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Tema 12 Probabilidad

La teoriacutea de la probabilidad tuvo sus inicios en el anaacutelisis de los juegos de azar de siglo XVII En

este tema trataremos aspectos relaciones con la teoriacutea de probabilidad En primer lugar se hace

una aproximacioacuten intuitiva a la nocioacuten de experimento aleatorio suceso y a la idea de

probabilidad Maacutes adelante estos conceptos se formalizan con el estudio de las propiedades

asociadas a los espacios probabiliacutesticos y con las distintas aproximaciones a la probabilidad como

por ejemplo la conocida Ley de Laplace

1 Factorial de un nuacutemero y nuacutemeros combinatorios

Previamente a introducir las teacutecnicas de conteo recordamos estos dos conceptos baacutesicos

bull Factorial de un nuacutemero n el factorial de n se denota 119899 y se calcula de la siguiente forma

119899 = 119899 middot (119899 minus 1) middot (119899 minus 2) middot hellip middot 3 middot 2 middot 1

Propiedades

- 0 = 1

- 119899 = 119899 middot (119899 minus 1)

bull Nuacutemero combinatorio se define como ldquon sobre mrdquo y se calcula de la siguiente forma

(119899119898) =

119899

119898 middot (119899 minus 119898)

2 Teacutecnicas de recuento Combinatoria

En el Caacutelculo de Probabilidades a menudo se presentan conjuntos demasiado grandes como para

poder enumerar exhaustivamente sus elementos aunque por otra parte obedecen a unas reglas

de formacioacuten fijas que permiten construir procedimientos para conocer su cardinal sin necesidad

de elaborar una lista de elementos La Combinatoria agrupa los procedimientos orientados a

contabilizar el nuacutemero de elementos de conjuntos de este tipo sin necesidad de enumeraciones Se

encarga de analizar las formas de agrupar u ordenar los elementos de un conjunto siguiendo

determinadas reglas y tambieacuten estudia las formas en las que un suceso puede acontecer

Empezaremos el tema recordando las configuraciones de conteo habituales variaciones

permutaciones combinaciones (con y sin repeticioacuten) asiacute como la teacutecnica de diagrama en aacuterbol

21 Diagrama en aacuterbol se trata de un meacutetodo graacutefico de conteo que consiste en ir sentildealando

todos los posibles resultados simulando las ramas de un aacuterbol

Ejemplo

Determina el nuacutemero de palabras distintas de 5 letras que puedan formarse con las letras

A E I L M N P de forma que haya una vocal en la primera posicioacuten

Para ello deben rellenarse cinco posibles posiciones (1 para cada letra) || || || || || ||

La primera posicioacuten debe ocuparse por una vocal y para ello hay tres elecciones posibles

A E I

|| 3 || || || || ||

La segunda posicioacuten debe ocuparse por una letra diferente de la primera de modo que sea

cual sea la primera hay 6 posibilidades

|| 3 || 6 || || || ||

Elegidas la primera y la segunda letras hay 5 elecciones posibles para la tercera posicioacuten

|| 3 || 6 || 5 || || ||

Razonando anaacutelogamente de esta misma forma para las posiciones restantes

2

|| 3 || 6 || 5 || 4 || 3 ||

Es decir el nuacutemero de palabras distintas es 3 middot 6 middot 5 middot 4 middot 3 = 1080

El resultado final del ejemplo sigue una regla de conteo (diagrama en aacuterbol) si los

conjuntos 1198601 1198602 hellip119860119896 tienen 1198991 1198992 hellip 119899119896 elementos respectivamente entonces el producto

cartesiano 11986011199091198602119909 hellip119909119860119896 tiene 11989911199091198992119909hellip119909119899119896 elementos

22 Variaciones ordinarias (sin repeticioacuten) de n elementos tomados de m en m (119951 gt 119950)

consiste en enumerar todos los posibles grupos diferentes de m elementos a partir de n

elementos

- Los elementos no pueden repetirse

- Siacute importa el orden en el que los colocamos

119933119951119950 =119951

(119951 minus119950)

Ejemplo iquestDe cuaacutentas formas pueden recibir el oro la plata y el bronce los 10 participantes de una

carrera de atletismo

En este caso se trata de variaciones sin repeticioacuten de 10 elementos tomados de 3 en 3

119881103 =10

(10 minus 3)=10

7= 10 middot 9 middot 8 = 720 119891119900119903119898119886119904

23 Variaciones con repeticioacuten de n elementos tomados de m en m en este caso al tomar

los m elementos del conjunto de n elementos inicial estos siacute pueden repetirse

- Los elementos pueden repetirse

- Siacute importa el orden en el que los colocamos

119933119929119951119950 = 119951119950

Ejemplo iquestCuaacutentos coacutedigos de longitud 10 se pueden formar combinando los signos + y - Para la primera posicioacuten tenemos dos posibilidades + o ndash para la segunda posicioacuten

tendriacuteamos de nuevo dos posibilidades + o ndash

Razonando anaacutelogamente por el resto de posiciones tendriacuteamos dos posibilidades en cada

una de ellas por lo tanto

2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 210 Es decir se trata de 119881119877210 = 2

10

24 Permutaciones (sin repeticioacuten) de n elementos se trata de variaciones ordinarias en las que 119899 = 119898

119927119951 = 119951

Ejemplo iquestDe cuaacutentas formas pueden sentarse 5 amigos en 5 asientos consecutivos del cine

En el primer asiento de la izquierda pueden sentarse cualquiera de los 5 en el asiento

consecutivo cualquiera de los 4 restantes y asiacute sucesivamente

Es decir hay 5 middot 4 middot 3 middot 2 middot 1 = 120 formas

25 Permutaciones con repeticioacuten de n elementos se trata de permutaciones de n

elementos donde hay elementos que se repiten

119927119951119951120783119951120784hellip119951119948 =

119951

119951120783 middot 119951120784 middot hellip middot 119951119948

3

Ejemplo

En un bar cinco amigos han pedido 3 zumos de naranja y 2 botellas de agua Contabilizar

de cuaacutentas maneras pueden consumir las cinco bebidas

En total hay 5 elementos pero uno aparece repetido 3 veces y el otro aparece repetido 2

veces Por tanto se trata de permutaciones con repeticioacuten

119875532 =

5

3 middot 2= 10 119891119900119903119898119886119904

En general una coleccioacuten de 119899 objetos clasificados en 119896 grupos de objetos ideacutenticos entre

siacute el primero con 1198991 objetos el segundo con 1198992 objetos etc puede ordenarse en fila de

maneras distintas si no se consideran diferentes las ordenaciones donde dos objetos

iguales han permutado su posicioacuten En este caso se habla de permutaciones de 119899 objetos

de los que 1198991 son iguales entre siacute 1198992 objetos son iguales entre siacute etc o simplemente

permutaciones con repeticioacuten 11987511987711989911989911198992hellip119899119896

26 Combinaciones de n elementos tomados de m en m consiste en enumerar todos los

posibles subconjuntos de m elementos a partir de n elementos

- Los elementos no pueden repetirse

- No importa el orden en el que los colocamos

119914119951119950 = (119951119950) =

119951

119950 middot (119951 minus119950)

Ejemplo

Tenemos una urna con 10 bolas de diferente color y extraemos dos al azar iquestcuaacutentas

combinaciones posibles existen

Habraacute tantas combinaciones como formas posibles de extraer dos bolas de la urna es decir

119862102 = (102) =

10

2 middot (10 minus 2)=

10

2 middot 8= 45 119888119900119898119887119894119899119886119888119894119900119899119890119904

27 Combinaciones con repeticioacuten

iquestDe cuaacutentas maneras diferentes se pueden repartir 119903 = 7 bolas ideacutenticas en 119899 = 5 urnas

Las 119899 = 5 urnas son representadas por los espacios comprendidos entre 119899 + 1 = 6 barras

verticales por ejemplo la secuencia

| |∎| ∎∎ | ∎∎∎ | ∎ |

corresponde al reparto donde la urna 1 estaacute vaciacutea las urnas 2 y 5 contienen 1 bola la urna

3 contiene 2 bolas y la urna 4 contiene 3 bolas El reparto de 119903 = 7 bolas en 119899 = 5 urnas

supone emplear 119903 = 7 siacutembolos ∎ y 119899 + 1 = 6 barras verticales | Dos siacutembolos | aparecen

fijos (la primera y la uacuteltima barra que indican el comienzo de la urna 1 y el final de la urna

119899 = 5 respectivamente) y los restantes 119899 + 119903 ndash 1 = 11 (es decir 119903 + (119899 + 1)1048576 minus 2)

siacutembolos aparecen en orden arbitrario Hay tantos repartos de 119903 = 7 bolas en 119899 = 5 urnas

como formas distintas de ordenar esos 119899 + 119903 1048576 minus 1 = 11 elementos (119899 + 119903 minus 1)

(119899 minus 1) middot 119903= 119862119877119899119903 = (

119899 + 119903 minus 1119903

) = 11986211987757 = (117) =

11

7 middot 4= 330

3 Experimentos aleatorios

Existen fenoacutemenos donde la concurrencia de unas circunstancias fijas no permite anticipar

cuaacutel seraacute el efecto producido Por ejemplo si una moneda cae al suelo no es posible conocer

por anticipado el punto exacto donde iraacute a parar cuando se colocan bolas ideacutenticas numeradas

4

en una bolsa y se extrae una bola a ciegas no es posible determinar con total certeza queacute bola

seraacute elegida etc

Estos experimentos son llamados aleatorios puesto que el resultado del fenoacutemeno en estudio

es consecuencia del azar Los experimentos no aleatorios se llaman deterministas

En estas situaciones el caraacutecter impredecible del azar hace inuacutetil cualquier intento de hallar

reglas deterministas que rijan la aparicioacuten de los resultados individuales Sin embargo es falso

decir que el azar no estaacute sometido a leyes lo que ocurre es que no son leyes necesarias que

determinen uniacutevocamente el resultado de cada experimento sino que atantildeen a la frecuencia de

los resultados que se obtienen cuando el fenoacutemeno se repite un gran nuacutemero de veces

El Caacutelculo de Probabilidades se ocupa de estudiar experimentos aleatorios es decir

situaciones que repetidas bajo condiciones ideacutenticas pueden dar lugar a diversos resultados

1198601 1198602 hellip de manera que no puede predecirse con certeza absoluta cuaacutel de ellos ocurriraacute

Ante fenoacutemenos de azar la tendencia natural es tratar de medir el grado de verosimilitud de

los diversos acontecimientos posibles asignando una probabilidad a cada uno de ellos es decir

un valor numeacuterico que informa de la frecuencia con que hay que esperar que se presente cada

uno despueacutes de numerosas observaciones del fenoacutemeno En concreto la probabilidad de cada

acontecimiento posible es un nuacutemero de [0 1] que expresa la frecuencia teoacuterica con que dicho

acontecimiento se presentaraacute en una serie indefinidamente larga de repeticiones del

experimento realizadas en condiciones ideacutenticas

En el estudio de un experimento aleatorio hay dos conceptos fundamentales

bull Los posibles acontecimientos que pueden producirse es decir el espacio muestral y sus

correspondientes sucesos

bull La valoracioacuten de la probabilidad de los acontecimientos posibles

4 Espacio muestral y sucesos aleatorios

En primer lugar introducimos las siguientes definiciones

41 Definiciones

En un experimento aleatorio el espacio muestral se conoce como el conjunto de todos los

resultados posibles que constituyen un fenoacutemeno aleatorio y se denota por 119916

Es habitual decir que el espacio muestral 119864 es

bull discreto si tiene un nuacutemero finito de elementos

bull continuo en caso contrario

Se llaman sucesos a los distintos subconjuntos de 119916 Podemos distinguir dos tipos

bull Sucesos elementales cada uno de los resultados posibles del espacio muestral

bull Sucesos compuestos formados por varios sucesos elementales (uniones de sucesos

elementales)

Ejemplo

Se considera el lanzamiento de dos monedas El espacio muestral es

119864 = (119862 119862) (119862 119883) (119883 119862) (119883 119883) donde 119862 = 119888119886119903119886 y 119883 = 119888119903119906119911

