Semestre

3-2009 Jos Luis Quintero

Octubre 2009

TEMA 2

FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL

VARIABLE REAL

Clculo III (0253)

Semestre 3-2009

Funciones Reales de Variable Vectorial

Prof. Jos Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CLCULO III (0253) - TEMA 2

Las notas presentadas a continuacin tienen como nico fin, el de prestar apoyo al

estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de funciones reales de variable vectorial

haciendo nfasis en las funciones de dos variables independientes.

La gua contempla un pequeo resumen de la teora correspondiente que sirve de

repaso a los contenidos tericos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y

propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guas redactadas por profesores,

tambin hay ejercicios tomados de exmenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo

ms didctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseanza del Clculo III en

Ingeniera.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora

del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente direccin de correo:

quinterodavila@hotmail.com.

INDICE GENERAL Funciones Reales de Variable Vectorial

Prof. Jos Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CLCULO III (0253) - TEMA 2

2.1. Superficies

2.2. Superficies cilndricas

2.3. Superficies de revolucin

2.4. Construccin de superficies

2.5. Superficies cudricas

2.6. Interseccin de superficies

2.7. Ejercicios resueltos

2.8. Introduccin a las funciones de varias variables

2.9. Dominio

2.10. Lmite de una funcin de dos variables

2.11. Continuidad de una funcin de dos variables

2.12. Derivadas parciales de una funcin de dos variables

2.13. Derivadas direccionales y vactor gradiente

2.14. Ejercicios resueltos

2.15. Plano tangente

2.16. Diferenciabilidad de una funcin de dos variables

2.17. Diferencial total

2.18. Regla de la cadena

2.19. Derivacin implcita

2.20. Mximos y mnimos de funciones de dos variables

2.21. Optimizacin sujeta a restricciones

2.22. Ejercicios resueltos

2.23. Ejercicios propuestos

141

143

145

147

148

160

163

169

169

171

175

175

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181

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224

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2.1. SUPERFICIES

Definicin 1. Se denomina superficie al conjunto de puntos 3P(x,y,z) R que satisfacen una ecuacin de la forma F(x,y,z) 0= .

Ejemplo 1. Un plano Ax By Cz 0,+ + = es una superficie.

Ejemplo 2. Sean 0 0 0 0P (x ,y ,z ) y P(x,y,z) dos puntos del espacio; si 0P y P son tales que la

distancia entre ellos es una constante r, los puntos P forman una esfera de centro 0P y radio

r, cuya ecuacin es 2 2 2 2

0 0 0(x x ) (y y ) (z z ) r + + = .

Si de la ecuacin en forma implcita F(x,y,z) 0= se puede despejar en forma nica una de las variables en funcin de las otras dos, por ejemplo z f(x,y)= (ecuacin en forma explcita), entonces la superficie definida por la ecuacin F(x, y,z) 0= se puede ver como el

grfico de la funcin f.

Definicin 2. La interseccin de una superficie y un plano se llama traza.

Ejemplo 3. Al graficar el plano de ecuacin 2x 3y 5z 30 0+ + = , se van a considerar las

trazas sobre los ejes coordenados. La traza sobre el plano xy se obtiene haciendo z 0= , es decir, 2x 3y 30 0+ = , la cual es una recta en el plano xy. La traza sobre el plano yz es 3y 5z 30 0+ = y la traza sobre el plano xz es 2x 5z 30 0+ = . Una parte del grfico se

muestra en la figura 1.

Ejemplo 4. Al graficar el plano de ecuacin x 3 0 = , se van a considerar las trazas sobre los ejes coordenados. La traza sobre el plano xy se obtiene haciendo z 0= , es decir, x 3 0 = , la cual es una recta en el plano xy. La traza sobre el plano yz es 3 0 = (absurdo) lo que indica que no hay interseccin y la traza sobre el plano xz es x 3 0 = . Una parte del grfico se

muestra en la figura 2.

Ejemplo 5. Al graficar la esfera de ecuacin 2 2 2x y z 9+ + = , la traza sobre el plano xy es 2 2x y 9+ = , la cual es una circunferencia en el plano xy. La traza sobre el plano yz es 2 2y z 9+ = . La traza sobre el plano xz es 2 2x z 9+ = . Los grficos se muestran en la figura 3.

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Figura 1. Grfica del plano del ejemplo 3 en el primer octante

Figura 2. Grfica del plano del ejemplo 4 en el primer octante

Figura 3. Grficas de la esfera del ejemplo 5

SUPERFICIES CILNDRICAS Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 143 de 305

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2.2. SUPERFICIES CILNDRICAS

La palabra cilindro designa una clase de superficie mucho ms amplia que la del

cilindro circular recto conocido.

Definicin 3. Un cilindro es una superficie generada por una recta que se mueve a lo largo

de una curva plana de tal manera que siempre permanece paralela a una recta fija que no

est contenida en el plano de la curva dada. La recta que se mueve se denomina generatriz

del cilindro y la curva plana dada se llama directriz del cilindro.

Definicin 4. Sea C una curva plana en el plano xy (o en el plano yz o en el plano xz) y L

una recta que intersecta a C y que no est en el mismo plano de C. El conjunto de todas las

rectas paralelas a L que intersectan a C se llama superficie cilndrica. La recta L se llama

generatriz y la curva C es la traza de la superficie en el plano xy.

Ejemplo 6. 2 2x y 16+ = (ver figura 4)

Figura 4. Grficas de la superficie cilndrica del ejemplo 6

SUPERFICIES CILNDRICAS Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 144 de 305

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Ejemplo 7. 2 29x 16y 144+ = (ver figura 5)

Figura 5. Grficas de la superficie cilndrica del ejemplo 7

Ejemplo 8. z sen(y)= (ver figura 6)

Figura 6. Grficas de la superficie cilndrica del ejemplo 8

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Ejemplo 9. 2 225y 4z 100 = (ver figura 7)

Figura 7. Grficas de la superficie cilndrica del ejemplo 9

2.3. SUPERFICIES DE REVOLUCIN

Definicin 5. Si una curva plana se gira alrededor de una recta fija que est en el plano de la

curva, entonces la superficie as generada se denomina superficie de revolucin. La recta

fija se llama eje de la superficie de revolucin, y la curva plana recibe el nombre de curva

generatriz (o revolvente).

Se sabe que una curva C girada alrededor de una recta L que est en el mismo plano

de C, genera una superficie de revolucin. La recta L se llama eje de giro. Si la superficie es generada por la rotacin de una curva C de ecuacin f(x,z) 0= alrededor del eje x, entonces un punto P(x,y,z) de la superficie pertenece a la circunferencia descrita por P(x,0,z ') de la

curva f(x,z ') 0= . Pero el radio de la circunferencia z ' satisface la relacin

2 2z ' y z= + ,

por lo tanto 2 2f(x, y z ) 0+ = es la ecuacin de la superficie de revolucin.

SUPERFICIES DE REVOLUCIN

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Con un anlisis similar se pueden deducir las ecuaciones de las superficies en caso de

que la curva plana C est en un plano coordenado y rota alrededor de un eje coordenado

situado en ese mismo plano. En la tabla 1 se presenta un resumen de ecuaciones de

superficies de revolucin generada por la rotacin de una curva C.

Curva Eje de giro Ecuacin de la superficie f(x,y) 0= X 2 2f(x, y z ) 0+ =

f(x,y) 0= Y 2 2f( x z ,y) 0+ =

f(x,z) 0= Z 2 2f( x y ,z) 0+ =

f(x,z) 0= X 2 2f(x, y z ) 0+ =

f(y,z) 0= Y 2 2f(y, x z ) 0+ =

f(y,z) 0= Z 2 2f( x y ,z) 0+ =

Tabla 1. Ecuaciones de superficies de revolucin y su curva de rotacin

Ejemplo 10. Encuentre la ecuacin de la superficie generada por la rotacin de la curva 2 29x 4y 36+ = alrededor del eje y.

Solucin.

Como la curva gira alrededor del eje Y, se reemplaza x por 2 2x z+ en la ecuacin de la

curva, para obtener la superficie de ecuacin 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z9( x z ) 4y 36 9(x z ) 4y 36 9x 9z 4y 36 14 9 4

+ + = + + = + + = + + =

(elipsoide)

Su grfica es (ver figura 8)

Figura 8. Grfica de la superficie de revolucin del ejemplo 10

SUPERFICIES DE REVOLUCIN

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Ejemplo 11. Encuentre la ecuacin de la superficie generada por la rotacin de la curva

2z 4 x= alrededor del eje z. Solucin.

Como la curva gira alrededor del eje Z, se reemplaza x por 2 2x y+ en la ecuacin de la

curva, para obtener la superficie de ecuacin 2 2z 4 (x y )= + .

Su grfica es (ver figura 9)

Figura 9. Grfica de la superficie de revolucin del ejemplo 11

2.4. CONSTRUCCIN DE SUPERFICIES

Dada una superficie definida por la ecuacin F(x,y,z) 0= , se define el grfico de ella como el conjunto de puntos P(x,y,z) que satisfacen la ecuacin. El esquema a seguir,

contiene ciertos detalles:

I. Intersecciones con los ejes coordenados.

a. Eje x: Encontrar puntos de la forma P(x,0,0) de la superficie.

b. Eje y: Encontrar puntos de la forma P(0,y,0) de la superficie.

c. Eje z: Encontrar puntos de la forma P(0.0,z) de la superficie.

CONSTRUCCIN DE SUPERFICIES

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II. Trazas sobre los ejes coordenados. Son las curvas interseccin de la superficie con los

planos coordenados.

a. Plano yz: Se hace x 0.= b. Plano xz: Se hace y 0.=

c. Plano xy: Se hace z 0.=

III.Simetra con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.

Si la ecuacin de la superficie no se altera cuando

las variables x, y, z son reemplazadas por

La superficie es simtrica

con respecto al

-x, y, z Plano yz

x, -y, z Plano xz

x, y, -z Plano xy

-x, -y, z Eje Z

-x, y, -z Eje Y

x, -y, -z Eje X

-x, -y, -z Origen

IV.Secciones por planos paralelos a los planos coordenados

V. Informacin auxiliar de la superficie

VI.Grfico de la superficie

2.5. SUPERFICIES CUDRICAS

Definicin 6. Una superficie cudrica es aquella que se puede representar mediante una

ecuacin de segundo grado en dos variables, como por ejemplo, en la forma:

2 2 2Ax Bxy Cy Dz Ex Fy Gz H 0+ + + + + + + = .

Se vern los casos ms simples de estas superficies y que corresponden, por analoga

con las cnicas: parbola, elipse, hiprbola. Se tratarn adems superficies cuadrticas con

B 0= , que geomtricamente significa que no estn rotadas; su eje principal es paralelo a uno

de los ejes de coordenadas.

