tema 2-sistemas lógicos

7/26/2019 Tema 2-Sistemas Lgicos

1/8

LGICA INFORMTICA 2016

TEMA 2: SISTEMAS LGICOS

Existe un debate sobre si es correcto hablar de una lgica, o de varias lgicas, pero en elsiglo XX se han desarrollado no uno, sino varios sistemas lgicos diferentes, que capturany formalizan distintas partes del lenguaje natural.

Se podra definir a un sistema lgico como un conjunto de cosas, que nos ayudan en latoma de decisiones que sean lo ms convenientemente posible.

Un sistema lgico est compuesto por:

1. Un conjunto de smbolos primitivos (el alfabeto, o vocabulario).2. Un conjunto de reglas de formacin (la gramtica) que nos dice cmo construir

frmulas bien formadas a partir de los smbolos primitivos.3. Un conjunto de axiomas o esquemas de axiomas. Cada axioma debe ser una

frmula bien formada.4. Un conjunto de reglas de inferencia. Estas reglas determinan qu frmulas

pueden inferirse de qu frmulas. Por ejemplo, una regla de inferencia clsica esel modus ponens, segn el cual, dada una frmula A, y otra frmula A B, la

regla nos permite afirmar que B. Estos cuatro elementos completan la partesintctica de los sistemas lgicos. Sin embargo, todava no se ha dado ningnsignificado a los smbolos discutidos, y de hecho, un sistema lgico puededefinirse sin tener que hacerlo. Tal tarea corresponde al campo llamadosemntica formal, que se ocupa de introducir un quinto elemento.

5. Una interpretacin formal . En los lenguajes naturales, una misma palabra puedesignificar diversas cosas dependiendo de la interpretacin que se le d. Porejemplo, en el idioma espaol, la palabra "banco" puede significar un edificio oun asiento, mientras que en otros idiomas puede significar algo completamentedistinto o nada en absoluto. En consecuencia, dependiendo de la interpretacin,variar tambin el valor de verdad de la oracin el banco est cerca. Lasinterpretaciones formales asignan significados inequvocos a los smbolos, yvalores de verdad a las frmulas.

CLASIFICACIN DE LA LGICA

La lgica actual ofrece un panorama de extraordinaria diversidad. Esto quiere decir que nohay un nico clculo o sistema lgico, sino multitud de ellos que se diferencian por lossmbolos (y el significado de los mismos) o las reglas que utilizan.


2/8


Nuestro propsito en este apartado es ofrecer una panormica general de esa diversidad,sin entrar en excesivos detalles.

Una primera clasificacin divide la lgica en lgicas clsicas y lgicas no clsicas.

Las lgicas clsicas son aquellas que respetan ciertos principios bsicos, entre los quedestacan:

Principio de no contradiccin : afirma que dos proposiciones contradictorias nopueden ser verdad al mismo tiempo. Por ejemplo, no puede ser verdad que lluevay no llueva al mismo tiempo en el mismo sitio.

Principio del tercero excluido : afirma que entre dos proposiciones contrarias unade las dos ha de ser necesariamente verdadera. Tomemos el ejemplo anterior:llueve y no llueve; una de las dos tiene que ser verdadera, no pueden ser las dosfalsas (o llueve o no llueve, no hay una tercera posibilidad).

Principio de identidad : dice que una proposicin es siempre idntica a s misma, oque afirmar la identidad de una proposicin consigo misma es siempre verdadero(A=A es verdad).

En el siguiente cuadro podemos encontrar como se agrupan las lgicas en la actualidad:

LGICAS CLSICAS LGICAS NO CLSICAS LGICAS MODALESProposicional Difusa ModalDe primer orden Relevante DenticaDe segundo orden Cuntica Temporal

No monotnica Epistmica

Intuicionista DemostrativaLibreRetractable

LGICAS CLSICAS

Los sistemas lgicos clsicos son los ms estudiados y utilizados de todos, y secaracterizan por incorporar ciertos principios tradicionales que otras lgicas rechazan.

Algunos de estos principios son: el principio del tercero excluido, el principio de nocontradiccin, y la monoticidad de la implicacin. Entre los sistemas lgicos clsicos seencuentran: la Lgica Proposicional, y la Lgica de Primer y de Segundo Orden, entreotros.


3/8


LGICA PROPOSICIONAL

La lgica proposicional es la parte de la lgica que estudia la formacin deproposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y la inferencia deproposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de

las proposiciones ms simples.

Una lgica proposicional es un sistema formal cuyos elementos ms simplesrepresentan proposiciones, y cuyas constantes lgicas, llamadas conectivas,representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposicionesde mayor complejidad.

Considrese el siguiente argumento:

1. Maana es mircoles o maana es jueves.

2. Maana no es jueves.

3. Por lo tanto, maana es mircoles.

Es un argumento vlido. Quiere decir que es imposible que las premisas seanverdaderas y la conclusin falsa. Esto no quiere decir que la conclusin sea verdadera.