El suceso obtener dos caras (119862 119862) es elemental (anaacutelogo para el suceso obtener dos cruces)

y el suceso obtener una cara (119862 119883) (119883 119862) es compuesto

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La identificacioacuten de los sucesos relativos a un experimento aleatorio implica disponer de

operaciones para formar nuevos sucesos desde otros sucesos dados Por este motivo introducimos

las operaciones entre sucesos

42 Operaciones elementales entre sucesos

Dados dos sucesos asociados a un experimento aleatorio se definen las siguientes operaciones

bull Unioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cup 119861 se describe como

ocurre 119860 u ocurre 119861 es decir el resultado pertenece o bien a 119860 o bien a 119861 o bien a

ambos simultaacuteneamente

bull Interseccioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cap 119861 se describe

como ocurren 119860 y 119861 simultaacuteneamente Si 119860 cap 119861 =empty se dice que 119860 y 119861 son sucesos

incompatibles

bull Contrario o complementario de un suceso si 119860 sub 119864 entonces 119860119888 o es el suceso

formado por todos los sucesos elementales que no estaacuten en 119860

Es importante observar que 119860 cup = 119864 119910 119860 cap = empty

bull Diferencia de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 minus 119861 es la

interseccioacuten del primer suceso con el contrario del segundo 119860 minus 119861 = 119860 cap

bull Diferencia simeacutetrica de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces definimos

el suceso 119860 119861 = (119860 minus 119861) cup (119861 minus 119860) es decir es el suceso que se verifica si y solo si se

verifica uno y solo uno de los sucesos 119860 o 119861

43 Propiedades de las operaciones con sucesos

o Conmutativa 119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860

o Asociativa (119860 cup 119861)cup 119862 = 119860cup (119861 cup 119862) (119860 cap 119861) cap119862 = 119860 cap (119861 cap 119862)

o Idempotente 119860 cup 119860 = 119860 119860 cap 119860 = 119860

o Existencia de neutros 119860 cup empty = 119860 119860 cap 119864 = 119860

o Absorcioacuten 119860 cup 119864 = 119864 119860 cap empty = empty

o Simplificativa 119860 cup (119860 cap 119861) = 119860 119860 cap (119860 cup 119861) = 119860

o Distributiva119860 cup (119861 cap 119862) = (119860 cup 119861) cap (119860 cup 119862) 119860 cap (119861 cup 119862) = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)

o Complementacioacuten = empty empty = 119864

o Involucioacuten =A

o Leyes de dualidad o de Morgan 119860 cup 119861 = cap 119860 cap 119861 = cup

o 119864 es el suceso seguro y empty el suceso imposible

5 Espacio de probabilidad Definicioacuten de probabilidad

El Caacutelculo de Probabilidades no se establecioacute como una ciencia matemaacutetica hasta principios del

siglo XX En esta eacutepoca el desarrollo de las Ciencias Naturales implicoacute fuertes demandas sobre esta

disciplina y se hizo necesario estudiar los conceptos baacutesicos de la Teoriacutea de la Probabilidad y

clarificar las condiciones bajo las cuales los resultados de la teoriacutea pudieran ser empleados Por

este motivo resultoacute esencial una construccioacuten axiomaacutetica que introdujera una estructura loacutegico-

formal en la Teoriacutea de la Probabilidad

6

51 Definicioacuten axiomaacutetica de probabilidad

Durante el siglo XX el matemaacutetico ruso Andrei Kolmogorov propuso una definicioacuten de

probabilidad que es la que seguimos utilizando hoy en diacutea

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864

Definimos la probabilidad como una funcioacuten 119901 que asocia a cada suceso 119860 de 119979(119864) un nuacutemero

real 119901(119860) que llamaremos su probabilidad

119901119979(119864) ⟼ℝ

119860 ⟼ 119901(119860)

que cumple las siguientes propiedades

A1) La probabilidad de cualquier suceso 119860 es positiva o cero 119901(119860) ge 0 forall119860 isin119979(119864)

A2) La probabilidad del suceso seguro es 1 119901(119864) = 1

A3) La probabilidad de la unioacuten de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos

es la suma de las probabilidades de los sucesos

forall 1198601 1198602 hellip 119860119899 isin119979(119864) tales que 119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895 se tiene que

119901(1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899)= 119901(1198601) + 119901(1198602) + ⋯+ 119901(119860119899)

Nota En matemaacuteticas un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostracioacuten En

este caso decimos que eacutesta es la definicioacuten axiomaacutetica de la probabilidad porque definimos la

probabilidad como una funcioacuten que cumple estos tres axiomas

52 Consecuencias de la definicioacuten Propiedades

Sean 119860 119861 sucesos de un espacio muestral 119864

1 0 le 119901(119860) le 1

Demostracioacuten

Por A1) tenemos que 119901(119860) ge 0 Por otro lado si 119901(119860) gt 1 entonces 119901() = 1 minus 119901(119860) lt 0 lo cual es imposible por el axioma A1)

2 119901(empty) = 0

Demostracioacuten empty = ⟹ 119901(empty) = 119901() = 1 minus 119901(119864) = 1 minus 1 = 0

3 119901(119860) = 1 minus 119901()

Demostracioacuten

119901(119860 cup ) = 119901(119864) = 1⟹⏞1198603]

119901(119860) + 119901() = 1 ⟹ 119901(119860) = 1 minus 119901()

4 Si 119860 sube 119861 entonces 119901(119860) le 119901(119861)

Demostracioacuten

119861 = 119860 cup (119861 minus 119860)⟹⏞1198603]

119901(119861) = 119901(119860) + 119901(119861 minus 119860) = 119901(119860) + 119901(119861 cap ) ⟹ 119901(119861) ge 119901(119860)

5 Regla de la Adicioacuten 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

Demostracioacuten

119860 cup 119861 = (119860 minus 119861) cup 119860 cap 119861) cup (119861 minus 119860) unioacuten de disjuntos y por tanto por el axioma A3 se tiene que 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860) Por otro lado

7

119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)

119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞

1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)

119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)

sumando miembro a miembro ambas expresiones

119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)

+ 119901(119860 cap 119861) de donde

119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964

119901 (⋃119860119894

119899

119894=1

) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)

119899

1198942lt1198943

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

119894=1

+⋯+

+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899

7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)

119903119894=1

53 Aproximacioacuten frecuentista

La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las

frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El

valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su

probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)

Ejemplo

Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si

se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud

119875(Obtener bola roja) =2

3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =

1

3= 0acute333hellip

En cambio

(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7

12= 0prime58333hellip

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5

12= 0prime41666hellip

(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69

120= 0prime575

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51

120= 0prime425

(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822

1200= 0prime685

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378

1200= 0prime315

Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una

sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada

repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades

8

54 Ley de Laplace

Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con

espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son

equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de

Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente

expliacutecito del concepto de probabilidad

En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la

probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la

siguiente forma

119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864

ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables

entre el nordm de casos posiblesrdquo

Ejemplo

Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente

equilibrado

El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los

resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1

2 no obstante vamos a

comprobarlo

El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la

misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de

Laplace

Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo

119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =

2 4 6

1 2 3 4 5 6=3

6=1

2

6 Probabilidad condicionada

Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir

antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la

frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir

No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha

concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el

resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que

disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento

aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos

Ejemplo

Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5

La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15

Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la

9

probabilidad de que sea la 5 es entonces 12

Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al

suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada

Ejercicio

Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la

probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2

El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados

1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12

y tomar como espacio muestral

Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)

El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por

S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)

y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es

A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)

Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16

Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten

61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada

La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0

se llama probabilidad condicionada

Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es

119901(B|A) =119901(A cap B)

119901(A)

A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de

la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de

10

probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la

multiplicacioacuten

62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten

La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad

de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la

probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente

De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)

119901(119860) obtenemos

119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)

Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B

119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)

Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos

119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)

helliphelliphelliphellip

119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)

Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta

Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la

probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de

independencia de sucesos

63 Dependencia e independencia de sucesos

En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto

no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la

siguiente definicioacuten de sucesos independientes

Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que

119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)

Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo

bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo

119901(119861) = 0

bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten

son independientes dado que

p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =

= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()

bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo

son

Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las

caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia

numeacuterica

11

Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado

por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que

119901(Obtener cara)=6

12=1

2

p(Obtener al menos 3) =8

12=2

3

119901(Obtener cara y al menos 3)=4

12=1

3

La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)

establece que ambos sucesos son independientes

La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier

suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de

probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo

119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1

2middot1

6=1

12

El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de

modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias

componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes

y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio

7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

71 Teorema de la Probabilidad Total

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes

119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas

Entonces se verifica que

119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =

119899

119894=1

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119916

Demostracioacuten

119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =

= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =

= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951

1198601cap 119878

1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878

12

72 Teorema de Bayes

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde

ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

o lo que es lo mismo

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)

Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las

probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899

Demostracioacuten

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)

119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)=

119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

2

|| 3 || 6 || 5 || 4 || 3 ||

Es decir el nuacutemero de palabras distintas es 3 middot 6 middot 5 middot 4 middot 3 = 1080

El resultado final del ejemplo sigue una regla de conteo (diagrama en aacuterbol) si los

conjuntos 1198601 1198602 hellip119860119896 tienen 1198991 1198992 hellip 119899119896 elementos respectivamente entonces el producto

cartesiano 11986011199091198602119909 hellip119909119860119896 tiene 11989911199091198992119909hellip119909119899119896 elementos

22 Variaciones ordinarias (sin repeticioacuten) de n elementos tomados de m en m (119951 gt 119950)

consiste en enumerar todos los posibles grupos diferentes de m elementos a partir de n

elementos

- Los elementos no pueden repetirse

- Siacute importa el orden en el que los colocamos

119933119951119950 =119951

(119951 minus119950)

Ejemplo iquestDe cuaacutentas formas pueden recibir el oro la plata y el bronce los 10 participantes de una

carrera de atletismo

En este caso se trata de variaciones sin repeticioacuten de 10 elementos tomados de 3 en 3

119881103 =10

(10 minus 3)=10

7= 10 middot 9 middot 8 = 720 119891119900119903119898119886119904

23 Variaciones con repeticioacuten de n elementos tomados de m en m en este caso al tomar

los m elementos del conjunto de n elementos inicial estos siacute pueden repetirse

- Los elementos pueden repetirse

- Siacute importa el orden en el que los colocamos

119933119929119951119950 = 119951119950

Ejemplo iquestCuaacutentos coacutedigos de longitud 10 se pueden formar combinando los signos + y - Para la primera posicioacuten tenemos dos posibilidades + o ndash para la segunda posicioacuten

tendriacuteamos de nuevo dos posibilidades + o ndash

Razonando anaacutelogamente por el resto de posiciones tendriacuteamos dos posibilidades en cada

una de ellas por lo tanto

2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 middot 2 = 210 Es decir se trata de 119881119877210 = 2

10

24 Permutaciones (sin repeticioacuten) de n elementos se trata de variaciones ordinarias en las que 119899 = 119898

119927119951 = 119951

Ejemplo iquestDe cuaacutentas formas pueden sentarse 5 amigos en 5 asientos consecutivos del cine

En el primer asiento de la izquierda pueden sentarse cualquiera de los 5 en el asiento

consecutivo cualquiera de los 4 restantes y asiacute sucesivamente

Es decir hay 5 middot 4 middot 3 middot 2 middot 1 = 120 formas

25 Permutaciones con repeticioacuten de n elementos se trata de permutaciones de n

elementos donde hay elementos que se repiten

119927119951119951120783119951120784hellip119951119948 =

119951

119951120783 middot 119951120784 middot hellip middot 119951119948

3

Ejemplo

En un bar cinco amigos han pedido 3 zumos de naranja y 2 botellas de agua Contabilizar

de cuaacutentas maneras pueden consumir las cinco bebidas

En total hay 5 elementos pero uno aparece repetido 3 veces y el otro aparece repetido 2

veces Por tanto se trata de permutaciones con repeticioacuten

119875532 =

5

3 middot 2= 10 119891119900119903119898119886119904

En general una coleccioacuten de 119899 objetos clasificados en 119896 grupos de objetos ideacutenticos entre

siacute el primero con 1198991 objetos el segundo con 1198992 objetos etc puede ordenarse en fila de

maneras distintas si no se consideran diferentes las ordenaciones donde dos objetos

iguales han permutado su posicioacuten En este caso se habla de permutaciones de 119899 objetos

de los que 1198991 son iguales entre siacute 1198992 objetos son iguales entre siacute etc o simplemente

permutaciones con repeticioacuten 11987511987711989911989911198992hellip119899119896

26 Combinaciones de n elementos tomados de m en m consiste en enumerar todos los

posibles subconjuntos de m elementos a partir de n elementos

- Los elementos no pueden repetirse

- No importa el orden en el que los colocamos

119914119951119950 = (119951119950) =

119951

119950 middot (119951 minus119950)

Ejemplo

Tenemos una urna con 10 bolas de diferente color y extraemos dos al azar iquestcuaacutentas

combinaciones posibles existen

Habraacute tantas combinaciones como formas posibles de extraer dos bolas de la urna es decir

119862102 = (102) =

10

2 middot (10 minus 2)=

10

2 middot 8= 45 119888119900119898119887119894119899119886119888119894119900119899119890119904