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Elipsoide. Tiene como ecuacin 2 2 2

0 0 02 2 2

(x x ) (y y ) (z z )1

a b c

+ + = .

Si a b c= = corresponde a una esfera. Los nmeros a, b y c son las longitudes de los semiejes

del elipsoide. Si dos cualesquiera de estos tres nmeros son iguales, se obtiene un elipsoide

de revolucin.

Ejemplo 12. 2 2 2x y z

19 16 25

+ + = .

Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que: I. Intersecciones con los ejes:

a. Eje x: 2x 9 x 3 (3,0,0) y ( 3,0,0)= = son puntos de la superficie.

b. Eje y: 2y 16 y 4 (0,4,0) y (0, 4,0)= = son puntos de la superficie.

c. Eje z: 2z 25 z 5 (0,0,5) y (0,0, 5)= = son puntos de la superficie.

II. Trazas sobre los ejes:

a. Plano yz: 2 2y z

x 0 116 25

= + = , entonces se tiene una elipse.

b. Plano xz: 2 2x z

y 0 19 25

= + = , entonces se tiene una elipse.

c. Plano xy: 2 2x y

z 0 19 16

= + = , entonces se tiene una elipse.

III.Simetra con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen

Relaciones Simetra F( x,y,z) F(x, y,z) = plano yz F(x, y,z) F(x,y,z) = plano xz F(x,y, z) F(x,y,z) = plano xy F( x, y,z) F(x,y,z) = eje Z F( x,y, z) F(x,y,z) = eje Y F(x, y, z) F(x, y,z) = eje X F( x y, z) F(x,y,z) = Origen

IV. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados

Los planos paralelos al plano xy tienen ecuacin z k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo z k= en la ecuacin del elipsoide, resultando

2 2 2x y k1

9 16 25+ = .

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Si 2k

1 025

> , es decir k 5< , la curva es una elipse en el plano z k= .

V. Grfico de la superficie (ver figura 10)

Figura 10. Grfica de la superficie cudrica del ejemplo 12

Hiperboloide de una hoja. Tiene como ecuacin alguna de las siguientes: 2 2 2

0 0 02 2 2

(x x ) (y y ) (z z )1

a b c

+ =

2 2 20 0 0

2 2 2

(x x ) (y y ) (z z )1

a b c

+ =

2 2 20 0 0

2 2 2

(x x ) (y y ) (z z )1

a b c

+ + =

Si a b= , la superficie es un hiperboloide de revolucin para el cual el eje es la recta que

contiene al eje conjugado.

Observacin 1. La variable del trmino con signo negativo es el eje encerrado por el

hiperboloide de una hoja.

Ejemplo 13. 2 2 2x y z

19 16 25

+ = .

Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que:

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I. Intersecciones con los ejes:

a. Eje x: 2x 9 x 3 (3,0,0) y ( 3,0,0)= = son puntos de la superficie.

b. Eje y: 2y 16 y 4 (0,4,0) y (0, 4,0)= = son puntos de la superficie.

c. Eje z: 2z 25 no se int er sec ta con el eje z= .

II. Trazas sobre los ejes:

a. Plano yz: 2 2y z

x 0 116 25

= = , entonces se tiene una hiprbola.

b. Plano xz: 2 2x z

y 0 19 25

= = , entonces se tiene una hiprbola.

c. Plano xy: 2 2x y

z 0 19 16

= + = , entonces se tiene una elipse.

III.Simetra con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen

Relaciones Simetra F( x,y,z) F(x,y,z) = plano yz F(x, y,z) F(x, y,z) = plano xz F(x,y, z) F(x,y,z) = plano xy F( x, y,z) F(x,y,z) = eje Z F( x, y, z) F(x,y,z) = eje Y F(x, y, z) F(x,y,z) = eje X F( x y, z) F(x,y,z) = Origen

IV. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados

Los planos paralelos al plano XY tienen ecuacin z k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo z k= en la ecuacin del hiperboloide, resultando

2 2 2x y k1

9 16 25+ = + .

Si 2k

1 025

+ > , es decir 2k 25> , la curva es una elipse en el plano z k= . Los planos

paralelos al plano xz tienen ecuacin y k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo y k= en la ecuacin del hiperboloide, resultando

2 2 2x z k1

9 25 16 = .

Si 2k

1 016

, es decir si k 4 , la curva es una hiprbola en el plano y k= . Los

planos paralelos al plano yz tienen ecuacin x k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo x k= en la ecuacin del hiperboloide, resultando

SUPERFICIES CUDRICAS Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 152 de 305

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2 2 2y z k

116 25 9

= .

Si 2k

1 09

, es decir si k 3 , la curva es una hiprbola en el plano x k= .

V. Grfico de la superficie (ver figura 11)

Figura 11. Grfica de la superficie cudrica del ejemplo 13

Hiperboloide de dos hojas. Tiene como ecuacin alguna de las siguientes:

2 2 20 0 0

2 2 2

(z z ) (x x ) (y y )1

c a b

=

2 2 20 0 0

2 2 2

(z z ) (x x ) (y y )1

c a b

+ =

2 2 20 0 0

2 2 2

(z z ) (x x ) (y y )1

c a b

+ =

Si a b= , la superficie es un hiperboloide de revolucin en el que el eje es la recta que

contiene al eje transverso de la hiprbola.

Observacin 2. La variable del trmino con signo positivo es el eje abrazado por el

hiperboloide de dos hojas.

SUPERFICIES CUDRICAS Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 153 de 305

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Hiperboloide de dos hojas. Tiene como ecuacin

2 2 2

2 2 2

z x y1

c a b = .

Si a b= , la superficie es un hiperboloide de revolucin en el que el eje es la recta que

contiene al eje transverso de la hiprbola.

Observacin 2. La variable del trmino con signo positivo es el eje abrazado por el

hiperboloide de dos hojas.

Ejemplo 14. 2 2 2z x y

125 9 16

= .

Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que:

I. Intersecciones con los ejes:

a. Eje x: 2x 9 no se int er sec ta con el eje x= .

b. Eje y: 2y 16 no se int er sec ta con el eje y= .

c. Eje z: 2z 25 z 5 (0,0,5) y (0,0, 5)= = son puntos de la superficie.

II. Trazas sobre los ejes:

a. Plano yz: 2 2z y

x 0 125 16

= = , entonces se tiene una hiprbola.

b. Plano xz: 2 2z x

y 0 125 9

= = , entonces se tiene una hiprbola.

c. Plano xy: 2 2x y

z 0 19 16

= + = , no describe ninguna curva real.

III.Simetra con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen

Relaciones Simetra F( x,y,z) F(x,y,z) = plano yz F(x, y,z) F(x,y,z) = plano xz F(x,y, z) F(x,y,z) = plano xy F( x, y,z) F(x, y,z) = eje Z F( x,y, z) F(x,y,z) = eje Y F(x, y, z) F(x,y,z) = eje X F( x y, z) F(x, y,z) = Origen

IV. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados

Los planos paralelos al plano xy tienen ecuacin z k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo z k= en la ecuacin del hiperboloide, resultando

SUPERFICIES CUDRICAS Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 154 de 305

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2 2 2x y k

19 16 25

+ = .

Si 2k

1 025

> , es decir k 5> , la curva es una elipse en el plano z k= . Los planos

paralelos al plano xz tienen ecuacin y k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo y k= en la ecuacin del hiperboloide, resultando

2 2 2z x k1

25 9 16 = + .

Si 2k

1 016

+ , es decir si para todo k real, la curva es una hiprbola en el plano y k= .

Los planos paralelos al plano yz tienen ecuacin x k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo x k= en la ecuacin del hiperboloide, resultando

2 2 2z y k1

25 16 9 = + .

Si 2k

1 09

+ , es decir para todo k real, la curva es una hiprbola en el plano x k= .

V. Grfico de la superficie (ver figura 12)

Figura 12. Grfica de la superficie cudrica del ejemplo 14

SUPERFICIES CUDRICAS Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 155 de 305

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Cono. Tiene como ecuacin alguna de las siguientes 2 2 2

0 0 02 2 2

(x x ) (y y ) (z z )0

a b c

+ =

2 2 20 0 0

2 2 2

(x x ) (y y ) (z z )0

a b c

+ =

Observacin 3. La variable del trmino con signo negativo es el eje abrazado por el cono.

Ejemplo 15. 2 2 2x y z9 16 25

+ = .

Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que: I. Intersecciones con los ejes:

Eje x: 2x 0 (0,0,0)= es un punto de la superficie.

II. Trazas sobre los ejes:

a. Plano yz: 2 2y z

x 016 25

= = , entonces se tienen dos rectas secantes de ecuaciones

45y z= ,

45y z= .

b. Plano xz: 2 2x z

y 09 25

= = , entonces se tienen dos rectas secantes de ecuaciones

35x z= ,

35x z= .

c. Plano xy: 2 2x y

z 0 09 16

= + = , describe el punto (0,0,0).

III.Simetra con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen

Relaciones Simetra F( x,y,z) F(x,y,z) = plano yz F(x, y,z) F(x, y,z) = plano xz F(x,y, z) F(x,y,z) = plano xy F( x, y,z) F(x,y,z) = eje Z F( x, y, z) F(x,y,z) = eje Y F(x, y, z) F(x,y,z) = eje X F( x y, z) F(x,y,z) = Origen

IV. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados

Los planos paralelos al plano XY tienen ecuacin z k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo z k= en la ecuacin del hiperboloide, resultando

2 2 2x y k9 16 25

+ =

SUPERFICIES CUDRICAS Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 156 de 305

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Si 2k

025

> , es decir k 0> , la curva es una elipse en el plano z k= . Los planos

paralelos al plano xz tienen ecuacin y k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo y k= en la ecuacin del hiperboloide, resultando

2 2 2z x k25 9 16

= .

Si 2k

016

, es decir si k 0 , la curva es una hiprbola en el plano y k= . Los planos

paralelos al plano yz tienen ecuacin x k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo x k= en la ecuacin del hiperboloide, resultando

2 2 2z y k25 16 9

= .

Si 2k

09

, es decir si k 0 , la curva es una hiprbola en el plano x k= .

V. Grfico de la superficie (ver figura 13)

Figura 13. Grfica de la superficie cudrica del ejemplo 15

Paraboloide. Tiene como ecuacin alguna de las siguientes:

2 2

0 0 02 2

(x x ) (y y ) z zca b

+ = ,

2 20 0 0

2 2

(x x ) (z z ) y yba c

+ = ,

2 20 0 0

2 2

(z z ) (y y ) x xac b

+ = .

Observacin 4. La variable del trmino lineal es el eje abrazado por el paraboloide y el

signo de su coeficiente indica como lo hace.

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Ejemplo 16.

2 2x y z9 16 5

+ = .

Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que:

I. Intersecciones con los ejes:

Eje x: 2x 0 (0,0,0)= es un punto de la superficie.

