Tema 2 - Problemas

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TEMA 2

ESFUERZOS COMBINADOS Y TEORIAS DE ROTURA ESTÁTICA

Problema 1

Escribir el valor del límite de cortadura predicho por cada una de las teorías de rotura, conocidos los datos del ensayo de tracción.

Estado tensional en el ensayo de cortadura pura

00

AX Y

BXY

C

Sys

SysSys

Estado tensional en el ensayo de tracción

00

0

AX

BY XY

C

SySy

Tresca

Ensayo cortadura pura

( )2 2

A CM AX

Sys SysSys

Ensayo de tracción

2 2A C

M AX

Sy

Igualando

0.5Sys Sy

Von Mises

Dise

2/16

Ensa

´

Ensa

´

Igua

Sys

Pro

Dedtorsi

eño de Máq

6

ayo cortad

23Sys

ayo de trac

Sy

alando

333

Sy

blema 2

ucir la expón, desde

M

quinas

ura pura

3Sys

cción

3Sy

presión pael punto d

T

d

S

ra dimensde vista de

T

d

0.577Sys

sionar una la teorías

M

T

7Sy

sección cde Tresca

circular soma y Von Mis

metida a flses.

lexión y

Tema 2 - Problemas

3/16

3

30

32

16

M MW dT TW d

Tresca

22

2 2M AX

SyN

sustituyendo

2 2

3 3

2 23

16 16

2

16

2

M T Sy

d d N

SyM T

d N

2 23min

32Nd M T

Sy

Von Mises

2 2´ 3Sy

N

Sustituyendo

2 2

3 3

2 23

32 163

2

32 3

4

M T Sy

d d

SyM T

d N

2 23min

32 3

4

Nd M T

Sy

Dise

4/16

Pro

Un acerUsahallaocurcono

Pro

El paestáa unEn lahipóaplic

a) Ela

b) H

c) H

eño de Máq

6

blema 5

eje de dro cuyo l

ando el cria la magnrre la fluocidos tod

ó :

blema 6

asador de fabricado

na fuerza Fa figura a) tesis de cá

cando las t

sfuerzo coa flexión.

ipótesis de

ipótesis de

quinas

diámetro ímite de fterio de e

nitud del muencia pados los de

la horquillaen acero

F de traccióse muestr

álculo. Detteorías de

ortante uni

e carga fig

e carga en

D está fafluencia a

esfuerzo cmomento

ara una Pemás dato

a que se mson Sy=22

ón y las dimra la distribterminar larotura para

forme en

ura b)

la figura c

fabricado a tensión cortante m

torsor T P dada. os necesa

muestra en20 MPa y mensionesbución reaa carga Fa materiale

la sección

c)

en un es Sy.

máximo, al cual Supón rios.

n la figura tSu=400 M

s acotadasal de cargatal que proes dúctiles

n transvers

tiene un diáMPa. La ho

son a=12 y en las foduce la roen los sig

sal de “cor

ámetro d=orquilla se 2 mm y b= figuras b) yotura del puientes ca

rte”, despre

12 mm, somete 18 mm. y c) dos pasador asos:

eciando

Tema 2 - Problemas

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Datos

d=12 mm

Sy=220 MPa

Su=400 MPa

a=12 mm

b= 18 mm

Solución

a) Esfuerzo cortante uniforme en la sección transversal de “corte”, despreciando la flexión.

2

2

/ 2

4

2

FSys

A

dA

d SysF

Para Tresca Sys=0.5Sy

2 20.5 12 0.5 22024881.4

2 2d Sy

F N

Para Von Mises Sys=0.577Sy

2 20.577 12 0.577 22028713.1

2 2d Sy

F N

b) Hipótesis de carga figura b)

Diseño de Máquinas

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Las reacciones y fuerzas valen F/2 escribiendo las funciones de singularidad:

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1 1 1

( ) 0 10.5 19.5 302 2 2 2

( ) 0 10.5 19.5 302 2 2 2

( ) 0 10.5 19.5 302 2 2 2

F F F Fq x x x x x

F F F FV x x x x x

F F F FM x x x x x

Cuya fuerza cortante y momento flector máximos son:

(0 10.5) 0.5

(19.5 30) 0.5

10.5 19.5 5.25

M AX

M AX

M AX

V V x F

V V x F

M M x F

Las tensiones cortante y normal máximas serán

max max2 2

max max3 3

164 16 0.5

3 3 3 12 169.6432 32 5.25

12 32.31

MAX

MAX

V V F F

A dM M F F

W d

En este caso, los esfuerzos cortantes y normales máximos se producen conjuntamente solo en dos secciones, pero dentro de estas en puntos diferentes.