27 Combinaciones con repeticioacuten

iquestDe cuaacutentas maneras diferentes se pueden repartir 119903 = 7 bolas ideacutenticas en 119899 = 5 urnas

Las 119899 = 5 urnas son representadas por los espacios comprendidos entre 119899 + 1 = 6 barras

verticales por ejemplo la secuencia

| |∎| ∎∎ | ∎∎∎ | ∎ |

corresponde al reparto donde la urna 1 estaacute vaciacutea las urnas 2 y 5 contienen 1 bola la urna

3 contiene 2 bolas y la urna 4 contiene 3 bolas El reparto de 119903 = 7 bolas en 119899 = 5 urnas

supone emplear 119903 = 7 siacutembolos ∎ y 119899 + 1 = 6 barras verticales | Dos siacutembolos | aparecen

fijos (la primera y la uacuteltima barra que indican el comienzo de la urna 1 y el final de la urna

119899 = 5 respectivamente) y los restantes 119899 + 119903 ndash 1 = 11 (es decir 119903 + (119899 + 1)1048576 minus 2)

siacutembolos aparecen en orden arbitrario Hay tantos repartos de 119903 = 7 bolas en 119899 = 5 urnas

como formas distintas de ordenar esos 119899 + 119903 1048576 minus 1 = 11 elementos (119899 + 119903 minus 1)

(119899 minus 1) middot 119903= 119862119877119899119903 = (

119899 + 119903 minus 1119903

) = 11986211987757 = (117) =

11

7 middot 4= 330

3 Experimentos aleatorios

Existen fenoacutemenos donde la concurrencia de unas circunstancias fijas no permite anticipar

cuaacutel seraacute el efecto producido Por ejemplo si una moneda cae al suelo no es posible conocer

por anticipado el punto exacto donde iraacute a parar cuando se colocan bolas ideacutenticas numeradas

4

en una bolsa y se extrae una bola a ciegas no es posible determinar con total certeza queacute bola

seraacute elegida etc

Estos experimentos son llamados aleatorios puesto que el resultado del fenoacutemeno en estudio

es consecuencia del azar Los experimentos no aleatorios se llaman deterministas

En estas situaciones el caraacutecter impredecible del azar hace inuacutetil cualquier intento de hallar

reglas deterministas que rijan la aparicioacuten de los resultados individuales Sin embargo es falso

decir que el azar no estaacute sometido a leyes lo que ocurre es que no son leyes necesarias que

determinen uniacutevocamente el resultado de cada experimento sino que atantildeen a la frecuencia de

los resultados que se obtienen cuando el fenoacutemeno se repite un gran nuacutemero de veces

El Caacutelculo de Probabilidades se ocupa de estudiar experimentos aleatorios es decir

situaciones que repetidas bajo condiciones ideacutenticas pueden dar lugar a diversos resultados

1198601 1198602 hellip de manera que no puede predecirse con certeza absoluta cuaacutel de ellos ocurriraacute

Ante fenoacutemenos de azar la tendencia natural es tratar de medir el grado de verosimilitud de

los diversos acontecimientos posibles asignando una probabilidad a cada uno de ellos es decir

un valor numeacuterico que informa de la frecuencia con que hay que esperar que se presente cada

uno despueacutes de numerosas observaciones del fenoacutemeno En concreto la probabilidad de cada

acontecimiento posible es un nuacutemero de [0 1] que expresa la frecuencia teoacuterica con que dicho

acontecimiento se presentaraacute en una serie indefinidamente larga de repeticiones del

experimento realizadas en condiciones ideacutenticas

En el estudio de un experimento aleatorio hay dos conceptos fundamentales

bull Los posibles acontecimientos que pueden producirse es decir el espacio muestral y sus

correspondientes sucesos

bull La valoracioacuten de la probabilidad de los acontecimientos posibles

4 Espacio muestral y sucesos aleatorios

En primer lugar introducimos las siguientes definiciones

41 Definiciones

En un experimento aleatorio el espacio muestral se conoce como el conjunto de todos los

resultados posibles que constituyen un fenoacutemeno aleatorio y se denota por 119916

Es habitual decir que el espacio muestral 119864 es

bull discreto si tiene un nuacutemero finito de elementos

bull continuo en caso contrario

Se llaman sucesos a los distintos subconjuntos de 119916 Podemos distinguir dos tipos

bull Sucesos elementales cada uno de los resultados posibles del espacio muestral

bull Sucesos compuestos formados por varios sucesos elementales (uniones de sucesos

elementales)

Ejemplo

Se considera el lanzamiento de dos monedas El espacio muestral es

119864 = (119862 119862) (119862 119883) (119883 119862) (119883 119883) donde 119862 = 119888119886119903119886 y 119883 = 119888119903119906119911

El suceso obtener dos caras (119862 119862) es elemental (anaacutelogo para el suceso obtener dos cruces)

y el suceso obtener una cara (119862 119883) (119883 119862) es compuesto

5

La identificacioacuten de los sucesos relativos a un experimento aleatorio implica disponer de

operaciones para formar nuevos sucesos desde otros sucesos dados Por este motivo introducimos

las operaciones entre sucesos

42 Operaciones elementales entre sucesos

Dados dos sucesos asociados a un experimento aleatorio se definen las siguientes operaciones

bull Unioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cup 119861 se describe como

ocurre 119860 u ocurre 119861 es decir el resultado pertenece o bien a 119860 o bien a 119861 o bien a

ambos simultaacuteneamente

bull Interseccioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cap 119861 se describe

como ocurren 119860 y 119861 simultaacuteneamente Si 119860 cap 119861 =empty se dice que 119860 y 119861 son sucesos

incompatibles

bull Contrario o complementario de un suceso si 119860 sub 119864 entonces 119860119888 o es el suceso

formado por todos los sucesos elementales que no estaacuten en 119860

Es importante observar que 119860 cup = 119864 119910 119860 cap = empty

bull Diferencia de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 minus 119861 es la

interseccioacuten del primer suceso con el contrario del segundo 119860 minus 119861 = 119860 cap

bull Diferencia simeacutetrica de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces definimos

el suceso 119860 119861 = (119860 minus 119861) cup (119861 minus 119860) es decir es el suceso que se verifica si y solo si se

verifica uno y solo uno de los sucesos 119860 o 119861

43 Propiedades de las operaciones con sucesos

o Conmutativa 119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860

o Asociativa (119860 cup 119861)cup 119862 = 119860cup (119861 cup 119862) (119860 cap 119861) cap119862 = 119860 cap (119861 cap 119862)

o Idempotente 119860 cup 119860 = 119860 119860 cap 119860 = 119860

o Existencia de neutros 119860 cup empty = 119860 119860 cap 119864 = 119860

o Absorcioacuten 119860 cup 119864 = 119864 119860 cap empty = empty

o Simplificativa 119860 cup (119860 cap 119861) = 119860 119860 cap (119860 cup 119861) = 119860

o Distributiva119860 cup (119861 cap 119862) = (119860 cup 119861) cap (119860 cup 119862) 119860 cap (119861 cup 119862) = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)

o Complementacioacuten = empty empty = 119864

o Involucioacuten =A

o Leyes de dualidad o de Morgan 119860 cup 119861 = cap 119860 cap 119861 = cup

o 119864 es el suceso seguro y empty el suceso imposible

5 Espacio de probabilidad Definicioacuten de probabilidad

El Caacutelculo de Probabilidades no se establecioacute como una ciencia matemaacutetica hasta principios del

siglo XX En esta eacutepoca el desarrollo de las Ciencias Naturales implicoacute fuertes demandas sobre esta

disciplina y se hizo necesario estudiar los conceptos baacutesicos de la Teoriacutea de la Probabilidad y

clarificar las condiciones bajo las cuales los resultados de la teoriacutea pudieran ser empleados Por

este motivo resultoacute esencial una construccioacuten axiomaacutetica que introdujera una estructura loacutegico-

formal en la Teoriacutea de la Probabilidad

6

51 Definicioacuten axiomaacutetica de probabilidad

Durante el siglo XX el matemaacutetico ruso Andrei Kolmogorov propuso una definicioacuten de

probabilidad que es la que seguimos utilizando hoy en diacutea

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864

Definimos la probabilidad como una funcioacuten 119901 que asocia a cada suceso 119860 de 119979(119864) un nuacutemero

real 119901(119860) que llamaremos su probabilidad

119901119979(119864) ⟼ℝ

119860 ⟼ 119901(119860)

que cumple las siguientes propiedades

A1) La probabilidad de cualquier suceso 119860 es positiva o cero 119901(119860) ge 0 forall119860 isin119979(119864)

A2) La probabilidad del suceso seguro es 1 119901(119864) = 1

A3) La probabilidad de la unioacuten de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos

es la suma de las probabilidades de los sucesos

forall 1198601 1198602 hellip 119860119899 isin119979(119864) tales que 119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895 se tiene que

119901(1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899)= 119901(1198601) + 119901(1198602) + ⋯+ 119901(119860119899)

Nota En matemaacuteticas un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostracioacuten En

este caso decimos que eacutesta es la definicioacuten axiomaacutetica de la probabilidad porque definimos la

probabilidad como una funcioacuten que cumple estos tres axiomas

52 Consecuencias de la definicioacuten Propiedades

Sean 119860 119861 sucesos de un espacio muestral 119864

1 0 le 119901(119860) le 1

Demostracioacuten

Por A1) tenemos que 119901(119860) ge 0 Por otro lado si 119901(119860) gt 1 entonces 119901() = 1 minus 119901(119860) lt 0 lo cual es imposible por el axioma A1)

2 119901(empty) = 0

Demostracioacuten empty = ⟹ 119901(empty) = 119901() = 1 minus 119901(119864) = 1 minus 1 = 0

3 119901(119860) = 1 minus 119901()

Demostracioacuten

119901(119860 cup ) = 119901(119864) = 1⟹⏞1198603]

119901(119860) + 119901() = 1 ⟹ 119901(119860) = 1 minus 119901()

4 Si 119860 sube 119861 entonces 119901(119860) le 119901(119861)

Demostracioacuten

119861 = 119860 cup (119861 minus 119860)⟹⏞1198603]

119901(119861) = 119901(119860) + 119901(119861 minus 119860) = 119901(119860) + 119901(119861 cap ) ⟹ 119901(119861) ge 119901(119860)

5 Regla de la Adicioacuten 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

Demostracioacuten

119860 cup 119861 = (119860 minus 119861) cup 119860 cap 119861) cup (119861 minus 119860) unioacuten de disjuntos y por tanto por el axioma A3 se tiene que 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860) Por otro lado

7

119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)

119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞

1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)

119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)

sumando miembro a miembro ambas expresiones

119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)

+ 119901(119860 cap 119861) de donde

119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964

119901 (⋃119860119894

119899

119894=1

) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)

119899

1198942lt1198943

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

119894=1

+⋯+

+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899

7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)

119903119894=1

53 Aproximacioacuten frecuentista

La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las

frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El

valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su

probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)

Ejemplo

Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si

se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud

119875(Obtener bola roja) =2

3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =

1

3= 0acute333hellip

En cambio

(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7

12= 0prime58333hellip

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5

12= 0prime41666hellip

(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69

120= 0prime575

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51

120= 0prime425

(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822

1200= 0prime685

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378

1200= 0prime315

Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una

sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada

repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades

8

54 Ley de Laplace

Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con

espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son

equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de

Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente

expliacutecito del concepto de probabilidad

En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la

probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la

siguiente forma

119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864

ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables

entre el nordm de casos posiblesrdquo

Ejemplo

Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente

equilibrado

El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los

resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1

2 no obstante vamos a

comprobarlo

El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la

misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de

Laplace

Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo

119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =

2 4 6

1 2 3 4 5 6=3

6=1

2

6 Probabilidad condicionada

Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir

antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la

frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir

No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha

concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el

resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que

disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento

aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos

Ejemplo

Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5

La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15

Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la

9

probabilidad de que sea la 5 es entonces 12

Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al

suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada

Ejercicio

Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la

probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2

El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados

1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12

y tomar como espacio muestral

Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)

El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por

S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)

y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es

A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)

Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16

Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten

61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada

La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0

se llama probabilidad condicionada

Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es

119901(B|A) =119901(A cap B)

119901(A)

A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de

la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de

10

probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la

multiplicacioacuten

62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten

La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad

de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la

probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente

De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)

119901(119860) obtenemos

119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)

Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B

119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)

Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos

119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)

helliphelliphelliphellip

119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)

Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta

Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la

probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de

independencia de sucesos

63 Dependencia e independencia de sucesos

En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto

no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la

siguiente definicioacuten de sucesos independientes

Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que

119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)

Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo

bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo

119901(119861) = 0

bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten

son independientes dado que

p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =

= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()

bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo

son

Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las

caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia

numeacuterica

11

Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado

por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que

119901(Obtener cara)=6

12=1

2

p(Obtener al menos 3) =8

12=2

3

119901(Obtener cara y al menos 3)=4

12=1

3

La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)

establece que ambos sucesos son independientes

La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier

suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de

probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo

119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1

2middot1

6=1

12

El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de

modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias

componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes

y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio

7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

71 Teorema de la Probabilidad Total

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes

119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas

Entonces se verifica que

119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =

119899

119894=1

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119916

Demostracioacuten

119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =

= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =

= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951

1198601cap 119878

1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878

12

72 Teorema de Bayes

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde

ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

o lo que es lo mismo

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)

Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las

probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899

Demostracioacuten

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)

119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)=

119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

3

Ejemplo

En un bar cinco amigos han pedido 3 zumos de naranja y 2 botellas de agua Contabilizar

de cuaacutentas maneras pueden consumir las cinco bebidas

En total hay 5 elementos pero uno aparece repetido 3 veces y el otro aparece repetido 2

veces Por tanto se trata de permutaciones con repeticioacuten

119875532 =

5

3 middot 2= 10 119891119900119903119898119886119904

En general una coleccioacuten de 119899 objetos clasificados en 119896 grupos de objetos ideacutenticos entre

siacute el primero con 1198991 objetos el segundo con 1198992 objetos etc puede ordenarse en fila de

maneras distintas si no se consideran diferentes las ordenaciones donde dos objetos

iguales han permutado su posicioacuten En este caso se habla de permutaciones de 119899 objetos

de los que 1198991 son iguales entre siacute 1198992 objetos son iguales entre siacute etc o simplemente

permutaciones con repeticioacuten 11987511987711989911989911198992hellip119899119896

26 Combinaciones de n elementos tomados de m en m consiste en enumerar todos los

posibles subconjuntos de m elementos a partir de n elementos

- Los elementos no pueden repetirse

- No importa el orden en el que los colocamos

119914119951119950 = (119951119950) =

119951

119950 middot (119951 minus119950)

Ejemplo

Tenemos una urna con 10 bolas de diferente color y extraemos dos al azar iquestcuaacutentas

combinaciones posibles existen

Habraacute tantas combinaciones como formas posibles de extraer dos bolas de la urna es decir

119862102 = (102) =

10

2 middot (10 minus 2)=

10

2 middot 8= 45 119888119900119898119887119894119899119886119888119894119900119899119890119904

27 Combinaciones con repeticioacuten

iquestDe cuaacutentas maneras diferentes se pueden repartir 119903 = 7 bolas ideacutenticas en 119899 = 5 urnas

Las 119899 = 5 urnas son representadas por los espacios comprendidos entre 119899 + 1 = 6 barras

verticales por ejemplo la secuencia

| |∎| ∎∎ | ∎∎∎ | ∎ |

corresponde al reparto donde la urna 1 estaacute vaciacutea las urnas 2 y 5 contienen 1 bola la urna

3 contiene 2 bolas y la urna 4 contiene 3 bolas El reparto de 119903 = 7 bolas en 119899 = 5 urnas

supone emplear 119903 = 7 siacutembolos ∎ y 119899 + 1 = 6 barras verticales | Dos siacutembolos | aparecen

fijos (la primera y la uacuteltima barra que indican el comienzo de la urna 1 y el final de la urna

119899 = 5 respectivamente) y los restantes 119899 + 119903 ndash 1 = 11 (es decir 119903 + (119899 + 1)1048576 minus 2)

siacutembolos aparecen en orden arbitrario Hay tantos repartos de 119903 = 7 bolas en 119899 = 5 urnas

como formas distintas de ordenar esos 119899 + 119903 1048576 minus 1 = 11 elementos (119899 + 119903 minus 1)

(119899 minus 1) middot 119903= 119862119877119899119903 = (

119899 + 119903 minus 1119903

) = 11986211987757 = (117) =

11

7 middot 4= 330

3 Experimentos aleatorios

Existen fenoacutemenos donde la concurrencia de unas circunstancias fijas no permite anticipar

cuaacutel seraacute el efecto producido Por ejemplo si una moneda cae al suelo no es posible conocer

por anticipado el punto exacto donde iraacute a parar cuando se colocan bolas ideacutenticas numeradas

4

en una bolsa y se extrae una bola a ciegas no es posible determinar con total certeza queacute bola

seraacute elegida etc

Estos experimentos son llamados aleatorios puesto que el resultado del fenoacutemeno en estudio

es consecuencia del azar Los experimentos no aleatorios se llaman deterministas

En estas situaciones el caraacutecter impredecible del azar hace inuacutetil cualquier intento de hallar

reglas deterministas que rijan la aparicioacuten de los resultados individuales Sin embargo es falso

decir que el azar no estaacute sometido a leyes lo que ocurre es que no son leyes necesarias que

determinen uniacutevocamente el resultado de cada experimento sino que atantildeen a la frecuencia de

los resultados que se obtienen cuando el fenoacutemeno se repite un gran nuacutemero de veces

El Caacutelculo de Probabilidades se ocupa de estudiar experimentos aleatorios es decir

situaciones que repetidas bajo condiciones ideacutenticas pueden dar lugar a diversos resultados

1198601 1198602 hellip de manera que no puede predecirse con certeza absoluta cuaacutel de ellos ocurriraacute

Ante fenoacutemenos de azar la tendencia natural es tratar de medir el grado de verosimilitud de

los diversos acontecimientos posibles asignando una probabilidad a cada uno de ellos es decir

un valor numeacuterico que informa de la frecuencia con que hay que esperar que se presente cada

uno despueacutes de numerosas observaciones del fenoacutemeno En concreto la probabilidad de cada

acontecimiento posible es un nuacutemero de [0 1] que expresa la frecuencia teoacuterica con que dicho

acontecimiento se presentaraacute en una serie indefinidamente larga de repeticiones del

experimento realizadas en condiciones ideacutenticas

En el estudio de un experimento aleatorio hay dos conceptos fundamentales

bull Los posibles acontecimientos que pueden producirse es decir el espacio muestral y sus

correspondientes sucesos

bull La valoracioacuten de la probabilidad de los acontecimientos posibles

4 Espacio muestral y sucesos aleatorios

En primer lugar introducimos las siguientes definiciones

41 Definiciones

En un experimento aleatorio el espacio muestral se conoce como el conjunto de todos los

resultados posibles que constituyen un fenoacutemeno aleatorio y se denota por 119916

Es habitual decir que el espacio muestral 119864 es

bull discreto si tiene un nuacutemero finito de elementos

bull continuo en caso contrario

Se llaman sucesos a los distintos subconjuntos de 119916 Podemos distinguir dos tipos

bull Sucesos elementales cada uno de los resultados posibles del espacio muestral

bull Sucesos compuestos formados por varios sucesos elementales (uniones de sucesos

elementales)

Ejemplo

Se considera el lanzamiento de dos monedas El espacio muestral es

119864 = (119862 119862) (119862 119883) (119883 119862) (119883 119883) donde 119862 = 119888119886119903119886 y 119883 = 119888119903119906119911

El suceso obtener dos caras (119862 119862) es elemental (anaacutelogo para el suceso obtener dos cruces)

y el suceso obtener una cara (119862 119883) (119883 119862) es compuesto

5

La identificacioacuten de los sucesos relativos a un experimento aleatorio implica disponer de

operaciones para formar nuevos sucesos desde otros sucesos dados Por este motivo introducimos

las operaciones entre sucesos

42 Operaciones elementales entre sucesos

Dados dos sucesos asociados a un experimento aleatorio se definen las siguientes operaciones

bull Unioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cup 119861 se describe como

ocurre 119860 u ocurre 119861 es decir el resultado pertenece o bien a 119860 o bien a 119861 o bien a

ambos simultaacuteneamente

bull Interseccioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cap 119861 se describe

como ocurren 119860 y 119861 simultaacuteneamente Si 119860 cap 119861 =empty se dice que 119860 y 119861 son sucesos

incompatibles

bull Contrario o complementario de un suceso si 119860 sub 119864 entonces 119860119888 o es el suceso

formado por todos los sucesos elementales que no estaacuten en 119860

Es importante observar que 119860 cup = 119864 119910 119860 cap = empty

bull Diferencia de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 minus 119861 es la

interseccioacuten del primer suceso con el contrario del segundo 119860 minus 119861 = 119860 cap

bull Diferencia simeacutetrica de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces definimos

el suceso 119860 119861 = (119860 minus 119861) cup (119861 minus 119860) es decir es el suceso que se verifica si y solo si se

verifica uno y solo uno de los sucesos 119860 o 119861

43 Propiedades de las operaciones con sucesos

o Conmutativa 119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860

o Asociativa (119860 cup 119861)cup 119862 = 119860cup (119861 cup 119862) (119860 cap 119861) cap119862 = 119860 cap (119861 cap 119862)

o Idempotente 119860 cup 119860 = 119860 119860 cap 119860 = 119860

o Existencia de neutros 119860 cup empty = 119860 119860 cap 119864 = 119860

o Absorcioacuten 119860 cup 119864 = 119864 119860 cap empty = empty

o Simplificativa 119860 cup (119860 cap 119861) = 119860 119860 cap (119860 cup 119861) = 119860

o Distributiva119860 cup (119861 cap 119862) = (119860 cup 119861) cap (119860 cup 119862) 119860 cap (119861 cup 119862) = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)

o Complementacioacuten = empty empty = 119864

o Involucioacuten =A

o Leyes de dualidad o de Morgan 119860 cup 119861 = cap 119860 cap 119861 = cup

o 119864 es el suceso seguro y empty el suceso imposible

5 Espacio de probabilidad Definicioacuten de probabilidad

El Caacutelculo de Probabilidades no se establecioacute como una ciencia matemaacutetica hasta principios del

siglo XX En esta eacutepoca el desarrollo de las Ciencias Naturales implicoacute fuertes demandas sobre esta

disciplina y se hizo necesario estudiar los conceptos baacutesicos de la Teoriacutea de la Probabilidad y

clarificar las condiciones bajo las cuales los resultados de la teoriacutea pudieran ser empleados Por

este motivo resultoacute esencial una construccioacuten axiomaacutetica que introdujera una estructura loacutegico-

formal en la Teoriacutea de la Probabilidad

6

51 Definicioacuten axiomaacutetica de probabilidad

Durante el siglo XX el matemaacutetico ruso Andrei Kolmogorov propuso una definicioacuten de

probabilidad que es la que seguimos utilizando hoy en diacutea

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864

Definimos la probabilidad como una funcioacuten 119901 que asocia a cada suceso 119860 de 119979(119864) un nuacutemero

real 119901(119860) que llamaremos su probabilidad

119901119979(119864) ⟼ℝ

119860 ⟼ 119901(119860)

que cumple las siguientes propiedades

A1) La probabilidad de cualquier suceso 119860 es positiva o cero 119901(119860) ge 0 forall119860 isin119979(119864)

A2) La probabilidad del suceso seguro es 1 119901(119864) = 1

A3) La probabilidad de la unioacuten de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos

es la suma de las probabilidades de los sucesos

forall 1198601 1198602 hellip 119860119899 isin119979(119864) tales que 119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895 se tiene que

119901(1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899)= 119901(1198601) + 119901(1198602) + ⋯+ 119901(119860119899)

Nota En matemaacuteticas un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostracioacuten En

este caso decimos que eacutesta es la definicioacuten axiomaacutetica de la probabilidad porque definimos la

probabilidad como una funcioacuten que cumple estos tres axiomas

52 Consecuencias de la definicioacuten Propiedades

Sean 119860 119861 sucesos de un espacio muestral 119864

1 0 le 119901(119860) le 1

Demostracioacuten

Por A1) tenemos que 119901(119860) ge 0 Por otro lado si 119901(119860) gt 1 entonces 119901() = 1 minus 119901(119860) lt 0 lo cual es imposible por el axioma A1)

2 119901(empty) = 0

Demostracioacuten empty = ⟹ 119901(empty) = 119901() = 1 minus 119901(119864) = 1 minus 1 = 0

3 119901(119860) = 1 minus 119901()

Demostracioacuten

119901(119860 cup ) = 119901(119864) = 1⟹⏞1198603]

119901(119860) + 119901() = 1 ⟹ 119901(119860) = 1 minus 119901()

4 Si 119860 sube 119861 entonces 119901(119860) le 119901(119861)

Demostracioacuten

119861 = 119860 cup (119861 minus 119860)⟹⏞1198603]

