ''(u) g'(v) g'(v) y.g''(v)= + + + = − − +

xyz (x,y) f '(u) x.f ''(u) g'(v) y.g''(v)= + + − .

xx yy xyz z 2z f '(u) f '(u) x.f ''(u) y.g''(v) x.f ''(u) 2g'(v) y.g''(v)

2f '(u) 2x.f ''(u) 2g'(v) 2y.g''(v)4y.g''(v) 4g'(v)

+ − = + + + + − +

− − − += −

46. Calcule la derivada direccional de la función 2f(x, y,z) xy 3y z= + , en el punto 12

A(0,1, ) y

en la dirección de la curva C de intersección de las superficies de ecuaciones 2 2 24z 4x y= + , 2x y 2z 2 0+ + − = .

Solución. 2 2 24z 4x y 0C :

2x y 2z 2 0

− − =

+ + − =.

Sean 2 2 2F(x,y,z) 4z 4x y= − − , G(x,y,z) 2x y 2z 2= + + − . De modo que

F(x,y,z) ( 8x, 2y,8z) F(A) (0, 2,4) , G(x) (2,1,2) G(A) (2,1,2)∇ = − − ⇒ ∇ = − ∇ = ⇒ ∇ = .

i j kF(A) G(A) 0 2 4 4( 2,2,1)

2 1 2∇ × ∇ = − = − .

La dirección de la curva C la da el vector ( 2,2,1)− o el vector (2, 2, 1)− − . Por otro lado 2f(x, y,z) (y,x 6yz,3y ) f(A) (1,3,3)∇ = + ⇒ ∇ = .

v( 2,2,1) 2 2 1 2 7

D f(A) f(A) (1,3,3) , , 2 13 3 3 3 34 4 1

− = ∇ • = • − = − + + = + + .



v

7373

en la dirección ( 2,2,1)D f(A)

en la dirección (2, 2, 1)

−= − − −

47. Considere la curva plana C como la curva de nivel de un campo escalar F continuo con primeras y segundas derivadas parciales continuas y para el cual 0 F (x,y)∇ ≠ ∀ . Pruebe

que la curvatura de C viene dada por 2 2

y xx x y yx x yy

3

(F ) F 2F F F (F ) F

F

− + −κ =

∇.

Solución. Paso 1. Cálculo de y' .

xx x y

y

FF(x,y) 0 F 0 F F .y ' 0 y '

F= ⇒ = ⇒ + = ⇒ = − .

Paso 2. Cálculo de y'' .

xx y x y y x y y

y

xx xy y xy yy

x x xxx xy y xy yy

y y y

x

Fy ' F y '.F 0 (F )' y ''.F y '.(F )' 0 (F )' y ''.F y '.(F )' 0

F

(F F .y ') y ''.F y '.(F F .y ') 0

F F FF F . y ''.F . F F . 0

F F F

F

= − ⇒ + = ⇒ + + = ⇒ + + =

⇒ + + + + =

⇒ − + − − =

⇒

2 3x y xy x y y x xy y yy x

2 3 2xx y xy x y y x xy y yy x

2 3 2xx y x y xy y yy x

2xx y x

.(F ) F .F .F y ''.(F ) F .(F .F F .F ) 0

F .(F ) F .F .F y ''.(F ) F .F .F F .(F ) 0

F .(F ) 2.F .F .F y ''.(F ) F .(F ) 0

F .(F ) 2.Fy ''

− + − − =

⇒ − + − + =

⇒ − + + =

−⇒ = −

2y xy yy x3

y

.F .F F .(F )

(F )

+

Paso 3. Cálculo de κ . 2 2 2 2

xx y x y xy yy x xx y x y xy yy x3 3

y y

2 3/2 3/2 3/22 2 2y xx

2 2y yy

2 2xx y x y xy yy x

3y

2y

F .(F ) 2.F .F .F F .(F ) F .(F ) 2.F .F .F F .(F )

(F ) (F )y ''(t)

(1 (y ') ) (F ) (F )F1

(F ) (F )F

F .(F ) 2.F .F .F F .(F )

(F )

(F )

(F

− + − +

κ = = =+

++

− +

=

2 2xx y x y xy yy x

3y

3/2 3/222x

2 2 2y y y

F .(F ) 2.F .F .F F .(F )

(F )

(F ) F

) (F ) (F )

− +

= ∇ +



2 2xx y x y xy yy x

2 23y xx x y yx x yyy

3 3

3y

F .(F ) 2.F .F .F F .(F )

(F ) F 2F F F (F ) F(F )

F F

F

− +

− + −= =

∇ ∇

48. Sea la ecuación 2 2 2x y z h(x y z)+ + = + + . Si h es diferenciable y z f(x,y)= , encuentre

G(x,y) tal que z z

(y z) (z x) G(x,y)x y

∂ ∂− + − =∂ ∂

.

Solución.

Sea 2 2 2F(x,y,z) x y z h(u) , u x y z= + + − = + + . Entonces

F dh u dh2x . 2x

x du x du∂ ∂= − = −∂ ∂

, F dh u dh

2y . 2yy du y du

∂ ∂= − = −∂ ∂

, F dh u dh

2z . 2zz du z du

∂ ∂= − = −∂ ∂

FF dh dhyx du du

F dh F dhz du z du

2x 2yz z,

x y2z 2z

∂∂∂∂

∂ ∂∂ ∂

− −∂ ∂= − = − = − = −∂ ∂− −

dhdh dhdudu du

dh dhdu du

2xz z2x 2y(z y) (x z)

2z 2z

−− −− + − =

− −

2xy− dhduy 2xy+ + dh dh

du dux 2yz z− − +dhdu

dh dh dhdu du du

dh dhdu du

dhdu

dhdu

2z

2xz y x 2yz (x y)2z (x y)

2z 2z

(x y)(2z )x y G(x,y)

2z

−

+ − − − − −= =

− −

− −= = − =

−

49. La temperatura en una región del espacio está dada por la expresión 2 2 2 2T(x,y) x y (1 x y )= − − .

Halle los puntos donde se alcanza la mayor temperatura.

Solución. 2 3 2 4

2 4 3 2

T(x,y)2xy 4x y 2xy 0

xT(x,y)

2yx 2yx 4y x 0y

∂ = − − =∂

∂ = − − =∂

⇒2 2 2

2 2 2

xy (1 2x y ) 0

x y(1 x 2y ) 0

− − =

− − =

Puntos: 1 1 1 1 1 1 1 1

(0,y) , (x,0) , , , , , , , ,3 3 3 3 3 3 3 3

− − − −

.

