tema 2 cinemÁticachopo.pntic.mec.es/jmillan/fq1_t_2.pdftema 2 1.- vect estudio d a.1.- indi...
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tema 2 1.- VECT estudio d A.1.- Indi necesarisistema A.2.- Dib objeto seencuentr A.3.- Poncriterio. A.4.- Imauna amigen reposo
que tiene trayecto A.5.- El desplazam
2
TOR POSIC
La Cinemátdel movimien
ica la manera
Como ya sabo fijar previade referencia
buja la trayectoa) Cuando tomb) Cuando tom
Si la posicióne encuentra ra en movimEl camino se
n ejemplos de
agina que vas ga que está quo? Describe ca
e su origen e
El vector posria, será por
vector de pomiento que ha
CIÓN Y VECT
tica es la panto de los cue
de establecer
bes de cursosamente un sisa lo compone
oria corresponmamos el Cenmamos el Cen
n de un objeten reposo
miento respeeguido por un
movimientos d
asomado al vuieta en el andada una de ell
en la posición
sición del un lo tanto func
osición de unabrá sufrido en
CI
TOR DESPL
rte de la Físierpos sin ten
si un cuerpo e
s anteriores, istema de reen un punto l
ndiente al movtro de la Tierrtro del Sol co
to no cambiarespecto del ecto de dichon móvil en su
de objetos que
vagón de un trdén. ¿veis la mlas e indica dó
n inicial del m
0rrr
móvil cambición del tiemp
móvil viene ntre los instant
NEMÁTI
LAZAMIENT
ica, más conner en cuenta
está en reposo
movimiento referencia, Sllamado orige
vimiento de la ra como puntoomo punto de r
a con respectSR señalado
o SR. u movimiento
e tengan distin
tren y que suemisma trayectoónde cae la nar
forlosdecuutioripaenpa
Seun
móvil y su ext
o bien r
iará con el tipo
dado por tes t1 = 1s y t2
ICA
TO
ncretamente da las causas q
o o en movimie
y reposo soSR, para juzgen y tres ejes
Luna alrededo de referenciareferencia
to al SR al pao. En caso co
o recibe el no
ntos tipos de tr
eltas una naraoria ambos si eranja.
En la firmado por es tres ejes splaza sobrervilínea), delizamos el vgen O a la rte del puntocuentra en Psado de ser
define el intervalo de
tremo en la p
rrr
0
empo a med
txtr
)()(
r (2t, 3). Ca= 3s
de la Mecánique los origin
ento
n conceptos ar si un cuers coordenado
dor de la Tierraa
asar el tiempontrario, dire
mbre de tray
rayectorias y c
nja justamenteel tren está en
igura aparecel punto O, sucoordenadose su trayece modo qvector de pposición del o PO y al cabP, con lo que
0r
a ser r
.
vector despe tiempo dadposición final:
dida que éste
jtyi
)(
alcula y repre
ica, que se onan.
relativos; es rpo se mueveos (X,Y,Z).
a
po, diremos qemos que el o
ayectoria.
clasifícalas seg
te cuando están movimiento q
e representaupuesto en rs X,Y,Z. El ctoria (en eque para lposición qu
móvil; comobo de un tieme el vector po.
splazamientodo ∆t , como :
e se desplaza
ktz
)(
resenta gráfica
29
ocupa del
decir, es e o no. El
que dicho objeto se
gún algún
ás frente a que si está
do un SR reposo, y móvil se
este caso ocalizarlo e va del o vemos,
mpo ∆t se osición ha
to r , en el vector
a sobre la
amente el
cómodo tomamollamada
posición cartesianha sido trayectotiempo. el tiempo A.6.- Descada insttrayectormovimien
A.7.- Una(0,0) y seavanza dudurante 4 movimien 2.- VELO que su v se va a instantánmatemát
Cuando la trque usar loss como referposición de
El concepto en función d
nos XY. En esrectilíneo o
ria seguida, El eje verticao.
scribe el movimtante viene de
ria y señalanto. Calcula el
a mosca amaee mueve durandurante 3s segú4s hasta el pun1.- Representa2.- Representa3.- Determina
nto. 4.- Determina5.- Determina
OCIDAD
Supongamosvelocidad med
El valor de la invertir en nea, que seticamente se
rayectoria des vectores derencia. Comoel móvil sob
de posicióndel tiempo sstas últimas acurvilíneo. E
sólo sobre cal o de orden
miento realizaescrita por laa todas lasl espacio reco
estrada posadnte 5s según elún el eje de lanto (0,5). ar el diagramaar el diagramar el vector
ar el vector desar el espacio re
s que un módia ha sido
a velocidad mun viaje, et
e refiere al e representa:
l móvil es coe posición, do esa posiciónbre la trayec
n sobre la trs = f (t), queambos ejes rEn las gráficómo ha variaadas represe
ado por el móva gráfica de ls característirrido entre t=
da en una lámil eje de las X, Y, hasta el pu
a X,Y ma s = f (t)
de posición
splazamiento Δecorrido Δs a
óvil en su mo
media, es útiltc., sin embespacio reco
vi
onocida, paradar la distancn cambiará c
ectoria.
desplazarecorrid
rayectoria se no hay que representan lcas s = f (ado la posicienta la longitu
vil cuya posicila figura. Indiicas posibles0 y t=8s
ina de papel m hasta el puntunto (15,10), c
de la mosca
Δr a los 8 s. los 8 s.
