tema 1 tc1 2021-2022 powerpoint [modo de compatibilidad]

1

Técnicas Cuantitativas 1


Econometría

Métodos Cuantitativos

Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la EmpresaGRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCION DE EMPRESAS

2º

3º

1

Estadística DescriptivaTemas: 1, 2, 3 y 4



Probabilidad (tema 5)Variables aleatorias (tema 6)

Discretas (tema 7) y

Continuas

Inferencia Estadística

2

2

Variables estadísticasTemas: 1 y 2

Estadística Descriptiva

UnidimensionalesTema 1

BidimensionalesTema 2

Números índice. Tema 3

Series cronológicas. Tema 4

3

Probabilidad

Variables aleatorias. Tema 6

Distribuciones discretas de probabilidad. Tema 7

4

Probabilidad. Temas 5

3

1.- Variables estadísticas unidimensionales.

1.1 Introducción. Nociones básicas

1.2 Tablas estadísticas

1.3 Representaciones gráficas

1.4 Momentos

1.5 Medidas de posición central

1.6 Medidas de posición no central

1.7 Medidas de dispersión

1.8 Medidas de forma

1.9 Medidas de concentración

Estadística (status)Estadística Descriptiva

Tipos de fenómenos:•Fenómenos causales o determinísticos:•Fenómenos aleatorios o estadísticos:

Población / muestra.•Evitar la destrucción de la población.•Rapidez.•Economía .

Variable / atributo•Variables discretas•Variables continuas

•pocas modalidades (discretas,…)•gran número de valores (variables continuas,…)

4

TIPO

ColectivaUnifamiliar

5614

total 70

Número de dormitorios

12345

71421217

total 70

Salario/hora

0-1010-2020-4040-50

25402015

total 100

TABLAS ESTADÍSTICAS

frecuencia absoluta in 1

k

ii

n n

frecuencia relativa if ii

nf

n

frecuencia absoluta acumulada iN 1

i

i jj

N n

frecuencia relativa acumulada iF

distribución de frecuencias

1i iL L ix in if iN iF

0 1L L

1 2L L ...

1k kL L

1x

2x ...

kx

1n

2n ...

kn

1f

2f ...

kf

1N

2N ...

kN

1F

2F ...

kF

n 1

5

ix in if

Colectiva Unifamiliar

56 14

0,80 0,20

total 70 1

ix in iN if iF

1 2 3 4 5

7 14 21 21 7

7 21 42 63 70

0,10 0,20 0,30 0,30 0,10

0,10 0,30 0,60 0,90

1 total 70 1

1i iL L ix in if iN iF

0-10 10-20 20-40 40-50

5 15 30 45

25 40 20 15

0,25 0,40 0,20 0,15

25 65 85

100

0,25 0,65 0,85

1 total 100 1

DIAGRAMA DE BARRAS

Número de dormitorios in

1 2 3 4 5

7 14 21 21 7

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

7

DIAGRAMA DE SECTORES

ix in if sector


56 14

0,80 0,20

0,80x360º=288º 0,20x360º=72º

total 70 1 360º


ix 4 5 7 8

4

1

24ii

x

4

1

1 246

4 4ii

x x

ix in i ix n 4 2 8 5 3 15 7 1 7 8 2 16

4

1

46i ii

x n

4

1

1 465,75

8 8i ii

x x n

8

Momentos no centrados.

1 1

1 k kr r

r i i i ii i

a x n x fn

(para tablas con frecuencias)

1

1 nr

r ii

a xn

(para tablas sin frecuencias)

Nota: 1a = x .

Momentos centrados.

1 1

1 k kr r

r i i i ii i

m x x n x x fn


1

1 n r

r ii

m x xn


2 2 22 2

2 1 1 1 1 1 1 12

2 2k k k k k k k

i i i i i i i i i i i ii i i i i i i

x x n x n x n xx n x n x n x x nS m

n n n n n n n

2 2 22 1 2 1 1 1 2 12 2a x xa a a a a a a

3 2 43 3 2 1 1 4 4 3 1 2 1 13 2 4 6 3m a a a a m a a a a a a

Cálculo de los momentos.