Mayor temperatura 127

Puntos 1 1 1 1 1 1 1 1

, , , , , , ,3 3 3 3 3 3 3 3

− − − −

.



50. Suponga que la ecuación 2 zx z xy e 1 0− + − = , define z implícitamente como una función

de x e y tal que z(0,0) 0.= Demuestre que (0,0) es un punto crítico de z y clasifíquelo.

Solución.

Sea 2 zF(x,y,z) x z xy e 1= − + − .

2 z

z F x y 2xzx F z x e

∂ ∂ ∂ −= − = −∂ ∂ ∂ +

y 2 z

z F y x.

y F z x e

∂ ∂ ∂= − =∂ ∂ ∂ +

Se puede ver que ambas se f(0,0) (0,0)∇ = , por lo tanto (0,0) es un punto crítico.

Se tiene:

2 2 z 2 2 z 2

2 2 z 2 2 z 2 2

z 2x z 2ze 2yx z x e zA , B , C 0

x yx (x e ) (x e ) y

∂ − − ∂ − ∂= = = = = =∂ ∂∂ + + ∂

.

Evaluando en (0,0) se tiene que A C 0 y B 1= = = − , por lo tanto 2D AC B 1= − = − lo que

permite concluir que (0,0) es un punto de ensilladura.

51. Determine el valor mínimo de la función 2 2f(x, y) x (y 2)= + − sobre la hipérbola 2 2x y 1− = .

Solución. (2x,2(y 2)) (2x, 2y)− = λ − . Se quiere resolver el sistema:

2 2

2x 2x 02y 2y 4 1 y 1 x 2.

x y 1

− λ = + λ = ⇒ λ = ⇒ = ⇒ = ± − =

Evaluando en la función a optimizar se tiene: f( 2,1) 2 1 3.± = + =

52. Sea C la curva intersección de las superficies 2 2x y 4 , z 2x 1+ = + = .

a. Usando multiplicadores de Lagrange, determine los puntos más alejados y más

cercanos al origen de la curva C.

Solución. 2 2 2

2 2

min x y z s.a.

x y 4z 2x 1

+ +

+ =+ =

2 2

(2x,2y,2z) (2x,2y,0) (2,0,1)Sistema:

2x 2 x 22y 2 y2z y y 0 y y 0 (1 )y 0 y 0 1

x y 4z 2x 1

= λ + β

= λ + β = λ = β ⇒ = λ = ⇒ − λ = ⇒ − λ = ⇒ = ∨ λ = + = + =



2

y 0 : y 0 , x 2 : y 0 , x 2 :

2x 2 x 2 4 60 0 0 0 0 02z ,6 10

x 2 x 2x 4 x 2z 3 z 5z 1 2x

= = = = = −= − λ + β λ = − λ = −

= = = = β ⇒ β = − β = = = −= ⇒ = ± = − == −

1 2

1 2

P (2,0, 3) , P ( 2,0,5)

dis t(P ) 13 , dis t(P ) 29

− −

= =

15 151 13 3 4 42 2 2 2

2 15154 2

12

1:

00 0z 0 P ( , ,0) , dis t(P ) 2 , P ( , ,0) , dis t(P ) 2

y y

x

λ =β =

= = ⇒ = − = = ⇒ = ± =

Puntos más cercanos al origen: 15 151 13 42 2 2 2

P ( , ,0) , P ( , ,0)−

Punto más alejado del origen: 2P ( 2,0,5)−

b. Encuentre la ecuación de la recta tangente a C en (2,0, 3)− .

Solución.

Cálculo del vector gradiente de cada superficie en el punto de interés:

Sean 2 21 2S : x y 4 , S : z 2x 1+ = + = , entonces 1 2(S ) (2x,2y,0) , (S ) (2,0,1)∇ = ∇ = .

En el punto (2,0, 3)− se tiene: 1 2(S ) (4,0,0) , (S ) (2,0,1)∇ = ∇ = .

Cálculo del vector director de la recta tangente a C en el punto de interés:

1 2(S ) (S ) (0, 4,0)= ∇ × ∇ = −v .

Construcción de la ecuación de la recta tangente a C en el punto de interés: (2,0, 3) t(0, 4,0) (2, 4t, 3) , t R= − + − = − − ∈Tr (t)

PROCEDIMIENTO ALTERNATIVO:

Cálculo de las ecuaciones paramétricas de la curva C:

Proyectando en el plano xy y parametrizando se tiene: (2cos(t),2sen(t),1 4cos(t)) , t 0,2 , 0 (2,0, 3)= − ∈ π = − r(t) r( )

Cálculo del vector director de la recta tangente a C en el punto de interés: ( 2sen(t),2 cos(t), 4sen(t)) 0 (0,2,0)= = − ⇒ =v r'(t) r'( ) .

Construcción de la ecuación de la recta tangente a C en el punto de interés: (2,0, 3) t(0,2,0) (2,2t, 3) , t R= − + = − ∈Tr (t)



53. Sea la curva C dada por 2 2

2 2

x yz

9 4

x y 9

= +

+ =

.

a. Encuentre las ecuaciones paramétricas de C.

Solución. Proyectando en el plano xy, la curva proyección tiene ecuación 2 2x y 9 , z 0+ = = .

Parametrizando en sentido antihorario por ejemplo, se tiene:

pr (t) (x(t), y(t),0) (3cos(t),3sen(t),0) , 0 t 2= = ≤ ≤ π .

Por otro lado:

2 2 2 2

2 294

(x(t)) (y(t)) 9 cos (t) 9sen (t)z(t) cos (t) sen (t) , 0 t 2

9 4 9 4= + = + = + ≤ ≤ π

De modo que las ecuaciones paramétricas de la curva C vienen dadas por

r 2 294

(t) (3cos(t),3sen(t),cos (t) sen (t)) , 0 t 2= + ≤ ≤ π

b. Halle los puntos más bajos y más altos de C usando multiplicadores de Lagrange.

Solución.

Paso 1. Planteamiento del modelo de optimización a usar.

2 2

2 2x yoptimizar F(x,y,z) z sujeto a z 0 , x y 9

9 4= + − = + = .

Paso 2. Planteamiento del sistema de ecuaciones no lineal a resolver.

