tema 1 matemática discreta

8/16/2019 Tema 1 Matemática Discreta

1/55

Tema 1: 1

Un comisario de policía ha de investigar el asesinato delrecepcionista de un hotel. Según precisan fuentes forenses, tuvo

lugar entre las 1:30 y las 6:30 de la madrugada previa. Por las

cámaras del circuito cerrado de seguridad del hotel (las cuales

lamentablemente no grabaron el fatídico suceso), el comisario

tiene constancia de que a la escena del crimen solo tuvieronacceso 6 personas en esa franja horaria. De hecho, las cámaras

pudieron grabar que todas ellas hablaron con el asesinado cuando

llegaron al hotel para comenzar la jornada laboral propia del

turno de noche. Tras un intenso interrogatorio, llama la atención

al comisario que, a la pregunta: ¿con cuántos de entre los otrossospechosos y el difunto recepcionista mantuvo contacto durante

la madrugada pasada?, ha recibido 6 respuestas diferentes de los

6 sospechosos. A ciencia cierta sabe que al menos uno de los

sospechosos miente. ¿Cómo ha llegado a esta conclusión? ¿Es

posible averiguar quién miente?

Problema 1

M

A T E M Á T I C A D

I S C R E T A


2/55

Tema 1: 2

Una organización de tímidos anónimos realiza encuentros

periódicos de confraternización entre sus afiliados durante fines

de semana, al que acuden 50 matrimonios. En estos encuentros,

los asistentes dialogan dos a dos por periodos de 10 minutos,

transcurridos los cuales cambian de contertulio. La tradición

impone ciertas reglas para facilitar la confraternización: está

terminantemente prohibido que un matrimonio converse entre sí,

así como que dos mismas personas hablen juntos más de una vez.

Con intención de realizar un estudio estadístico para sopesar el

éxito de la convocatoria, el secretario de la organización solicita

a la salida del encuentro de cada asistente (incluida su propia

esposa) el número de personas con los que ha conversado,

recibiendo sorprendentemente una respuesta distinta en cada

ocasión. Determinar la duración mínima del encuentro, la

cantidad de parejas de diálogo que se formaron a lo largo de la

velada, así como el número de conversaciones en que

participaron el secretario y su mujer.

Problema 2

M


I S C R E T A


3/55

Tema 1: 3

Determinar una estrategia ganadora para el juego de sumar 31, enel que dos jugadores se turnan para sumar 1, 2 ó 3 a la cantidad

que ha dicho el contrincante, ganando el que llega a sumar de

manera exacta 31.

Problema 3

M


I S C R E T A


4/55

Tema 1: 4

M


I S C R E T A

PedroReyes

Tema 1: Introducción a la Teoría de Grafos

• Nociones básicas

• Formas de definir un grafo

• Subgrafos. Operaciones con grafos

• Isomorfismo de grafos


5/55

Tema 1: 5

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u c c i ó n a l a T e o r í a

d e G r a f o s

Nociones básicas:

Grafo: G = (V ,A)

V conjunto de vértices

A conjunto de aristas: pares no ordenados de vértices

E

D

A

F

C

B

vértices

aristas

G = (V ,A)

V= {A,B,C,D,E,F}

A = {{A,B}, {A,D}, {A,F}, {B,F},

{C,E}, {D,E}, {E,F}}

{A,B}={B,A}


6/55

Tema 1: 6

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes


d e G r a f o s

Nociones básicas:

Grafo: G = (V ,A)

V = {1,2,3,4,5,6}

A = {{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

1 2

3

45

6

12

3 4

5

6

Representación gráfica Inmersión

Grafo plano


7/55

Tema 1: 7

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes


d e G r a f o s

Nociones básicas: Variantes de grafos:

1

2

34

{2,4} arista múltiple

Multigrafo


8/55

Tema 1: 8

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes


d e G r a f o s


{2,4} arista múltiple

1

2

34

{3,3} lazo o buclePseudografo

grafo simple (no admitearistas múltiples ni lazos)


9/55

Tema 1: 9

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u

c c i ó n a l a T e o r í a

d e G r a f o s


1 2

3

45

Grafo dirigido o digrafo(las aristas son pares ordenados de

vértices)

Digrafo múltiple o multigrafo dirigido(digrafo con aristas múltiples)

Pseudo digrafo o pseudografo dirigido(digrafo con aristas múltiples y/o lazos)

(1,2) ≠ (2,1)


10/55

Tema 1: 10

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s


Grafo ponderado(las aristas llevan asignadas un peso)

H

SE

CA

CO

GR

AL

MA

94

125

187

219

265

129

166

256

219

138

166

JA104

99


11/55

Tema 1: 11

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s

Nociones básicas:

Vértices adyacentes v1, v2 V e ={v1 , v2} A

1 2

3

45

6

Valencia o grado de un vértice v, (v)

v1 y v2 inciden en la arista e.