Momentos no centrados

Tabla sin frecuencias.

ix 2ix 3

ix 4ix

3 9 27 81 3 9 27 81 2 4 8 16 2 4 8 16 3 9 27 81 5 25 125 625

18 60 222 900

21 2

1 1

3 43 4

1 1

1 18 1 603 10

6 6

1 222 1 90037 150

6 6

n n

i ii i

n n

i ii i

x a x a xn n

a x a xn n

9

Tabla con frecuencias. Variable discreta.

ix in i ix n 2i ix n 3

i ix n 4i ix n

1 7 7 7 7 7 2 14 28 56 112 224 3 21 63 189 567 1701 4 21 84 336 1344 5376 5 7 35 175 875 4375

total n=70 217 763 2905 11683

21 2

1 1

3 43 4

1 1

1 217 1 7633,1 10,9

70 70

1 2905 1 1168341,5 166,9

70 70

k k

i i i ii i

k k

i i i ii i

x a x n a x nn n

a x n a x nn n

Tabla con frecuencias. Variable continua.

1i iL L ix in i ix n 2

i ix n 3i ix n 4

i ix n 0-10 5 25 125 625 3125 15625 10-20 15 40 600 9000 135000 2025000 20-40 30 20 600 18000 540000 16200000 40-45 45 15 675 30375 1366875 61509375 total n=100 2000 58000 2045000 79750000

21 2

1 1

3 43 4

1 1

1 2000 1 5800020 580

100 100

1 2045000 1 7975000020450 797500

100 100

k k

i i i ii i

k k

i i i ii i

x a x n a x nn n

a x n a x nn n

Momentos centrados

Tabla sin frecuencias.

ix ix x 2

ix x 3

ix x 4

ix x

3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 -1 1 -1 1 2 -1 1 -1 1 3 0 0 0 0 5 2 4 8 16

total 0 6 6 18

2

1 21 1

3 4

3 41 1

1 0 1 60 1

6 6

1 6 1 181 3

6 6

n n

i ii i

n n

i ii i

m x x m x xn n

m x x m x xn n

Tabla con frecuencias. Variable continua.

1i iL L ix in ix x i ix x n 2

i ix x n 3

i ix x n 4

i ix x n

0-10 5 25 -15 -375 5625 -84375 1265625 10-20 15 40 -5 -200 1000 -5000 25000 20-40 30 20 10 200 2000 20000 200000 40-45 45 15 25 375 9375 234375 5859375 total n=100 0 18000 165000 7350000

2

1 21 1

3 4

3 41 1

1 0 1 180000 180

100 100

1 165000 1 73500001650 73500

100 100

k k

i i i ii i

k k

i i i ii i

m x x n m x x nn n

m x x n m x x nn n

10

2 2 22 2 1 580 20 580 400 180S m a a

3 3

3 3 2 1 13 2 20450 3 580 20 2 20 1650m a a a a

2 4 2 44 4 3 1 2 1 14 6 3 797500 4 20450 20 6 580 20 3 20 73500m a a a a a a

1i iL L ix in i ix n 2i ix n 3

i ix n 4i ix n

0-10 5 25 125 625 3125 15625 10-20 15 40 600 9000 135000 2025000 20-40 30 20 600 18000 540000 16200000 40-50 45 15 675 30375 1366875 61509375 total n=100 2000 58000 2045000 79750000

21 2

1 1

3 43 4

1 1

1 2000 1 5800020 580

100 100

1 2045000 1 7975000020450 797500

100 100

k k

i i i ii i

k k

i i i ii i

x a x n a x nn n

a x n a x nn n

Cálculos como los anteriores, dispuestos en forma de tabla,son fáciles de hacer con la ayuda de una hoja de cálculo.

11

Media aritmética.

1 1

1i i

k k

i ii i

x x n x fn


1

1i

n

i

x xn

(para tablas sin frecuencias) 1a x

Propiedades de la media aritmética:

1 1

11

... 1

...s

i

ss

iis

x n x nx x n

n n n

i iy ex c y ex c

MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL

Media geométrica.

11

1

...n nni k

kn

ni k

i

G x x x


11

...n

nni n

i

G x x x


12

►EJEMPLO 5.

El valor de la vivienda ha sufrido en los últimos 5 años los siguientes incrementos

incremento 6% 5% 17% 20% 14%

Obtenga el incremento medio del valor de la vivienda en estos cinco años.

1 0 0 0

61,06

100V V V V

2 1 1 1 0

51,05 1,05 1,06

100V V V V V

...