2 2

2 22 2

2 2

20 x 2 x2 1 9(0,0,1) x, y, 1 (2x,2y,0)

9 2 10 y 2 y

2x yz 19 4

x yx y 9 z9 4

x y 9

= λ + β = λ − + β = λ + β + = ⇒ = −λ

+ = + =

+ =

Paso 3. Resolución del sistema de ecuaciones no lineales planteado. De la tercera ecuación se deduce que 1λ = − . Sustituyendo este valor en la dos

primeras ecuaciones se tiene que: 22 0 2 x0 x 2 x 99

1 10 y 2 y 0 2 y2 2

= − + β= − + β ⇒

= − + β = − + β

.

No puede ocurrir que x y 0= = porque la última ecuación no se satisface.

Si x 0 y 0 := ∧ ≠



2

1 2

9z 9 9y 4z P 0, 3, , P 0,3,4

4 4y 3 y 3

= =

⇒ ⇒ − = ± = ±

Solución completa S(x,y,z, , ) :λ β

1 29 1 9 1

S 0, 3, , 1, , S 0,3, , 1,4 4 4 4

− − −

Si x 0 y 0 :≠ ∧ =

2

3 4z 1x 9z P ( 3,0,1) , P (3,0,1)

x 3x 3

==⇒ ⇒ − = ±= ±

Solución completa S(x,y,z, , ) :λ β

3 41 1

S 3,0,1, 1, , S 3,0,1, 1,9 9

− − −

Paso 4. Clasificación de los puntos encontrados.

Puntos de máxima altura:

1 29 9

P 0, 3, , P 0,3,4 4

−

Puntos de mínima altura: 3 4P ( 3,0,1) , P (3,0,1)−

54. Considere la elipse que se obtiene al intersectar las superficies 2 22x y 4 0 , x y z 0+ − = + + = .

Usando multiplicadores de Lagrange, Halle los puntos más cercanos y más lejanos de

dicha elipse al eje y.

Solución.

La distancia de un punto cualquiera 3(x,y,z) R∈ al eje y es 2 2x z+ . Entonces, para

encontrar los puntos de la elipse más cercanos y más lejanos al eje y, se usa la función objetivo 2 2f(x, y,z) x z= + . Aplicando multiplicadores de Lagrange, con las dos

restricciones que definen la elipse, se obtiene

2 2

2 2

optimizar x z sujeto a:2x 4 x0 2 y2z

2x y 4x y z 0

+= λ + β= λ + β= β

+ =+ + =

Sustituyendo la tercera ecuación en la primera y segunda, y simplificando, el sistema es



2 2

x 2 x z0 y z

2x y 4x y z 0

= λ += λ +

+ =+ + =

Si y 0= , la segunda ecuación implica que z 0= , y usando la cuarta se concluye que

x 0= , lo que contradice la tercera ecuación. Entonces y 0≠ , por lo que z / yλ = − y al

sustituir en la primera ecuación, x 2xz / y z= − + , lo que implica xy 2xz yz= − + . Dado que

z x y= − − , se obtiene 2 2 2 2xy 2x(x y) y(x y) 2x xy y 2x y 0= + − + = + − ⇒ − = .

Las ecuaciones 2 2 2 22x y 4 , 2x y 0+ = − = , implican que 2 2x 1 , y 2= = . Teniendo en

cuenta que z x y= − − , los cuatro puntos solución del sistema son

1 2

3 4

P (1, 2, 1 2), P (1, 2, 1 2)

P ( 1, 2,1 2), P ( 1, 2,1 2)

− − − − +

− − − − +

Los valores de la función objetivo 2 2f(x, y,z) x z= + en dichos puntos son

1 4 2 3f(P ) f(P ) 4 2 2 , f(P ) f(P ) 4 2 2= = + = = − .

Entonces, los puntos más cercanos son 2P y 3P , mientras que los más lejanos son 1P y

4P .

55. Demuestre que el volumen del paralelepípedo rectangular más grande inscrito en el

elipsoide 2 2 236x 9y 4z 36,+ + = si las aristas son paralelas a los ejes coordenados, es

16 / 3 .

Solución.

2 2 2max 8xyz s.a. 36x 9y 4z 36+ + = .

Usando Lagrange se tiene que: (8yz,8xz,8xy) (72x,18y,8z)= λ

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

8xyz 72x8yz 72x8xz 18y 8xyz 18y 4x y 1 2

x ,y ,z 38xy 8z 3 38xyz 8z 9x z

36x 9y 4z 36 36x 9y 4z 36

= λ= λ = λ = λ =

⇒ ⇒ ⇒ = = = = λ = λ = + + = + + =

Sustituyendo en la función se tiene 1 2 16

8. . . 33 3 3

= .

56. Calcule los puntos de máxima y mínima altura de la curva intersección entre el elipsoide 2 2 2x y 4z 4+ + = y el plano x y z 1+ + = .



Solución.

2 2 2opt z s.a. x y 4z 4 , x y z 1+ + = + + = .

Sistema a resolver:

2 2 2

2x 02y 08z 1

x y 4z 4x y z 1

λ + β = λ + β = λ + β = + + = + + =

De las 2 primeras ecuaciones se tiene que x y= . Sustituyendo en la última ecuación se

tiene z 1 2x= − . Sustituyendo en la penúltima ecuación se tiene

2 2 2 2 22x 4(1 2x) 4 2x 16x 16x 4 4 18x 16x 0 x(9x 8) 0x 0,x 8 /9

+ − = ⇒ + − + = ⇒ − = ⇒ − =⇒ = =

Para x 0= se tiene el punto (0,0,1). Punto más alto. Para x 8 /9= se tiene el punto (8 / 9,8 /9, 7 /9)− . Punto más bajo.

57. Sea C es la curva de intersección de las dos superficies 2 2 2x xy y z 1− + − = , 2 2x y 1+ = .

Utilice los multiplicadores de Lagrange para determinar el punto de C que está más cerca

al punto (0,0,0).

