ESTADISTICATEMA 12

Caso de muestras independientes El gerente de una franquicia de

supermercados de conveniencia, quiere comparar el promedio de compra de los clientes de la sucursal Lomas con el de la sucursal Centro. Para hacerlo pide realizar un muestreo aleatorio de los registros de compra de la clientela en un día cualquiera bajo el criterio de seleccionar la operación 3, 6, 9, 12, y así sucesivamente.

Los datos que recaba son los siguientes:

Estimación para la diferencia entre dos medias poblacionales

SucursalNúmero de

clientes en la muestra

Consumo promedio

Desviación estándar muestral

Centro n1=49 s1=12.30

Lomas n2=25 s2=16.75

Con los datos anteriores puede calcular una estimación puntual para la diferencia entre los consumos promedio de ambas sucursales.

Sin embargo sabe que este valor es sólo uno de los múltiples valores que se pueden obtener como consecuencia de la variabilidad en el muestreo; por lo que desea obtener un intervalo de confianza para esta diferencia, antes de tomar decisiones.

Para poder realizar este intervalo, hay que definir la distribución de probabilidad para la diferencia de las medias y posteriormente utilizar su desviación estándar para definir el error estándar y crear el estimador.

Si las muestras son grandes (n1≥30; n2≥30) el estimador para la diferencia entre dos medias poblacionales es:

En este estimador también se aplica el teorema de límite central, para los casos en que ambas de las muestras son grandes, afirmando que la distribución muestral para se aproxima a la distribución normal.

Cuando ambas muestras son grandes y no se conoce la desviación estándar σ de una o ambas poblaciones, éstas pueden estimarse a partir de las desviaciones de las muestras

Así para nuestro ejemplo, si consideramos un nivel de confianza del 95%:

El signo de la diferencia es negativo ya que se tomó como muestra 1, la correspondiente a la sucursal centro que tiene un menor promedio muestral.

Así puedes concluir que el promedio de ventas favorece a la sucursal lomas en un valor comprendido entre 32.94 y 47.76 pesos.

Si el tamaño de la muestra es pequeño en una o ambas muestras, entonces no podemos aplicar el teorema de límite central, pero sí la distribución t, por lo que el estimador tendría la siguiente transformación, done t se toma con   grados de libertad.

Un profesor que quiere comparar el rendimiento de dos grupos a los que les da clase, lo hace comparando las calificaciones de un examen idéntico que aplicó a ambos grupos. Estos son los resultados:

Ejemplo:

GrupoNúmero de

alumnosCalificación promedio

Desviación estándar muestral

A n1 = 6 67.70  s1 = 12.70

B n2 = 8 72.50 s2=20.45

Sustituyendo en el estimador:

Por lo tanto, podemos decir que el valor de la diferencia promedio entre el aprovechamiento de ambos grupos está entre los valores comprendidos en el intervalo (15.96,25.56)

Caso de muestras pareadas1. En ocasiones no queremos comparar los

promedios de dos poblaciones diferentes, sino el promedio en dos momentos diferentes en la misma población. Es el típico caso de la prueba antes-después que se aplica para medir la efectividad de un programa o proceso que se planea implementar en una población.

Por ejemplo considera el caso de un tratamiento basado en supuestos elementos naturales que ofrece ser eficaz para bajar de peso 3 kg en un mes.

Para confirmarlo se realiza un estudio de seguimiento a 8 personas que lo adquirieron, obteniendo los siguientes resultados.

 Peso antes

del tratamientoPeso despuésdel tratamiento

Diferencia

Persona 1 80 kg 78 kg 2

Persona 2 96 kg 92 kg 4

Persona 3 76 kg 74 kg 2

Persona 4 67 kg 67 kg 0

Persona 5 102 kg 98 kg 4

Persona 6 87 kg 83 kg 4

Persona 7 76 kg 75 kg 1

Persona 8 83 kg 84 kg -1

En este caso lo que hacemos es calcular la diferencia para cada par de valores y se realiza un intervalo de confianza para el promedio de esas diferencias con los métodos y fórmulas presentados en el tema 11.

En este caso la media de las diferencias muestrales es: 2 y s = sd = 1.93, por lo que sustituyendo en el estimador correspondiente al 95% de confianza con 7 grados de libertad:

Éste da por resultado un intervalo muy amplio que va de 0.39 kg hasta 3.61kg, por lo que podemos concluir que el sistema sí es eficaz para bajar de peso; ya que el intervalo incluye sólo valores positivos, y no hay elementos para negar la afirmación de bajar 3 kg en un mes porque ese dato sí se encuentra en el intervalo. Si  quisieras tener un intervalo con un margen de error más pequeño tendrías que recurrir a una muestra más grande.

Excel permite encontrar directamente el valor de la estimación de intervalos de confianza para una media poblacional y puedes usarlo también en el caso de dos medias si lo adaptas adecuadamente.

Por ejemplo, supón el caso de que busques el intervalo de confianza al 95% para una media poblacional con los siguientes elementos muestrales: n = 60,  , s = 25

Uso de Excel para la estimación de intervalos para la medias poblacionales

Elije la función INTERVALO.CONFIANZA de la categoría de funciones estadísticas:

En el cuadro de diálogo completa con los datos que se te solicitan, fíjate que en lugar del nivel de confianza en Excel te piden el valor de Alfa, que es llamado nivel de significancia y que equivale al complemento del nivel de Confianza. Así para un intervalo de 95% de confianza, Alfa = 0.05

La Central de Balances de Andalucía publicó un reporte financiero sobre los ingresos de sus empresas para comparar lo sucedido en los últimos años, con los siguientes resultados:

trabajo

Año 2003 2004 2005 2006

Media en euros 1’467,847 1’693,190 1’410,338 1’666,164

Desviación estándar 545,387 650,738 625,650 613,715

Número de empresas 847 772 994 1,182

◦ ¿Cuál es la estimación del intervalo de confianza al 95% del incremento en el ingreso promedio de 2005 a 2006?

◦ ¿Cuál es la estimación del intervalo de confianza al 99% del incremento en el ingreso promedio de 2003 a 2006?

◦ ¿Cuál es la estimación del intervalo de confianza al 90% del incremento en el ingreso promedio de 2004 a 2005?

Se tomaron 10 muestras de tarifas en transporte urbano de ciudades del norte de la república mexicana y se obtuvo una tarifa promedio de $5.50 con una desviación estándar de $1.10, mientras que los resultados obtenidos con 15 muestras de ciudades del sur-sureste fue de $4.50 con una desviación estándar de 0.80 pesos. Supón que las tarifas están distribuidas normalmente. ◦ Encuentra un intervalo del 90% para la diferencia entre

medias de las tarifas en los dos tipos de ciudades. ◦  Encuentra un intervalo del 95% para la diferencia entre

medias de las tarifas en los dos tipos de ciudades. ◦ Encuentra un intervalo del 99% para la diferencia entre

medias de las tarifas en los dos tipos de ciudades. ◦ ¿Qué conclusión se puede hacer respecto a los tres

resultados anteriores?