II. Trazas sobre los ejes:

a. Plano yz: 216

x 0 y z5

= = , entonces se tiene una parbola.

b. Plano xz: 29

y 0 x z5

= = , entonces se tiene una parbola.

c. Plano xy: 2 2x y

z 0 09 16

= + = , describe el punto (0,0,0).

III.Simetra con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen

Relaciones Simetra F( x,y,z) F(x,y,z) = plano yz F(x, y,z) F(x,y,z) = plano xz F(x,y, z) F(x, y,z) - F( x, y,z) F(x,y,z) = eje Z F( x,y, z) F(x,y,z) - F(x, y, z) F(x,y,z) - F( x y, z) F(x,y,z) -

IV. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados

Los planos paralelos al plano xy tienen ecuacin z k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo z k= en la ecuacin del hiperboloide, resultando

2 2x y k9 16 5

+ = .

Si k

05

> , es decir k 0> , la curva es una elipse en el plano z k= . Los planos paralelos

al plano xz tienen ecuacin y k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo y k= en la ecuacin del hiperboloide, resultando

2 2x z k9 5 16

= .

Para todo k real, la curva es una parbola en el plano y k= . Los planos paralelos al

plano yz tienen ecuacin x k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo x k= en la ecuacin del hiperboloide, resultando

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2 2y z k

16 5 9= .

Para todo k real, la curva es una parbola en el plano x k= .

V. Grfico de la superficie (ver figura 14)

Figura 14. Grfica de la superficie cudrica del ejemplo 16

Paraboloide hiperblico o silla de montar. Tiene como ecuacin alguna de las siguientes: 2 2

0 0 02 2

(x x ) (y y ) z zca b

= ,

2 20 0 0

2 2

(x x ) (z z ) y yba c

= ,

2 20 0 0

2 2

(z z ) (y y ) x xac b

=

2 20 0 0

2 2

(x x ) (y y ) z zca b

+ = ,

2 20 0 0

2 2

(x x ) (z z ) y yba c

+ = ,

2 20 0 0

2 2

(z z ) (y y ) x xac b

+ =

Ejemplo 17. 2 2x y z9 16 5

= .

Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que:

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I. Intersecciones con los ejes:

Eje x: 2x 0 (0,0,0)= es un punto de la superficie.

II. Trazas sobre los ejes:

a. Plano yz: 216

x 0 y z5

= = , entonces se tiene una parbola.

b. Plano xz: 29

y 0 x z5

= = , entonces se tiene una parbola.

c. Plano xy: 2 2x y

z 09 16

= = , entonces se tienen dos rectas secantes de ecuaciones

34x y= ,

45x y= .

III.Simetra con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen

Relaciones Simetra F( x,y,z) F(x,y,z) = plano yz F(x, y,z) F(x, y,z) = plano xz F(x,y, z) F(x,y,z) - F( x, y,z) F(x,y,z) = eje Z F( x, y, z) F(x,y,z) - F(x, y, z) F(x,y,z) - F( x y, z) F(x,y,z) -

IV. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados

Los planos paralelos al plano xy tienen ecuacin z k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo z k= en la ecuacin del paraboloide hiperblico, resultando

2 2x y k9 16 5

= .

Si k

05

, es decir k 0 , la curva es una hiprbola en el plano z k= . Los planos

paralelos al plano xz tienen ecuacin y k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo y k= en la ecuacin del paraboloide hiperblico, resultando

2 2x z k9 5 16

= + .

Para todo k real, la curva es una parbola en el plano y k= . Los planos paralelos al

plano yz tienen ecuacin x k= . La curva interseccin entre la superficie y este plano se obtiene sustituyendo x k= en la ecuacin del paraboloide hiperblico, resultando

2 2y z k16 5 9

= + .

Para todo k real, la curva es una parbola en el plano x k= .

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V. Grfico de la superficie (ver figura 15)

Figura 15. Grfica de la superficie cudrica del ejemplo 17

2.6. INTERSECCIN DE SUPERFICIES

La interseccin de dos superficies F(x,y,z) 0= y G(x,y,z) 0= es el conjunto de puntos

3(x,y,z) R que satisfacen simultneamente ambas ecuaciones, es decir, una curva en el

espacio.

Ejemplo 18. La curva interseccin de la esfera 2 2 2x y z 4+ + = y el plano y x 1 0+ = viene

dada por las soluciones del sistema 2 2 2x y z 4y x 1 0

+ + =

+ =.

Se obtienen las proyecciones de esta curva en los planos de coordenadas eliminando una de

las variables, as:

a. Para obtener la proyeccin en el plano xz se elimina la variable y:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 21 1 1 74 2 2 2

21 22

7 74 2

x (1 x) z 4 x 1 2x x z 4 2x 2x z 3

2(x x ) z 3 2(x ) z

(x ) z1

+ + = + + + = + =

+ + = + + =

+ =

INTERSECCIN DE SUPERFICIES

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b. Para obtener la proyeccin en el plano yz se elimina la variable x:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 21 1 1 74 2 2 2

21 22

7 74 2

(1 y) y z 4 1 2y y y z 4 2y 2y z 3

2(y y ) z 3 2(y ) z

(y ) z1

+ + = + + + = + =

+ + = + + =

+ =

Una de las formas de expresar una curva en el espacio es dar sus ecuaciones

paramtricas. En el ejemplo se puede usar la proyeccin en el plano yz para obtener sus

ecuaciones paramtricas: 1 72 4

x(t) cos(t)= , 1 72 4

y(t) cos(t)= + , 72

z(t) sen(t)= , t 0,2

En forma grfica, se tiene: (ver figura 16)

Figura 16. Grfica de las superficies y su interseccin del ejemplo 18

Ejemplo 19. La curva interseccin del paraboloide 2 2z x y= + y el plano x y z 10+ + = viene

dada por las soluciones del sistema 2 2z x y

x y z 10

= +

+ + =.

Se obtienen las proyecciones de esta curva en los planos de coordenadas eliminando una de

las variables, as:

a. Para obtener la proyeccin en el plano xy se elimina la variable z para llegar a 2 21 1 21

2 2 2(x ) (y )+ + + = .

INTERSECCIN DE SUPERFICIES

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b. Para obtener la proyeccin en el plano yz se elimina la variable x para llegar a

2 22y 2yz z 20y 21z 100 0+ + + = .

c. Para obtener la proyeccin en el plano xz se elimina la variable y para llegar a 2 22x 2xz z 20x 21z 100 0+ + + = .

Se puede usar la proyeccin en el plano xy para obtener sus ecuaciones paramtricas:

1 212 2

x(t) cos(t)= + , 1 212 2

y(t) sen(t)= + , 21 212 2

z(t) 11 cos(t) sen(t)= , t 0,2 .

En forma grfica, se tiene: (ver figura 17)

Figura 17. Grfica de las superficies y su interseccin del ejemplo 19

EJERCICIOS RESUELTOS Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 163 de 305

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2.7. EJERCICIOS RESUELTOS

1. Para cada ecuacin, identifique la superficie que representa.

a. 2 2 29x 4y 36z 0 + =

b. 2 2 25x 6y 10z 30 0+ + =

c. 2 24x y 9z 0+ + =

d. 2 2 2x y 2z 6 0 + =

e. 2 2x 2y z=

f. 2 2 2x y z 4 0+ + =

g. 2 2 216x 9y 16z 32x 36y 36 0+ + + =

h. 2 2x y 4x 3y z 5 0+ + = i. 6x 3y 4z 12+ + =

j. 2 2 25x 6y 10z 30 0+ = k. z sen(y)=

l. 2 2 2x y z 4 + =

m. 2 29x 4z 36y 0+ + =

n. 2z 2 x= + o. 2 2y 2x z=

p. 2 2 2x y z 2x 4y 6z 0+ + =

q. 2 2 24x 4y z 8x 2z 11 0+ + + =

r. 2 2 24x y 4z 16x 6y 16z 9 0+ + =

Cono

Hiperboloide de dos hojas

Paraboloide

Hiperboloide de una hoja

Silla de montar

Esfera

Elipsoide

Paraboloide

Plano

Hiperboloide de una hoja

Superficie cilndrica

Hiperboloide de dos hojas

Paraboloide

Superficie cilndrica

Silla de montar

Esfera

Elipsoide

Cono

2. Construya la superficie de ecuacin 2 2 24x 4y z 8x 2z 11 0+ + + = .

Solucin.

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

4x 4y z 8x 2z 11 0 4(x 2x 1) 4y (z 2z 1) 11 4 1

(x 1) y (z 1)4(x 1) 4y (z 1) 16 1

4 4 16

+ + + = + + + + + = + +

+ + + + = + + =

Sean x ' x 1, z ' z 1= + = . Al graficar la ecuacin 2 2 2x ' y z '

14 4 16

+ + =

se tiene: (ver figura 18)

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Figura 18. Grfica de la superficie cudrica sin trasladar del ejercicio 2

Al trasladar los ejes x, z se tiene: (ver figura 19)

Figura 19. Grfica de la superficie cudrica trasladada del ejercicio 2

3. Construya la superficie de ecuacin 2 2 24x y 4z 16x 6y 16z 9 0+ + = .

Solucin.

2 2 2

22 2 2 2 2

4(x 4x 4) (y 6y 9) 4(z 4z 4) 9 16 9 16

(y 3)4(x 2) (y 3) 4(z 2) 0 (x 2) (z 2) 0 (cono)

4

+ + + + + = + +

+ + = + + =

Sean x ' x 2, y ' y 3, z ' z 2= = = + . Al graficar la ecuacin 2 2

2 y ' z 'x ' 04 4

+ =

se tiene: (ver figura 20)

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Figura 20. Grfica de la superficie cudrica sin trasladar del ejercicio 3

Al trasladar los ejes x, y, z se tiene: (ver figura 21)

Figura 21. Grfica de la superficie cudrica trasladada del ejercicio 4

4. Dadas las superficies 2 2 2z 4 y , z x y = = + , d la proyeccin sobre el plano xy de la

curva interseccin y determine una parametrizacin de dicha curva.

Solucin. 2 2

2 2 2 2 2 x yx y 4 y x 2y 4 14 2

+ = + = + = . Elipse

Parametrizacin:

r 2(t) (2cos(t), 2sen(t),2 cos (t) 2)= + o r 2(t) (2cos(t), 2sen(t),4 2sen (t))= .

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5. Halle la ecuacin de la superficie de revolucin S, que se obtiene al rotar la curva de

ecuaciones 2 2x z 1 = , y 0= alrededor del eje z y parametrice la curva de interseccin

de la superficie S con la esfera de centro (2,0,0) y radio 3 .

Solucin.

Superficie S: 2 2 2x y z 1+ = (Hiperboloide de una hoja)

Esfera: 2 2 2 2 2 2(x 2) y z 3 z 3 (x 2) y + + = = .