(1)=4, (2)=3, (3)=3,

(4)=2, (5)=2, (6)=2

Vértices pares e impares

Aristas que inciden en un mismo vértice

Vértice aislado: (v) = 0

(v) =2k (v) =2k+1

1 es adyacente a 2, pero no a 4

{1,2} y {1,3} inciden en un mismo vértice, pero {3,4} no.

1 y 2 son incidentes en la arista{1,2}


12/55

Tema 1: 12

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s

Nociones básicas:

Propiedades de la valencia

(grafos simples)

G = (V,A) n=|V|

1 2

3

45

6

1) 0 (v) n-1

2) Un grafo no puede tener simultáneamente

vértices de valencia 0 y de valencia n-1

3) Lema del apretón de manos: La suma delas valencias de los vértices es igual al doble

del número de aristas:

vV(v) = 2 |A|


13/55

Tema 1: 13

13/41

Un comisario de policía ha de investigar el asesinato delrecepcionista de un hotel. Según precisan fuentes forenses, tuvo

lugar entre las 1:30 y las 6:30 de la madrugada previa. Por las

cámaras del circuito cerrado de seguridad del hotel (las cuales

lamentablemente no grabaron el fatídico suceso), el comisario

tiene constancia de que a la escena del crimen solo tuvieronacceso 6 personas en esa franja horaria. De hecho, las cámaras

pudieron grabar que todas ellas hablaron con el asesinado cuando

llegaron al hotel para comenzar la jornada laboral propia del

turno de noche. Tras un intenso interrogatorio, llama la atención

al comisario que, a la pregunta: ¿con cuántos de entre los otrossospechosos y el difunto recepcionista mantuvo contacto durante

la madrugada pasada?, ha recibido 6 respuestas diferentes de los

6 sospechosos. A ciencia cierta sabe que al menos uno de los

sospechosos miente. ¿Cómo ha llegado a esta conclusión? ¿Es

posible averiguar quién miente?

Problema 1

M

A T E M Á T I C A D I S C R E T A


14/55

Tema 1: 14

14/41

Una organización de tímidos anónimos realiza encuentros

periódicos de confraternización entre sus afiliados durante finesde semana, al que acuden 50 matrimonios. En estos encuentros,

los asistentes dialogan dos a dos por periodos de 10 minutos,

transcurridos los cuales cambian de contertulio. La tradición

impone ciertas reglas para facilitar la confraternización: está

terminantemente prohibido que un matrimonio converse entre sí,así como que dos mismas personas hablen juntos más de una vez.

Con intención de realizar un estudio estadístico para sopesar el

éxito de la convocatoria, el secretario de la organización solicita

a la salida del encuentro de cada asistente (incluida su propia

esposa) el número de personas con los que ha conversado,recibiendo sorprendentemente una respuesta distinta en cada

ocasión. Determinar la duración mínima del encuentro, la

cantidad de parejas de diálogo que se formaron a lo largo de la

velada, así como el número de conversaciones en que

participaron el secretario y su mujer.

Problema 2

M

A T E M Á T I C A D I S C R E T A


15/55

Tema 1: 15

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s

Nociones básicas:

Adyacencia en digrafos

Valencia o grado de entrada

e(v)

e(1)=2, s(1)=2,

e(2)=1, s(2)=1,

e(3)=1, s(3)=2,

e(4)=2, s(4)=2,

e(5)=1, s(5)=0

1 2

3

45

Valencia o grado de salida

s(v)


16/55

Tema 1: 16

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s

Nociones básicas: Algunos grafosespeciales

Grafo ciclo: Cn

Grafo trivial:No tiene ninguna arista.

x3

x2

x1

x3

x2

x1

x3

x3

x2

x1

x5

x4

C 3 C 5C 4


17/55

Tema 1: 17

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s


Grafo regular:Todos los vértices tienen la misma

valencia.