Si las premisas son falsas, entonces la conclusin tambin podra serlo. Pero si laspremisas son verdaderas, entonces la conclusin tambin lo es. La validez de esteargumento no se debe al significado de las expresiones maana es mircoles y

maana es jueves, porque stas podran cambiarse por otras y el argumentopermanecer vlido. Por ejemplo:

1. Est soleado o est nublado.

2. No est nublado.

3. Por lo tanto, est soleado.

En cambio, la validez de estos dos argumentos depende del significado de lasexpresiones o y no. Si alguna de estas expresiones se cambiara por otra, entoncespodra ser que los argumentos dejaran de ser vlidos. Por ejemplo:

1. Ni est soleado ni est nublado.

2. No est nublado.

3. Por lo tanto, est soleado.


4/8


Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constanteslgicas. La lgica proposicional estudia el comportamiento de algunas de estasexpresiones, llamadas conectivas lgicas. En cuanto a las expresiones como "estnublado" o "maana es jueves", lo nico que importa de ellas es que tengan un valor deverdad. Es por esto que se las remplaza por simples letras, cuya intencin es simbolizaruna expresin con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variablesproposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letrap, luego q, r, s, etc. As, los dos primeros argumentos de esta seccin podran rescribirseas:

1. p o q

2. No q

3. Por lo tanto, p

LGICA DE PRIMER ORDEN

La lgica de primer orden, tambin llamada lgica de predicados o clculo depredicados, es un sistema formal diseado para estudiar la inferencia en los lenguajes deprimer orden. Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes formales concuantificadores que alcanzan slo a variables de individuo, y con predicados yfunciones cuyos argumentos son slo constantes o variables de individuo.

La lgica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir aprcticamente todas las matemticas.

Como el desarrollo histrico y las aplicaciones de la lgica de primer orden estn muyligados a la matemtica, en lo que sigue se har una introduccin que contemple eilustre esta relacin, tomando ejemplos tanto de la matemtica como del lenguajenatural.

Un predicado es una expresin lingstica que puede conectarse con una o varias otras

expresiones para formar una oracin. Por ejemplo, en la oracin Marte es unplaneta, la expresin es un planeta es un predicado que se conecta con laexpresin Marte para formar una oracin. Y en la oracin Jpiter es ms grande queMarte, la expresin es ms grande que es un predicado que se conecta con dosexpresiones, Jpiter y Marte, para formar una oracin.


5/8


Cuando un predicado se conecta con una expresin, se dice que expresa unapropiedad (como la propiedad de ser un planeta), y cuando se conecta con dos o msexpresiones, se dice que expresa una relacin (como la relacin de ser ms grandeque). La lgica de primer orden no hace ningn supuesto, sin embargo, sobre si existen ono las propiedades o las relaciones. Slo se ocupa de estudiar el modo en que hablamos yrazonamos con expresiones lingsticas.

En la lgica de primer orden, los predicados son tratados como funciones. Una funcin es,metafricamente hablando, una mquina que recibe un conjunto de cosas, lasprocesa, y devuelve como resultado una nica cosa. A las cosas que entran a lasfunciones se las llama argumentos, y a las cosas que salen, valores o imgenes.

Considrese por ejemplo la siguiente funcin matemtica:

f(x) = 2x

Esta funcin toma nmeros como argumentos y devuelve ms nmeros como valores.

Por ejemplo, si toma el nmero 1, devuelve el nmero 2, y si toma el 5, devuelve el 10. Enla lgica de primer orden, se propone tratar a los predicados como funciones que no slotoman nmeros como argumentos, sino expresiones como Marte, Mercurio y otrasque se vern ms adelante. De este modo, la oracin Marte es un planeta puedetranscribirse, siguiendo la notacin propia de las funciones, de la siguiente manera:

Planeta (Marte)

O, ms abreviadamente:

P (m)

LGICA DE SEGUNDO ORDEN

Una lgica de segundo orden es una extensin de una lgica de primer orden en la que seaaden variables para propiedades, funciones y relaciones, y cuantificadores que

operan sobre esas variables. As se expande el poder expresivo del lenguaje sin tener queagregar nuevos smbolos lgicos.

Por ejemplo, en una lgica de primer orden es posible decir "esta esmeralda es verde",pero no es posible decir "el verde es un color", porque una lgica de primer orden sirvepara hablar acerca de individuos (como esta esmeralda), pero no acerca de propiedades


6/8


(como verde). En cambio, una lgica de segundo orden no tiene esa limitacin, y por lotanto permite escribir:

Adems, una lgica de segundo orden tambin puede cuantificar sobre propiedades.

LGICAS NO CLSICAS

Los sistemas lgicos no clsicos son aquellos que rechazan uno o varios de losprincipios de la lgica clsica. Algunos de estos sistemas son: Lgica Relevante, LgicaDifusa, entre otros.

LGICA RELEVANTE

Es una lgica que evita el principio de explosin al exigir que para que un argumentosea vlido, las premisas y la conclusin deben compartir al menos una variableproposicional.

