100408 36 tc1 ricardo oviedo
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100408 ALGEBRA LINEAL ACT 6. TRABAJO COLABORATIVO No.1
“Vectores, Matrices y Determinantes”
RICARDO OVIEDO DURAN
CÓDIGO 13850945GRUPO 100408_36
Ing. DELFINA REYESTUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
CEAD BUCARAMANGA
BARRANCABERMEJA, Abril de 2014
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INTRODUCCIÓN
Con este trabajo se pretende que el estudiante reconozca algunos aspectos que son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se presenta a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos.
En la unidad 1 del programa de Algebra Lineal se abordan temas como vectores, matrices y determinantes, y se explica los métodos de solución para estos sistemas.
Las matrices constituyen un instrumento muy poderoso para tratar con los modelos lineales. En esta unidad se hace la introducción a la teoría general de matrices, además se definen los determinantes estrechamente relacionados con ellas
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OBJETIVOS
Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en la unidad 1 del programa de Algebra Lineal.
Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.
Realizar las operaciones algebraicas básicas con matrices y sus propiedades.
Comprender e identificar la aplicación de los diferentes métodos para la resolución de los problemas propuestos.
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DESARROLLO DE PROBLEMAS Y EJERCICIOS
1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:
a. |U| = 5; θ = 2250
U = (5cos2250 ) î + (5 Sen2250 ) ĵ
U = (−5 √22
) î + (−5 √22 ) ĵ
U = (- 5√2
2,−5√2
2 )
b. |v| = 3; θ = 600
v = (3cos600 ) î + (3 Sen600 ) ĵ
v = 3 (12 ) î + 3( √3
2¿ ĵ
v = 32 î +3√3
2 ĵ
v = (32,3√3
2)
Realice analíticamente, las operaciones siguientes:
1.1. 2u - 6 v = 2(- 5√22,−5√2
2 ) - 6(
32 ,3√3
2)
2u - 6 v = ( −5√2 , - 5 √2¿−( 9,9√3 )
2u - 6 v = ( −5√2−9 ,−5√2−9√3)
2u - 6 v = ( −7.07−9 ,−7.07−15.59)
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2u - 6 v = ( −16.07 ,−22.66)
1.2. v - U = (32,3√3
2) - (- 5√2
2,−5√2
2 )
v - U = (32−(−5√2
2 ) , 3√32
−(−5√22
))
v - U = ( 32+ 5√2
2 ) ,( 3√32
+ 5√22 )
v - U = (1.5 +3.53 , 2.60 + 3.53)
v - U = (5.03 , 6.13)
1.3. 6v - 7 U = 6 (32 ,3√3
2) - 7(- 5√2
2,−5√2
2 )
6 v - 7U = (9 ,9√3 )+( 35√22
,35√2
2 ) 6 v - 7U = (9+24.75 ,15.59+24.75 )
6 v - 7U = (33.75 ,40.34 )
2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:
2.1. U = 2 î + 9 ĵ y v = - 6 î + 9 ĵ
U . v = (2î + 9 ĵ) * (-6 î + 9 ĵ) cosθ = U .v
|U||v|
U . v = (2) (-6) + (9) (9) cosθ = 69
(√85 )(√117)
U . v = -12 +81 cosθ = 69
√9945
U . v = 69 cosθ = 0,6919
|U| = √(2)2+(9)2 = √4+81 =√85 θ = cos−1 (0,6919)
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|v| = √(−6)2+(9)2 = √36+81 =√117 θ = 46,220
2.2. U = -5 î - ĵ y v = - 7 î - 4 ĵ
U . v = (-5î - ĵ) * (-7 î - 4 ĵ) cosθ = U .v
|U||v|
U . v = (-5) (-7) + (-1) (-4) cosθ = 39
(√26 )(√65)
U . v = 35 +4 cosθ = 39
√1690
U . v = 39 cosθ = 0,94868
|U| = √(−5)2+(−1)2 = √25+1 =√26 θ = cos−1 (0, 94868)
|v| = √(−7)2+(−4 )2 = √49+16 =√65 θ = 1 8 ,430
3. Dada la siguiente matriz, encuentre A−1 empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso).
A= [ 2 8 0−3 0 −18 1 −3]
[ 2 8 0−3 0 −18 1 −3|
1 0 00 1 00 0 1 ] 1
2f 1 [ 1 4 0
−3 0 −18 1 −3|1
20 0
0 1 00 0 1 ] f 2+3 f 1
[1 4 00 12 −18 1 −3|1
20 0
32
1 0
0 0 1] f 3−8 f 1 [1 4 0
0 12 −10 −31 −3| 1
20 0
32
1 0
−4 0 1] f 2
12
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[1 4 0
0 1−112
0 −31 −3| 12
0 0
18
112
0
−4 0 1] f 3+31 f 2[1 4 0
0 1−112
0 0−67
12|
12
0 0
18
112
0
−18
3112
1 ]−1267f 3
[1 4 0
0 1−112
0 0 1 |12
0 0
18
112
0
3134
−3167
−1267
] f 2+1
12f 3[1 4 0
0 1 00 0 1|
12
0 0
17134
367
−167
3134
−3167
−1267
] f 1−4 f 2
[1 0 00 1 00 0 1|
−1134
−1267
467
17134
367
−167
3134
−3167
−1267
] Entonces:
A−1 = [−1134
−1267
467
17134
367
−167
3134
−3167
−1267
]4. Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, oCualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior.