(v)=k (

vV)grafo k-valente o k-regular

K 4: 3-regular

Grafo 3-regular

x3

x2

x1

x4

x6

x7

x2

x3 x

8

x9

x10

x12

x14

x13

x1

x4

x11

x5

x3

x2

x1

C 3: 2-regular


18/55

Tema 1: 18

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s


Grafo completo: K nTodos los vértices tienen la máxima

valencia: n-1.

(v)=n (

vV, con |V|=n)

K 3

K 5

K 4

x

3

x2

x1

x3

x2

x1

x4

x3

x2

x1

x5

x4


19/55

Tema 1: 19

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s


Bosque de 3 árboles:No tiene ciclos.

T 1: camino simple P4

T 2: árbol enraizado

T 3: estrella de 5 puntas

x3

x2

x1

x4

x5

x8

x6

x7

x10 x11

x12

x9

x15

x14

x13

x17

x16

x18


20/55

Tema 1: 20

V2

V1Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s


Grafo bipartito:

V = V1 V2

e A : e = {v1,v2} , v1 V1 , v2 V2G = (V ,A)

Grafo bipartito completo: (K n,m)

K 4,2 K 3,3

x6

x5

x4

x3

x2

x1

x3

x5

x6

x4

x2 x1

C 6

V1

V2


21/55

Tema 1: 21

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s

Subgrafos. Operaciones con grafos:

G ’ es subgrafo de G G = (V ,A) y G ’=(V ’,A’)

G’ G V ’ V

A’ A

G G’


22/55

Tema 1: 22

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s


S

G G(S)

G (S

): subgrafo inducido porS G

= (V

,A

)y S V


23/55

Tema 1: 23

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s


G’ subgrafo recubridor de G si V ’=V

G = (

V ,A

)y G’ =(V’ , A’ ) un subgrafo de G

G G’

S b f O i f


24/55

Tema 1: 24

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s


Eliminación de vértice

G

v

G = (V ,A), vV

S b f O i f


25/55

Tema 1: 25

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u


d e G r a f o s


Eliminación de vértice

G -v = G (V -{v})

G = (V ,A), vV

G -v

S b f O i f


26/55

Tema 1: 26

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u

c c i ó n a l a T e o r í a d e G r a f o s


Eliminación de arista

G

e

G = (V ,A), eA

S b f O i f


27/55

Tema 1: 27

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u c c i ó n a l a T e o r í a d e G r a f o s


Eliminación de arista

G -e = (V,A-{e})

G = (V ,A), eA

G -e

Subgrafos Operaciones con grafos:


28/55

Tema 1: 28

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes



G = (V ,A) Grafo complementario G = (V , A )

e Ae A

G G

K n = G G



29/55

Tema 1: 29

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes



a b

de

G

b

de

c

G ’

G = (V ,A)

G’ = (V’ , A’ )

Unión de grafos

G G’ = (V

V’ ,A

A’ )

b

de

c

a

G G’

Intersección de grafos

G G’ = (V V’ , A A’ )

b

de

G G’



30/55

Tema 1: 30

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes



G = (V ,A) yG’

= (V’

, A’

) disjuntos (V V’=

)

Suma de grafos:

G G’

Aristas:

A A’ {{v,v’} / vV, v’ V’}

G + G’

Vértices: V V’



31/55

Tema 1: 31

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes



Grafo rueda Wn = K 1 + Cn

K 1

+ C12 =

W12

Operaciones con grafos: Grafo de línea


32/55

Tema 1: 32

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes


Operaciones con grafos: Grafo de línea

{ai,a j}L(A) si, en el grafo G, las

aristas ai y a j son incidentes enun vértice.

Dado G = (V ,A)V = {v1, v2, … , vn}

A = {a1, a2, … , am}

L(G) = (L(V) , L(A) )L(V) = A = {a1, a2, … , am}

L(A)

G a 7

a 1

a 2

a 9 a 10

a 3

a 4

a 11

a 8

a 5

a 6

L(G)

a 7

a 1

a 2

a 9

a 10 a 3

a 4

a 11

a 8 a 5

a 6

Formas de definir un grafo:


33/55

Tema 1: 33

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes



G = (V ,A)V ={1,2,3,4,5,6}

A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},

{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

1 2

3

4 5

6

1 2

3 4

5

6

Realización gráfica

Formas de definir un grafo:1 2


34/55

Tema 1: 34

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes



G = (V ,A)V ={1,2,3,4,5,6}

A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},

{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

3

4 5

6

Lista de adyacencias o lista de listas

Lista formada por nv listas: Para cada vértice, un listado de

los vértices a adyacentes él.