ovimiento rec
para calculabargo lo queorrido en un
= 0ti
lim
a determinar cia, s, a la qucon el tiempo
Hay que teamiento, rida ∆s, salvo
s(t), permiteconfundir colongitudes y (t), no se dión del móvilud, pero el h
ión en ica la s del
milimetrado sto (15,0) cm, pcontinuando d
a en el instan
corre un espa
vM = ∆s / ∆t
ar la rapidez de caracteriza n instante m
t
s
la posición due se encueno se tratará d
ner muy pre , no coinc
o que la traye
e representacon las represenos permitenice nada sobl a medida qorizontal o d
ale del punto posteriormentedurante 2s más
nte t=8s desp
acio ∆s en un
de trayectos un movimie
muy pequeño
del móvil, resntra de un pde una funció
esente que cide con la dectoria sea re
ciones gráficentaciones enn ver si el mobre cómo ha
que ha transcde abscisas re
origen de cooe cambia de ds hasta el punt
pués de com
n tiempo ∆t,
largos, el tieento es su vo de tiempo
30
sulta más unto que ón: s (t),
el vector distancia ecta.
cas de la n los ejes ovimiento a sido la currido el epresenta
ordenadas dirección y to (8,10) y
enzado el
, decimos
empo que velocidad
o, lo que
sobre la La velocpunto.
instantán
A.8.- Un velocidad A.9.- Un Calcula: vector, smódulos
Para poder ctrayectoria e
cidad instantá
Teniendo ennea de un mó
móvil tiene und del móvil en
movimiento e
a) La velocidab) Idem entre c) Idem entre
¿Cuál crees q
En realidad si se quiere s de los respe
Por ello se d
Y el vector v
Por ello pued
calcular el vaen función deánea en el i
n cuenta el cóvil equivale
na ecuación deel instante t=
está definido p
ad media entrelos instantes t
e los instantes
que será la velo
la velocidadhacer de fo
ectivos vector
efine el vect
velocidad in
de ponerse c
lor de la veloel tiempo, esnstante t, se
figura8s hdeterm
concepto de a calcular la
= vi l
e posición s(t)1,5s.
por la ecuaci
e los instantes t =1s y t' = 1,t =1s y t' = 1,
ocidad instant
d, tanto medrma rigurosares de velocid
tor velocida
instantánea
sentidovelocidla traye
omo el produ
ocidad instans decir la funce calcula com
Así por ej, si quisiesemhabría que minar su pen
= 8)=v(t
derivada de derivada de
= t
s 0t
lim
) = 1 + t2, exp
ión de su pos
s t =1s y t' = 21s ,01s
tánea para el i
dia como insa; siendo losdad.
ad media
a
El vector o que el vdad instatáneyectoria que sucto de su m
ntánea es preción s(t) y
mo la pendien
jemplo, en emos determintrazar la re
ndiente. Así p
= t
s 0t
lim
una funciónsu ecuación
dt
ds=
presados s en m
ición s en f
2s
instante t =1s
stantánea, hs conceptos
vM
velocidad mvector de poea es en todsigue el móvi
módulo por un
eciso conocerrealizar su rente de la rec
el movimientonar la velocidcta tangenteues
9
2 =
2 - 11
5 - 25 =
, obtener el de movimien
metros y t en s
función del tie
?
a de represeexpuestos an
t
r
=v ti
lim
edia tiene laosición, mieo momento l.
n vector unita
r la posición epresentacióncta tangente
o representadad en el inse en dicho
m/ 2,22 = 9
20
valor de la vnto s(t), ya q
segundos. Dete
empo s (t) =
entarse mednteriormente
dt
rd =
t
r 0t
a misma direntras que eun vector ta
ario tangente
31
del móvil n gráfica. en dicho
ado en la tante t = punto y
/s
velocidad que
erminar la
2 + 3 t2 .
diante un e sólo los
rección y el vector angente a
e Tu
A.10.- Ellongitud tiempo: A.11.- Elt = 0s y t 3.- ACE cambio acelera
A.12.- Cuvelocidadcálculos e A.13.- Unmueve so A.14.- Engráfica v A.15.- ¿Cla figura? mediante
l extremo de es de 10 cm.
a) Δt = 30s b) Δt = 15s
l vector de pos' = 2s, y el vec
LERACIÓN
Cuando un mde velocida
ación media
Así mismo se
uando decimod de un objetoen el papel).
n coche arranobre el eje de la
n un movimienv = f (t) y det
Cuántas etapas? ¿Sabrías cal
Igual que ene un vector.