119901(119861) = 119901(119860) + 119901(119861 minus 119860) = 119901(119860) + 119901(119861 cap ) ⟹ 119901(119861) ge 119901(119860)

5 Regla de la Adicioacuten 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

Demostracioacuten

119860 cup 119861 = (119860 minus 119861) cup 119860 cap 119861) cup (119861 minus 119860) unioacuten de disjuntos y por tanto por el axioma A3 se tiene que 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860) Por otro lado

7

119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)

119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞

1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)

119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)

sumando miembro a miembro ambas expresiones

119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)

+ 119901(119860 cap 119861) de donde

119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964

119901 (⋃119860119894

119899

119894=1

) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)

119899

1198942lt1198943

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

119894=1

+⋯+

+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899

7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)

119903119894=1

53 Aproximacioacuten frecuentista

La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las

frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El

valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su

probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)

Ejemplo

Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si

se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud

119875(Obtener bola roja) =2

3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =

1

3= 0acute333hellip

En cambio

(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7

12= 0prime58333hellip

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5

12= 0prime41666hellip

(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69

120= 0prime575

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51

120= 0prime425

(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822

1200= 0prime685

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378

1200= 0prime315

Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una

sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada

repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades

8

54 Ley de Laplace

Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con

espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son

equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de

Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente

expliacutecito del concepto de probabilidad

En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la

probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la

siguiente forma

119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864

ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables

entre el nordm de casos posiblesrdquo

Ejemplo

Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente

equilibrado

El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los

resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1

2 no obstante vamos a

comprobarlo

El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la

misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de

Laplace

Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo

119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =

2 4 6

1 2 3 4 5 6=3

6=1

2

6 Probabilidad condicionada

Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir

antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la

frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir

No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha

concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el

resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que

disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento

aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos

Ejemplo

Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5

La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15

Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la

9

probabilidad de que sea la 5 es entonces 12

Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al

suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada

Ejercicio

Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la

probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2

El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados

1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12

y tomar como espacio muestral

Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)

El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por

S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)

y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es

A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)

Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16

Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten

61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada

La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0

se llama probabilidad condicionada

Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es

119901(B|A) =119901(A cap B)

119901(A)

A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de

la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de

10

probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la

multiplicacioacuten

62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten

La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad

de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la

probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente

De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)

119901(119860) obtenemos

119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)

Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B

119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)

Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos

119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)

helliphelliphelliphellip

119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)

Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta

Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la

probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de

independencia de sucesos

63 Dependencia e independencia de sucesos

En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto

no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la

siguiente definicioacuten de sucesos independientes

Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que

119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)

Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo

bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo

119901(119861) = 0

bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten

son independientes dado que

p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =

= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()

bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo

son

Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las

caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia

numeacuterica

11

Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado

por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que

119901(Obtener cara)=6

12=1

2

p(Obtener al menos 3) =8

12=2

3

119901(Obtener cara y al menos 3)=4

12=1

3

La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)

establece que ambos sucesos son independientes

La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier

suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de

probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo

119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1

2middot1

6=1

12

El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de

modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias

componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes

y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio

7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

71 Teorema de la Probabilidad Total

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes

119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas

Entonces se verifica que

119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =

119899

119894=1

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119916

Demostracioacuten

119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =

= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =

= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951

1198601cap 119878

1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878

12

72 Teorema de Bayes

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde

ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

o lo que es lo mismo

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)

Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las

probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899

Demostracioacuten

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)

119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)=

119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

4

en una bolsa y se extrae una bola a ciegas no es posible determinar con total certeza queacute bola

seraacute elegida etc

Estos experimentos son llamados aleatorios puesto que el resultado del fenoacutemeno en estudio

es consecuencia del azar Los experimentos no aleatorios se llaman deterministas

En estas situaciones el caraacutecter impredecible del azar hace inuacutetil cualquier intento de hallar

reglas deterministas que rijan la aparicioacuten de los resultados individuales Sin embargo es falso

decir que el azar no estaacute sometido a leyes lo que ocurre es que no son leyes necesarias que

determinen uniacutevocamente el resultado de cada experimento sino que atantildeen a la frecuencia de

los resultados que se obtienen cuando el fenoacutemeno se repite un gran nuacutemero de veces

El Caacutelculo de Probabilidades se ocupa de estudiar experimentos aleatorios es decir

situaciones que repetidas bajo condiciones ideacutenticas pueden dar lugar a diversos resultados

1198601 1198602 hellip de manera que no puede predecirse con certeza absoluta cuaacutel de ellos ocurriraacute

Ante fenoacutemenos de azar la tendencia natural es tratar de medir el grado de verosimilitud de

los diversos acontecimientos posibles asignando una probabilidad a cada uno de ellos es decir

un valor numeacuterico que informa de la frecuencia con que hay que esperar que se presente cada

uno despueacutes de numerosas observaciones del fenoacutemeno En concreto la probabilidad de cada

acontecimiento posible es un nuacutemero de [0 1] que expresa la frecuencia teoacuterica con que dicho

acontecimiento se presentaraacute en una serie indefinidamente larga de repeticiones del

experimento realizadas en condiciones ideacutenticas

En el estudio de un experimento aleatorio hay dos conceptos fundamentales

bull Los posibles acontecimientos que pueden producirse es decir el espacio muestral y sus

correspondientes sucesos

bull La valoracioacuten de la probabilidad de los acontecimientos posibles

4 Espacio muestral y sucesos aleatorios

En primer lugar introducimos las siguientes definiciones

41 Definiciones

En un experimento aleatorio el espacio muestral se conoce como el conjunto de todos los

resultados posibles que constituyen un fenoacutemeno aleatorio y se denota por 119916

Es habitual decir que el espacio muestral 119864 es

bull discreto si tiene un nuacutemero finito de elementos

bull continuo en caso contrario

Se llaman sucesos a los distintos subconjuntos de 119916 Podemos distinguir dos tipos

bull Sucesos elementales cada uno de los resultados posibles del espacio muestral

bull Sucesos compuestos formados por varios sucesos elementales (uniones de sucesos

elementales)

Ejemplo

Se considera el lanzamiento de dos monedas El espacio muestral es

119864 = (119862 119862) (119862 119883) (119883 119862) (119883 119883) donde 119862 = 119888119886119903119886 y 119883 = 119888119903119906119911

El suceso obtener dos caras (119862 119862) es elemental (anaacutelogo para el suceso obtener dos cruces)

y el suceso obtener una cara (119862 119883) (119883 119862) es compuesto

5

La identificacioacuten de los sucesos relativos a un experimento aleatorio implica disponer de

operaciones para formar nuevos sucesos desde otros sucesos dados Por este motivo introducimos

las operaciones entre sucesos

42 Operaciones elementales entre sucesos

Dados dos sucesos asociados a un experimento aleatorio se definen las siguientes operaciones

bull Unioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cup 119861 se describe como

ocurre 119860 u ocurre 119861 es decir el resultado pertenece o bien a 119860 o bien a 119861 o bien a

ambos simultaacuteneamente

bull Interseccioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cap 119861 se describe

como ocurren 119860 y 119861 simultaacuteneamente Si 119860 cap 119861 =empty se dice que 119860 y 119861 son sucesos

incompatibles

bull Contrario o complementario de un suceso si 119860 sub 119864 entonces 119860119888 o es el suceso

formado por todos los sucesos elementales que no estaacuten en 119860

Es importante observar que 119860 cup = 119864 119910 119860 cap = empty

bull Diferencia de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 minus 119861 es la

interseccioacuten del primer suceso con el contrario del segundo 119860 minus 119861 = 119860 cap

bull Diferencia simeacutetrica de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces definimos

el suceso 119860 119861 = (119860 minus 119861) cup (119861 minus 119860) es decir es el suceso que se verifica si y solo si se

verifica uno y solo uno de los sucesos 119860 o 119861

43 Propiedades de las operaciones con sucesos

o Conmutativa 119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860

o Asociativa (119860 cup 119861)cup 119862 = 119860cup (119861 cup 119862) (119860 cap 119861) cap119862 = 119860 cap (119861 cap 119862)

o Idempotente 119860 cup 119860 = 119860 119860 cap 119860 = 119860

o Existencia de neutros 119860 cup empty = 119860 119860 cap 119864 = 119860

o Absorcioacuten 119860 cup 119864 = 119864 119860 cap empty = empty

o Simplificativa 119860 cup (119860 cap 119861) = 119860 119860 cap (119860 cup 119861) = 119860

o Distributiva119860 cup (119861 cap 119862) = (119860 cup 119861) cap (119860 cup 119862) 119860 cap (119861 cup 119862) = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)

o Complementacioacuten = empty empty = 119864

o Involucioacuten =A

o Leyes de dualidad o de Morgan 119860 cup 119861 = cap 119860 cap 119861 = cup

o 119864 es el suceso seguro y empty el suceso imposible

5 Espacio de probabilidad Definicioacuten de probabilidad

El Caacutelculo de Probabilidades no se establecioacute como una ciencia matemaacutetica hasta principios del

siglo XX En esta eacutepoca el desarrollo de las Ciencias Naturales implicoacute fuertes demandas sobre esta

disciplina y se hizo necesario estudiar los conceptos baacutesicos de la Teoriacutea de la Probabilidad y

clarificar las condiciones bajo las cuales los resultados de la teoriacutea pudieran ser empleados Por

este motivo resultoacute esencial una construccioacuten axiomaacutetica que introdujera una estructura loacutegico-

formal en la Teoriacutea de la Probabilidad

6

51 Definicioacuten axiomaacutetica de probabilidad

Durante el siglo XX el matemaacutetico ruso Andrei Kolmogorov propuso una definicioacuten de

probabilidad que es la que seguimos utilizando hoy en diacutea

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864

Definimos la probabilidad como una funcioacuten 119901 que asocia a cada suceso 119860 de 119979(119864) un nuacutemero

real 119901(119860) que llamaremos su probabilidad

119901119979(119864) ⟼ℝ

119860 ⟼ 119901(119860)

que cumple las siguientes propiedades

A1) La probabilidad de cualquier suceso 119860 es positiva o cero 119901(119860) ge 0 forall119860 isin119979(119864)

A2) La probabilidad del suceso seguro es 1 119901(119864) = 1

A3) La probabilidad de la unioacuten de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos

es la suma de las probabilidades de los sucesos

forall 1198601 1198602 hellip 119860119899 isin119979(119864) tales que 119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895 se tiene que

119901(1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899)= 119901(1198601) + 119901(1198602) + ⋯+ 119901(119860119899)

Nota En matemaacuteticas un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostracioacuten En

este caso decimos que eacutesta es la definicioacuten axiomaacutetica de la probabilidad porque definimos la

probabilidad como una funcioacuten que cumple estos tres axiomas

52 Consecuencias de la definicioacuten Propiedades

Sean 119860 119861 sucesos de un espacio muestral 119864

1 0 le 119901(119860) le 1

Demostracioacuten

Por A1) tenemos que 119901(119860) ge 0 Por otro lado si 119901(119860) gt 1 entonces 119901() = 1 minus 119901(119860) lt 0 lo cual es imposible por el axioma A1)

2 119901(empty) = 0

Demostracioacuten empty = ⟹ 119901(empty) = 119901() = 1 minus 119901(119864) = 1 minus 1 = 0

3 119901(119860) = 1 minus 119901()

Demostracioacuten

119901(119860 cup ) = 119901(119864) = 1⟹⏞1198603]

119901(119860) + 119901() = 1 ⟹ 119901(119860) = 1 minus 119901()

4 Si 119860 sube 119861 entonces 119901(119860) le 119901(119861)

Demostracioacuten

119861 = 119860 cup (119861 minus 119860)⟹⏞1198603]

119901(119861) = 119901(119860) + 119901(119861 minus 119860) = 119901(119860) + 119901(119861 cap ) ⟹ 119901(119861) ge 119901(119860)

5 Regla de la Adicioacuten 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

Demostracioacuten

119860 cup 119861 = (119860 minus 119861) cup 119860 cap 119861) cup (119861 minus 119860) unioacuten de disjuntos y por tanto por el axioma A3 se tiene que 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860) Por otro lado

7

119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)

119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞

1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)

119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)

sumando miembro a miembro ambas expresiones

119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)

+ 119901(119860 cap 119861) de donde

119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964

119901 (⋃119860119894

119899

119894=1

) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)

119899

1198942lt1198943

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

119894=1

+⋯+

+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899

7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)

119903119894=1

53 Aproximacioacuten frecuentista

La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las

frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El

valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su

probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)