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A−1 = [−1134
−1267
467
17134
367
−167
3134
−3167
−1267
]Para comprobarlo por la definición: A * A−1= I
A= [ 2 8 0−3 0 −18 1 −3]* A−1 = [
−1134
−1267
467
17134
367
−167
3134
−3167
−1267
]=II=[i11 i12 i13
i21 i22 i23
i31 i32 i33], donde:
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i11= [2 8 0 ]∗[−1134171343
134]=−2
134+ 136
134+0=1
i21=[−3 0 −1 ]∗[−1134171343
134]= 3
134+0− 3
134=0
i12=[ 2 8 0 ]∗[−1267367
−3167
]=−2467
+ 2467
+0=0 i22=[−3 0 −1 ]∗[−12673
67−3167
]=3667
+0+ 3167
=1
i13=[ 2 8 0 ]∗[467−167
−1267
]= 867
− 867
−0=0 i23=[−3 0 −1 ]∗[467−167
−1267
]=−1267
+0+ 1267
=0
i31=[ 8 1 −3 ]∗[−113417134
3134
]= −8134
+ 17134
− 9134
=0
i32=[ 8 1 −3 ]∗[−12673
67−3167
]=−9667
+ 367
+ 9367
=0
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i33=[ 8 1 −3 ]∗[467−167
−1267
]=3267
− 167
+ 3667
=1 , entonces, I=[1 0 00 1 00 0 1] por tanto es
correcta el resultado del punto anterior.
5. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operación que lo va modificando. (Sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).
B=[−18500
0360
−1
93
−402
2−421
−3
111
−21
] −1 f 1 [18500
0360
−1
−93
−402
−2−4
21
−3
−111
−21
] f 2−8 f 1 [10500
0360
−1
−975−402
−21221
−3
−191
−21
]c3↔c5
-[10500
0360
−1
−191
−21
−21221
−3
−975−402
] f 3−5 f 1-[10000
0360
−1
−196
−21
−212121
−3
−9754102
] f 3−2 f 2-[10000
0300
−1
−19
−12−21
−212
−121
−3
−975
−10902
]f 5+
13f 2 -[1000
0
03000
−19
−12−24
−212
−1211
−975
−109027
] f 5+2 f 4-[10000
03000
−19
−12−20
−212
−1213
−975
−109027
] f 4−16f 3
-[1000003000
−19
−1200
−212
−1233
−975
−109109627
] f 5−f 4 -[1000003000
−19
−1200
−212
−1230
−975
−1091096536
]
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|B|=−1∗−( 1∗3∗−12∗3∗536 )=−954
−1 f 1 c3↔c5
6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes
(Recuerde: A−1= 1
DetA∗AdjA)
A=[−2 5 −13 0 −43 1 −5]
A=[−2 5 −13 0 −43 1 −5] c1↔c3 −[−1 5 −2
−4 0 3−5 1 3 ]−1 f 1¿
[ 1 −5 20 −20 11
−5 1 3 ] f 3+5 f 1 [1 −5 20 −20 110 −24 13]− f 2
20 [1 −5 2
0 1−1120
0 −24 13] f 3+24 f 2
−20 [1 −5 2
0 1−1120
0 0−15
] |A|=−20∗1∗1∗(−15 )=4
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MATRIZ COFACTOR
B = [ A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33]
A11 = (−1)1+1 |M 11| = |M 11| = |0 −41 −5| = (−5∗0)– (1∗−4 )=4
A12 = (−1)1+2 |M 12| = - |M 12| = - |3 −43 −5| = -{(−5∗3 )−(3∗−4 ) }=3
A13 = (−1)1+3 |M 13| = |M 13| = |3 03 1| = (1∗3) – (3∗0)=3
A21 = (−1)2+1 |M 21| = |M 21| = - |5 −11 −5| = −{(−5∗5 )−(1∗−1 ) }=24
A22 = (−1)2+2 |M 22| = |M 22| = |−2 −13 −5| = (−5∗−2 )– (3∗−1 )=13
A23 = (−1)2+3 |M 23| =- |M 23| = - |−2 53 1| = −{(−2∗1 )−(3∗5 ) }=17
A31 = (−1)3+1 |M 31| = |M 31| = |5 −10 −4| = (−4∗5 )– (0∗−1 )=−20
A32 = (−1)3+2 |M 32| =|M 32| = - |−2 −13 −4| = −{(−4∗−2 )− (3∗−1 ) }=−11
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A33 = (−1)3+3 |M 33| = |M 33| = |−2 53 0|= (0∗−2 ) – (3∗5 )=−15
B=[ 4 3 324 13 17
−20 −11 −15] Matriz Cofactor
Bt=[4 24 −203 13 −113 17 −15 ] Matriz transpuesta
Matriz Adjunta
adj A=Bt=[4 24 −203 13 −113 17 −15]
Matriz Inversa:
A−1= 1det A
∗¿ adj A
A−1=14∗[4 24 −20
3 13 −113 17 −15 ]
A−1=[ 1 6 −534
134
−114
34
174
−154
]
CONCLUSIONES
Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y de la Unidad 1 en los ejercicios, cuyo contenido puntual es la solución de matrices, vectores y determinantes.
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Esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver los diferentes enfoques empresariales en lo que respecta a su desarrollo financiero y que a través de matrices, sistemas lineales podremos evidenciar su funcionamiento y así tomar de decisiones, respecto al rumbo que deberá tomar una compañía en determinadas situaciones.
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Bibliografía
Zúñiga Guerrero, Camilo Arturo. (2008). Protocolo del Curso Académico Álgebra Lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD.
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD. (2014). Plataforma del Curso Académico Álgebra Lineal – Foro Act. 6: Trabajo Colaborativo 1
http://www.resolvermatrices.com/