El vector ac
De la misma
la aguja del sCalcula su v
sición de un mctor velocidad
móvil cambiaad con el ta como
e define la ac
os que la aceo que está so
nca desde el rlas X, determin
nto rectilíneo termina la ace
s se pueden dilcular la acele
n el caso de l
celeración m
manera el v
v
segundero de velocidad med
móvil es r = media entre d
a de velocidaiempo inver aM
celeración i
eleración de laometido a esa
reposo con acna el vector ve
la velocidad eleración del m
istinguir en el eración en cad
la velocidad,
media se def
vector acele
Tuv
un reloj de pdia y su vecto
2t i + 5 j. Cdichos inatante
ad, hay que rtido en dic= ∆v / ∆t
instantánea
la gravedad ea aceleración
celeración queelocidad en los
viene dada pomóvil y el insta
movimiento rda uno de los tr
de una man
fine como:
eración insta
pared parte eor velocidad m
Calcula el veces
definir una cho cambio.
a
= ai
es 9,8 m/s2, ¿durante 3s? (
e suponemos cs instantes t =
or la ecuaciónante en que v
representado eramos?
nera precisa l
aM
tantánea
n t = 0 de lamedia en los s
tor desplazam
nueva magnComo reco
= t
v 0t
lim
qué queremos(contesta razo
constante de 21s y t' = 3s.
n v = 3 - 0,se hace nula.
en
a aceleración
t
v
=ai
lim
a posición versiguientes inte
miento entre lo
nitud que relordarás se d
dt
dv =
s decir? ¿Cuáonando, pero
2 m/s2 durante
,5 t. Represen
n ha de repre
= t
v 0t
m
32
rtical y su ervalos de
os instante
acione el define la
ál será la sin hacer
e 5s. Si se
nta en una
esentarse
dt
vd
A.17.- El
unitario t
hace faltaello.
de curva A.18.- Decasos: 4.- MOV de estudsu princi 4.1.- MO todo mo
l vector veloc
tangente Tu
a
a que cambie
donde u
T yatura de la tra
etermina el va
a) M b) M c) M d) M
VIMIENTO R
El movimiendiar y está amipal caracterís
OVIMIENRO
La trayectoriomento con la
v =
Ecuación que
cidad v
, al s
así Tuvv
el vector veloc
y u
N son loayectoria.
alor de las co
Movimiento recMovimiento recMovimiento circMovimiento circ
RECTILINEO
to rectilíneo mpliamente pística es que
O RECTILIN
ia es recta y a velocidad m
∆s / ∆t = ( s
e nos da la p
er siempre ta
T . Teniendo e
cidad, señala
t dt
dv = a
os vectores u
omponentes de
ctilíneo de veloctilineo uniformcular uniformecular uniforme
O
es aquel cuypresente en lala aceleración
NEO UNIFOR
la velocidad media y la ace
s - s0 ) / ( t - s =
posición sobre
angente a la t
en cuenta la ex
qué debe cam
La las variacioen lo que sentido. Enaceleración un
y o
de
Puede dem
nT ay u
unitarios tang
de la aceleraci
ocidad constanmemente acelee emente aceler
ya trayectoriaa naturaleza n normal, aN
RME (M.R.U
constante, peleración tan
- t0 ) => si ts0 + v t
e la trayector
trayectoria, se
xpresión anter
mbiar para que
dirección denes que el veafecta a su
n general se en dos com
na tangente
otra normal a
forma que a
mostrarse por
N
2
u v =
gente y norm
ión, tangencia
nte (uniforme)erado
rado
a es una rec(caída libre,.
N, es nula.
U.)
por lo tantola ngencial tamb
tomamos t0
ria en función
e puede poner
rior y que para
e exista aceler
el vector aceector velocida módulo come puede desponentes:
a la traye
la misma a
NT aaa
consideracio
al respectiva
al aT y norma
ta. Es el mov..). Desde un
velocidad insbién es nula.
= 0
n del tiempo.
r en función d
a que exista ac
ración. Pon ej
eleración depad pueda tenmo a su dirscomponer e
yectoria Ta
NNN uaa
ones geométr
amente y ρ e
al aN, en los
vimiento mán punto de v
stantánea co
.
33
del vector
celeración
emplos de
pende de ner, tanto rección o el vector
TT ua
N
ricas que
s el radio
siguientes
s sencillo ista físico
oincide en
A.19.- Dede refereorigen? A.20.- Unvelocidadproblema 4.2.- MO disminuy Por otra y consec que nos tercera e
Las represen
etermina la ecencia y que se
Un coche parted 10 m/s. Si la de forma ana
OVIMIENTO
Su trayectorye de manera
parte al vari
cuentemente
Δs = v0 t
permite calc
Por otra parecuación muy
Las represen
ntaciones grá
cuación de pose mueve hacia
e del punto A la distancia enalítica y de for
O RECTILIN
ria es recta ya uniforme. C
a = aT =
ar la velocida
∆s = vM t
+ ½ a t2
cular el espac
rte si entre y útil:
ntaciones grá
ficas del M.R
sición s = f(t) a él con una v
con velocidadntre A y B es rma gráfica.
NEO UNIFOR
y su aceleraciComo sólo ex
= ∆v / ∆t =
v =
ad de manera
= [ ( v0 + v
y
cio recorrido p
la ecuación
v2 = v02 +
ficas del MRU
R.U., s = f(t)
para un tracvelocidad cons
d 15 m/s y ude 3 km, hall
RMEMENTE
ión tangenciaxiste acelerac
=> v = v0
v0 + a t
a uniforme se
) / 2 ] t =
s = s0
por el móvil.
de v y la d
+ 2 a Δs
UV s = f(t);
signderehac(fig
y v = f(t)
ctor en el que stante de 1,5
una moto partla la posición
E VARIADO
al es constanción tangenci
+ a ( t - t0 )
e cumplirá qu
[ ( v0 + v0 +
+ v0 t + ½
de ∆s, elimin
; v = f(t) y
Por conno positivo hecha, y tieia abajo y ura)
son las sigu
la posición inim/s. ¿En que
te al mismo tidel punto de
(MRUV)
nte, pues su al
) si t0 =
ue vM = ( v0
+ a t ) / 2 ]
½ a t2
namos el tiem
y a = f(t) son
nvenio s y hacia arriba yenen signo hacia la la
uientes:
icial es 200me instante pasa
iempo del pune encuentro. R
velocidad au
= 0 =>
0 + v ) / 2
t es decir
mpo, nos qu
n:
34
v tienen y hacia la negativo izquierda
m del punto ará por el
nto B, con Resuelve el
umenta o
ueda una
A.21.- Detrata.