Solución. 2 2 2

2 2 2

2 2

min x y z s.a.

x xy y z 1

x y 1

+ +

− + − =

+ =

2 2 2

2 2

(2x,2y,2z) (2x y, x 2y, 2z) (2x,2y,0)Sistema:

2x (2x y) 2 x2y (2y x) 2 y

2z 2 z z 0 1

x xy y z 1

x y 1

= λ − − + − + β

= λ − + β = λ − + β = − λ ⇒ = ∨ λ = − − + − = + =

2 2 2 2 2

2 2 2 2

z 0 : 1:

2x (2x y) 2 x 4x y 2 x2y (2y x) 2 y 4y x 2 y

0 0 2z 2zx.y 0 y x

x xy y 1 x xy y z 1

x y 1 x y 1

= λ = −= λ − + β = + β

= λ − + β = + β = =⇒ = ⇒ = − + = − + − = + = + =



2 2

2 2

x 0 : y 0 :

0 y 2x 2 x 2 x2y 2 y 2 y 0 x

0 0 0 00, 1, y 1 0, 1, x 1

y 1 x 1

y 1 x 1

= == −λ = λ + β

= λ + β = −λ = =⇒ λ = β = = ± ⇒ λ = β = = ± = = = =

Puntos :(0,1,0) (0, 1,0) (1,0,0) ( 1,0,0)− − = Valor extremo 1 mínimo

2 2 2 2

2 2 2 2

y x : y x :

3x 2 x 5x 2 x3x 2 x 5x 2 x

3 22z 2z 2z 2z, x , z R2 2

x z 1 3x z 1

x x 1 x x 1

= = −= β = β

= β = β = =⇒ β = = ± ∉ − = − = + = + =

3 2 2

, x , z2 2 2

⇒ β = = ± = ±

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2Puntos : , , , , , , , ,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

− − − − − −

=

3Valor extremo

2

58. Halle los mínimos y los máximos de la función

= + + − −2 2f(x,y) x 2xy 3y 2x 2y

en la región + ≤x y 2 .

Solución. PROBLEMA 1. 2 2optimizar f(x,y) x 2xy 3y 2x 2y s.a. x y 2= + + − − + = .

f(x, y) g(x,y) (2x 2y 2,2x 6y 2) (1,1)∇ = λ∇ ⇒ + − + − = λ

Sistema:

2x 2y 2 2(x y 1) 2(2 1) 22x 6y 2 2(x 3y 1) 2(2 2y 1) 1 2y 1 2, y 0, x 2

x y 2 x y 2 x y 2 x y 2

f(2,0) 0

+ − = λ + − = λ − = λ = λ + − = λ ⇒ + − = λ ⇒ + − = λ ⇒ + = ⇒ λ = = = + = + = + = + =

=

máximo

PROBLEMA 2. 2 2optimizar f(x,y) x 2xy 3y 2x 2y= + + − − .

Sistema:

2x 2y 2 0 x y 1 x y 1x 1, y 0 1 0 2

2x 6y 2 0 x 3y 1 x 3y 1

f(1,0) 1

+ − = + = − − = − ⇒ ⇒ ⇒ = = + ≤ + − = + = + =

= −

mínimo

59. La temperatura T en una región R del espacio viene dada por la expresión de tres

variables 3 2 2T(x,y,z) x x y 0.5xy xz= + + + .



Pruebe que cuando (x,y,z) satisface x y z 1,+ + = − la mayor y la menor temperatura se

alcanzan en los puntos 1P ( 1,2, 2)− − y 2P (1,0, 2)− respectivamente; resolviendo el

problema como:

a. Un problema de determinación de extremos locales.

Solución. 3 2 2 3 2 2 2T(x,y) x x y 0.5xy x(1 x y) x x y 0.5xy x x xy= + + − + + = + + − − −

2 2xT (x,y) 3x 2xy 0.5y 1 2x y 0= + + − − − = , 2

yT (x,y) x xy x 0= + − =

Resolviendo el sistema

x

y

T (x,y) 0T (x,y) 0

= =

se tiene 2 23x 2xy 0.5y 1 2x y 0

x(x y 1) 0

+ + − − − =

+ − =.

Si x 0= entonces

2 2 2 4 4.2 2 2 30.5y y 1 0 y 2y 2 0 y 1 3

2 2± + ±− − = ⇒ − − = ⇒ = = = ± .

Puntos (0,1 3) , (0,1 3)+ −

Si x 1 y= − entonces 2 2 23(1 y) 2(1 y)y 0.5y 1 2(1 y) y 1.5y 3y 0− + − + − − − − = − = .

Se tiene 2 21.5y 3y y 2y 0 y(y 2) 0 y 0 , y 2− = − = ⇒ − = ⇒ = =

Puntos (1,0) , ( 1,2)− .

Se tienen los puntos (0,1 3, 2 3) , (0,1 3, 2 3) , (1,0, 2) , ( 1,2, 2)+ − − − − + − − − .

Por tanto

T(0,1 3, 2 3) 0 , T(0,1 3, 2 3) 0 , T(1,0, 2) 1 , T( 1,2, 2) 1+ − − = − − + = − = − − − =

b. Un problema de extremos condicionados.

Solución. 2 2 2T(x,y,z) (3x 2xy 0.5y z,x xy,x) g(x,y,z) ( , , )∇ = + + + + = λ = λ λ λ .

Resolviendo el sistema 2 2

2

3x 2xy 0.5y z

x xyx

x y z 1

+ + + = λ + = λ

= λ + + = −

,

2x , y 1 , z 1.5 0.5 , 0= λ = − λ = − λ − λ ≠ . Se sustituye en la última ecuación: 21 1.5 0.5 1 1λ + − λ − λ − = − ⇒ λ = ± . 1 (x, y,z) (1,0, 2).λ = ⇒ = −

1 (x,y,z) ( 1,2, 2)λ = − ⇒ = − −

0 (x,y,z) (0,1 3, 2 3) (x,y,z) (0,1 3, 2 3)λ = ⇒ = + − − ∧ = − − + .



60. Determine los puntos de la superficie 2 2 26x 3y 2z 12x 12y 8z 20 0+ + − − − + = que

están a mayor distancia y a menor distancia del plano de ecuación 6z 3y 12 2 6+ = + .

Solución. La distancia de un punto 0 0 0P(x ,y ,z ) al plano : Ax By Cz D 0π + + + = viene dada por

0 0 0

2 2 2

Ax By Cz Dd(P, )

A B C

+ + +π =

+ +.

Para el caso de interés se tiene: P(x,y,z) y : 6z 3y 12 2 6 0π + − − = . Por tanto

6z 3y 12 2 6d(P, )

15

+ − −π = .