5 01,14 1, 20 1,17 1,05 1,06V V

55 0

0

1,7814 1,7814V

V VV

0 01,14 1,20 1,17 1,05 1,06 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )V r r r r r V

5

55 5 5

0

(1 ) 1,14 1,20 1,17 1,05 1,06 1,7814

1 1,14 1,20 1,17 1,05 1,06 1,7814 1,1224

0,1224 en tanto por ciento % 12,24%

r

Vr

V

r r

0,06 0,05 0,17 0,20 0,140,124

56% 5% 17% 20% 14%

en tanto por ciento 12,4% 12,4% 12,24%5

r

r

51,124 1,794 79,4% , (78,14%).

13

►EJEMPLO 6.

Una vivienda que en el año 2000 se compró por 125.000€ se ha vendido en el año 2007

por 500.000€. Otra vivienda que se compró en 1995 por 100.000€ se vendió en el 2006

por 700.000€. ¿Cuál de las viviendas incrementó más su valor?

(primera vivienda)

72007 77

2000

500.0004 1,219

125.000

V

V incremento anual medio del 21,9%

(segunda vivienda)

112006 1111

1995

700.0007 1,1935

100.000

V

V incremento anual medio del 19,35%

Media armónica.

1

ki

i i

nH

n

x


1

1n

i i

nH

x


1

11

distancia total

tiempo total...k

ki

ki i

D DH

dddv vv

1

Precio total

Litros totaleski

i i

nH

nx

14

Si se sube en bicicleta a Sierra Nevada a una velocidad de 10km/h y se baja a una velocidad de

50km/h, ¿a qué velocidad media se ha hecho el recorrido completo de ida y vuelta?

La solución no depende de la distancia recorrida, suponemos que el ciclista recorre

45km en la subida y los mismos en la bajada.

La media aritmética, 10 50

30 /2

x km h

, no es la solución:

A esa velocidad media se tardaría en subir y bajar 45 45

330

h

.

Realmente ha tardado 45

4,510

h (subida) y 45

0,950

h (bajada), en total 5,4 horas.

La solución es la media armónica:

2

1

2 2 216,6667 /

1 11 0,10 0,0210 50i i

H km h

x

(Observe que la distancia, 45km, no interviene en el cálculo)

A esa velocidad media tardaríamos 45 45 90

5, 416,6667 16,6667

h

en recorrer los 90km.

Utilizando las distancias recorridas, la media armónica se podría haber calculado como

2

12 2

1 1

9045 45

10 50

ii

i i

i ii i

nn

Hn nx x

90245

1 145 4510 5010 50

45

15

distancia total

tiempo total

9016,6667 /

5,4

kmvelocidad media km h

h

distancia total

tiempo total

2 10 2 50 120 60 10 5030 /

2 2 4 2 2velocidad media x km h

216,6667

1 1

10 50

H

< 10 50 22,3607G <10 50

302

x

1

11

distancia total

tiempo total como suma de los tiempos parciales en cada trayecto...k

ki

ki i

D DH

dddv vv

El dueño de una motocicleta ha repostado combustible en 5 ocasiones durante el último mes. En la

primera ocasión repostó 26€ a un precio de 1,3€/litro, la segunda vez repostó 30€ a un precio de

1,2€/litro, la tercera 36€ a 1,5€/litro, la cuarta también 36€ pero a 1,2€/litro y por último 35€ a

1,4€/litro. ¿A qué precio medio pagó el litro de combustible durante dicho mes?

Fácilmente calculamos el gasto total en combustible y el total de litros repostados,

€ 163= 1,3145 € /

124

total dePrecio medio por litro €/l l

total de litros

Precio/litro (€/l) Valor del repostaje (€) Litros (l)

ix in i

i

n

x

1,3 1,2 1,5 1,2 1,4

26 30 36 36 35

26/1,3=20 30/1,2=25 36/1,5=24 36/1,2=30 35/1,4=25

Total de €=n=163 Total de litros=124

5

1

26 30 36 36 35 26 30 36 36 35 1631,3145

26 30 36 36 35 20 25 24 30 25 1241,3 1,2 1,5 1,2 1, 4

i

i i

nH

nx

16

€ 1,3 1,2 1,5 1, 2 1, 4 (1,3 1, 2 1,5 1,2 1,4) 1,3 1,2 1,5 1, 2 1, 4

5 5total de

total de litros

L L L L L Lx

L L L L L L

Si hubiera repostado en todas las ocasiones la misma cantidad de litros, L:

Si hubiera repostado en todas las ocasiones por la misma cantidad de euros, E:

€ 5 5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11,3 1,2 1,5 1,2 1,4 1,3 1, 2 1,5 1,2 1, 4 1,3 1,2 1,5 1,2 1, 4

total detotal de litros

E E E E E EH

E E E E EE

5

1

26 30 36 36 35 26 30 36 36 35 1631,3145

26 30 36 36 35 20 25 24 30 25 1241,3 1,2 1,5 1,2 1, 4

i

i i

nH

nx

x G H 1.- Nota media 2.- Velocidad media 3.- Precio medio vivienda (€/m2) 4.- Precio medio de la vivienda (€, precio total) 5.- Incremento medio precio vivienda (%) 6.- Salario medio (€, salario total) 7.- Salario/hora medio (€/h) 8.- Incremento medio salarial (%) 9.- Precio medio del combustible (€/l) 10.- Cambio medio del dolar (€/$) 11.- Rentabilidad media de una cuenta corriente (%)

17

x G H 1.- Nota media X 2.- Velocidad media X X 3.- Precio medio vivienda (€/m2) X X 4.- Precio medio de la vivienda (€, precio total) X 5.- Incremento medio precio vivienda (%) X 6.- Salario medio (€, salario total) X 7.- Salario/hora medio (€/h) X X 8.- Incremento medio salarial (%) X 9.- Precio medio del combustible (€/l) X X 10.- Cambio medio del dolar (€/$) X X 11.- Rentabilidad media de una cuenta corriente (%) X X

MODA

►EJEMPLO 9.

ix in

1 2 3 4 5

7 14 21 21 7

70n

Mo=3

Mo=4

TIPO in


56 14

total 70

Mo=Colectiva

1i iL L in ia ih

0-10 10-20 20-40 40-50

25 30 40 15

10 10 20 10

2,5 3 2

1,5 100n

Intervalo modal: 10-20.

Dentro del intervalo modal hay que

seleccionar un punto como moda. Hay

diversos criterios, uno de ellos consiste en

tomar el punto medio o marca de clase,

Mo=15.

Mo(I)=(10+20)/2=15

19

B C

MODA

1i iL L in ia ii

i

nh

a

5-15 15-25 25-45 45-55

40 50 60 20

10 10 20 10

4 5 3 2

Intervalo modal: 15-25.

Como puede verse el intervalo modal no coincide con

el de mayor frecuencia ( 3 60n ), es el de mayor

altura ( 2 5h ).

1 15 25( ) 20

2 2i iL L

Mo I

11

1 1

3( ) 15 10 19, 2857

4 3i

i ii i

hMo II L a

h h

1

11 1

5 4 10( ) 15 10 15 18,3333

5 4 5 3 3i i

i ii i i i

h hMo III L a

h h h h

20

MEDIANA

5, 10, 30, 45, 50 Me=30

5, 10, 30, 45 Me=(10+30)/2=40/2=20

Variables discretas: Hay dos posibilidades.

ix in iN

1 2 3 4 5

2 3 5 6 4

2 5

10 16 20

20n

2i

nN

1 3 43,5

2 2i ix x

Me .

10 observaciones 10 observaciones1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5

ix in iN

1 2 3 4 5

2 4 7 5 2

2 6

13 18 20

20n

2i

nN

3 2

nN

3 3Me x .

6 obs. 13 obs.1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5Justificación :

21


ix in iN

1 2 3 4 5

2 3 5 6 4

2 5

10 16 20

20n

2i

nN

1 3 43,5

2 2i ix x

Me .


ix in iN

1 2 3 4 5

2 4 7 5 2

2 6

13 18 20

20n

2i

nN

3 2

nN

3 3Me x .



ix in iN

1 2 3 4 5

2 3 5 6 4

2 5

10 16 20

20n

2i

nN

1 3 43,5

2 2i ix x

Me .


ix in iN

1 2 3 4 5

2 4 7 5 2

2 6

13 18 20

20n

2i

nN

3 2

nN

3 3Me x .


22

Variables continuas. Se distinguen las dos mismas posibilidades:

1i iL L in iN

0-10 10-20 20-40 40-50

20 30 35 15

20 50 85

100 100n

2i

nN .

La mediana es el extremo superior de dicho

intervalo: 20iMe L .

1 1

1 11 1

12 2i i

i i i ii i i i

nN F

Me L a dividiendo numerador y denominador por n L aN N F F

1i iL L ia in iN

100-110 110-120 120-140 140-150

10 10 20 10

25 40 20 15

25 65 85 100

100n

2inN .