Ejemplo

Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si

se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud

119875(Obtener bola roja) =2

3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =

1

3= 0acute333hellip

En cambio

(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7

12= 0prime58333hellip

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5

12= 0prime41666hellip

(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69

120= 0prime575

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51

120= 0prime425

(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822

1200= 0prime685

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378

1200= 0prime315

Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una

sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada

repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades

8

54 Ley de Laplace

Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con

espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son

equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de

Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente

expliacutecito del concepto de probabilidad

En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la

probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la

siguiente forma

119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864

ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables

entre el nordm de casos posiblesrdquo

Ejemplo

Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente

equilibrado

El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los

resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1

2 no obstante vamos a

comprobarlo

El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la

misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de

Laplace

Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo

119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =

2 4 6

1 2 3 4 5 6=3

6=1

2

6 Probabilidad condicionada

Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir

antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la

frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir

No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha

concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el

resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que

disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento

aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos

Ejemplo

Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5

La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15

Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la

9

probabilidad de que sea la 5 es entonces 12

Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al

suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada

Ejercicio

Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la

probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2

El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados

1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12

y tomar como espacio muestral

Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)

El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por

S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)

y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es

A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)

Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16

Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten

61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada

La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0

se llama probabilidad condicionada

Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es

119901(B|A) =119901(A cap B)

119901(A)

A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de

la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de

10

probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la

multiplicacioacuten

62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten

La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad

de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la

probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente

De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)

119901(119860) obtenemos

119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)

Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B

119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)

Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos

119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)

helliphelliphelliphellip

119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)

Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta

Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la

probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de

independencia de sucesos

63 Dependencia e independencia de sucesos

En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto

no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la

siguiente definicioacuten de sucesos independientes

Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que

119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)

Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo

bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo

119901(119861) = 0

bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten

son independientes dado que

p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =

= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()

bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo

son

Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las

caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia

numeacuterica

11

Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado

por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que

119901(Obtener cara)=6

12=1

2

p(Obtener al menos 3) =8

12=2

3

119901(Obtener cara y al menos 3)=4

12=1

3

La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)

establece que ambos sucesos son independientes

La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier

suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de

probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo

119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1

2middot1

6=1

12

El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de

modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias

componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes

y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio

7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

71 Teorema de la Probabilidad Total

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes

119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas

Entonces se verifica que

119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =

119899

119894=1

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119916

Demostracioacuten

119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =

= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =

= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951

1198601cap 119878

1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878

12

72 Teorema de Bayes

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde

ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

o lo que es lo mismo

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)

Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las

probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899

Demostracioacuten

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)

119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)=

119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

5

La identificacioacuten de los sucesos relativos a un experimento aleatorio implica disponer de

operaciones para formar nuevos sucesos desde otros sucesos dados Por este motivo introducimos

las operaciones entre sucesos

42 Operaciones elementales entre sucesos

Dados dos sucesos asociados a un experimento aleatorio se definen las siguientes operaciones

bull Unioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cup 119861 se describe como

ocurre 119860 u ocurre 119861 es decir el resultado pertenece o bien a 119860 o bien a 119861 o bien a

ambos simultaacuteneamente

bull Interseccioacuten de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 cap 119861 se describe

como ocurren 119860 y 119861 simultaacuteneamente Si 119860 cap 119861 =empty se dice que 119860 y 119861 son sucesos

incompatibles

bull Contrario o complementario de un suceso si 119860 sub 119864 entonces 119860119888 o es el suceso

formado por todos los sucesos elementales que no estaacuten en 119860

Es importante observar que 119860 cup = 119864 119910 119860 cap = empty

bull Diferencia de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces 119860 minus 119861 es la

interseccioacuten del primer suceso con el contrario del segundo 119860 minus 119861 = 119860 cap

bull Diferencia simeacutetrica de sucesos si 119860 y 119861 son subconjuntos de 119864 entonces definimos

el suceso 119860 119861 = (119860 minus 119861) cup (119861 minus 119860) es decir es el suceso que se verifica si y solo si se

verifica uno y solo uno de los sucesos 119860 o 119861

43 Propiedades de las operaciones con sucesos

o Conmutativa 119860 cup 119861 = 119861 cup 119860 119860 cap 119861 = 119861 cap 119860

o Asociativa (119860 cup 119861)cup 119862 = 119860cup (119861 cup 119862) (119860 cap 119861) cap119862 = 119860 cap (119861 cap 119862)

o Idempotente 119860 cup 119860 = 119860 119860 cap 119860 = 119860

o Existencia de neutros 119860 cup empty = 119860 119860 cap 119864 = 119860

o Absorcioacuten 119860 cup 119864 = 119864 119860 cap empty = empty

o Simplificativa 119860 cup (119860 cap 119861) = 119860 119860 cap (119860 cup 119861) = 119860

o Distributiva119860 cup (119861 cap 119862) = (119860 cup 119861) cap (119860 cup 119862) 119860 cap (119861 cup 119862) = (119860 cap 119861) cup (119860 cap 119862)

o Complementacioacuten = empty empty = 119864

o Involucioacuten =A

o Leyes de dualidad o de Morgan 119860 cup 119861 = cap 119860 cap 119861 = cup

o 119864 es el suceso seguro y empty el suceso imposible

5 Espacio de probabilidad Definicioacuten de probabilidad

El Caacutelculo de Probabilidades no se establecioacute como una ciencia matemaacutetica hasta principios del

siglo XX En esta eacutepoca el desarrollo de las Ciencias Naturales implicoacute fuertes demandas sobre esta

disciplina y se hizo necesario estudiar los conceptos baacutesicos de la Teoriacutea de la Probabilidad y

clarificar las condiciones bajo las cuales los resultados de la teoriacutea pudieran ser empleados Por

este motivo resultoacute esencial una construccioacuten axiomaacutetica que introdujera una estructura loacutegico-

formal en la Teoriacutea de la Probabilidad

6

51 Definicioacuten axiomaacutetica de probabilidad

Durante el siglo XX el matemaacutetico ruso Andrei Kolmogorov propuso una definicioacuten de

probabilidad que es la que seguimos utilizando hoy en diacutea

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864

Definimos la probabilidad como una funcioacuten 119901 que asocia a cada suceso 119860 de 119979(119864) un nuacutemero

real 119901(119860) que llamaremos su probabilidad

119901119979(119864) ⟼ℝ

119860 ⟼ 119901(119860)

que cumple las siguientes propiedades

A1) La probabilidad de cualquier suceso 119860 es positiva o cero 119901(119860) ge 0 forall119860 isin119979(119864)

A2) La probabilidad del suceso seguro es 1 119901(119864) = 1

A3) La probabilidad de la unioacuten de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos

es la suma de las probabilidades de los sucesos

forall 1198601 1198602 hellip 119860119899 isin119979(119864) tales que 119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895 se tiene que

119901(1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899)= 119901(1198601) + 119901(1198602) + ⋯+ 119901(119860119899)

Nota En matemaacuteticas un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostracioacuten En

este caso decimos que eacutesta es la definicioacuten axiomaacutetica de la probabilidad porque definimos la

probabilidad como una funcioacuten que cumple estos tres axiomas

52 Consecuencias de la definicioacuten Propiedades

Sean 119860 119861 sucesos de un espacio muestral 119864

1 0 le 119901(119860) le 1

Demostracioacuten

Por A1) tenemos que 119901(119860) ge 0 Por otro lado si 119901(119860) gt 1 entonces 119901() = 1 minus 119901(119860) lt 0 lo cual es imposible por el axioma A1)

2 119901(empty) = 0

Demostracioacuten empty = ⟹ 119901(empty) = 119901() = 1 minus 119901(119864) = 1 minus 1 = 0

3 119901(119860) = 1 minus 119901()

Demostracioacuten

119901(119860 cup ) = 119901(119864) = 1⟹⏞1198603]

119901(119860) + 119901() = 1 ⟹ 119901(119860) = 1 minus 119901()

4 Si 119860 sube 119861 entonces 119901(119860) le 119901(119861)

Demostracioacuten

119861 = 119860 cup (119861 minus 119860)⟹⏞1198603]

119901(119861) = 119901(119860) + 119901(119861 minus 119860) = 119901(119860) + 119901(119861 cap ) ⟹ 119901(119861) ge 119901(119860)

5 Regla de la Adicioacuten 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

Demostracioacuten

119860 cup 119861 = (119860 minus 119861) cup 119860 cap 119861) cup (119861 minus 119860) unioacuten de disjuntos y por tanto por el axioma A3 se tiene que 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860) Por otro lado

7

119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)

119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞

1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)

119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)

sumando miembro a miembro ambas expresiones

119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)

+ 119901(119860 cap 119861) de donde

119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964

119901 (⋃119860119894

119899

119894=1

) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)

119899

1198942lt1198943

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

119894=1

+⋯+

+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899

7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)

119903119894=1

53 Aproximacioacuten frecuentista

La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las

frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El

valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su

probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)

Ejemplo

Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si

se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud

119875(Obtener bola roja) =2

3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =

1

3= 0acute333hellip

En cambio

(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7

12= 0prime58333hellip

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5

12= 0prime41666hellip

(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69

120= 0prime575

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51

120= 0prime425

(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822

1200= 0prime685

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378

1200= 0prime315

Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una

sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada

repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades

8

54 Ley de Laplace

Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con

espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son

equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de

Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente

expliacutecito del concepto de probabilidad

En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la

probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la

siguiente forma

119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864

ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables

entre el nordm de casos posiblesrdquo

Ejemplo

Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente

equilibrado

El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los

resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1

2 no obstante vamos a

comprobarlo

El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la

misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de

Laplace

Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo

119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =

2 4 6

1 2 3 4 5 6=3

6=1

2

6 Probabilidad condicionada

Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir

antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la

frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir

No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha

concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el

resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que

disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento

aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos

Ejemplo

Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5

La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15

Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la

9

probabilidad de que sea la 5 es entonces 12

Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al

suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada

Ejercicio

Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la

probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2

El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados

1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12

y tomar como espacio muestral

Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)

El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por

S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)

y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es

A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)

Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16

Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten

61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada

La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0

se llama probabilidad condicionada

Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es

119901(B|A) =119901(A cap B)

119901(A)

A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de

la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de

10

probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la

multiplicacioacuten

62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten

La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad

de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la

probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente

De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)

119901(119860) obtenemos

119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)

Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B

119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)

Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos

119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)

helliphelliphelliphellip

119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)

Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta

Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la

probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de

independencia de sucesos

63 Dependencia e independencia de sucesos

En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto

no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la

siguiente definicioacuten de sucesos independientes

Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que

119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)

Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo

bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo

119901(119861) = 0

bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten

son independientes dado que

p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =

= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()

bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo

son

Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las

caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia

numeacuterica

11

Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado

por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que

119901(Obtener cara)=6

12=1

2

p(Obtener al menos 3) =8

12=2

3

119901(Obtener cara y al menos 3)=4

12=1

3

La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)

establece que ambos sucesos son independientes

La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier

suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de

probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo

119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1

2middot1

6=1

12

El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de

modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias

componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes

y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio

7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

71 Teorema de la Probabilidad Total

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes

119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas

Entonces se verifica que

119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =

119899

119894=1

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119916

Demostracioacuten

119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =

= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =

= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951

1198601cap 119878

1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878

12

72 Teorema de Bayes

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde

ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

o lo que es lo mismo

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)

Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las

probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899

Demostracioacuten

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)

119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)=

119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

6

51 Definicioacuten axiomaacutetica de probabilidad

Durante el siglo XX el matemaacutetico ruso Andrei Kolmogorov propuso una definicioacuten de

probabilidad que es la que seguimos utilizando hoy en diacutea

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864

Definimos la probabilidad como una funcioacuten 119901 que asocia a cada suceso 119860 de 119979(119864) un nuacutemero

real 119901(119860) que llamaremos su probabilidad

119901119979(119864) ⟼ℝ

119860 ⟼ 119901(119860)

que cumple las siguientes propiedades

A1) La probabilidad de cualquier suceso 119860 es positiva o cero 119901(119860) ge 0 forall119860 isin119979(119864)

A2) La probabilidad del suceso seguro es 1 119901(119864) = 1

A3) La probabilidad de la unioacuten de un conjunto cualquiera de sucesos incompatibles dos a dos

es la suma de las probabilidades de los sucesos

forall 1198601 1198602 hellip 119860119899 isin119979(119864) tales que 119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895 se tiene que

119901(1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899)= 119901(1198601) + 119901(1198602) + ⋯+ 119901(119860119899)