A.22.- Unverde. Si bastará c A.23.- Unobstáculo A.24.- Uny recoore A.25.- Unen ese indurante 1analíticam 4.3.- CA del camp A.26.- Re masa, y q A.27.- Elique se lan
etermina por
n motorista quel semáforo p
con mantener s
n motorista vao?
n avión contace 1.400 m hast
n coche está dnstante es ade10 s, ¿adelantmente.
AIDA DE GR
Un movimienpo gravitator
ealizar una inv1.- Que la caí2.- Que la ac
que su valor se
ige entre las snza al aire ver
la forma de l
ue va a 54 km/permanece abisu velocidad d
a a 72 km/h cu
cta con la pistata parase. ¿Cu
detenido en unelantado por uta a la moto?
RAVES
nto rectilíneoio terrestre,
vestigación expída libre de unceleración de e aproxima al
iguientes gráfrticalmente ha
la gráfica o d
/h ve un semáfierto solament
de 54 km/h? Si
uando ve delan
a de aterrizajeuál ha sido su
n semáforo y auna moto cuy
? ¿Qué distanc
o especialmenlo que se den
perimental parn cuerpo es un
la gravedad eobtenido por l
g = 9,8062 - 0
ficas v = f(t) aasta que se det
de la ecuación
áforo situado ate durante 15 i la velocidad
nte de su posic
e cuando su veaceleración?
arranca cuandya velocidad ecia separará f
nte común enomina caíd
ra comprobarmovimiento res la misma pla siguiente ec
0,0259 cos 2λ
aquella que reptiene y vuelve a
n correspondie
a 260 m delans, ¿ Tendrá qmáxima es 60
ción un obstác
elocidad es 20¿Cuánto tiemp
do se pone veres 50 km/h. Sfinalmente a a
e importante da de graves
r la siguientes rectilíneo unifopara todos loscuación:
λ - 3,09 10-8 h
presenta correa caer.
ente el tipo de
nte de él justamque acelerar pa
km/h, ¿lograr
culo en la carr
0 km/h; despupo ha tardado
rde, con una aSi el coche mambos vehícul
es la caída ds.
hipótesis: ormemente aces cuerpos, ind
[=] m/s2
ectamente a la
e movimiento
mente cuandopara pasar en rá pasar en ve
retera. ¿Choca
ués frena unifoo en detenerse?
aceleración demantiene su ac
los? Resolver
de cuerpos e
elerado. dependienteme
a velocidad de
35
de que se
cambia a verde o le
erde?
ará con el
ormemente ?.
e 1,3 m/s2; celeración r gráfica y
n el seno
ente de su
e un objeto
A.28.- Se A.29.- Vatarda 5s globo del A.30.- Dedesde el s indica a q A.31.- Im80 cm develocidad A.32.- Enexpresar aceleraci 5.- EL M ellos sonalrededosu eje y de la dispara desintroduceacelera
velocidad A.33.- A angular l
e lanza un cuera) ¿qué alturab) ¿cuánto tiec) Hacer e int
as en un globoen llegar al s
l suelo cuando
esde un un pusuelo verticalmDibujando lasqué altura lo h
magina que vasel suelo del asd de 1 m/s?
n realidad, debpor la ecuaci
ión de caída si
MOVIMIENT
Si pensamosn movimientoor de un eje, alrededor deEn el movim
stancia se puescribir el M.Ce un nuevo
ación angula
Recordando d y la acelera
nivel prácticlas revolucione
rpo verticalmea alcanzará? empo tardará eterpretar las g
o que está ascesuelo. Utilizano soltaste el sa
unto A, situadomente hacia ars gráficas poshacen y en qué
s en el ascensoscensor. ¿Cuá
bido al rozamión: a = ( - i v = 5 m/s, v
TO CIRCULA
s en diferentos circulares:como por ej
el Sol, la gentmiento circula
ede estudiar C. es más útilo grupo dear α
que la unidaación angular
o (revoluciones por minuto
ente hacia arri
en pasar de nugráficas s-t, v-
endiendo con ndo los vectorco.
o a 50m de altrriba otra pelosición-tiempo,é sentido de su
or, que sube cánto tiempo ta
miento el módu9,8 + k v2 ) j.= 10 m/s y v =
AR
tes movimien muchos meemplo los cote se divierter sobre la trael movimien referirse no
e magnitude
=
ad de ángulo r serán respe
es de motores(r.p.m.). Enco
iba con una ve
uevo por el pu-t y a-t
v= 3 m/s y sures posición y
ltura, dejamosota P2 con una averigua si c
u trayectoria.
con v = 1 m/sardan en toca
ulo de la acelej. Si para un c= 50 m/s.