El problema se puede plantear de la siguiente manera:

2 2 2

max/ min 6z 3y 12 2 6 sujeto a la restricción

g(x,y,z) 6x 3y 2z 12x 12y 8z 20 0

+ − −

= + + − − − + =

De modo que aplicando multiplicadores de Lagrange se tiene el sistema de ecuaciones:

2 2 2

(1) 0 (12x 12)(2) 3 (6y 12)

(3) 6 (4z 8)

(4) 0 6x 3y 2z 12x 12y 8z 20

= λ −= λ −

= λ −

= + + − − − +

De la ecuación (1) se tiene que 12 (x 1) 0 0 ó x 1λ − = ⇒ λ = = . Si se hace 0λ = se llega a

un absurdo. Como 0λ ≠ , entonces conviene x 1= . De las ecuaciones (2) y (3) se tiene

3 6 6

z (y 2) 2 , y 2 , z 26(y 2) 4(z 2) 2

= ⇒ = − + ≠ ≠− −

Sustituyendo en la ecuación (4): 2

2 6 66 3y 2 (y 2) 2 12y 8 (y 2) 2 20 0

2 2

− + + − + − − − + + =

2 266 3y 2 (y 2) 2 6(y 2) 4 12y 4 6(y 2) 16 20 0

4 − + + − + − + − − − − + =

2 2

2 2 2 2

2 2 2

6 3y 3(y 2) 4 6(y 2) 8 12y 4 6(y 2) 16 20 0

6 3y 3(y 2) 12y 12 0 6 3y 3y 12y 12 12y 12 0

6 6y 24y 24 0 6y 24y 18 0 y 4y 3 0 (y 1)(y 3) 0

− + + − + − + − − − − + =

− + + − − + = ⇒ − + + − + − + =

− + − + = ⇒ − + = ⇒ − + = ⇒ − − =

1 26 6 6 6

y 1 z 2 P 1,1,2 , y 3 z 2 P 1,3,22 2 2 2

= ⇒ = − ⇒ − = ⇒ = + ⇒ +

Evaluando en la función distancia punto-plano:

1 212

D(P ) (mayor dis tancia) , D(P ) 0 (menor dis tancia)15

= =

EJERCICIOS PROPUESTOS Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 224 de 305


2.23. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dibuje los planos cuyas ecuaciones se dan a continuación:

a. 6x 3y 4z 12+ + =

b. 4x 4y 2z 20− + + =

c. 2x 3y 5z 30+ − =

d. y z 5+ =

e. x y 5+ =



f. x y 5+ = −

2. Dibujar las siguientes superficies cilíndricas:

a. 2y x= −

b. 2z 2 x= +

c. yz e−=



3. Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada por la curva dada al girar en

torno al eje indicado, y graficar dicha superficie. a. y 2, eje x= 2 2Rta: y z 4+ =

b. 2z 4 y eje y= − 2 2 2Rta: x y z 4+ + =

c. y x 0 eje y+ = 2 2 2Rta: z x y 0+ − =



d. z 2y 2 0 eje z+ + = 2

2 2(z 2)Rta: y x 0

4+ − − =

e. 21x 4 y eje y

4= + 2 2 2Rta: 16x 16z y 4+ − =

f. 29 x

y eje x3−= 2 2 2Rta: x 3z 3y 9+ + =

g. 2 24x 3y 12 eje x− = 2 2 2Rta: 4x 3z 3y 12− − =



4. Identifique y grafique las superficies de ecuaciones: a. 2 2 29x 4y 36z 0− + =

b. 2 2 25x 6y 10z 30 0+ − + =

c. 2 2 25x 6y 10z 30 0+ − − =

d. 2 24x y 9z 0+ + =



e. 2 2 2x y z 4− + = −

f. 2 2 236x 9y 4z 36+ + =

g. 2 2 2x y 2z 6 0+ − + =

h. 2 29x 4z 36y 0+ + =



i. 2 2z 4 x y= − −

j. 2 2x 2y z= −

k. 2 2 2x y z 4 0+ + − =

l. 2 2 2y 9x 4z 36− − =



m. 2 2y 4x 9z= +

n. 2 2 216x 9y 16z 32x 36y 36 0+ + − − + =

o. 2 2x y 4x 3y z 5 0+ − − − + =

5. Para cada superficie, identifique e indique sobre que eje se encuentra:

a. 2 2 29x 4y 36z 36 0+ − − =

b. 2 225x 4z 36y 0+ − =

6. Determine la curva intersección entre las superficies dadas. Elija la proyección sobre el

plano de coordenadas más adecuado. Dé una parametrización para dicha curva.

a. 2 2 2z x y , z 2= + =

b. 2 2 2z x y , z 2y 1 0= + − + =

c. 2 2 2 2 2x y z 4 , x y 2z 2 0+ + = + − + =

d. 2 2 2 2x y 9 , y x z+ = = +

e. 2y z 4 0 , 2x y z 4+ − = + − =



7. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la curva de intersección del cilindro 2x z 4 0+ − = y el plano y 3z= , entre los puntos (2,0,0) y ( 3,3,1) de la misma.

8. C es la curva intersección de la esfera 2 2 2 2x y z a+ + = y de la superficie dada por 2 2x y ax,+ = con z 0≥ y a 0> (a constante). C es recorrida de manera que si se observa

el plano xy desde arriba el sentido es horario. Encuentre sus ecuaciones paramétricas.

9. C es la curva intersección del plano x y z 1+ + = y el cilindro 2 2x y 9+ = orientado en

sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj visto desde arriba. Encuentre

sus ecuaciones paramétricas.

10. Parametrice la curva intersección de las superficies 2 2z xy , x y 1= + = . El sentido de

recorrido de la curva es antihorario cuando es vista desde encima del plano xy.

11. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la curva C que es la intersección de las

superficies 2y 4 x= − , z 2y= , y 0≥ , desde el punto A(2,0,0) hasta el punto B(0,4,8) de

C.

12. Encuentre una representación paramétrica de una curva C que tiene punto inicial en

(2,1, 2 2) y punto final en (2, 2,0) y se encuentra sobre una parte de la superficie 2 2x y 2z 4+ + = que se encuentra enfrente del plano x 0= .

13. Sea C la curva que se obtiene al intersectar el plano y 0= y la superficie 2z x= .

Identifique y halle la ecuación de la superficie generada al rotar C alrededor del eje z.

14. La curva 2 2y z 1, x 0− = = se gira en torno al eje z. Escriba la ecuación de la superficie de

revolución y clasifíquela.

15. Halle la proyección en el plano xz de la curva intersección de las superficies 2x y 4 0+ − =

y 2 2x y z 0− + = . Identifique la curva proyección.