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

x y 3 (x 2) y 1 x y 3 x 4x 4 y 1 2x 2y 4x 0

(x 1) y 1.

+ + + = + + + + = + =

+ =

x(t) 1 cos(t)= + , y(t) sen(t)= , z(t) 1 2cos(t)= +

1 2r r(t) (1 cos(t),sen(t), 1 2cos(t)) (t) (1 cos(t),sen(t), 1 2cos(t))= + + = + +

6. Parametrice la curva

2 2 2

x y 2C :

x y z 2(x y)

+ =

+ + = +

que se encuentra en el primer octante, recorrida desde el punto A (0,2,0)= hasta el punto B (2,0,0)= .

Solucin.

2 2 2 2 2 22 2 2

x y 2C : x (2 x) z 4 z 4x 2x z 4x 2x

x y z 2(x y)

+ = + + = = =

+ + = +

por ser z 0 , ya que la porcin de la curva recorrida pertenece al primer octante. De

acuerdo con lo anterior, la expresin paramtrica de la curva si x es el parmetro sera:

r 2(t) (t,2 t, 4t 2t )= , t 0,2 .

7. Halle las ecuaciones paramtricas de la curva interseccin de las superficies de ecuaciones

y z 2 0 = , 2 2x z 25+ = .

Solucin.

Para encontrar las ecuaciones paramtricas de la curva C se tiene: x(t) 5cos(t)= , z(t) 5sen(t)= , y(t) 2 5sen(t)= + , 0 t 2 .

Por lo tanto: r(t) (5cos(t),2 5sen(t),5sen(t))= + , 0 t 2 .

8. Desde el punto (1,2, 1) hasta el punto (1, 2, 1) , obtenga la curva de interseccin de las

superficies dadas por 2x z 1+ = , 2 2z 8 x 2y= .

Solucin.

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2 2

2 2 2 2 (x 1) y1 2x 8 x 2y (x 1) 2y 8 18 4 = + = + =

r 32 2(t) (1 2 2 cos(t),2sen(t), 4 2 cos(t) 1) t = + .

9. Sea C la curva de origen el punto (a,0,0), que se obtiene como interseccin de las superficies de ecuaciones x z a+ = , 2 2 2 2x y z a+ + = ; a 0> es una constante. Encuentre

las ecuaciones paramtricas de C donde el recorrido de C es tal que la coordenada y

crece.

Solucin.

p

r

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2a a4 2

2a 222 2 2a a a a a2 2 2 2 22 2 2a a

4 2

x y (a x) a x y a 2ax x a 2x 2ax y 0

2(x ax ) y

(x ) y2(x ) y 1 (t) ( cos(t), sen(t)) , 0 t

+ + = + + + = + =

+ + =

+ = + = = +

Por tanto r a a a a a2 2 2 2 22(t) ( cos(t), sen(t), cos(t)) , 0 t

= + .

10. Determine las ecuaciones paramtricas y cartesianas e identifique la interseccin de las

superficies 2 2 2 2 2 2x y z 1 , y z x 1 + = + = .

Solucin. 2 2 2z 1 z 1 2z 2 z 1 + = = = .

Al sustituir z 1= se tiene 2 2 2 2x y 0 x y y x = = = . Sean las rectas: y x, z 1 ; y x, z 1= = = = .

Ecuaciones paramtricas:

1 2r r x t (t) (t, t,1) (t) (t, t,1) t R= = =

Al sustituir z 1= se tiene 2 2 2 2x y 0 x y y x = = = . Sean las rectas: y x, z 1 ; y x, z 1= = = = .

Ecuaciones paramtricas:

3 4r r x t (t) (t, t, 1) (t) (t, t, 1) t R= = =

11. Determine la curva C dada por la interseccin de las superficies de ecuaciones dadas por

2 2 21S : x y z 2z 3 , z 3 2+ + = < y 2 2

2S : x y z 5 , z 1+ + = . El recorrido de C es antihorario visto desde la parte superior de 2S .

Solucin.

2 2 21S : x y z 2z 3 , z 3 2+ + = < , esfera 2 2

2S : x y z 5 , z 1+ + = , paraboloide.

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Curva interseccin: = r (t) (2cos(t),2sen(t),1) , t 0,2 .

12. Sea r un nmero positivo menor que 1. a. Pruebe que la interseccin de la esfera de ecuacin 2 2 2x y z 1+ + = con el cilindro de

ecuacin 2 2 2x y r+ = , es la unin de dos circunferencias disjuntas 0C y 1C , donde 0C

contiene el punto 2r r0 2 2P ( , , 1 r )= y 1C contiene el punto 2r r

1 2 2P ( , , 1 r )= .

Solucin. 2 2 2 22 2 2

2 2 2 02 2 2 2 2 2 2

1

2 2 2 2r r2 2 0 0

2 2 2 2r r 1 12 2

C : x y r , z 1 rx y z 1r z 1 z 1 r

x y r C : x y r , z 1 r

( ) ( ) r , z 1 r P CP C( ) ( ) r , z 1 r

+ = = + + = + = =

+ = + = =

+ = =

+ = =

0C y 1C son disjuntas ya que viven en planos paralelos al eje z.

b. Considere un alambre que tiene la forma de la curva C de la parte a y del segmento que une el punto 0P con el punto 1P . Encuentre las ecuaciones paramtricas de la

curva C.

Solucin. Ecuacin paramtrica del segmento que une el punto 0P con el punto 1P .

2 2 2 2r r r r2 2 2 2

(t) ( , , 1 r ) t(0,0,2 1 r ) ( , , 1 r 2 1 r t) , t 0,1= + = + r

Ecuaciones paramtricas de la curva C: 2

2

2 2r r2 2

(r.cos(t),r.sen(t), 1 r ) t 0,2

(r.cos(t),r.sen(t), 1 r ) t 0,2

( , , 1 r 2 1 r t) t 0,1

+

INTRODUCCIN A LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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2.8. INTRODUCCIN A LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Al describir algn fenmeno tanto fsico como de otras reas mediante una funcin, es

comn el uso de mltiples variables independientes entre s.

Ejemplo 20. El volumen de un cilindro circular recto con base de radio r y altura h viene dado por 2V r h= ; el radio y la altura son variables independientes, por lo tanto este volumen es una funcin de dos variables: 2V(r,h) r h= .

Ejemplo 21. La distancia de un punto 3(x,y,z) R al origen est dada por la expresin

2 2 2x y z+ + , x, y, z las coordenadas del punto son variables dadas en forma independiente.

Esta distancia es una funcin de tres variables dada por la expresin 2 2 2d(x,y,z) x y z= + + .

2.9. DOMINIO

Si no se dan otras indicaciones, se supondr que el dominio es el conjunto de todos los

puntos para los cuales la expresin que define la funcin tiene sentido.

Ejemplo 22. Grafique el dominio de la funcin 2f(x, y) y x= .

Solucin. 2D(f) {(x,y) / y x 0}= .

La regin sombreada indica el dominio de la funcin (ver figura 22).

Ejemplo 23. Grafique el dominio de la funcin 24 y x

f(x,y)ln(x y)

=

+.

Solucin. 2D(f) {(x,y) / y x 0 x y 0 x y 1}= + > + .

La regin sombreada representa el dominio de la funcin (ver figura 23).

DOMINIO Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 170 de 305

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Figura 22. Representacin grfica del dominio del ejemplo 22

Figura 23. Representacin grfica del dominio del ejemplo 23

Definicin 7. Sea z f(x,y)= definida en un conjunto D del plano, la grfica de la funcin f

es el conjunto de puntos de 3R tales que (x,y, f(x,y)) con (x,y) D .

Definicin 8. Se llaman curvas de nivel a las curvas en 2R sobre las cuales la funcin z f(x,y)= es constante. Ellas reciben, de acuerdo a la disciplina, nombres especiales: Si la funcin es la presin en el punto (x,y) : f(x, y) k,= son curvas de presin constante

o isobaras. Si la funcin es la temperatura en el punto (x,y) : f(x, y) k,= son curvas de temperatura

constante o isotermas. Si la funcin es un campo de potencial elctrico: f(x,y) k,= son las lneas

equipotenciales. Si f(x,y) representa la altura de un punto (x,y) sobre el nivel del mar: f(x,y) k,= cotas

son lneas sobre un mapa topogrfico de altura constante.

DOMINIO Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 171 de 305

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Definicin 9. Si la funcin es de tres variables w f(x,y,z)= , el conjunto de puntos en los cuales la funcin es constante. f(x, y, z) c= es una superficie y se llamar superficie de

nivel de la funcin f.

Ejemplo 24. Siendo 2 2 2f(x, y,z) x y z= + ,

las superficies de nivel 2 2 2x y z k+ = :

Si k 0= , 2 2 2x y z+ = es un cono.

Si k 0,> 2 2 2x y z k+ = es un hiperboloide de una hoja.

Si k 0,< 2 2 2x y z k+ = es un hiperboloide de dos hojas.

2.10. LMITE DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Definicin 10. Un punto 0 0(x , y ) en un subconjunto A de

2R es un punto interior de A si

existe un crculo con centro en 0 0(x ,y ) totalmente contenido en A.

Definicin 11. Un punto 0 0(x ,y ) en un subconjunto A de 2R es un punto frontera de A si

todo crculo centrado en 0 0(x ,y ) contiene puntos que estn fuera de A, as como puntos que

estn en A. El punto 0 0(x ,y ) no tiene que pertenecer a A.

Definicin 12. Un conjunto 2A R es abierto si los puntos frontera no estn en A.

Definicin 13. Un conjunto 2A R es cerrado si los puntos frontera estn en A.

Definicin 14. Si A es un punto de nR y r es un nmero positivo, entonces la bola abierta B(A;r) es el conjunto de todos los puntos P de nR tales que P A r < .

Definicin 15. Si A es un punto de nR y r es un nmero positivo, entonces la bola cerrada B(A;r) es el conjunto de todos los puntos P de nR tales que P A r .

Definicin 16. Un punto 0P es un punto de acumulacin de un conjunto S de puntos de

nR

si toda bola abierta B(P;r) contiene un nmero infinito de puntos de S.

LMITE DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

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TEOREMA 1. Suponga que la funcin f est definida para todos los puntos de un disco abierto centrado en 0 0(x , y ) , excepto posiblemente en 0 0(x , y ) , y que

(x,y) (x ,y )0 0l m f(x,y) L

= .

Entonces, si S es cualquier conjunto de puntos de 2R que tiene a 0 0(x ,y ) como punto de

acumulacin,

(x,y) (x ,y )0 0((x,y) en S)

l m f(x,y)

existe y siempre es igual a L.

TEOREMA 2. Si la funcin f tiene lmites diferentes conforme (x,y) se aproxima a 0 0(x ,y ) a

travs de dos conjuntos diferentes de puntos que tienen a 0 0(x ,y ) como un punto de

acumulacin, entonces

(x,y) (x ,y )0 0l m f(x,y)

no existe.