ntos de la videcanismos esoches, nosotre girando susayectoria se rnto como se ho ya al arco res denomina
y t
plano en el ectivamente
es, centrifugadontrar la relac
elocidad inicia
unto de partida
ueltas un sacoy velocidad, ca
s caer una pela rapidez iniciachocarán entr
cuando se te ar el suelo? ¿
eración de cacierto cuerpo e
da cotidiana,tán basados ros mismos rpendidos en recorre un arha hecho conecorrido sinoadas angula
t =
SI es el rad el rad/s y
doras,...) sueleción entre ésta
al de 45 km/h.
a.
o de arena (lasalcula a qué a
ota P1. Un segal v2,o = 15 mre si las dos p
caen las llave Y si el ascen
ída de un cueel coeficiente k
comprobareen la rotacióotamos con lel aire en unrco de circunn los movimieo al ángulo gares: veloci
dián (rad), lael rad/s2
e utilizarse pas y el rad/s.
stre), comprobaltura se enco
gundo despuém/s. pelotas. caso
es de la mano,nsor fuese baj
erpo en el airek vale 0,002,
emos que món de algún ela Tierra alrena noria giganferencia y enentos rectilínegirado θ; pa
cidad angul
as unidades S
ara medir la
36
bando que ontraba el
és se lanza
de chocar
situada a jando con
e se puede calcula la
uchos de elemento
ededor de nte,... n función eos. Pero ra ello se lar ω y
Si para la
velocidad
con la mal centropuntos d cierto tie da el mó A.34.- Unsiendo θ υ, en el SI 5.1.- MO ω = ∆θ / valdrá:
A.35.- Pa
Como puedemisma velocido del disco. Pdel cuerpo qu
El movimienempo, llamad
Como una vu
Además del óvil por unida
= 1 / T
n punto materila posición an
SI.
OVIMIENTO
Se define el
/ ∆t => ∆θ =
A pesar de t
aseas en bicicla) La velocidab) La distancic) El número
e deducirse ddad angular, Por ello resultue gira.
to circular esdo periodo T
uelta equivale
periodo, tamad de tiempo
Su unida
ial realiza un ngular expresa
O CIRCULAR
MCU como a
= ω ∆t =>
tener velocid
leta con una vead angular de ia recorrida ende vueltas efec
Tencorrespondedel ángulo eque: ∆s v =
de esta últimapero su velotan tan útiles
s un movimT, la posición
e a 2 radian
mbién se usa . Es decir es
ad en el SI e
movimiento ciada en grados
R UNIFORM
aquel cuya ve
θ - θ0 = ω
θ = θ0 + ω
dad angular c
a
elocidad de 4 la rueda
n un minuto ctuadas por ca
niendo en ce un arco iguexpresado en
= R ∆θ
∆s / ∆t =
a relación, loocidad lineal es las magnitu
miento periódel móvil se
nes, podemos
la frecuencla magnitud
es el herzio (
ircular de rads. Halla las ma
ME (MCU)
elocidad angu
( t - t0 ) y s
t
constante, e
= Rv = a 2
2
N
m/s y las rued
ada rueda en e
uenta que ual al productn radianes po
y por lo tant
R ∆θ / ∆t
os puntos dees tanto mayudes angulare
ódico, lo quee repite.
s escribir: ω
cia, , definidinversa al pe
(Hz) = s-1
dio 30 cm, descagnitudes cara
ular es cte. P
si consideram
l MCU tendrá
R
das tienen un r
ese tiempo
para un detto obtenido dor el radio co
to
= R ω
un disco quyor cuanto mes, pues son
e quiere deci
= ∆θ / ∆t =
da como el núeriodo
crito por la ecuacterísticas de
Por lo tanto
mos t0 = 0
á una acelera
radio de 32,5 c
terminado áde multiplicaonsiderado te
es decir
v = R ω
ue gira lo hacmayor sea su n comunes a
ir, que al ca
= 2 / T
úmero de vu
uación θ = 3e este movimie
=>
ración norma
cm. Determina
37
ángulo le r el valor
endremos
cen todos distancia todos los
bo de un
eltas que
30 + 180 t, nto ω, T y
al aN, que
a:
38
A.36.- Luis es aficionado a la astronomía y con paciencia ha medido los ángulos girados por la Luna, siempre a la misma hora, obteniendo la siguiente tabla:
nº de días 0 2 4 6 8 10 12
Δθ ( grados ) 0 29 41 78 103 128 ?