16. Calcule y grafique los dominios de las siguientes funciones:

a. 1

g(x,y)cos(x y)

=+

b. 3f(x,y) y x= −



c. ln(y x)

f(x,y)x y

−=+

d. 2 2f(x,y) 1 /(x 2y )= +

e. f(x, y) ln(xy)=

f. f(x,y) arcsen(x y)= +

g. 2 2f(x, y) 1 x 1 y= − + −

h. 2 2f(x,y) y x 1 ln(x y 2y)= − + + + −

i. 2 2 2 2641f(x,y) ln(x y ) 1 x y

xy= + + + − +

17. Estudie las curvas de nivel de las siguientes funciones: a. f(x,y) xy=

b. 2f(x,y) (1 x y)= + +

c. f(x, y) 1 x y= − −

d. 2f(x, y) ln(x y)= +

e. 2

2

x yf(x,y)

x y

+=+

18. Determine los límites si existen:

a. 2 2

(x,y) (1,1)

x 2xy ylím

x y→

− +−

b. (x,y) (4,3)

x y 1lím

x y 1→

− +− −

c. (x,y) (0,1)

l í m (arcsen(x / y)) /(1 xy)→

+

d. (x,y) (1,2)

l í m (3x 2y) /(2x 3y)→

− +

e. 2 2 2 2

(x,y) (0,0)l í m sen(x y ) /(x y )

→+ +

f. 2 2

(x,y) (0,0)l í m x y /(x y)

→+ +

g. 2 2

(x,y) (0,0)l í m (x y) /(x y )

→+ +

h. 3 3 2 2

(x,y) (0,0)l í m (x y ) /(x y )

→− −

i. 2 4 2

(x,y) (0,0)l í m x y /(x y )

→+

j. (x,y) (0,0)

l í m xsen(xy)→



k. 3

2 6(x,y) (0,0)

xylím

x y→ +

l. (x,y) (0,0)

l í m (x y) /(x y)→

− +

m. 2

4 2(x,y) (0,0)

xylím

y x→ +

n. 3 3

2 2(x,y) (0,0)

x ylím cos

x y→

− +

o. 3 3

2 2(x,y) (0,0)

x ylím

x y→

++

p. (x,y) (a,a)

a xlím ln x a , y a

a y→

− < < −

q. (x,y) (2,1)

arcsen(xy 2)lím

arctg(3xy 6)→

−−

r. 3 3

2 2(x,y) (2,1)

xy 2 x y 8lím

x y 4→

− + −

−

s. (x,y) (0,0)

xlím

x y→ +

t. 4 4

3 3(x,y) (0,0)

x ylím

x y→

−−

19. Sean

4 3

5 5 6 2

2xy y xf(x,y) y g(x,y)

x 6y y x= =

+ +.

Demuestre que

(x,y) (0,0) (x,y) (0,0)lím f(x,y) y lím g(x,y)

→ →

no existen.

20. Sean

2 2 3 4

2 2 4 4

7x y x yf(x,y) y g(x,y)

2x 2y x y= =

+ +.

Demuestre que

(x,y) (0,0) (x,y) (0,0)lím f(x,y) y lím g(x,y)

→ →

existen.



21. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:

a.

2

4 2

x ysi (x, y) (0,0)

f(x, y) x y0 si (x,y) (0,0)

≠= +

=

b.

xysi (x,y) (0,0)

f(x,y) x y0 si (x,y) (0,0)

≠= + =

c.

3 3

2 2

x ysi (x,y) (0,0)

f(x, y) x y0 si (x, y) (0,0)

≠= +

=

22. Calcule las derivadas parciales de primer orden para las siguientes funciones:

a. 4 4f(x, y) x y= +

b. 2 2f(x, y) x y sen(xy)= +

c. 2 2f(x, y) xy ln(x y )= +

d. f(x,y) xy /(x y z)= + +

e. 2 2f(x,y) x y= +

f. yf(x,y) e sen(xy)=

g.

ysen(t)

x

f(x,y) e dt= ∫

23. Calcule las derivadas xx yy xy yxf , f , f , f y verifique que las cruzadas son iguales.

a. 2 2f(x, y) 5x 3xy 6y= − +

b. f(x, y) tg(x 3y)= +

c. 4 2f(x,y) x y=

d. f(x,y) x / y=

e. 2f(x,y) sen(x y)=

24. Verifique que: a. 2 2f(x, y) ln(x y )= + satisface la ecuación xx yyf f 0+ = .

b. 2 2 2f(x,y,z) x y y z z x= + + satisface la ecuación xx yy zzf f f 2(x y z)+ + = + + .

c. x yx

z xy xz yz 2xyy

= + ⇒ + = .



25. Una recta tangente a la superficie cónica 2 2z 9x 4y= + está en el plano x 1= y tiene

una pendiente z 8y 5

∂ =∂

. Encuentre las coordenadas del punto de tangencia.

26. Sea

2 2

xyx 2y si (x,y) (0,0)

f(x,y) x y0 si (x,y) (0,0)

+ + ≠= + =

.

Determine si las derivadas parciales existen en el origen.

27. Determine la derivada direccional en el punto y dirección indicada: a. u f(x,y) x / y P(1,1) (0, 1)= = −

b. uf(x, y) cos(x y) P(0, ) ( /2,0)= + π = π

c. uf(x,y,z) xy yz xz P(1,1,1) (2,1,-1)= + + =

28. Si a x a x ... a x1 1 2 2 n nu e + + += , donde 2 2 21 2 na a ... a 1+ + + = , demuestre que 2 2 2

2 2 21 2 n

u u u... u

x x x

∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂

.

29. La temperatura en un punto (x,y,z) está dada por 2 2 2x 3y 9zT(x,y,z) 200e− − −= donde T se

mide en C y x, y, z en metros. a. Encuentre la razón de cambio de la temperatura en el punto P(2, 1,2)− en dirección

que va hacia el punto Q(3,-3,3).

b. ¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura en P?

c. Encuentre la mayor razón de incremento en P.

30. Dada la función 2 2 2f(x,y,z) x 2y z= + + , encuentre la razón de cambio de f en el punto

(1,0, 1)− en la dirección de un vector normal al plano 3x y z 1+ − = .

31. La temperatura T en grados Celsius en cada punto de una habitación se modela mediante 2 2T(x,y,z) (x y) z xy= + + − .

Una partícula se encuentra situada en el punto P(1,1,2).

a. ¿En qué dirección debe moverse para que su temperatura aumente más rápidamente?

b. ¿Cuál es el valor de máxima razón de aumento de temperatura?

c. ¿Qué trayectoria deberá seguir para no experimentar cambios en su temperatura?



32. Considere una función z f(x,y)= diferenciable en el punto P( 1,2)− . Si la derivada

direccional de f en P, en la dirección del vector u (3 / 5, 4 / 5)= − es 8, y en la dirección de

P a Q(11,7) es 1, determine la derivada direccional de f en P, en la dirección del vector v (3, 5)= − y el valor máximo de la derivada direccional de f en P.