Observacin 5. Si los valores de una funcin z f(x,y)= se acercan a L cuando (x,y) se acerca a 0 0(x ,y ) , se dir que el lmite de f(x,y) es igual a L cuando (x,y) tiende a 0 0(x ,y ) ;

este hecho geomtrico se denota por:

(x,y) (x ,y )0 0lm f(x,y) L.

=

Ejemplo 25. Calcule 2

2 2(x,y) (1,1)

x yl m

x y +.

Solucin. 2

2 2(x,y) (1,1)

x y 1.1 1l m

1 1 2x y= =

++.

Ejemplo 26. Calcule xy

(x,y) (0,0)

e sen(xy)l m

xy.

Solucin. xy

xy

(x,y) (0,0) (x,y) (0,0) (x,y) (0,0)

e sen(xy) sen(xy)l m l m e . l m 1.1 1

xy xy = = = .

LMITE DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 173 de 305

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Ejemplo 27. Calcule

1(x,y) ( ,1)2

arcsen(xy)l m

1 xy +.

Solucin. 1

621 31(x,y) ( ,1) 2 22

arcsen( )arcsen(xy)l m

1 xy 91 .1

= = =+ +

.

Ejemplo 28. Calcule 4 4

2 2(x,y) (0,0)

y xl m

y x+

.

Solucin. 4 4 2 2 2 2

2 22 2 2 2(x,y) (0,0) (x,y) (0,0) (x,y) (0,0)

y x (y x )(y x )l m l m l m (y x ) 0

y x y x += = =+ +

.

Ejemplo 29. Calcule 2 2

2 2(x,y) (0,0)

x ylm

x y+

.

Solucin. Sean 1S : conjunto de todos los puntos del eje x y 2S : conjunto de todos los puntos del eje y.

2

2(x,y) (0,0) x 0 x 0((x,y) en S )1

xlm f(x,y) lm f(x,0) lm 1

x = = = .

2

2(x,y) (0,0) y 0 y 0((x,y) en S )2

ylm f(x,y) lm f(0,y) lm 1

y = = = .

Como

(x,y) (0,0) (x,y) (0,0)((x,y) en S ) ((x,y) en S )1 2

lm f(x,y) lm f(x,y)

se concluye que el lmite no existe.

Ejemplo 30. Calcule

2 2(x,y) (0,0)

xlm

x y +.

Solucin.

Sea S el conjunto de todos los puntos del eje x. Entonces

2 2(x,y) (0,0) x 0

((x,y) en S)

x 1lm lm

xx y =

+.

Por tanto, el lmite no existe.

LMITE DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 174 de 305

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Definicin 17. Siendo z f(x,y)= una funcin de dos variables, reciben el nombre de lmites

iterados los siguientes lmites:

x x y y y y x x0 0 0 0lm lm f(x,y) , lm lm f(x,y)

.

TEOREMA 3. Si existen

x x y y y y x x0 0 0 0lm lm f(x,y) y lm lm f(x,y)

pero son diferentes, entonces

(x,y) (x ,y )0 0lm f(x,y)

no existe.

Ejemplo 31. Calcule 2 2

2 2(x,y) (0,0)

x ylm

x y+

.

Solucin. 2 2

2 2x 0 y 0

x ylm lm 1

x y = +

, 2 2

2 2y 0 x 0

x ylm lm 1

x y = +

por lo tanto el lmite no existe.

En el clculo de un lmite se puede pasar de coordenadas rectangulares a polares,

tcnica que a veces tiene xito.

TEOREMA 4. Si ( ) es una funcin acotada (en alguna bola con centro en el origen) y (r)

es una funcin que tiende a cero cuando r tiende a cero, entonces

r 0 r 0lmg(r, ) lm ( ) (r) 0

= = .

Ejemplo 32. Calcule

2 2(x,y) (0,0)

xylm .

x y +

Solucin. 2

2 2 2 2 2 2(x,y) (0,0) r 0 r 0 r 0

xy r cos( )rsen( ) r cos( )sen( )lm lm lm lmr cos( )sen( ) 0

rx y r cos ( ) r sen ( ) = = = =

+ + ,

ya que cos( )sen( ) 1 para todo valor de .

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

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2.11. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Definicin 18. La funcin z f(x,y)= es continua en 0 0(x ,y ) si y slo si

0 0(x,y) (x ,y )0 0lm f(x,y) f(x , y )

= .

Observacin 6. Una funcin se dice continua si es continua en cada punto de su dominio.

Ejemplo 33. Las funciones

f(x,y) cos(x y)= + , 2 4g(x,y) x y 4= , 2 2x yh(x,y) e +=

son continuas en cada punto de su dominio.

Ejemplo 34. La funcin

2 2

xysi (x,y) (0,0)

f(x,y) x y0 si (x,y) (0,0)

= + =

,

no es continua en el origen, puesto que

2 2(x,y) (0,0)

xylm

x y +

no existe, como ya se vio anteriormente.

2.12. DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Las derivadas parciales de funciones de varias variables son una extensin de la

derivada para funciones de una sola variable, en el sentido de que el incremento es en una

sola variable considerando las dems constantes.

Definicin 19. Se definen las derivadas parciales de la funcin z f(x,y)= en el punto

0 0(x , y ) D(f) de la siguiente forma:

Respecto de la variable x:

0 0 0 00 0 h 0

f(x h,y ) f(x ,y )f(x ,y ) l m

x h+ =

,

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 176 de 305

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Respecto de la variable y:

0 0 0 00 0 h 0

f(x ,y h) f(x ,y )f(x ,y ) l m

y h+ =

,

siempre que estos lmites existan.

Observacin 7. Las siguientes notaciones son equivalentes para las derivadas parciales:

x xf z

, , f , zx x

(respecto de x);

y yf z

, , f , zy y

(respecto de y).

Observacin 8. A efectos de clculo se pueden usar las reglas de derivacin conocidas para funciones de una sola variable en la siguiente forma: para obtener xf (x,y) se toma y como

constante y recprocamente para yf (x, y) se toma x como constante.

Ejemplo 35. El volumen V de un gas encerrado en un recipiente elstico es funcin de su presin P y de su temperatura T, segn la ley KT

PV = , en donde K es cierta constante.

V KT P

=

y 2

V KTP P

=

miden las variaciones del volumen con la temperatura (a presin constante) y del volumen

con la presin (a temperatura constante), de modo respectivo.

Ejemplo 36. Siendo 3x 2yf(x, y) e += , calcule sus primeras derivadas parciales.

Solucin.

Se tiene que:

3x 2y 3x 2y 3x 2y 3x 2yx yf (x, y) (e ) 3e , f (x,y) (e ) 2ex y+ + + + = = = =

.

Observacin 9. Las funciones xf (x, y) y yf (x,y) pueden ser derivadas nuevamente,

obtenindose las derivadas parciales de segundo orden: 2

2

f f,

x xx

= se deriva parcialmente

fx

respecto de x.

2

2

f f,

y yy

= se deriva parcialmente

fy

respecto de y.

2f f,

x y x y =

se deriva parcialmente fy

respecto de x.

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 177 de 305

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2f f

,x y y x =

se deriva parcialmente fx

respecto de y.

Ejemplo 37. Siendo xyf(x, y) ye= se tiene:

2 xyf y ex

=

, xy xy xyf

e xye (1 xy)ey

= + = +

.

22 xy 3 xy

2

f f(y e ) y e

x x xx

= = = ,

2xy xy xy

2

f f((1 xy)e ) xe (1 xy)xe

y y yy

= = + = + + .

TEOREMA 5. Sea f una funcin de dos variables. Si x y xy yxf, f , f , f , f son funciones continuas

en un conjunto abierto entonces xy yxf f= en cualquier punto del dominio.

Ejemplo 38. Sea

2

2 2

3x ysi (x,y) (0,0)

f(x, y) x y0 si (x, y) (0,0)

= +

=

.

Pruebe que

a. f(x,y) es continua en (0,0).

Solucin. 2 3 2

22 2 2(x,y) (0,0) r 0 r 0

3x y 3r cos ( )sen( )lm lm lmr.cos ( )sen( ) 0

x y r = = =

+.

b. xf (0,0) y yf (0,0) existen.

Solucin.

x yh 0 h 0 h 0 h 0f(h,0) f(0,0) 0 0 f(0,h) f(0,0) 0 0

f (0,0) lm lm 0 , f (0,0) lm lm 0h h h h = = = = = = .

c. xf (x, y) no es continua en (0,0).

Solucin. 2 2 2 2 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3x y 6xy(x y ) 3x y.2x 6x y 6xy 6x y 6xyx x y (x y ) (x y ) (x y )

+ + = = = + + + +

.

Por lo tanto

3

2 2 2x

6xysi (x, y) (0,0)

f (x, y) (x y )0 si (x,y) (0,0)

= +

=

.

3 4 33 3

2 2 2 4(x,y) (0,0) r 0 r 0

6xy 6r cos( )sen ( )lm lm lm6cos( )sen ( ) 6 cos( )sen ( )

(x y ) r = = =

+.

El lmite no existe, por lo tanto, xf (x, y) no es continua en (0,0).

DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR GRADIENTE

Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 178 de 305

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2.13. DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR GRADIENTE

Definicin 20. Sean f una funcin de dos variables y u 1 2(u ,u )= un vector unitario. Se define en 0 0(x ,y ) la derivada de f en la direccin u por

u0 0 1 2 0 0 0 1 0 2 0 0

0 0 h 0 h 0

f((x ,y ) h(u ,u )) f(x ,y ) f(x hu ,y hu ) f(x ,y )D f(x ,y ) l m l m

h h + + +

= =

siempre que el lmite exista. Observe que ahora el incremento es en las dos variables.

Observacin 10. Las derivadas parciales fx

y fy

son casos particulares de derivadas direccionales en la direccin de los vectores i y j

respectivamente.

Ejemplo 39. Dada la funcin y

f(x,y)x y

=+

,

calcule la derivada de f en el punto (1,2), en la direccin

u1

(1,1)2

= .

Solucin.

u

2 h/ 2 231 h/ 2 2 h/ 2

h 0 h 0 h 0

1 1f 1 h ,2 h f(1,2)

1 12 2D f(1,2) l m l m l m .h h 2 9 23 2 3 h

2

++ + +

+ + = = = = +

Definicin 21. El vector formado por las derivadas parciales de z f(x,y)= se llama vector

gradiente de f y se denota como f f

f(x, y) (x,y), (x,y)x y

= .

Otra forma de calcular la derivada direccional es usando el vector gradiente f de la funcin z f(x,y)= . Usando el producto escalar y el gradiente se puede expresar la derivada

direccional de la forma siguiente:

u uD f(x,y) f(x,y)= .

DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR GRADIENTE

Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 179 de 305

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Existen muchas direcciones en las que se puede calcular la derivada direccional en un punto p(x,y) , de todas ellas una es la direccin de mxima pendiente. Sea el ngulo entre los vectores f(x,y) y u en el punto p(x,y) . Como u es un vector unitario se tiene entonces

que

u u uD f(x,y) f(x,y) f(x,y) cos( ) f(x,y) cos( )= = = .

As, se ve que uD f(x,y) es mxima cuando 0 = , es decir, cuando f(x, y) y u tienen la misma direccin. Por lo tanto el valor mximo de uD f(x,y) se da en la direccin del

gradiente f(x, y) y su valor mximo es

uD f(x,y) f(x,y)= .

Mientras que el valor mnimo de uD f(x,y) se da cuando = , es decir, en la direccin

del menos gradiente.

Ejemplo 40. Si 7

D f( 1,1)5

=u cuando u1

(2,1)5

=

y

u4

D f( 1,1)2

= cuando u 1 ( 1,1)2

=

entonces demuestre que f( 1,1)

1x

=

y f( 1,1)

5y

=

.

Solucin. Se sabe que u uD f( 1,1) f(1,1) = , de modo que se tiene:

2 1 7(a,b) , 2a b 7

5 5 5

= + =

y 1 1 4

(a,b) , a b 42 2 2

= + =

.

Al resolver el sistema 2a b 7a b 4

+ = + =

,

se tiene a 1, b 5= = .

Ejemplo 41. La temperatura, en grados, en un punto (x,y) de una lmina metlica en el

plano es xyT(x,y) e xy 1= + + .

Encuentre la direccin en la que la temperatura se eleva con mayor rapidez en el punto (1,1)

y calcule la tasa a la que se eleva.

DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR GRADIENTE

Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 180 de 305

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Solucin. xy xyT(x,y) (ye y,xe x) = + + , T(1,1) (e 1,e 1) = + + ,

2T(1,1) 2(e 1) 2(e 1) = + = + .

Ejemplo 42. Un cultivo de bacterias ha sido infectado por un contaminante, cuya

concentracin, medida con un sistema coordenado xy, est dada por 2C(x,y,z) 2 4sen (x 3y 8xy)= + + + ,

donde x y y miden en centmetros y C en centigramos por litro. Una bacteria b se encuentra

en el punto de coordenadas (0,2). El vector C(0,2) (68sen(12),12sen(12)) 4sen(12)(17,3) = =

da la direccin de movimiento de la bacteria en la cual sta encontrara la mayor variacin de

concentracin de contaminante. Para que la bacteria b se puede mover en el cultivo sin tener

cambio en la concentracin de contaminante, lo tendr que hacer sobre una curva de nivel de la funcin C(x,y) correspondiente al nivel 2C(0,2) 2 4sen (6)= + .

Ejemplo 43. Suponga que la distribucin de temperatura dentro de una habitacin est dada

por 20.1x 0.4y 0.01zT(x,y,z) 25 0.02e + += +

donde x,y,z se miden a partir de uno de los rincones (dado). A partir de ese rincn (el punto

(0,0,0), se quiere saber en qu direccin aumenta la temperatura con ms rapidez. Segn ya

se ha visto, la velocidad de variacin mxima se encuentra en la direccin del vector

gradiente de T en (0,0,0), es decir, en la direccin del vector T(0,0,0) T(0,0,0) T(0,0,0)

, ,x y z

.

Calculando estas derivadas se tiene que 20.1x 0.4y 0.01zT 0.002e

x+ + =

,

20.1x 0.4y 0.01zT 0.008ey

+ + =

, 20.1x 0.4y 0.01zT 0.0004ze

z+ + =

.

Evaluando estas derivadas en (0,0,0) se obtiene el vector T(0,0,0) (0.002,0.008,0) =

que marca la direccin de mayor crecimiento de la temperatura partiendo del punto de origen.

TEOREMA 6. Si f(x,y) tiene derivadas parciales continuas en un circulo con centro en 0 0(x , y )

y 00 0f(x ,y ) entonces 0 0f(x , y ) es ortogonal a la curva de nivel de f que pasa por

0 0(x , y ) .

DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR GRADIENTE

Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 181 de 305

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TEOREMA 7. Si f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas en 0 0 0(x ,y ,z ) y 00 0 0f(x ,y ,z ) , entonces 0 0 0f(x , y ,z ) es ortogonal a la superficie de nivel S descrita por f(x,y,z) que pasa por 0 0 0(x ,y ,z ) .

Ejemplo 44. Sea la funcin 3 2

2 2

y yxsi (x, y) (0,0)

f(x, y) x y0 si (x, y) (0,0)

= + =

.

a. Encuentre las derivadas parciales en (0,0).

Solucin.

30 h2 2h h

h 0 h 0 h 0 h 0

0 0f f(h,0) f(0,0) f f(0,h) f(0,0)(0,0) lm lm 0 (0,0) lm lm 1

x h h y h h

= = = = = =

b. Es f continua en (0,0)?

Solucin. 3 2 3 3 3 2

3 22 2 2(x,y) (0,0) r 0 r 0 r 0

y yx r sen ( ) r sen( )cos ( )lm lm lmr.lm(sen ( ) sen( )cos ( )) 0

x y r = = =+

.

Por tanto f si es continua en (0,0). c. Halle la derivada direccional de f en el punto (0,0) segn la direccin u (1,1)

2= .

Solucin.

u1 1 1

D f(0,0) .0 .12 2 2

= + = .

2.14. EJERCICIOS RESUELTOS

13. Si

2 2x yf(x,y)

2xy+= ,

demuestre que y

f 1, f(x, y)x

=

.

Solucin. 2 2 2

2 22 2

y x y1

y x yx xf 1, f(x, y).y 2yx 2xy2x x

+++ = = = =

EJERCICIOS RESUELTOS Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 182 de 305

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14. Grafique el dominio de 2 2

2 2

16 x y 1f(x,y)

y xx y 1

= +

+ .

Solucin. 2 2 2 216 x y 0 x y 16 + , 2 2 2 2x y 1 0 x y 1+ > + > , y x 0 y x > > .

Grfico del dominio: (ver figura 24)

Figura 24. Representacin grfica del dominio del ejercicio 2

15. Calcule el dominio de x

f(x,y) arcsen xy2 = +

.

Solucin.

Sean

1f (x,y) arcsen(x 2)= y 2f (x,y) xy= . Como 1 2f(x,y) f (x, y) f (x, y)= + entonces 1 2D(f) D(f ) D(f ).=

{ }21D(f ) (x,y) R / 2 x 2 ,=

16. Determine y grafique el dominio de la funcin 2

2 2

x 4x 2yf(x,y) ln

9x 4y 36x

+ = +

.

Solucin.

EJERCICIOS RESUELTOS Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 183 de 305

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2

2 2

22 2 2

x 4x 2y0

9x 4y 36x

(x 2) y(x 2) 2(y 2) , 9(x 2) 4y 36 1

4 9

+ + < + <

Grfico (ver figura 25)

Figura 25. Representacin grfica del dominio del ejercicio 4

17. Sea 2 2

2 2

x y 4f(x,y)

x y

+=+

.

a. Grafique su dominio. (ver figura 26)

Solucin. Dom f(x,y) :

2 2

2 2 2 22 2

x y 40 x y 4 0 , (x,y) (0,0) y x 4 , (x,y) (0,0)

x y

+ + +

b. Describa sus curvas de nivel.

Solucin.

Curvas de nivel:

2 2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

x y 4 x y 4k k k (x y ) x y 4

x y x y

(k 1)x (k 1)y 4

+ += = + = ++ +

+ + =

2 2k 1 0 k 1 k 1 = = = . Rectas horizontales y 2 , y 2= = .

2 2k 1 0 k 1 0 k 1 < < < . Hiprbolas. k 1> . Elipses.

EJERCICIOS RESUELTOS Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 184 de 305

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Figura 26. Representacin grfica del dominio del ejercicio 5

18. Describa las curvas de nivel de 2 2

2 2

x yf(x,y)

x y

=+

.

Solucin. 2 2

2 22 2

x yk (k 1)x (k 1)y 0

x y

= + + =+

2(k 1)(k 1) 0 k 1 0 k 1 k ( 1,1) + < < < .

Dos rectas secantes y perpendiculares. k 1 x 0= = Eje de las ordenadas. k 1 y 0= = Eje de las abscisas

19. Sea la ecuacin

2 2 24z 36y 9y 72x 36x 36= + .

a. Identifquela e indique los cortes con los ejes coordenados.

Solucin. 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 22 2 2 2

4z 36y 9y 72x 36x 36 36x 72x 9y 36y 4z 36

36(x 2x 1) 9(y 4y 4) 4z 36 36 36

(y 2) z36(x 1) 9(y 2) 4z 36 (x 1) 1

4 9

= + + + =

+ + + + = + +

+ + = + + =

Elipsoide. Cortes: (0,2,0) y (1,0,0).

b. D una parametrizacin de la curva interseccin entre el grfico de la ecuacin anterior y el plano z 3y 3 0 + = .

Solucin.

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2 2 2 23

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 36 36125 25 5

2622 2 56 16

5 5 16 1620 25

3(y 1) 4y y 8x 4x 4 2(y 1) 4y y 8x 4x 4

4(y 1) 4y y 8x 4x 4 4y 8y 4 4y y 8x 4x 4

4x 8x 5y 12y 8 4(x 2x 1) 5(y y ) 8 4

(y )(x 1)4(x 1) 5(y ) 1

= + = +

= + + = +

+ = + + + = + +

+ = + =

r

6 32 4 125 5 5 55

6 32 4 125 5 5 55

x(t) 1 cos(t) , y(t) sen(t) , z(t) sen(t)

(t) (1 cos(t), sen(t), sen(t)) , 0 t 2

= + = + = +

= + + +

c. Identifique y construya la ecuacin de la curva de nivel sobre la cual la funcin

alcanza el valor de 2.

Solucin.

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

5 209 9

16 36y 9y 72x 36x 36 36x 72x 9y 36y 52

36(x 2x 1) 9(y 4y 4) 52 36 36 36(x 1) 9(y 2) 20

(x 1) (y 2)1 elipse

= + + =

+ + + = + + + =

+ =

20. Sean 2 2 3

2 2 2 2

4x x y 1 xy y yf(x,y) , g(x,y) , h(x,y)

ln(x y ) x 2x y 1x y

+ = = =+ + +

.

a. Grafique el dominio de la funcin k(x,y) f(x,y) g(x,y)= + .

Solucin. 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

4x x y 0 x 4x 4 y 4

(x 2) y 4

x y 0 , x y 0 , x y 1

+ +

+

> + > +

La regin dominio no incluye el origen ni las curvas 2 2y x , x y 1= + = . (ver figura

27) b. Calcule (si existe)

(x,y) (1,0)lm h(x,y)

.