a) ¿Deduces alguna regularidad en los datos de la tabla? b ) ¿Qué valor de Δθ cabe esperar al cabo de 12 días? c) ¿En cuanto tiempo se completará toda una vuelta? 5.1.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV) Por analogía con el movimiento rectilíneo uniformemente variado tendremos: ω = ω0 + t Δθ = ω0 t + ½ t2 θ = θ0 + ω0 t + ½ t2 Así mismo teniendo en cuenta que existe la relación v = ω R tendremos que aT = α R y consecuentemente: v = v0 + aT t Δs = v0 t + ½ aT t2 s = s0 + v0 t + ½ aT t2 y la aceleración normal aN valdrá: A.37.- Una rueda de 10 cm de radio comienza a girar, partiendo del reposo, con aceleración angular constante. Al cabo de 5 s su velocidad angular es de 3.000 rpm. Calcula su aceleración angular y la longitud de arco recorrido por un punto de la periferia de la rueda durante dicho intervalo de tiempo. A.38.- Una centrifugadora está girando a 500 rpm. El radio de la trayectoria descrita por un cierto punto es 0,12 m. Si se le aplica un freno que la para en 4s, halla: a) La velocidad angular en el instante de iniciar el frenado b) La aceleración normal en el mismo instante c) la aceleración tangencial durante el frenado, supuesta constante. A.39.- Haz un resumen con todas las expresiones vistas para los distintos movimientos estudiados. 6.- COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS Hasta ahora hemos analizado movimientos como el rectilíneo o el circular, que podíamos calificar como movimientos simples. Sin embargo movimientos más complejos pueden suponerse como composición de movimientos más simples gracias al principio de composición de movimientos enunciado por Galileo en el S XVI. Según este principio un movimiento puede suponerse como la combinación vectorial de dos o más movimientos más simples, siempre que: 1.- El vector posición del móvil sea la suma de los vectores de posición correspondientes a los movimientos simples. 2.- El vector velocidad sea la suma de los vectores velocidad correspondientes a los movimientos simples. Veamos algunos casos concretos de composición de movimientos:
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2
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OMPOSICIÓ
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39
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41
También podemos calcular la altura máxima que alcanzará el proyectil (yMAX) teniendo en cuenta que en dicho punto vY = 0 => v0 sen - g t = 0 => t = (v0 sen ) / g que llevado a la ecuación de la trayectoria =>
g 2
sen v = y22
0 MAX
Y el alcance máximo (xMAX) se puede determinar cuando y =0 => 0 = v0 t sen - ½ g t2 => t = (2 v0 sen )/ g que es el tiempo del impacto, y que llevado a la ecuación de la trayectoria =>
g
sen2v = g
senv 2 = x
20
20 cos
MAX
A.42.- Un arma dispara un proyectil cuya velocidad de salida es de 400 m/s y forma con la horizontal un ángulo de 30º. Calcular: a) El alcance máximo medido horizontalmente b) La altura máxima alcanzada c) La velocidad a los 4 s del lanzamiento.
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ejercicios 1.-Señala claramente la distinción entre vector desplazamiento y trayectoria 2.-La celeridad de un vehículo viene dada por v = 2 - 3t. en m y s. a) Halla la celeridad media entre los instantes t1 = 0,2 s y t2 = 0,5 s. b) Representa gráficamente ven función de t. Cuál es la aceleración de este movimiento? ・ 3.- Puede una persona que viaja en un autobús ir más deprisa que el autobús? y menos deprisa・ ・ ? 4.-Contesta verdadero o falso: a) El vector aceleración puede tener sentido contrario al vector velocidad. b) Un cuerpo con movimiento acelerado puede tener rapidez nula. c) El sentido de los vectores velocidad angular y aceleración angular tiene que ser el mismo. 5.-A partir de las ecuaciones v = v0 + a t y s = v0 t + a t2 / 2 deduce la ecuación v2 = v0
2 + 2 a s 6.-a) Explica cómo es el movimiento que sigue el cuerpo de la fig. 1 b) Explica cómo son los movimientos representados en la fig. 2
7.-Dos coches parten a la misma hora de dos puntos que distan entre sí 40 km; el coche A se mueve con Va= 60 km/h y el coche B se mueve con Vb = 25 m/s. Halla el instante y la posición en que se produce el encuentro. (Conviene hacer un dibujo de la situación antes de realizar cálculos). 8.-Escribe las ecuaciones del movimiento de dos móviles que se desplazan sobre la misma recta con movimiento uniforme; el móvil A sale del origen de coordenadas en el instante cero y se mueve a 4 m/s en sentido positivo; el B sale 6 s más tarde desde el punto de abscisa 80 m y se mueve con igual rapidez que A pero en sentido contrario. En qué momento se encuent・ ran? 9.-Una avioneta recorre antes de despegar 600 m por la pista del aeropuerto. Si tarda 20 s en despegar y lo hace con MUA: a) Calcula su aceleración. b) Cuál es su rapidez en el instante del despegue? ・ 10.-Un coche marcha a 90 km/h por una carretera y al salir de una curva ve 50 m por delante otro vehículo que marcha a 50 km/h. Calcula la aceleración mínima con que debe frenar el coche para no chocar con el otro vehículo. 11.-Las gráficas representan la posición de dos vehículos A y B en función del tiempo. Explica qué tipo de movimiento lleva cada uno de ellos y determina en qué instante se encuentran.