Nota En matemaacuteticas un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostracioacuten En

este caso decimos que eacutesta es la definicioacuten axiomaacutetica de la probabilidad porque definimos la

probabilidad como una funcioacuten que cumple estos tres axiomas

52 Consecuencias de la definicioacuten Propiedades

Sean 119860 119861 sucesos de un espacio muestral 119864

1 0 le 119901(119860) le 1

Demostracioacuten

Por A1) tenemos que 119901(119860) ge 0 Por otro lado si 119901(119860) gt 1 entonces 119901() = 1 minus 119901(119860) lt 0 lo cual es imposible por el axioma A1)

2 119901(empty) = 0

Demostracioacuten empty = ⟹ 119901(empty) = 119901() = 1 minus 119901(119864) = 1 minus 1 = 0

3 119901(119860) = 1 minus 119901()

Demostracioacuten

119901(119860 cup ) = 119901(119864) = 1⟹⏞1198603]

119901(119860) + 119901() = 1 ⟹ 119901(119860) = 1 minus 119901()

4 Si 119860 sube 119861 entonces 119901(119860) le 119901(119861)

Demostracioacuten

119861 = 119860 cup (119861 minus 119860)⟹⏞1198603]

119901(119861) = 119901(119860) + 119901(119861 minus 119860) = 119901(119860) + 119901(119861 cap ) ⟹ 119901(119861) ge 119901(119860)

5 Regla de la Adicioacuten 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

Demostracioacuten

119860 cup 119861 = (119860 minus 119861) cup 119860 cap 119861) cup (119861 minus 119860) unioacuten de disjuntos y por tanto por el axioma A3 se tiene que 119901(119860 cup 119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860) Por otro lado

7

119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)

119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞

1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)

119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)

sumando miembro a miembro ambas expresiones

119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)

+ 119901(119860 cap 119861) de donde

119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964

119901 (⋃119860119894

119899

119894=1

) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)

119899

1198942lt1198943

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

119894=1

+⋯+

+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899

7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)

119903119894=1

53 Aproximacioacuten frecuentista

La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las

frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El

valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su

probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)

Ejemplo

Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si

se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud

119875(Obtener bola roja) =2

3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =

1

3= 0acute333hellip

En cambio

(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7

12= 0prime58333hellip

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5

12= 0prime41666hellip

(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69

120= 0prime575

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51

120= 0prime425

(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822

1200= 0prime685

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378

1200= 0prime315

Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una

sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada

repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades

8

54 Ley de Laplace

Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con

espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son

equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de

Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente

expliacutecito del concepto de probabilidad

En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la

probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la

siguiente forma

119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864

ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables

entre el nordm de casos posiblesrdquo

Ejemplo

Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente

equilibrado

El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los

resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1

2 no obstante vamos a

comprobarlo

El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la

misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de

Laplace

Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo

119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =

2 4 6

1 2 3 4 5 6=3

6=1

2

6 Probabilidad condicionada

Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir

antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la

frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir

No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha

concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el

resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que

disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento

aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos

Ejemplo

Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5

La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15

Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la

9

probabilidad de que sea la 5 es entonces 12

Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al

suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada

Ejercicio

Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la

probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2

El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados

1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12

y tomar como espacio muestral

Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)

El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por

S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)

y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es

A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)

Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16

Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten

61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada

La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0

se llama probabilidad condicionada

Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es

119901(B|A) =119901(A cap B)

119901(A)

A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de

la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de

10

probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la

multiplicacioacuten

62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten

La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad

de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la

probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente

De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)

119901(119860) obtenemos

119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)

Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B

119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)

Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos

119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)

helliphelliphelliphellip

119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)

Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta

Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la

probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de

independencia de sucesos

63 Dependencia e independencia de sucesos

En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto

no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la

siguiente definicioacuten de sucesos independientes

Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que

119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)

Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo

bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo

119901(119861) = 0

bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten

son independientes dado que

p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =

= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()

bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo

son

Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las

caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia

numeacuterica

11

Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado

por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que

119901(Obtener cara)=6

12=1

2

p(Obtener al menos 3) =8

12=2

3

119901(Obtener cara y al menos 3)=4

12=1

3

La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)

establece que ambos sucesos son independientes

La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier

suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de

probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo

119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1

2middot1

6=1

12

El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de

modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias

componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes

y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio

7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

71 Teorema de la Probabilidad Total

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes

119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas

Entonces se verifica que

119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =

119899

119894=1

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119916

Demostracioacuten

119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =

= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =

= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951

1198601cap 119878

1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878

12

72 Teorema de Bayes

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde

ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

o lo que es lo mismo

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)

Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las

probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899

Demostracioacuten

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)

119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)=

119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

7

119860 = (119860 minus 119861) cup (119860 cap 119861)

119861 = (119861 minus 119860) cup (119860 cap 119861) 119906119899119894119900119899119890119904 119889119890 119889119894119904119895119906119899119905119900119904 ⟹⏞

1198603] 119901(119860) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861)

119901(119861) = 119901(119861 minus 119860) + 119901(119860 cap 119861)

sumando miembro a miembro ambas expresiones

119901(119860) + 119901(119861) = 119901(119860 minus 119861) + 119901(119860 cap 119861) + 119901(119861 minus 119860)⏞ 119901(119860cup119861)

+ 119901(119860 cap 119861) de donde

119901(119860 cup 119861) = 119901(119860) + 119901(119861) minus 119901(119860 cap 119861)

6 Principio de inclusioacuten-exclusioacuten forall1198601 hellip 119860119899 sub 119964

119901 (⋃119860119894

119899

119894=1

) =sum119901(119860119894) minus sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942) + sum sum sum 119901(1198601198941⋂1198601198942⋂1198601198943)

119899

1198942lt1198943

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

1198941lt1198942

119899

1198941=1

119899

119894=1

+⋯+

+(minus1)119899+1 middot 119901(1198601⋂1198602hellip⋂119860119899

7 119864 espacio muestral finito 119864 = 1198901 cup hellipcup 119890119899 unioacuten disjunta de sucesos elementales Dado un suceso 119860 = 1198901 cup hellipcup 119890119903 119903 le 119899 se tiene 119901(119860) = sum 119901(119890119894)

119903119894=1

53 Aproximacioacuten frecuentista

La probabilidad de un determinado suceso se puede definir como el valor al que tienden las

frecuencias relativas cuando se repite el experimento aleatorio un elevado nuacutemero de veces El

valor liacutemite de la frecuencia relativa de un suceso es lo que se desea expresar mediante su

probabilidad frecuentista (Ley de los grandes nuacutemeros)

Ejemplo

Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas ideacutenticas dos rojas y una blanca Entonces si

se extrae una bola al azar la frecuencia se conoce con exactitud

119875(Obtener bola roja) =2

3= 0acute666hellip 119875(Obtener bola blanca) =

1

3= 0acute333hellip

En cambio

(i) suponemos que repitiendo el experimento 12 veces se extrae 7 veces una bola roja y 5 veces una bola blanca es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =7

12= 0prime58333hellip

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =5

12= 0prime41666hellip

(ii) repitiendo el experimento 120 veces se obtiene 69 rojas y 51 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =69

120= 0prime575

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =51

120= 0prime425

(iii) repitiendo el experimento 1200 veces se obtiene 822 rojas y 378 blancas es decir

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener roja =822

1200= 0prime685

119891119903119890119888119906119890119899119888119894119886 119889119890 obtener blanca =378

1200= 0prime315

Anaacutelogamente el experimento podriacutea repetirse 10000 100000hellip concluyendo que en una

sucesioacuten ilimitada de repeticiones en ideacutenticas condiciones las frecuencias tras cada

repeticioacuten tienden a aproximarse hacia ciertos valores liacutemites que son las probabilidades

8

54 Ley de Laplace

Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con

espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son

equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de

Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente

expliacutecito del concepto de probabilidad

En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la

probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la

siguiente forma

119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864

ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables

entre el nordm de casos posiblesrdquo

Ejemplo

Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente

equilibrado

El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los

resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1

2 no obstante vamos a

comprobarlo

El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la

misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de

Laplace

Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo

119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =

2 4 6

1 2 3 4 5 6=3

6=1

2

6 Probabilidad condicionada

Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir

antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la

frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir

No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha

concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el

resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que

disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento

aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos

Ejemplo

Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5

La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15

Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la

9

probabilidad de que sea la 5 es entonces 12

Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al

suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada

Ejercicio

Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la

probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2

El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados

1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12

y tomar como espacio muestral

Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)

El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por

S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)

y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es

A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)

Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16

Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten

61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada

La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0

se llama probabilidad condicionada

Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es

119901(B|A) =119901(A cap B)

119901(A)

A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de

la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de

10

probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la

multiplicacioacuten

62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten

La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad

de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la

probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente

De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)

119901(119860) obtenemos

119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)

Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B

119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)

Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos

119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)

helliphelliphelliphellip

119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)

Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta

Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la

probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de

independencia de sucesos

63 Dependencia e independencia de sucesos

En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto

no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la

siguiente definicioacuten de sucesos independientes

Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que

119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)

Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo

bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo

119901(119861) = 0

bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten

son independientes dado que

p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =

= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()

bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo

son

Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las

caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia

numeacuterica

11

Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado

por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que

119901(Obtener cara)=6

12=1

2

p(Obtener al menos 3) =8

12=2

3

119901(Obtener cara y al menos 3)=4

12=1

3

La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)

establece que ambos sucesos son independientes

La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier

suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de

probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo

119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1

2middot1

6=1

12

El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de

modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias

componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes

y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio

7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

71 Teorema de la Probabilidad Total

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes

119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas

Entonces se verifica que

119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =

119899

119894=1

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119916

Demostracioacuten

119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =

= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =

= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951

1198601cap 119878

1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878

12

72 Teorema de Bayes

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde

ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

o lo que es lo mismo

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)

Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las

probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899

Demostracioacuten

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)

119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)=

119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

8

54 Ley de Laplace

Para calcular las probabilidades de los sucesos relativos a un experimento aleatorio con

espacio muestral finito existe una norma de utilidad cuando todos los sucesos elementales son

equiprobables es decir tienen la misma probabilidad Esta regla se conoce como Ley de

Laplace y fue propuesta por PS Laplace (1749-1827) y representa el primer antecedente

expliacutecito del concepto de probabilidad

En caso de estar ante un experimento aleatorio donde los sucesos son equiprobables la

probabilidad de un suceso se puede calcular mediante la aplicacioacuten de la ley de Laplace de la

siguiente forma

119901(119860) =119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119891119886119907119900119903119886119887119897119890119904 119886119897 119904119906119888119890119904119900 119860

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 119889119890119897 119890119904119901119886119888119894119900 119898119906119890119904119905119903119886119897 119864

ldquoLa probabilidad de un suceso se calcula como el cociente del nordm de casos favorables

entre el nordm de casos posiblesrdquo

Ejemplo

Calcula la probabilidad de obtener un nuacutemero par al lanzar un dado perfectamente

equilibrado

El espacio muestral del experimento aleatorio es 119864 = 1 2 3 4 5 6 A la vista de los

resultados la intuicioacuten parece indicar que la probabilidad pedida es 1

2 no obstante vamos a

comprobarlo

El dado estaacute equilibrado es decir la posibilidad de obtener una cifra u otra a priori es la

misma Por tanto los resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la Ley de

Laplace

Definimos el suceso A=rdquoobtener un nordm parrdquo

119901(obtener un nordm par) =nordm de resultados pares

119899ordm 119889119890 119888119886119904119900119904 119901119900119904119894119887119897119890119904 =

2 4 6

1 2 3 4 5 6=3

6=1

2

6 Probabilidad condicionada

Hasta este momento las probabilidades de los sucesos han tenido un caraacutecter estaacutetico es decir

antes de realizar el experimento es posible emitir un juicio sobre su resultado indicando la

frecuencia de aparicioacuten de cada uno de los sucesos que pueden ocurrir

No obstante es frecuente considerar situaciones intermedias donde el experimento no ha

concluido o en el caso de experimentos que se desarrollan en varias etapas nos interesamos por el

resultado de una etapa inicial ya conociendo el resultado en una etapa posterior Es evidente que

disponer de cierto tipo de informacioacuten adicional respecto de un determinado experimento

aleatorio puede modificar las probabilidades que se asignan en principio a cada uno de los sucesos

Ejemplo

Supongamos una urna con tres bolas negras numeradas del 1 al 3 y dos blancas con el 4 y el 5

La probabilidad de que saquemos una bola y sea la 5 utilizando la Ley de Laplace es 15

Sin embargo si en el momento de la extraccioacuten hemos podido ver que la bola era blanca la

9

probabilidad de que sea la 5 es entonces 12

Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al

suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada

Ejercicio

Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la

probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2

El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados

1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12

y tomar como espacio muestral

Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)