Solucin. 3 3

2 2 2 2(x,y) (1,0) (x,y) (1,0)

2 21 2

3 3

2 2 2(x,y) (1,0) y 0 y 0 (x,(x,y) S1

xy y y (x 1)y ylm lm

x 2x y 1 (x 1) y

S :{(x,y) R / x 1} , S :{(x,y) R / y x 1}

(x 1)y y ylm lm lm y 0 , lm

(x 1) y y

+ += + + +

= =

+ = = = +

2 3

2 2y) (1,0) y 0(x,y) S2

y y 1 y 1lm

2 2y y

+ += =+

Por lo tanto 3

2 2(x,y) (1,0)

xy y ylm no existe

x 2x y 1+

+ + .

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Figura 27. Representacin grfica de las curvas de la pregunta 8

21. Si

2

2 4

xyf(x,y)

x y=

+,

demuestre que

(x,y) (0,0)lm f(x,y)

no existe.

Solucin.

Sea 2 2S :{(x,y) R / x ky } = . Se tiene entonces: 2 4

2 4 2 4 4 2 2(x,y) (0,0) y 0 y 0(x,y) S

xy ky k klm lm lm

x y k y y k 1 k 1

= = =+ + + +

lo que indica que depende del parmetro k por lo tanto el lmite no existe.

22. Demuestre que

2 2(x,y) (0,1)

x(y 1)lm

x (y 1)

+

no existe.

Solucin. Caminos: S: haz de rectas: y mx 1= + .

2

2 2 2 2 2 2 2 2(x,y) (0,1) x 0 x 0 x 0(x,y) S

x(y 1) x(mx 1 1) mx m mlm lm lm lm

x (y 1) (mx 1) (mx 1 1) x (mx) 1 m 1 m

+ = = = =+ + + + + + +

Por lo tanto, el lmite no existe.

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23. Si

2 2

2 2 2

x yf(x,y)

x y (x y)=

+ ,

demuestre que

(x,y) (0,0)lm f(x,y)

no existe.

Solucin.

1S : y x= . 2 2 4

2 2 2 4(x,y) (0,0) x 0 x 0(x,y) S1

x y xlm lm lm1 1

x y (x y) x

= = =+

.

2S : y 2x= . 2 2 4 2

2 2 2 4 2 2(x,y) (0,0) x 0 x 0(x,y) S2

x y 4x 4xlm lm lm 0

x y (x y) 4x x 4x 1

= = =+ + +

.

Por tanto, el lmite no existe.

24. Sean las superficies f(x,y) xy 2x y 2= + y 2 2g(x,y) x y 2x 4y 5= + + .

a. Identifique g(x,y) y sus trazas con los planos z 1 y y 0= = .

Solucin.

2 2 2 2

2 2 2 2

g(x,y) x y 2x 4y 5 z x y 2x 4y 4 1

z (x 2x 1) (y 4y 4) z (x 1) (y 2)

= + + = + + +

= + + + = +

La superficie g(x,y) es un paraboloide.

Traza con el plano z 1:= 2 21 (x 1) (y 2)= + que corresponde a la ecuacin de una circunferencia en el plano

xy. Traza con el plano y 0 :=

2z (x 1) 4= + que corresponde a la ecuacin de una parbola en el plano xz.

b. Discuta la existencia de

(x,y) (1,2)

f(x,y)lm

g(x,y).

Solucin.

2 2 2 2(x,y) (1,2) (x,y) (1,2) (x,y) (1,2)

2 2(x,y) (1,2)

f(x,y) xy 2x y 2 x(y 2) (y 2)lm lm lm

g(x,y) x y 2x 4y 5 (x 1) (y 2)(x 1)(y 2) 0

lm (indet er minacin)0(x 1) (y 2)

+ = =+ + +

= = +

.

Caminos: S: haz de rectas: y 2 m(x 1) y m(x 1) 2 = = + .

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2

2 2 2 2 2 2(x,y) (1,2) x 1 x 1(x,y) S

2 2x 1

(x 1)(y 2) (x 1)(m(x 1) 2 2) m(x 1)lm lm lm

(x 1) (y 2) (x 1) (m(x 1) 2 2) (m 1)(x 1)

m mlm

m 1 m 1

+ = = + + + +

= =+ +

Como el lmite depende del parmetro de la familia, el lmite no existe.

25. Calcule (si existe)

2 2(x,y) (0,0)

xylm .

x y +

Solucin. 2

2 2 2 2 2 2 2(x,y) (0,0) r 0 r 0 r 0

xy r cos( )rsen( ) r cos( )sen( )lm lm lm lm cos( )sen( )

x y r cos ( ) r sen ( ) r = = =

+ + .

Como 12

cos( )sen( ) sen(2 ) 1 = ,

entonces el lmite toma valores entre 12 y 12 , por lo tanto el lmite no existe.

26. Si

2 2x y si x.y 0f(x,y)

0 si x.y 0

+ = =

,

demuestre que f

(0,1) 0.y

=

Solucin.

h 0 h 0

f f(0,1 h) f(0,1) 0 0(0,1) lm lm 0

y h h + = = =

.

27. Sea 3 3

2 2

x ysi (x,y) (0,0)

f(x, y) x y0 si (x,y) (0,0)

= + =

.

Ver que:

a. f es continua en (0,0).

Solucin. 3 3 3 3 3

3 32 2 2(x,y) (0,0) r 0 r 0 r 0

x y r (sen ( ) cos ( ))lm lm lmr.lm(sen ( ) cos ( )) 0

x y r = = =+

.

b. f f

(0,0) 1 , (0,0) 1x y

= =

.

EJERCICIOS RESUELTOS Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 189 de 305

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Solucin.

h 0 h 0

f f(h,0) f(0,0) h 0(0,0) lm lm 1

x h h = = =

h 0 h 0

f f(0,h) f(0,0) h 0(0,0) lm lm 1

y h h = = =

c. Calcule la derivada direccional en (0,0) en la direccin del vector x y(z (1,1),z (1,1)) .

Solucin. 3 3 2 2 2 3 3 4 2 2 4 3

2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 3

2 2 2

3 3 2 2 2 3 3 4 2 2 4 3

2 2 2 2 2 2 2 2

x y 3x (x y ) 2x(x y ) 3x 3x y 2x 2xyx x y (x y ) (x y )

x 3x y 2xy

(x y )

x y 3y (x y ) 2y(x y ) 3y 3x y 2y 2yxy x y (x y ) (x y )

+ + += = + + +

+ +=+

+ + = = + + +

4 2 2 3

2 2 2

y 3x y 2yx

(x y )

+ += +

x y x y2 2

1 3 2 6 3 1 3 2 6 3 3z (1,1) , z (1,1) , z (1,1),z (1,1) 2

4 2 4 2 2(1 1) (1 1)

+ + + += = = = = = =+ +

Por lo tanto 2 3 3 2 3 3 2.3

D (0,0) z(0,0) (1, 1) , 22 2 2 23 2 3 2 3 2

= = = + = =

u u .

28. Si x y

u xy z

= +

,

demuestre que u u u

1.x y z

+ + =

Solucin.

2 2 2 2

u 1 u z x u x y 1 z x x y1 , , , 1 1.

x y z y z y z(y z) (y z) (y z) (y z)

= + = = + + + =

29. Verifique que 2 2 2f(x,y,z) x y y z z x= + + satisface la ecuacin dada por

xx yy zzf f f 2(x y z)+ + = + + .

Solucin. xx yy zzf 2y , f 2z , f 2x= = = . Se tiene que xx yy zzf f f 2(x y z)+ + = + + .

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30. Suponga que, en cierta regin del espacio, el potencial elctrico V est dado por la funcin 2V(x,y,z) 5x 3xy xyz= + .

a. Encuentre la razn de cambio del potencial en P(3,4,5), en la direccin del vector (1,1, 1)= v .

Solucin. V(x,y,z) (10x 3y yz, 3x xz,xy) = + + , V(3,4,5) (38,6,12) =

3213 3

D f(3,4,5) (38,6,12) (1,1, 1)= =v .

b. Cul es la mayor razn de cambio en P?

Solucin.

uD f(3,4,5) f(3,4,5) 1624 2 406= = = .

31. Indique la veracidad o falsedad de la siguiente afirmacin, justificando su respuesta: Si f(x, y) g(x,y) = entonces f(x,y) y g(x,y) son funciones iguales.

Solucin.

Contraejemplo: Sean 2 2 2 2f(x, y) x y 1 , g(x,y) x y 2= + + = + + .

Se tiene que f(x, y) g(x,y) (2x,2y) = = y sin embargo f y g no son iguales. Por lo tanto

es falsa.

32. La elevacin de una colina sobre el nivel del mar en el punto de coordenadas (x,y) viene dada por la funcin 2 2H(x,y) 100 x y= . Un alpinista est situado en el punto ( 1,1,98).

a. En cul direccin debe moverse si desea mantener la misma altura?

Solucin. H(x,y) ( 2x, 2y) = . Vector perpendicular (2y, 2x) Direccin (2,2).

b. D la ecuacin de la curva que debe recorrer en coordenadas cartesianas.

Solucin. 2 2x y 2.+ =

c. Cul direccin debe tomar para ir por la ladera de mayor pendiente. Indique el valor

de la pendiente?

Solucin. Direccin del gradiente: (2, 2) . Valor de la pendiente: 2 2 .

33. Determine la derivada direccional de la funcin dada por xy

4 2

f(x, y) ln cos(2t ) dt= +

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en el punto (1,0) y en la direccin de la recta tangente a la curva C : x(t) cos(t) , y(t) sen(t) , t 0,2= = .

Solucin.

u uD f(1,0) f(1,0)= .

Clculo de u. Sea r(t) (cos(t),sen(t))= , entonces r '(t) ( sen(t), cos(t))= . Se tiene que u r '(0) (0,1)= = . En consecuencia u yD f(1,0) f (1,0)= .

Clculo de yf (1,0) .

xy

2y y 2

2

f(x,y) g(t)dt G(xy) G(2) f (x,y) xG'(xy) f (1,0) G'(0) ln( )= = = = = .

2.15. PLANO TANGENTE

Suponga que una superficie S tiene ecuacin z f(x,y)= , donde f tiene derivadas parciales de primer orden, y sea 0 0 0P(x ,y ,z ) un punto en S. Sean 1C y 2C las curvas

obtenidas en la interseccin de los planos verticales 0y y= y 0x x= con la superficie S. Entonces el punto P se encuentra en 1C y 2C . Sean 1T y 2T las rectas tangentes a las curvas

1C y 2C en el punto P. Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto P es el plano

que contiene las rectas tangentes 1T y 2T .

El plano tangente en P es el plano que se aproxima ms a la superficie S en el punto P. Se sabe del tema 1 que cualquier plano que pase por el punto 0 0 0P(x ,y ,z ) tiene una ecuacin

de la forma

0 0 0A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0 + + = .