La mediana estará, obviamente, en el intervalo

donde por primera vez 2inN

110 50 25116,25

120 110 40

MeMe

1 1 11 1

11

2 2 2i i ii i

i ii i i i i i

n n nN N NMe L Me L

Me L aL L n a n n

50 25110 10 116,25

40Me

23

110 Me 120

Ni 25 50 65

50-25=25 65-50=15

1i iL L ia in iN

100-110 110-120 120-140 140-150

10 10 20 10

25 40 20 15

25 65 85 100

100n

2inN .

La mediana estará, obviamente, en el intervalo

donde por primera vez 2inN

110 50 25116,25

120 110 40

MeMe

65-25=40

P1 P2 P3 … P50 … P99

1% 2% 3% 50% 99%

1% 1% 1% … 1%

Q1 Q2 Q3

25% 50% 75%

1/4 1/4 1/4 1/4

D1 D2 … D5 … D8 D9

10% 20% … 50% … 80% 90%

1/10 1/10 1/10 1/10

24

PERCENTILES

MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRAL

►EJEMPLO

Calcule sobre las siguientes distribuciones de frecuencias los percentiles 30 y 85

ix in iN

1 2 3 4 5

7 14 14 28 7

7 21 35 63 70

70n

2 32 30

2 330 21 21 2,5

100 2 2

x xnN P

3 4 85 485 59,5 59,5 4100

nN N P x

1i iL L ia in iN

100-110 110-120 120-140 140-150

10 10 20 10

25 40 20 15

25 65 85

100 100n

3 85 385 85 85 140100

nN P L

30 30, 30100 100i

n nN

3030 30

110 30 25 50110 111,25

120 110 40 40

PP P

1

1100 i

i ii

nN

P L an

1

30 1

30 30 25100 110 10 111, 2540

i

i ii

nN

P L an

110 P30 120

30-25=5 65-30=35

Ni 25 30 65

3030

110 30 25111, 25

120 110 65 25

PP

65-25=40

25

►EJEMPLO 11.

Los saldos de las cuentas abiertas por los clientes de una sucursal bancaria se

distribuyen de acuerdo a la siguiente tabla

SALDOS NUMERO DE CLIENTES 0-200

200-1.000 1.000-5.000 5.000-30.000

100 400 300 50

Se consideran clientes preferentes al 10% de los clientes con mayores saldos, ¿cuál ha

de ser el saldo para que un cliente sea considerado como tal?

¿Qué porcentaje de clientes tienen un saldo superior a 850€? 900€?

10%90%

P90

100-x %x%

900

SALDOS NUMERO DE CLIENTES iN

0-200 200-1.000

1.000-5.000 5.000-30.000

100 400 300 50

100 500 800 850

850850 90 765

100n

1

90 1

90 765 500100 1000 4000 4533,33€300

i

i ii

nN

P L an

1

1

850100

100 100850 200 800 50400

i

i ii

nN

P L an

900 52,94

100-52,94=47,06%

26

1i iL L ia in iN

0-200 200-1000 1000-5000

5000-30000

200 800

4000 25000

100 400 300 50

100 500 800 850

9090 90

10005000 1000 4000 2651000 4533,33

300 765 500 300

PP P

1000 200 900 200 800 700 400 700350

400 400 800x

x x

Hay 350 clientes dentro del intervalo (200 , 900) más otros 100 clientes dentro del intervalo (0 , 200),

hay un total de 450 clientes con un saldo inferior a 900€ que representan un 52,94% 450100 52,94

850

Habrá un 47,06% de clientes que tienen un saldo superior a 900€ 47,06 100 52,94 .

1000 P90 5000

Ni 500 765 800

765-500=265 800-765=15

800-500=300

9090

1000 765 5004533,3333

5000 1000 800 500

PP

90 90850 765

100 100n

27

200 900 1000

Ni 100 x 500

x-100 500-x

500-100=400

900 200 100450

1000 200 500 100

xx

450 450100 100 52,9412 100 52, 4912 47,0588

850n

MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA

Recorridos

El recorrido o rango R: R=máximo-mínimo

El recorrido intercuartílico IR : 3 1 75 25IR Q Q P P

Varianza

22

1

1 k

i ii

S x x nn


22

1

1 n

ii

S x xn


22 2 22 1

1

1 k

i ii

S a a x n xn

(tablas con frecuencias)

22 2 22 1

1

1 n

ii

S a a x xn

(tablas sin frecuencias)

i iy ex c 2 2 2y xS e S

22S m ( ) ( )r

r rm y e m x

28

Desviación típica.