El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por

S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)

y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es

A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)

Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16

Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten

61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada

La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0

se llama probabilidad condicionada

Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es

119901(B|A) =119901(A cap B)

119901(A)

A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de

la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de

10

probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la

multiplicacioacuten

62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten

La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad

de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la

probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente

De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)

119901(119860) obtenemos

119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)

Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B

119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)

Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos

119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)

helliphelliphelliphellip

119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)

Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta

Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la

probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de

independencia de sucesos

63 Dependencia e independencia de sucesos

En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto

no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la

siguiente definicioacuten de sucesos independientes

Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que

119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)

Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo

bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo

119901(119861) = 0

bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten

son independientes dado que

p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =

= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()

bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo

son

Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las

caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia

numeacuterica

11

Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado

por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que

119901(Obtener cara)=6

12=1

2

p(Obtener al menos 3) =8

12=2

3

119901(Obtener cara y al menos 3)=4

12=1

3

La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)

establece que ambos sucesos son independientes

La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier

suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de

probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo

119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1

2middot1

6=1

12

El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de

modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias

componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes

y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio

7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

71 Teorema de la Probabilidad Total

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes

119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas

Entonces se verifica que

119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =

119899

119894=1

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119916

Demostracioacuten

119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =

= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =

= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951

1198601cap 119878

1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878

12

72 Teorema de Bayes

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde

ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

o lo que es lo mismo

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)

Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las

probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899

Demostracioacuten

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)

119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)=

119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

9

probabilidad de que sea la 5 es entonces 12

Diremos en este caso que 12 es la probabilidad del suceso ldquosacar la bola 5rdquo condicionado al

suceso ldquola bola es blancardquo Esta es la idea de probabilidad condicionada

Ejercicio

Al lanzar dos veces un dado la suma de las puntuaciones ha sido 8 Nos preguntamos por la

probabilidad de que en el primer lanzamiento el resultado haya sido 2

El espacio muestral asociado al experimento viene dado por las posibles sumas E =

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No obstante es maacutes conveniente observar el aacuterbol de resultados

1 ---- 1 Suma 2 4 ---- 1 Suma 5 ---- 2 Suma 3 ---- 2 Suma 6 ---- 3 Suma 4 ---- 3 Suma 7 ---- 4 Suma 5 ---- 4 Suma 8 ---- 5 Suma 6 ---- 5 Suma 9 ---- 6 Suma 7 ---- 6 Suma 10 2 ---- 1 Suma 3 5 ---- 1 Suma 6 ---- 2 Suma 4 ---- 2 Suma 7 ---- 3 Suma 5 ---- 3 Suma 8 ---- 4 Suma 6 ---- 4 Suma 9 ---- 5 Suma 7 ---- 5 Suma 10 ---- 6 Suma 8 ---- 6 Suma 11 3 ---- 1 Suma 4 6 ---- 1 Suma 7 ---- 2 Suma 5 ---- 2 Suma 8 ---- 3 Suma 6 ---- 3 Suma 9 ---- 4 Suma 7 ---- 4 Suma 10 ---- 5 Suma 8 ---- 5 Suma 11 ---- 6 Suma 9 ---- 6 Suma 12

y tomar como espacio muestral

Eprime = (11) hellip (16) (21) hellip(26)hellip(61)(62)hellip(66)

El suceso la suma de las puntuaciones es 8 viene dado por

S8 = (2 6) (35) (44) (53) (62)

y el suceso obtener 2 en el primer lanzamiento es

A2 = (21) (22) (23) (24) (25) (26)

Sin tener en cuenta el resultado obtenido como suma de puntuaciones la probabilidad del suceso A2 es p(A2) = 16

Para calcular p(A2|S8) =probabilidad condicionada del suceso A2 dado el suceso S8 se requiere del concepto de probabilidad condicionada que se introduce a continuacioacuten

61 Definicioacuten de Probabilidad condicionada

La probabilidad de un suceso B cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso A con p(A) gt 0

se llama probabilidad condicionada

Se escribe p(B|A) se lee ldquoprobabilidad de B condicionada a Ardquo y su valor es

119901(B|A) =119901(A cap B)

119901(A)

A partir de la definicioacuten de la probabilidad condicionada se puede calcular la probabilidad de

la interseccioacuten de dos sucesos despejando directamente de la expresioacuten anterior de

10

probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la

multiplicacioacuten

62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten

La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad

de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la

probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente

De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)

119901(119860) obtenemos

119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)

Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B

119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)

Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos

119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)

helliphelliphelliphellip

119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)

Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta

Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la

probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de

independencia de sucesos

63 Dependencia e independencia de sucesos

En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto

no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la

siguiente definicioacuten de sucesos independientes

Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que

119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)

Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo

bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo

119901(119861) = 0

bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten

son independientes dado que

p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =

= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()

bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo

son

Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las

caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia

numeacuterica

11

Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado

por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que

119901(Obtener cara)=6

12=1

2

p(Obtener al menos 3) =8

12=2

3

119901(Obtener cara y al menos 3)=4

12=1

3

La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)

establece que ambos sucesos son independientes

La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier

suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de

probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo

119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1

2middot1

6=1

12

El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de

modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias

componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes

y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio

7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

71 Teorema de la Probabilidad Total

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes

119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas

Entonces se verifica que

119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =

119899

119894=1

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119916

Demostracioacuten

119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =

= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =

= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951

1198601cap 119878

1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878

12

72 Teorema de Bayes

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde

ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

o lo que es lo mismo

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)

Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las

probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899

Demostracioacuten

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)

119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)=

119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

10

probabilidad de B condicionada a A Este meacutetodo se conoce como regla del producto o de la

multiplicacioacuten

62 Regla del producto o de la multiplicacioacuten

La nocioacuten de probabilidad condicionada se utiliza muy a menudo para calcular la probabilidad

de la interseccioacuten de dos sucesos a partir de la probabilidad de uno de ellos y de la

probabilidad condicionada que suele ser calculable directamente

De la expresioacuten 119901(119861|119860) =119901(119860cap119861)

119901(119860) obtenemos

119901(A cap B) = 119901(B|A) middot 119901(119860)

Del mismo modo si despejamos de la probabilidad de A condicionada a B

119901(A cap B) = 119901(119860|B) middot 119901(119861)

Tambieacuten se puede generalizar para maacutes de dos sucesos

119901(119860 cap 119861 cap 119862) = 119901(119860) middot 119901(119861|119860) middot 119901(119862|119860 cap 119861)

helliphelliphelliphellip

119901(1198601 cap 1198602 caphellipcap 119860119899) = 119901(1198601) middot 119901(1198602|1198601) middot 119901(1198603|1198601 cap 1198602) middot hellip middot 119901(119860119899|1198601 cap hellipcap 119860119899)

Estas foacutermulas se conocen como reglas de la probabilidad compuesta

Existen experimentos aleatorios donde la informacioacuten que suministra el suceso 119860 no afecta a la

probabilidad de otro suceso 119861 es decir 119901(119861|119860) = 119901(119861) Esta relacioacuten refleja la idea de

independencia de sucesos

63 Dependencia e independencia de sucesos

En general ldquocondicionarrdquo un suceso A a otro B modifica la probabilidad del primero pero esto

no siempre es asiacute pues podriacutea ocurrir que A y B no tuvieran mucho que verrdquo Esto lo justifica la

siguiente definicioacuten de sucesos independientes

Diremos que dos sucesos A y B son independientes si se cumple que

119901(A cap B) = 119901(119860) middot 119901(119861)

Es decir el hecho de que ocurra uno de ellos no condiciona la probabilidad del segundo

bull La definicioacuten de independencia de los sucesos 119860 y 119861 es vaacutelida incluso si 119901(119860) = 0 yo

119901(119861) = 0

bull Debemos observar que si 119860 y 119861 son sucesos independientes entonces 119860 y tambieacuten

son independientes dado que

p(A cap ) = p(A cap (E minus B)) = p(A minus (A cap B)) = p(A) minus p(A cap B) =

= p(A) minus p(A) middot p(B) = p(A) middot [1 minus p(B)] = p(A) middot p()

bull Anaacutelogamente se tiene que y 119861 son sucesos independientes y que 119910 tambieacuten lo

son

Notemos que la relacioacuten de independencia entre sucesos puede ser consecuencia loacutegica de las

caracteriacutesticas de un experimento aleatorio o simplemente se debe a una coincidencia

numeacuterica

11

Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado

por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que

119901(Obtener cara)=6

12=1

2

p(Obtener al menos 3) =8

12=2

3

119901(Obtener cara y al menos 3)=4

12=1

3

La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)

establece que ambos sucesos son independientes

La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier

suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de

probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo

119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1

2middot1

6=1

12

El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de

modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias

componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes

y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio

7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

71 Teorema de la Probabilidad Total

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes

119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas

Entonces se verifica que

119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =

119899

119894=1

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119916

Demostracioacuten

119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =

= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =

= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951

1198601cap 119878

1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878

12

72 Teorema de Bayes

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde

ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

o lo que es lo mismo

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)

Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las

probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899

Demostracioacuten

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)

119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)=

119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

11

Ejercicio Se lanzan una moneda y un dado perfectamente equilibrados El espacio muestral viene dado

por 119864 = 1198621 1198622hellip11986261198831 1198832hellip 1198836 y es inmediato que

119901(Obtener cara)=6

12=1

2

p(Obtener al menos 3) =8

12=2

3

119901(Obtener cara y al menos 3)=4

12=1

3

La igualdad 119901(Obtener cara y al menos 3) = 119901(Obtener cara)middot 119901(Obtener al menos 3)

establece que ambos sucesos son independientes

La independencia obvia que existe entre cualquier suceso relativo a la moneda y cualquier

suceso relativo al dado se convierte en una justificacioacuten alternativa de la atribucioacuten de

probabilidad 112 a cada suceso elemental de 119864 por ejemplo

119901(1198834) = 119901(119883) middot 119901(4) =1

2middot1

6=1

12

El procedimiento seguido al final del ejemplo da lugar a un meacutetodo usual de construccioacuten de

modelos probabiliacutesticos Puede ser empleado cuando el experimento aleatorio consta de varias

componentes sin aparente relacioacuten entre ellas es decir de resultados a priori independientes

y con uacutenico viacutenculo entre ellas el hecho de que son partes de un mismo experimento aleatorio

7 Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

71 Teorema de la Probabilidad Total

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde ademaacutes

119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Sea 119878 un suceso cualquiera con probabilidades condicionadas 119901(119878|119860119894) forall119894 = 12hellip119899 conocidas

Entonces se verifica que

119901(119878) =sum119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) =

119899

119894=1

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119916

Demostracioacuten

119901(119878) = 119901(119864 cap 119878) = 119901((1198601 cup 1198602 cup hellipcup 119860119899) cap 119878) =

= 119901(1198601 cap 119878) cup (1198602 cap 119878) cup hellipcup (119860119899 cap 119878) = 119901(1198601 cap 119878) + 119901(1198602 cap 119878) +⋯+ 119901(119860119899 cap 119878) =

= 119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) +⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

119912120783 119912120784 helliphelliphelliphelliphellip 119912119951

1198601cap 119878

1198602 cap 119878 119930 119860119899 cap 119878

12

72 Teorema de Bayes

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde

ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

o lo que es lo mismo

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)

Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las

probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899

Demostracioacuten

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)

119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)=

119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

12

72 Teorema de Bayes

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral 119864 y un conjunto de sucesos

1198601 1198602 hellip119860119899 incompatibles dos a dos (119860119894 cap 119860119895 = empty forall119894 ne 119895) tales que 119864 = ⋃ 119860119894119899119894=1 donde

ademaacutes 119901(119860119894) gt 0 forall119894 = 1hellip 119899

Entonces para cada suceso 119878 con 119901(119878) gt 0 se verifica

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)

o lo que es lo mismo

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)

Las probabilidades 119901(119860119894) se conocen con el nombre de probabilidades a priori 119901(119860119894|119878) son las

probabilidades a posteriori y 119901(119878|119860119894) son las verosimilitudes con 119894 = 1hellip119899

Demostracioacuten

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119878)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878)

119901(119878|119860119894) =119901(119860119894 cap 119878)

119901(119860119894)⟹ 119901(119860119894 cap 119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

de donde 119901(119878) middot 119901(119860119894|119878) = 119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894) forall119894 = 1hellip 119899 y por tanto despejando

119901(119860119894|119878) =119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(119878)=

119901(119860119894) middot 119901(119878|119860119894)

119901(1198601) middot 119901(119878|1198601) + 119901(1198602) middot 119901(119878|1198602) + ⋯+ 119901(119860119899) middot 119901(119878|119860119899)