La lgica relevante fue propuesta en 1928 por el filsofo ruso Ivn Orlov (1886 - circa1936) en un escrito estrictamente matemtico titulado "The Logic of Compatibilityof Propositions" publicado en Matematicheskii Sbornik.

El objetivo de la lgica relevante es capturar los aspectos de la implicacin que sonignorados por el operador del condicional material en la lgica clsica veritativo-funcional. Esta idea no es nueva: Clarence Irving Lewis propuso el condicional estricto,sobre la base que la lgica clsica sostiene, por ejemplo, que una falsedad implicacualquier proposicin. Por lo tanto "Si yo soy el Papa, entonces 2 + 2 = 5 es verdadero".Pero claramente aunque yo fuera el Papa, 2 + 2 seguira sin ser 5. Por lo tanto larelacin de implicacin debe ser necesaria.

LGICA DIFUSA

La lgica difusa o lgica heurstica se basa en lo relativo de lo observado como posicindiferencial. Este tipo de lgica toma dos valores aleatorios, pero contextualizados yreferidos entre s. As, por ejemplo, una persona que mida 2 metros es claramente unapersona alta, si previamente se ha tomado el valor de persona baja y se ha establecido en


7/8


1 metro. Ambos valores estn contextualizados a personas y referidos a una medidamtrica lineal.

La lgica difusa se adapta mejor al mundo real en el que vivimos, e incluso puedecomprender y funcionar con nuestras expresiones, del tipo "hace mucho calor", "no es

muy alto", "el ritmo del corazn est un poco acelerado", etc.

La clave de esta adaptacin al lenguaje, se basa en comprender los cuantificadores denuestro lenguaje (en los ejemplos de arriba "mucho", "muy" y "un poco").

En la teora de conjuntos difusos se definen tambin las operaciones de unin,interseccin, diferencia, negacin o complemento, y otras operaciones sobre conjuntos(ver tambin subconjunto difuso), en los que se basa esta lgica.

Para cada conjunto difuso, existe asociada una funcin de pertenencia para sus

elementos, que indican en qu medida el elemento forma parte de ese conjunto difuso.

Se lgica difusa se basa en reglas heursticas de la forma SI (antecedente) ENTONCES(consecuente), donde el antecedente y el consecuente son tambin conjuntos difusos, yasea puros o resultado de operar con ellos. Sirvan como ejemplos de regla heurstica paraesta lgica (ntese la importancia de las palabras "muchsimo", "drsticamente", "unpoco" y "levemente" para la lgica difusa):

SI hace muchsimo calor ENTONCES aument drsticamente la temperatura. SI voy a llegar un poco tarde ENTONCES aumento levemente la velocidad.

LGICA CUNTICA

Desarrollada para lidiar con razonamientos en el campo de la mecnica cuntica; sucaracterstica ms notable es el rechazo de la propiedad distributiva.

En fsica, la lgica cuntica es el conjunto de reglas algebraicas que rigen lasoperaciones para combinar y los predicados para relacionar proposiciones asociadas aacontecimientos fsicos que se observan a escalas atmicas.

Ejemplos de tales proposiciones son aquellas relativas al momento lineal o a laposicin en el espacio de un electrn.

La lgica cuntica fue creada con el propsito de tratar matemticamente lasanomalas relativas a la medicin, como el principio de incertidumbre, en la mecnicacuntica. La expresin "lgica cuntica" tambin se refiere a la rama interdisciplinaria de


8/8


fsica, matemtica, lgica y filosofa que estudia el formalismo y las bases empricas deestas reglas algebraicas. Vale destacar que la lgica cuntica es una disciplinacientfica independiente y con objetivos diferentes de la informtica cuntica,aunque ambas dependen, por supuesto, de la fsica cuntica.

LGICA TEMPORAL

Abarca operadores temporales como siempre, nunca, antes, despus, etc.

La lgica temporal es una extensin de la lgica modal, la cual es prcticamente usada ensistema de reglas, donde est presente el tiempo. Su estudio tiene importancia en laparte de la informtica hasta nuestros das.

Por ejemplo, tomemos la sentencia: "Tengo hambre"; aunque su significado esindependiente del tiempo, el valor de verdad o falsedad de la misma puede variar con eltiempo en un determinado sistema que incluya acciones de comer; as, en funcin delsistema, algunas veces ser cierta y otras falsa, aunque nunca ser cierta y falsasimultneamente.

LGICA MODAL

Las lgicas modales estn diseadas para tratar con expresiones que califican laverdad de los juicios. As por ejemplo, la expresin siempre califica a un juicioverdadero como verdadero en cualquier momento, es decir, siempre. No es lo mismodecir est lloviendo que decir siempre est lloviendo.

Una lgica modal es un sistema formal que intenta capturar el comportamientodeductivo de algn grupo de operadores modales. Los operadores modales sonexpresiones que califican la verdad de los juicios.1 Por ejemplo, en la oracin "esnecesario que 2+2=4", la expresin "es necesario que" es un operador modal quecalifica de necesaria a la verdad del juicio 2+2=4".

tema 2-sistemas lógicos

Documents