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12.-Calcula el tiempo que tarda en anular su rapidez un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con rapidez inicial V0 = 12 m/s. 13.-Un objeto con movimiento rectilíneo tiene una rapidez de 20 m/s en el instante t0= 0. En t1 = 30 s, su rapidez es 5 m/s. Calcula su aceleración, supuesta constante; cuál será su rapi・ dez en los instantes t2 = 40 s y t3 = 60 s? 14.-La ecuación horaria del movimiento rectilíneo de un cuerpo viene dada por la ecuación s = 8t + 4t2, en m y s. a) ¿Qué tipo de movimiento es?. b) ¿Qué representan las constantes 8 y 4 que aparecen en la ecuación? c) Dibuja las gráficas s -t y v -t para este caso. d) Calcula la celeridad en el instante t = 7 s. 15.-Un movimiento uniformemente variado viene dado por la ecuación horaria s = 2 + 3t + t2. Calcula: a) La celeridad media entre los instantes t = 1 y t' = 1,2 s; b) la celeridad instantánea en el instante t = 1 s; c) la distancia recorrida en el primer segundo; d) la aceleración. 16.-Un objeto se desplaza sobre el eje x de modo que su posición viene dada por x = 4t -t2, donde x se mide en m si t se expresa en s. a) En qué instante cambia de sentido el movimiento? ・ b) Cuál es la posición del móvil en dicho instante? ・ 17.-Un peatón corre con rapidez de 4 m/s intentando coger un autobús. Cuando se encuentra a 10 m del autobús, éste se pone en marcha y acelera uniformemente con a = 0,8 m /s2. a) Si logra alcanzar al autobús, indica cuánto tiempo tarda. b) Si el peatón se encontrase a 12 m del vehículo cuando éste se pone en marcha, ¿llegaría a alcanzarlo? En caso negativo, calcula la distancia mínima a que llegan a estar el viajero y el autobús. c) Dibuja la distancia, en función del tiempo, entre la persona y el autobús. 18.-Un globo asciende verticalmente con una rapidez de 3 m/s. Cuando está a 200 m del suelo suelta un lastre. Cuánto tiempo tarda el lastre en tocar el suelo? Cuál será su rapidez en ese instante? y su ・ ・ ・velocidad? 19.-a) Un disco gira a 45 rpm. ¿Cuál es su frecuencia y su periodo? Determina su celeridad angular el el S.I. b) Un disco gira a 0,5 rps. ¿Qué celeridad lineal tienen los puntos situados a 5 cm o a 10 cm del eje de giro? 20.-Un automóvil en una competición toma una curva de 80 m de radio con MUA de forma que en el punto A se mueve a 120 km/h y en B con 140 km/h. Tarda en ir de A a B, 4 s. Halla: a) La aceleración tangencial. b) La longitud de tramo AB. c) La aceleración normal en A y en B 21.-Un móvil puntual describe una circunferencia de 40 cm de radio. Partiendo del reposo se mueve con una aceleración angular constante de 0,05 rad/s2. Calcula su aceleración normal su aceleración tangencial y su aceleración tota al cabo de 4 s. 22.-Un objeto puntual se ve sometido a un movimiento circular de 6 m de radio girando a 200 rpm el el plano XY. Halla: a) Su periodo y su frecuencia b) El ángulo descrito en 20 s. c) El valor de las aceleraciones tangencial y normal. 23.-Sabiendo que la distancia que separa la Tierra, del Sol es de 150 millones de km, calcula la rapidez lineal y la rapidez angular de la Tierra aIrededor del Sol y la aceleración normal de este movimiento.
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24.-Un remero a bordo de su piragua se dispone a cruzar un río de 70 m de ancho, cuyas aguas se mueven a 4 m/s. La piragua lleva un movimiento resultante de rapidez 6 m/s respecto del fondo y de dirección perpendicular a la del río. Halla el tiempo que tarda en cruzarlo. 25.-Un avión que vuela con rumbo SN a 800 krn/h. se ve sometido a un viento de dirección OE que sopla a 60 km/h. Qué rumbo tomara el avión? .・ 26.-Interpreta la figura a sobre el movimiento de un avión que atraviesa una zona de viento. Si en el caso a) la rapidez del avión es Vavión = 300 m/s y el ángulo es de 1 SO, cuál es la ・rapidez del viento?; y la rapidez total del avión? Interpreta la ・figura b). 27.-Un portero de fútbol saca de porteria de modo que la velocidad inicial del balón forma 30 con la horizontal y su módulo es 20 m/s. A qué distancia del punto de lanzamiento tocará el balón el césped? ・Variarla el alcance que logra el portero si cambiase el ángulo d・ el lanzamiento?
28.-Los canguros, ayudándose de sus potentes extremidades traseras, pueden dar saltos de unos 8 m de alcance horizontal. Suponiendo que el ángulo del salto es el que permite un alcance máximo, es decir 45, calcula el tiempo que dura un salto de 8 m. 29.- La ecuación de movimiento de un objeto viene dada por: (t)= 2 - 3t2 a) Calcula el vector de posición inicial y el vector de posición en el instante t=4s. b) Dibuja gráficamente estos vectores. c) Determina el vector desplazamiento para el intervalo anteriormente tomado. Coincide el ・módulo del vector desplazamiento con la distancia recorrida?. 30.- La ecuación de movimiento de un objeto viene dada por (t)= 3t + (2-t2) + . Determina: a) Representa gráficamente su trayectoria. b) la velocidad y su módulo en el instante t=3 sg. c) la aceleración en cualquier instante, así como los módulos de las aceleraciones tangencial y normal. 31.- Un objeto parte del origen de coordenadas con una velocidad inicial de 20 m/s y se desplaza por el eje de las X, en sentido positivo, con un movimiento uniformemente retardado cuya aceleración es 10 m/s2.Calcula: a) la ecuación del movimiento. b) el instante en que se anula la velocidad. c) el instante en que vuelve a pasar por el origen de coordenadas. d) el vector velocidad en ese instante. 32.- Un móvil se desplaza a lo largo del eje Y según la ecuación y= t2-2t+5. Donde y se expresa en m. para t en segundos. Determina: a) El vector de posición en cualquier instante. b) la posición inicial. c) la aceleración en cualquier instante. d) la aceleración tangencial. 33.- Un cuerpo se mueve en el espacio con una velocidad (t)= t - (1-t2) -2t . Determina: a) la aceleración media entre los instantes t=1 y t=3 sg. b) la aceleración en cualquier instantes. Módulo.