V(x)

M(x)

a/2+b/4=10.5

a/2+3b/4=19.5

a+b=30

En ltanto

Para

169.6

M AX

F

F

Para

169.6

M AX

F

F

En ltantoVon

32.3

M AX

F

F

c) H

MAX

los puntos o, en ellos

a Tresca S

0.5

0.5 2.6418660.4

X Sy

N

a Von Mise

0.577

0.577.64215340.1

X Sy

N

los puntoso, en ellos Mises

22031

7108.2

X Sy

N

S

ipótesis de

de MAX, el fallo se

Sys=0.5Sy

220

es Sys=0.5

220

y

N

s de MAX, el fallo se

Se compru

e carga en

=0. El esproducirá

577Sy

=0. El ee producirá

ueba que e

la figura c

MAX

stado de tecuando M

estado de á cuando

el MAX es m

c)

ensiones eMAX=Sys:

tensiones MAX=Sy, ta

más restric

MAX

Te

es de corta

es de traanto para T

ctivo

ma 2 - Pro

adura pura

cción puraTresca com

oblemas

7/16

a y, por

a y, por mo para

Diseño de Máquinas

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1 0 9 1

0 1 1 0

1 2 2 1

( ) 0 6 20 302 18 18 2

( ) 0 6 20 302 18 18 2

( ) 0 6 20 302 36 36 2

F F F Fq x x x x x

F F F FV x x x x x

F F F FM x x x x x

Cuya fuerza cortante y momento flector máximos son:

(0 6) 0.5

15 5.25M AX

M AX

V V x F

M M F

Las tensiones cortante y normal máximas coinciden con las halladas en el apartado b) y puede comprobarse que, en este caso, la condición más restrictiva se produce en los puntos de esfuerzo normal máximo de la sección central.

Por tanto la fuerza F que produce la rotura del pasador será

F=7108.2 N

Problema 7

Hallar la altura h de la sección transversal de barra mostrada en la figura con los siguientes datos: F=35000 N, L1=500 mm, =30º, b=35 mm, Sy=330 MPa, N=2.5, El apoyo A es fijo y el B libre.

V(x)

M(x)

a/2=6

a/2+b=20 a+b=30

F/b=F/18

Tema 2 - Problemas

9/16

Datos

F=35000 N

L1=500 mm

=30º,

b=35 mm

Sy=330 MPa

N=2.5

Apoyo A fijo, B libre.

Solución

Se descompone la fuerza F y se hallan las reacciones

Al trasladar todas las fuerzas al eje de la viga se genera un momento M puesto que el apoyo no está situado en el eje de la viga.

F

FH

RAH

RAV

RAV

Diseño de Máquinas

10/16

sen

cos

0.52

V

H

H H

F F

F F

hM F hF

En el apoyo A hay un comportamiento distinto a derecha e izquierda.

Sección I-II

Ubicada a la derecha del apoyo A

La fuerza FH genera esfuerzo normal de tracción H en toda la sección I-II

cosH HH I II

F F FA bh bh

La fuerza FV genera esfuerzo normal de flexión V en la sección I-II

FV

FH RAH

RAV

RAV M

M

A

I

II

+

Tema 2 - Problemas

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2 2

6 6 senVV I II

L1 FM L1 FW bh bh

El momento M genera esfuerzo normal de flexión M en la sección I-II

2

6 0.5 3 cosHM I II

M h F FW bh bh

Sumando todas las componentes de esfuerzo ala derecha del punto I y comparando con la resistencia del material:

2

cos 6 sen 3 cosI

F L1 F F Sybh bh bh N

operando

V

A

I

II +

-

M

A

I

II

+

-

Diseño de Máquinas

12/16

2 2 2

2

2

cos 6 sen 3 cos

cos 6 sen 3 cos

4 cos 6 sen 0

Fh L1 F Fh Sybh bh bh N

Sy bhFh L1 F Fh

NSy b

h F h L1 FN

sustituyendo

2

2 6

330 354 35000cos30º 6 500 35000 sen30º 0

2.54620 121243.55 52.5 10 0

h h

h h

Ecuación de 2º grado que no admite solución real, eso quiere decir que el resultado es compresión, por lo tanto hay que igualar a –Sy/N.