33. Indique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta: a. El gradiente de f es perpendicular a la gráfica de f(x,y) c,= donde c R.∈

b. Si x yf (0,0) f (0,0)= , entonces f(x,y) es continua en el origen.

c. Si x x y y y y x x0 0 0 0lím lím f(x,y) lím lím f(x,y)→ → → →

=

, entonces (x,y) (x ,y )0 0

lím f(x,y)→

existe.

34. Sea

2 2

2 2

x ysi (x,y) (0,0)

f(x, y) x y0 si (x, y) (0,0)

≠= +

=

.

Demuestre que

a. f es continua en (0,0).

b. f f

(0,0) 0 , (0,0) 0x y

∂ ∂= =∂ ∂

.

c.

4

2 2 2x

2xysi (x, y) (0,0)

f (x, y) (x y )0 si (x,y) (0,0)

≠= +

=

,

4

2 2 2y

2yxsi (x, y) (0,0)

f (x, y) (x y )0 si (x,y) (0,0)

≠= +

=

.

d. xf es continua en (0,0).

e. yf es continua en (0,0).

f. ¿Será f diferenciable en (0,0)?

35. Sea

2

4 4

xysi (x,y) (0,0)

f(x, y) x y0 si (x, y) (0,0)

≠= +

=

.

Demuestre que

a. f no es continua en (0,0).

b. f f

(0,0) 0 , (0,0) 0x y

∂ ∂= =∂ ∂

.

c. ¿Será f diferenciable en (0,0)?



36. Sea

2 2

xysi (x,y) (0,0)

f(x,y) x y0 si (x, y) (0,0)

≠= + =

.

Indique si f es diferenciable en (0,0).

37. Sea

2 2

2 2

xy(x y )si (x,y) (0,0)

f(x, y) x y0 si (x, y) (0,0)

− ≠= + =

.

Estudie la continuidad e indique si la función es diferenciable en (0,0).

38. Para la función dada por

2 2

xy(x,y) (0,0)

f(x, y) x y

0 (x,y) (0,0)

≠= + =

:

a. Estudie la continuidad en (0,0).

b. Calcule f f

(0,0) , (0,0)x y

∂ ∂∂ ∂

.

c. ¿Es f(x,y) diferenciable en (0,0)?

39. Sea

2

8 4

x ysi (x,y) (0,0)

f(x,y) x y

0 si (x,y) (0,0)

≠

= +

=

.

Pruebe que en el origen:

a. f(x,y) no es diferenciable.

b. Sus derivadas parciales existen.

40. Encuentre el punto de la superficie 2 2z 2x 3y= + donde el plano tangente es paralelo al

plano 8x 3y z 0− − = .

41. Calcule las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal en el punto ( 2,1, 3)− −

sobre la superficie de ecuación 2 2

2x zy 3

4 9+ + = .



42. Sea la superficie 2 2z 4 x y= − − . Halle:

a. La ecuación del plano tangente que sea paralelo al plano 2x 4y z 12+ − = .

b. Una parametrización de la curva intersección con el plano z 2x 1+ = .

43. La longitud y ancho de un rectángulo son 30 cm y 24 cm respectivamente, con un margen de error en la medición de 0.1 cm en cada dimensión. Utilice diferenciales para estimar el

máximo error al calcular el área del rectángulo.

44. La presión, volumen y temperatura de un mol de un gas ideal están relacionados por la

ecuación PV 8.31T= , donde P se mide en kilopascales, V en litros, y T en grados kelvins.

Utilice diferenciales para hallar el cambio aproximado en la presión si el volumen aumenta

de 12 L a 12.3 L y la temperatura se reduce de 310 K a 305 K.

45. Indique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta: d. Si x 0 0f (x , y ) y y 0 0f (x , y ) existen ambas, entonces f es diferenciable en el punto

0 0(x ,y ).

e. Si f es diferenciable y f(a,b) 0,∇ = entonces la gráfica de z f(x,y)= tiene plano

tangente horizontal en (a,b).

46. Sea 2 2F(x,y) f(3xy 1,x y y x,5x 2y)= − − + , donde f es un campo escalar diferenciable. Si

f( 4, 2,3) (9, 3, 2)∇ − − = − − , halle la derivada direccional de F en (1, 1)− en la dirección de un

vector unitario u que forma un ángulo de 23π radianes con respecto al eje x positivo.

47. Sea f un campo escalar en 2R , con primeras derivadas parciales continuas y sea

n y zu(x,y,z) x f , , n R

x x = ∈

.

a. Demuestre que u u u

x. y. z. n.ux y z

∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂

b. Calcule 2u

x y∂

∂ ∂.

48. Sea z f(x g(y))= + . Demuestre que

2 2

2

z z z z. .

x x y y x

∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Suponga que las derivadas cruzadas son iguales.



49. La ecuación y z

F , 0x x =

define implícitamente a z z(x,y)= . Demuestre que

z zx y z

x y∂ ∂+ =∂ ∂

.

50. Sea g una función real de variable real, continua, derivable y sea

v

u

f(u,v) g(t)dt= ∫

con 2u xy , v y= = . Pruebe que 2 2

2 2 22 2

f fy x 4v g'(v) 2vg(v)

y x

∂ ∂− = +∂ ∂

.

51. Verifique que si

yz f

x =

,

entonces 2 2 2

2 22 2

z z zx 2xy y 0

x yx y

∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂∂ ∂

.

52. La ecuación zxyz e= define z f(x,y)= .

a. Halle la ecuación del plano tangente en 2 1P e , ,2

2

.

b. Demuestre que 2

22

z 1 4e , ,2

y x 2 e

∂ = − ∂ ∂ .

53. La ecuación cos(x y) cos(x z) 1+ + + = , define a z como función de x e y. Calcule xyz .

54. Si z f(x,y)= , donde x r cos( )= θ , y rsen( )= θ , demuestre que

22 2 2

2

z z z 1 zx y r r

∂ ∂ ∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂ ∂θ .



55. Sea u f(x ys,y xs)= − + , donde 2f :R R→ , 2s :R R→ , s g(x,y)= son continuas y

diferenciables. Halle xu , yu .

56. Si z f(x,y)= , donde x s t= + , y s t= − , pruebe que

22z z z z.

x y s t ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂

.

57. Sean f y g dos veces diferenciables y sea la función 1

y(x, t) [f(x ct) g(x ct)]2

= − + + .