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34.- Para cada una de las gráficas "posición-tiempo" mostradas: a) obtén, de manera aproximada, las gráficas "velocidad-tiempo" b) deduce si la aceleración es positiva, negativa o nula.
35.- Para la gráfica velocidad/tiempo del esquema. a) indica en qué instantes la aceleración del móvil es positiva, negativa o cero. b) ¿en qué instantes la aceleración es constante? c) ¿en qué instantes la velocidad es nula? d) calcula el desplazamiento del móvil en el intervalo [0,14] sg. 36.- Un móvil está situado a 3 m. a la derecha del origen de coordenadas y se mueve con velocidad constante de 5 m/s hacia él. Determina: a) la posición del objeto, transcurridos 5 s desde que se inició el movimiento. b) la distancia recorrida en ese tiempo. c) comprueba si dicha distancia coincide con el módulo del vector desplazamiento. 37.- Un coche que circula a 90 Km/h frena y para en 5 s. Determina la aceleración del coche, supuesta constante, y la distancia que recorre hasta detenerse. 38.- Construye el gráfico posición-tiempo para una piedra lanzada hacia arriba, con una velocida inicial de 20 m/s. Considera para ello la posición en intervalos de 0.5 sg. 39.- Describe el movimiento que corresponde a los gráficos siguientes. Indica en cada caso un movimiento real que se corresponda con estos gráficos. 40.- Desde un avión que vuela a 500 m. de altura, y cuya velocidad horizontal es de 90 m/s, se desea lanzar una bolsa de víveres sobre unos náufragos. Sin tener en cuenta el rozamiento ni los efectos del viento, determina: a) Distancia desde la que ha de soltarse la bolsa. b) Velocidad de la bolsa cuando ésta llega al suelo. 41.- Lanzamos una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde el suelo y desde lo alto de un edificio de 10 m de altura, al mismo tiempo, se lanza otra piedra, también hacia arriba, con velocidad de 10 m/s. Determina el momento y el punto donde se cruzarán.
x
t
a)
x
tb)
x
tc)
x
td)
t (s)
v (m/s)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
1
2
3
4
5
6
7
s
t
v
t
46
42.- Un globo asciende con velocidad constante de 5 m/s. Cuando se encuentra a una altura de 200 m se deja caer el lastre. Determina: a) El tiempo que emplea el lastre en llegar al suelo. b) Velocidad con que llega al suelo. 43.- Un saltador de longitud alcanza una velocidad de 10 m/s en el instante en que inicia su salto. Si la inclinación con que lo realiza es de 25º con respecto a la horizontal y se desprecian los efectos del rozamiento, determina: a) El tiempo que está en el aire. b) La altura máxima alcanzada en su vuelo. c) longitud mínima que ha de tener el foso de arena si el salto lo inicia a 27 cm del mismo. 44.- Sobre una mesa de 1 m de altura rueda con velocidad constante de 2 m/s una bola, hasta que cae por uno de sus extremos: a) ¿A qué distancia de la base de la mesa golpeará el suelo? b) Calcula el módulo de la velocidad en el momento de chocar con el suelo. 45.- El portero de balonmano inicia un contraataque rápidamente, lanzando la pelota con una velocidad de 20 m/s y una inclinación de 60º sobre un compañero 25 m más adelantado. Si éste se mueve con velocidad constante consigue coger la pelota a la misma altura que la lanzó el portero, determina el valor de dicha velocidad. 46.- Desde un avión que vuela horizontalmente con una velocidad de 200 Km/h, a 2000 m de altura se deja caer un objeto. Determina: a) velocidad y posición del objeto a los 15 s de lanzarse. b) tiempo que tarda en llegar al suelo y punto de impacto. 47.- Si un móvil realiza un movimiento circular de radio 3 m y con una velocidad angular constante de 5 rad/s. Determina: a) módulo de la velocidad lineal. b) tiempo que tarda en describir 30º. c) ángulo y tiempo tardado en recorrer 20 m el móvil. d) módulo de la aceleración lineal. e) calcula el período y la frecuencia del movimiento. 48.- Si una hélice se mueve a 30 r.p.m. calcula: a) velocidad angular dada en rad/s b) ángulo girado 2, 3, 4 s. Dar los ángulos en grado. c) módulo de la velocidad lineal que lleva un tornillo en un aspa a 2 m del eje de giro. 49.- Determina la velocidad angular de la Tierra en su rotación diaria y en su movimiento alrededor del Sol, supuesto éste circular. Dato: distancia de la Tierra al Sol=1.5 108Km. 50.- Una bicicleta se mueve con una velocidad de 5 m/s. Las ruedas tienen un radio de 40 cm. a) Determina la velocidad angular de la rueda. b) calcula el ángulo descrito por un punto del neumático transcurridos 10 s. desde que se inició el movimiento. Expresa el resultado en vueltas. c) ¿qué distancia ha recorrido la bici en ese tiempo? 51.- Una centrifugadora está girando a 500 rpm. El radio de la trayectoria descrita por un cierto punto es 0,12 m. Si se le aplica un freno que la para en 4s, halla: a) La velocidad angular en el instante de iniciar el frenado b) La aceleración normal en el mismo instante c) la aceleración tangencial durante el frenado, supuesta constante. 52.- Haz un resumen con todas las expresiones vistas para los distintos movimientos estudiados.