2 2 2

2

2

cos 6 sen 3 cos

cos 6 sen 3 cos

4 cos 6 sen 0

Fh L1 F Fh Sybh bh bh N

Sy bhFh L1 F Fh

NSy b

h F h L1 FN

sustituyendo

2

2 6

330 354 35000cos30º 6 500 35000 sen30º 0

2.54620 121243.55 52.5 10 0

h h

h h

Cuyas raíces son -120.620 y 94.384, luego el resultado es h=94.384 mm

Sumando todas las componentes de esfuerzo a la derecha del punto II y comparando con la resistencia del material:

2

cos 6 sen 3 cosII

F L1 F F Sybh bh bh N

2 2 2

2

2

cos 6 sen 3 cos

cos 6 sen 3 cos

2 cos 6 sen 0

Fh L1 F Fh Sybh bh bh N

Sy bhFh L1 F Fh

NSy b

h F h L1 FN

2

2 6

330 352 35000cos30º 6 500 35000 sen30º 0

2.54620 60621.77 52.5 10 0

h h

h h

Tema 2 - Problemas

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Cuyas raíces son 100.24 y -113.26, luego el resultado es h=100.24 mm

Sección III-IV

Ubicada a la Izquierda del apoyo A

A la izquierda del apoyo fijo A solo tiene efecto la FV, puesto que el resto son absorbidas por el apoyo.

2 2

6 6 senVV III IV

L1 FM L1 FW bh bh

Comparando con la resistencia del material

2

6 senL1 F Sybh N

Sustituyendo

6 sen

6 500 35000 2.5 sen3035 330

106.6

L1 F Nh

b Sy

h

h m m

h=106.6 mm

Observando las siguientes halladas para los esfuerzos:

2 2

cos 6 sen 3 cos 6 sen 4 cosI

F L1 F F L1 F Fbh bh bh bh bh

2 2

cos 6 sen 3 cos 6 sen 2 cosII

F L1 F F L1 F Fbh bh bh bh bh

V

A

III

IV +

-

Dise

14/1

V

Y co

críticla di

Pro

En lpoletenssuposeguF1D=

Dato

F2C=

L1=3

L2=4

L3=1

DC=2

DD=3

F1D=

F2D=

Sy=

N=3

Solu

Las

eño de Máq

6

2

6 L1 Fbh

omparando

ca se encumensión h

blema 8

a figura seas son paión en el

oniendo quuridad N=3=270 N, F2D

os

=0.15F1C

300 mm

400 mm

150 mm

250 mm

300 mm

=270 N

= 50 N

220 MPa

ución

fuerzas en

quinas

sen

o I , H

uentra a la h en esa se

e muestra aralelos. La

ramal teue la carga3. L1=300 mD= 50 N, S

n la polea C

y V se

izquierda ección.

la un eje a tensión enso. Hallaa es estáticmm, L2=40

Sy= 220 MP

C equilibra

aprecia qu

del apoyo

con dos pen el ramaar el diámca, la secc00 mm, L3Pa.

an el par ge

ue I es

A, por lo t

poleas C yal flojo de metro mínición del ej3= 150 mm

enerado en

mayor, po

tanto basta

y D, los rala polea Cmo adecue es unifor

m, DC=250 m

n la polea D

or tanto la

aría haber

amales de C es el 15%uado pararme y el famm, DD=3

D. Por tan

sección

hallado

ambas % de la

a el eje actor se 300 mm,

to:

Tema 2 - Problemas

15/16

1 2

1 2

1 2 1 2

1 1 1 2

1 21

2

2

0.15

270 50 300310.58

1 0.15 0.85 250

300270 50 33000

2

C D

CC C C

DD D D

C C C D D D

C C C D D D

D D DC

C

D

T T

DT F F

DT F F

F F D F F D

F F D F F D

F F DF N

D

T m m N

Como las fuerzas de ambos ramales son paralelas las acciones que cargan al eje son:

1 2

1 2

310.58 1 0.15 357.17

270 50 320C C C

D D D

F F F N

F F F N

Cuya proyección sobre el sistema de referencia del dibujo es:

317.57sen45º 252.56

317.57cos45º 252.56

0

320

CY

CZ

DY

DZ

F N

F N

F

F N

Las reacciones en los apoyos serán:

163.42

89.14

109.96

174.4

AY

BY

AZ

BZ

R N

R N

R N

R N

Las funciones de singularidad para momentos flectores y torsor:

1 1 1

1 1 1 1

0 0

( ) 163.42 0 252.56 300 89.14 850

( ) 106.96 0 252.56 300 320 700 174.4 850

( ) 33000 300 33000 700

XY

XZ

M x x x x

M x x x x x

T x x x

Para hallar el momento flector resultante basta con hacer 2 2XY XZM M M

y aplicar la expresión 2 23min

32 3

4

Nd M T

Sy para hallar el mínimo diámetro d

necesario para que se cumpla la condición de diseño:

Diseño de Máquinas

16/16

Sección X mm) MXY(mmN) MXZ(mmN) M(mmN) T(mmN) dmin(mm)A 0 0 0 0 0 C 300 -49026 32088 58593.4 33000 20.84 D 700 -13370 -26152 29371.5 33000 17.89 B 850 0 0 0 0

dmin=20.84 mm