2S S

nS y xS e S

►EJEMPLO 1.16.

Calcule la varianza y la desviación típica para las siguientes distribuciones de frecuencias de los

salarios/hora y salarios mensuales, expresados en euros, de los empleados en dos almacenes.

Salario/hora (Almacén A) in Salario mensual

(Almacén B) in

5 15 25 35

1 2 3 4

1005 1015 1025 1035

1 2 3 4

10 10 Solución:

ix in i ix n 2i ix n

5 15 25 35

1 2 3 4

5 30 75

140

25 450

1875 4900

10 250 7250

1

1 25025€

10

k

i ii

x x nn

22 2 2 2 2

2 11

1 725025 100€

10

k

i ii

S a a x n xn

2 100 10€S S

Desigualdad de Tchebycheff

2

1, 1ip x x kS x kS

k

(k>1)

2 2

1 12 2 , 2 1 1 0,75

2ik p x x S x Sk

.

Otra forma:

22

2

t tkS t k k

S S

2

2, 1i

Sp x x t x t

t

¿Qué significa que la desviación típica de un conjunto de datos, con media 70, es igual a 5? ¿Cómo

podemos interpretar dicho valor? La desigualdad de Tchebycheff nos ayuda a entender mejor el

significado de la desviación típica como medida de dispersión en torno a la media.

2 , 2 70 2 5 , 70 2 5 60 , 80x S x S . En el intervalo (60,80) hay al menos el 75% de

las observaciones, 2 2

1 11 1 0,75

2k

.

k=1,6 1,6 , 1,6 70 1,6 5 , 70 1,6 5 62 , 78x S x S 2 2

1 11 1 0,61

1,6k

29

Se sabe que el número medio de unidades diarias de un determinado producto que vende un

supermercado es 100x y la desviación típica 40S . Si cada día el supermercado repone hasta

completar 200 unidades del producto en sus estanterías:

¿Cuántos días al año la demanda será mayor que su oferta?

¿Cuánto habría que reponer para asegurar que no va a faltar producto en las estanterías el 95% de

los días?

100x 40S

, 0,200x t x t 100t 2

2

16001 1 0,84

10000

S

t

0,16=1-0,84 . Es decir, en menos del 16% de los días la demanda es superior a 200 unidades.

22

2 2

1600 16001 1 0,95 32000 178,9 279

0,05

St t x t

t t

Variable tipificada

X xZ

S

media cero y desviación típica 1.

Se quiere comparar los precios de dos viviendas con las mismas características, una en Madrid y

otra en Granada. El precio medio de las viviendas del tipo considerado es 200.000€ en Madrid y

140.000€ en Granada, las desviaciones típicas son respectivamente 20.000€ y 15.000€. Las dos

viviendas a comparar tienen unos precios de 260.000€ (Madrid) y 190.000€ (Granada). ¿cuál de las

dos viviendas está alcanzando un mayor valor en su mercado?

Solución:

260.000 200.000 60.0003

20.000 20.000

190.000 140.000 50.0003,33

15.000 15.000

30

MEDIDAS DE DISPERSION RELATIVA

Coeficiente de Variación.

SCV

x

MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVA

A

Compare utilizando el coeficiente de variación la dispersión en los datos de los almacenes A y B del ejemplo

1.16.

Salario/hora (Almacén A) in Salario mensual

(Almacén B) in

5 15 25 35

1 2 3 4

1005 1015 1025 1035

1 2 3 4

10 10 10

0,425

AA

A

S eurosCV

eurosx

100,0098

1025B

B

B

S eurosCV

eurosx

La distribución de los salarios mensuales de 10 trabajadores con igual cualificación profesional es

Salarios en cientos de € in

0-10 10-20 20-30 30-40

1 2 3 4

10 El horario de trabajo no es único para todos, siendo 6 el número medio de horas trabajadas cada día

y 1 hora la desviación típica. ¿Es coherente la distribución de los salarios con la de las horas

trabajadas? x=horas trabajadas, y=salario

Si y kx , donde k=salario/hora, x yCV CV

x yCV CV y kx .