Al dividir esta ecuacin entre C y hacer a A /C= y b B /C= , se puede escribir como 0 0 0z z a(x x ) b(y y ) = + (*)

Si la ecuacin (*) representa el plano tangente en P, entonces su interseccin con el plano 0y y= debe ser la recta tangente 1T . Al hacer 0y y= en la ecuacin (*) resulta

0 0z z a(x x ) = , 0y y= y se reconoce esta ecuacin como la de una recta con pendiente a, sabiendo que cursos anteriores que 0a f '(x )= si z f(x)= , para el caso de z f(x,y)= se tiene

x 0 0a f (x , y )= . Del mismo modo, si se pone 0x x= en la ecuacin (*), se obtiene

0 0z z b(y y ) = , que debe representar la recta tangente 2T , de modo que y 0 0b f (x ,y )= .

PLANO TANGENTE Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 192 de 305

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Definicin 22. Suponga que f tiene derivadas parciales continuas. La ecuacin del plano tangente a la superficie z f(x,y)= en el punto 0 0 0P(x ,y ,z ) es la ecuacin dada por

0 x 0 0 0 y 0 0 0z z f (x ,y )(x x ) f (x ,y )(y y ) = + .

Observacin 11. Si f(x,y,z) 0= representa la superficie de nivel cero del funcional dado por w f(x,y,z)= , entonces la ecuacin del plano tangente a esa superficie en el punto

0 0 0P(x ,y ,z ) es

x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0f (x ,y )(x x ) f (x ,y )(y y ) f (x ,y )(z z ) 0 + + = .

Definicin 23. La recta que pasa por el punto 0 0 0P(x ,y ,z ) y cuyo vector director es

0 0 0f(x ,y ,z ) se llama recta normal a la superficie en el punto 0 0 0P(x ,y ,z ) .

Ejemplo 45. Halle la ecuacin del plano tangente a la superficie de nivel de ecuacin 2 2x 2xy yz 3z 7+ + = en el punto (1,1,-1) y la recta normal en ese punto.

Solucin.

El vector gradiente de la superficie es f (2x 2y,2x z,6z y) = +

y el vector normal a la superficie en (1,1,-1) es f(1,1, 1) (4,3, 7) = . Por lo tanto la ecuacin

del plano tangente es 4(x 1) 3(y 1) 7(z 1) 0 + + =

y la ecuacin de la recta normal en forma vectorial es r (t) (1,1, 1) t(4,3, 7) t R= + .

Ejemplo 46. Halle la ecuacin de la recta tangente y el plano normal a la curva interseccin de las superficies 2 2 2x 4y 2z 27+ + = (Elipsoide) y 2 2 2x y 2z 11+ = (Hiperboloide) en el

punto (3,-2,1).

Solucin.

Sean 2 2 2

1F x 4y 2z 27= + + y 2 2 2

2F x y 2z 11= +

entonces se tiene que 1 2F (2x,8y,4z) y F (2x,2y, 4z) = = .

En el punto (3,-2,1) en particular se obtiene que 1 2F (6, 16,4) y F (6, 4, 4) = = . Como

1F y 2F son ortogonales a la curva interseccin en el punto (3,-2,1) entonces el producto

1 2F F es tangente a la curva en el mismo punto. Calculando se tiene que

1 2F F 8(10,6,9) = , luego la ecuacin de la recta tangente es r (t) (3, 2,1) t(10,6,9) t R= +

y la ecuacin del plano normal viene dada por 10(x 3) 6(y 2) 9(z 1) 0 + + + = .

DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 193 de 305

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2.16. DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

Definicin 24. La funcin lineal dada por

x yL(x,y) f(a,b) f (a,b)(x a) f (a,b)(y b)= + +

se denomina linealizacin de f en (a,b) y la aproximacin dada por la expresin x yf(x, y) f(a,b) f (a,b)(x a) f (a,b)(y b) + +

se llama aproximacin lineal o aproximacin de plano tangente de f en (a,b).

Se debe enfrentar el hecho de que, con todo, hay algunas funciones extraas para las

que la aproximacin lineal es muy deficiente. La funcin dada por

xy

2 2x y(x,y) (0,0)

f(x,y)0 (x,y) (0,0)+

= =

es funcin para la cual sus derivadas parciales existen en el origen y, en realidad, xf (0,0) 0=

y yf (0,0) 0= . La aproximacin lineal sera f(x,y) 0 , pero 12f(x, y) = en todos los puntos en

la recta y x= . Por tanto, una funcin de dos variables se puede comportar bastante mal an

cuando existan sus dos derivadas parciales. Para excluir tal comportamiento, se formula la

idea de funcin diferenciable de dos variables.

Se recordar que para una funcin de una variable, y f(x)= , si x cambia de a a a x+ , se define el incremento de y como y f(a x) f(a) = + . Tambin se recordar que si f es diferencialbe en a, entonces y f '(a) x x = + donde 0 cuando x 0 . Ahora considere una funcin de dos variables, z f(x,y)= , y suponga que x cambia de a a a x+ y y cambia de b a b y+ . Entonces el correspondiente incremento de z es z f(a x,b y) f(a,b) = + + .

Entonces el incremento z representa el cambio en el valor de f cuando (x,y) cambia de (a,b) a (a x,b y)+ + . Por analoga con respecto a las funciones de una sola variables se define la

diferenciabilidad de una funcin de dos variables como sigue:

Definicin 25. Si z f(x,y)= , entonces f es diferenciable en (a,b) si z se puede expresar

en la forma x y 1 2z f (a,b) x f (a,b) y x y = + + +

donde 1 0 y 2 0 cuando ( x, y) (0,0) .

DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

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La definicin anterior dice que una funcin diferenciable es aquella para la que la

aproximacin lineal es una buena aproximacin cuando (x,y) est cerca de (a,b). En otras

palabras, el plano tangente aproxima bien la grfica de f cerca del punto de tangencia. A

veces es difcil emplear la definicin anterior directamente para verificar diferenciabilidad de

una funcin, pero el siguiente teorema constituye una condicin suficiente, fcil de

comprobar, para la diferenciabilidad.

TEOREMA 8. Si las derivadas parciales xf y yf existen cerca de (a,b) y son continuas en

(a,b), entonces f es diferenciable en (a,b).

Ejemplo 47. Demuestre que xyf(x, y) xe= es diferenciable en (1,0) y encuentre su linealizacin en ese punto. Luego, utilcela para aproximar f(1.1, 0.1) .

Solucin.

Las derivadas parciales son xy xy

xf (x,y) e xye= + , 2 xy

yf (x,y) x e= , xf (1,0) 1= , yf (1,0) 1= .

Tanto xf como yf son funciones continuas, de modo que f es diferenciable por el teorema 8.

La linealizacin es

x yL(x,y) f(1,0) f (1,0)(x 1) f (1,0)(y 0) 1 1(x 1) 1.y x y= + + = + + = + .

La correspondiente aproximacin lineal es xyxe x y + , as que f(1.1, 0.1) 1 . Compare esto

con el valor real de 0.11f(1.1, 0.1) 1.1e 0.98542 = .

2.17. DIFERENCIAL TOTAL

Para una funcin de una variable, y f(x)= , se defini el diferencial dx como una

variable independiente, es decir, dx puede tomar el valor de cualquier nmero real. El diferencial de y se define entonces como dy f '(x)dx= . y representa el cambio en altura de la curva y f(x)= y dy representa el cambio en altura de la recta tangente cuando x cambia en

una cantidad dx x= .

Para una funcin de dos variables, z f(x,y)= , se definen los diferenciales dx y dy como

variables independientes, es decir, pueden tomar cualesquiera de los valores dados. Entonces

el diferencial dz, que tambin se llama diferencial total, est definido por

x yz z

dz f (x,y)dx f (x,y)dy dx dyx y

= + = +

(*)

DIFERENCIAL TOTAL Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 195 de 305

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Si se toma dx x x a= = y dy y y b= = en (*), entonces el diferencial de z es

x ydz f (a,b)(x a) f (a,b)(y b)= + .

Por tanto, en la notacin de diferenciales, la aproximacin lineal se escribe como f(x, y) f(a,b) dz + .

Ejemplo 48. Si 2 2z f(x,y) x 3xy y= = + , encuentre el diferencial dz. Si x cambia de 2 a 2.05

y y cambia de 3 a 2.96, compare los valores de z y dz. Solucin.

x ydz z dx z dy (2x 3y)dx (3x 2y)dy= + = + + .

Si se hace x 2= , dx x 0.05= = , y 3= y dy y 0.04= = ,

se obtiene dz 2(2) 3(3) 0.05 3(2) 2(3) ( 0.04) 0.65= + + = .

El incremento de z es 2 2 2 2z f(2.05,2.96) f(2,3) (2.05) 3(2.05)(2.96) (2.96) 2 3(2)(3) 3 0.6449 = = + + =

Note que z dz pero dz es ms fcil de calcular.

Ejemplo 49. El radio de la base y la altura de un cono circular recto son 10 cm y 25 cm,

respectivamente, con un posible error en medicin de hasta 0.1 cm en cada uno. Utilice

diferenciales para estimar el mximo error en el volumen calculado del cono.

Solucin.

El volumen V de un cono con radio r de la base y altura h es 2V r h /3= , por tanto, el

diferencial de v es 2

r h2 rh r

dV V dr V dh dr dh3 3 = + = + .

Como este error es, a lo ms 0.1 cm, se tiene r 0.1 , h 0.1 . Para hallar el error

mximo del volumen se toma el mximo error en la medicin de r y de h. En consecuencia, se toma dr 0.1= y dh 0.1= junto con r 10= , h 25= . Esto da

500 100dV (0.1) (0.1) 20

3 3 = + = .

Por tanto, el mximo error en el volumen calculado es alrededor de 3 320 cm 63 cm .

REGLA DE LA CADENA Funciones Reales de Variable Vectorial Pg.: 196 de 305

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2.18. REGLA DE LA CADENA

Se recordar que la regla de la cadena para funciones de una sola variable da la regla para derivar una funcin compuesta: Si y f(x)= y x g(t)= , donde f y g son funciones

diferenciales, entonces y es indirectamente una funcin diferencial de t y dy dy dxdt dx dt

= .

Para funciones de ms de una variable la regla de la cadena tiene varias versiones que

dan la regla de diferenciacin de la composicin de funciones para diferentes casos. La primera versin se aplica cuando z f(x,y)= y cada una de las variables x y y son a su vez

funciones de una variable t. Eso significa que z es indirectamente una funcin de t, z f(g(t),h(t))= , y la regla de la cadena da la frmula para diferenciar z como funcin de t. Se asume que f es diferenciable. Se recordar que es el caso cuando xf y yf son continuas.

TEOREMA