Demuestre que satisface la ecuación

2 2

22 2

y yc . (c ctte)

t x

∂ ∂= =∂ ∂

.

58. Si u f(x,y)= en donde s sx e cos(t) , y e sen(t)= = , demuestre que

2 2 2 22s

2 2 2 2

u u u ue .

x y s t− ∂ ∂ ∂ ∂+ = + ∂ ∂ ∂ ∂

59. Sea z f(x,y)= con x 2u v , y u v= + = − , pruebe que

2 2 2 2 2

2 2 2 2

z z z z z5 2 2 .

y xx y u v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = +∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

60. Una función se dice homogénea de grado n si satisface la ecuación dada por ynx

f(x,y) x f(1, )= , donde n es un número real y f tiene derivadas parciales continuas de

segundo orden. a. Verifique que 2 2 3f(x,y) x y 2xy 5y= + + es homogénea de grado 3.

b. Demuestre que si f es homogénea de grado n, entonces f f

x y nf(x,y)x y

∂ ∂+ =∂ ∂

.

61. Calcule la derivada direccional de la función z f(x,y)= definida implícitamente por

− =zxtg(y) ze 0, en el punto 4P(0, ,0),π en la dirección del vector (2,1).



62. La temperatura en un punto (x,y) es T(x,y), medida en grados Celsius. Un insecto se arrastra de modo que su posición después de t segundos está dada por x 1 t= + ,

13y 2 t= + , donde x y y se miden en centímetros. La función de temperatura satisface

xT (2,3) 4= y yT (2,3) 3= . ¿Con qué rapidez está subiendo la temperatura en la

trayectoria del insecto después de 3 segundos?

63. Encuentre y clasifique los puntos críticos de a. 2 2f(x, y) xy(1 x y )= − −

b. 3 3f(x, y) x y 3xy= + +

c. 2 2 2 2f(x, y) x y 5x 8xy 5y= − − −

64. Dada 2 2 2f(x, y) 100(y x ) (1 x)= − + − , verifique que (1,1) es un mínimo local.

65. Encuentre los puntos críticos de 3 2f(x,y) 2x 3x 6xy(x y 1)= − − − − . ¿Cuáles de estos son

máximos, mínimos o puntos de ensilladura?

66. Suponga que un científico tiene razones para creer que dos cantidades x y y están relacionadas linealmente, es decir, y mx b= + , por lo menos en forma aproximada, para

algunos valores de m y b. El científico realiza un experimento y recoge datos en forma de puntos 1 1 2 2 n n(x , y ), (x ,y ), ..., (x , y ) , y luego traza gráficas de estos puntos. Los puntos

no se encuentran exactamente en una recta, de modo que el científico busca hallar constantes m y b de modo que la recta y mx b= + “ajuste” los puntos tanto como sea

posible. Sea i i id y (mx b)= − + la desviación vertical del punto i i(x ,y ) respecto a la recta.

El método de los mínimos cuadrados determina m y b para reducir al mínimo n

2i

i 1

d

=∑ ,

que es la suma de los cuadrados de estas desviaciones. Pruebe que, de acuerdo con este

método, la recta de mejor ajuste se obtiene cuando n n

i i

i 1 i 1

m x bn y

= =

+ =∑ ∑ ,

n n n

2i i i i

i 1 i 1 i 1

m x b x x y

= = =

+ =∑ ∑ ∑ .

Por tanto, la recta se halla al resolver estas dos ecuaciones con las dos incógnitas m y b.

67. Determine el volumen máximo del paralelepípedo que se puede inscribir en la superficie 2 2z 4 x 4y= − − con x 0≥ , y 0≥ .



68. Utilice los multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores máximo y mínimo de 2 2f(x, y) y x= − sobre la elipse de ecuación 2 2x 4y 4.+ =

69. Emplee los multiplicadores de Lagrange para determinar la distancia más corta del punto (1,0,0) al plano 4x 2y z 5.+ − =

70. Sea 2 2f(x, y) x y x y 1= + − − + :

a. Encuentre los extremos de f sujetos a la restricción 2 2x y 1+ ≤ .

b. Grafique en el plano xy la restricción y las curvas de nivel que contienen los puntos

extremos.

71. Calcule el volumen máximo posible de una caja rectangular con caras paralelas a los

planos coordenados que se puede inscribir en el elipsoide de ecuación dada por 2 2 216x 4y 9z 144.+ + =

72. El plano x y z 12+ + = interseca al paraboloide 2 2z x y= + en una elipse. Determine los

puntos más altos y más bajos de esta elipse. (Resuélvalo por multiplicadores de

Lagrange).

73. Calcule la mínima y la máxima distancia del punto (1,0,5) a la esfera de ecuación 2 2 2x y z 4.+ + =

74. El plano de ecuación x y z 1+ − = − corta a la superficie 2 2 2z x y= + , según la curva C.

Halle los puntos de C que están más próximos y más alejados del origen.

75. Encuentre los puntos sobre la superficie 2 3xy z 2= que sean más cercanos al origen.

76. Para la curva en el espacio definida por la intersección de la esfera de ecuación 2 2 2x y z 13+ + = y del plano x z 1,+ = calcule los puntos de mayor y menor altura.

77. Halle las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en 2 2x y 2.+ =

78. Encuentre los valores máximos y mínimos de f(x, y,z) x 2y 3z= + + sobre la curva

intersección de 2 2x y 2+ = y y z 1.+ =



79. Halle los valores máximos y mínimos de la función lineal f(x,y) x 2y 6= + + sobre la elipse

2 2x y1

9 4+ = .

80. Hallar el punto más alto de la curva dada por la intersección de las superficies 2 2 2x y z 36 , 2x y z 2+ + = + − = .

81. Una caja rectangular se coloca en el primer octante con un vértice en el origen y las tres

caras adyacentes en los planos coordenados como se muestra en la figura 28. Además, el vértice P(x,y,z) con coordenadas x 0, y 0, z 0> > > , pertenece al paraboloide de ecuación

2 22x y z 1+ + = . Halle el punto P que maximice el volumen de la caja.

Figura 28. Sólido del ejercicio 49

82. Halle el valor máximo y el valor mínimo de la función

x2 2

40

2tf(x,y) ln(1 x y ) dt

1 t= + + −

+∫

en el conjunto

{ }2 2 2D (x,y) R : x y 4= ∈ + ≤ .

BIBLIOGRAFÍA Funciones Reales de Variable Vectorial Pág.: 245 de 305


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