1

1 25025

10

k

i ii

x x nn

2 100 10S S 10

( ) 0,425

CV salarios

1( ) 0,167

6CV horarios .

Ejercicio resuelto 14

1

1 25025

10

k

i ii

y y nn

31

MEDIDAS DE FORMA

Coeficiente de asimetría de Fisher.

31 3

mg

S

3 3

1 1

0 0n k

i i ii i

x x x x n

Si la distribución es simétrica 1 0g

Si la distribución es asimétrica a la izquierda 1 0g

Si la distribución es asimétrica a la derecha 1 0g

Adimensional e independiente de cambios de origen y escala.

ix in i ix n 2i ix n 3

i ix n 4i ix n ix x 3

i ix x n

1 5 5 5 5 5 -3 -135 2 13 26 52 104 208 -2 -104 3 34 102 306 918 2754 -1 -34 4 55 220 880 3520 14080 0 0 5 34 170 850 4250 21250 1 34 6 13 78 468 2808 16848 2 104 7 5 35 245 1715 12005 3 135

total 159 636 2806 13320 67150 0

32

MEDIDAS DE FORMA

Coeficiente de apuntamiento (o curtosis) de Fisher.

42 4

3m

gS

Si la distribución tiene un apuntamiento normal (mesocúrtica) 2 0g

Si la distribución es más aplanada que la normal (platicúrtica) 2 0g

Si la distribución es más apuntada que la normal (leptocúrtica) 2 0g

Adimensional e independiente de cambios de origen y escala.

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9

33

MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN

Estudiar la concentración de los salarios de 25 trabajadores recogidos en la siguiente tabla

1i iL L in

500-1500 3 1500-2500 7 2500-3500 8 3500-4500 4 4500-5500 2 5500-6500 1

◄

Hacemos los siguientes cálculos

1iL iL ix in i ix n iN iu ip iq

500 1500 1000 3 3000 3 3000 12 4,1 1500 2500 2000 7 14000 10 17000 40 23,3 2500 3500 3000 8 24000 18 41000 72 56,2 3500 4500 4000 4 16000 22 57000 88 78,1 4500 5500 5000 2 10000 24 67000 96 91,8 5500 6500 6000 1 6000 25 73000 100 100,0

total 25n 1

73000k

j jj

x n

408 353,5

iq

ip

34

iq

ip

Me Ml

pi = 50%

qi = 50%

35

1iL iL ix in i ix n iN iu ip iq

500 1500 1000 3 3000 3 3000 12 4,1 1500 2500 2000 7 14000 10 17000 40 23,3 2500 3500 3000 8 24000 18 41000 72 56,2 3500 4500 4000 4 16000 22 57000 88 78,1 4500 5500 5000 2 10000 24 67000 96 91,8 5500 6500 6000 1 6000 25 73000 100 100,0

total

25n 1

73000k

j jj

x n

408 353,5

1 1

1 1

3500 2500 2500 1000 102500 2812,5

50 72 40 50 40 32i i i

i i i

L L Me L MeMe

p p p

1 1

1 1

3500 2500 2500 1000 26,72500 3311,55

50 56,2 23,3 50 23,3 32,9i i i

i i i

L L Ml L MlMl

q q q

Mediala.

Dos familias con 4 y 5 hijos respectivamente deciden repartir parte de sus patrimonios entre ellos de la

siguiente forma.

Familia A 300000 650000 200000 150000

Familia B 1500000 1000000 2000000 1000000 2000000

¿Cuál de los dos repartos es más equitativo?

36

Familia A:

ix in i ix n iN iu ip iq

150000 1 150000 1 150000 25 11,54

200000 1 200000 2 350000 50 26,92

300000 1 300000 3 650000 75 50,00

650000 1 650000 4 1300000 100 100,00

total 4 1300000 250 188,46

1

11

1

88, 46( ) 1 1 0, 410

150

k

ii

G k

ii

qI A

p

3 43

300000 65000050 ( ) 475000

2 2

x xq Ml A

.

Familia B:

ix in i ix n iN iu ip iq

1000000 2 2000000 2 2000000 40 26,7 1500000 1 1500000 3 3500000 60 46,7 2000000 2 4000000 5 7500000 100 100,0

total 5 7500000

200 173,4

1

11

1

73, 4( ) 1 1 0, 266

100

k

ii

G k

ii

qI B

p

3 3100 50 ( ) 2000000q Ml B x

( ) 0, 410 ( ) 0, 266G GI A I B

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