{{2,3,5,6},{1,4,6},{1,4,5},{2,3},{1,3},{1,2}}

nv vértices, na aristas



35/55

Tema 1: 35

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes



G = (V ,A)V ={1,2,3,4,5,6}

A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},

{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

3

4 5

6

Matriz de adyacencia

Ad: Matriz de orden nv nv


aij =1 si vi es adyacente a v j

0 en caso contrario

0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 11 0 0 1 1 0

0 1 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 0

Ad =



36/55

Tema 1: 36

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes



G = (V ,A)V ={1,2,3,4,5,6}

A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},

{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

3

4 5

6

Matriz de adyacencia

Propiedades:


0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 11 0 0 1 1 0

0 1 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 0

Ad =Es cuadrada y simétrica

La suma de cada fila (o columna) es

el grado del vértice correspondiente

La diagonal es nula



37/55

Tema 1: 37

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes


o as de de u g a o:

G = (V ,A)V ={1,2,3,4,5,6}

A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},

{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

3

4 5

6

Matriz de incidencia

In: Matriz de orden nv na


bij =1 si vi es vértice de la arista a j

0 en caso contrario 1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1 0 00 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 1 0 0

In =



38/55

Tema 1: 38

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes


g

G = (V ,A)V ={1,2,3,4,5,6}

A={{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},

{2,4},{2,6},{3,4},{3,5}}

3

4 5

6

Matriz de incidencia

Propiedades:


No tiene por qué ser ni

cuadrada ni simétrica

La suma de cada fila es el grado delvértice correspondiente

La suma de cada columna vale 2

1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1 0 00 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 1 0 0

In =



39/55

Tema 1: 39

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes


g

Matriz de adyacencia de un digrafo

G = (V ,A)V ={1,2,3,4,5}

A={(1,2),(1,4),(2,3),(3,1),

(3,4),(4,1),(4,5)}

1 2

3

45

0 1 0 1 0

0 0 1 0 0

1 0 0 1 0

1 0 0 0 1

0 0 0 0 0

Ad =


aij =1 si (vi , v j) es una arista

0 en caso contrario



40/55

Tema 1: 40

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d u c c i ó n a l a T e o r í

a d e G r a f o s

g

Matriz de adyacencia de un digrafo

G = (V ,A)V ={1,2,3,4,5}A={(1,2),(1,4),(2,3),(3,1),

(3,4),(4,1),(4,5)}

1 2

3

45

0 1 0 1 0

0 0 1 0 0

1 0 0 1 0

1 0 0 0 1

0 0 0 0 0

Ad =

Propiedades:

Es cuadrada pero no tiene

por qué ser simétrica

La suma de cada fila es el grado de

salida del vértice correspondiente

La diagonal es nula

La suma de cada columna es el grado

de entrada del vértice correspondiente



41/55

Tema 1: 41

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d

u c c i ó n a l a T e o r í

a d e G r a f o s

g

Matriz de adyacencia de un pseudografo

0 1 1 0

1 0 0 2

1 0 4 1

0 2 1 2

Ad =


aij =

número de veces que

aparece la arista {vi ,v j}

doble del número de veces

que aparece el lazo {vi,vi}

i j

i=j

G = (V ,A)V ={1,2,3,4}A={{1,2},{1,3},{2,4},{2,4},

{3,3},{3,3},{3,4},{4,4}}

1

2

3

4



42/55

Tema 1: 42

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d

u c c i ó n a l a T e o r í a d e G r a f o s

G = (V ,A)V ={1,2,3,4}A={{1,2},{1,3},{2,4},{2,4},

{3,3},{3,3},{3,4},{4,4}}

0 1 1 0

1 0 0 2

1 0 4 1

0 2 1 2

Ad =

1

2

3

4

Propiedades:

Es cuadrada y simétrica

La suma de cada fila (o columna) es

el grado del vértice correspondiente

La diagonal no tiene por qué ser nula

Matriz de adyacencia de un pseudografo



43/55

Tema 1: 43

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d


Matriz de adyacencia de un grafo ponderado


aij = peso de la arista {vi, v j}

0 7 3 0 9 7

7 0 0 5 0 8

3 0 0 3 7 0

0 5 3 0 0 0

9 0 7 0 0 0

7 8 0 0 0 0

Ad =

1 2

3 4

5

6

7 8

7

5

3

7

9

3

Isomorfismo de grafos


44/55

Tema 1: 44

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d


1

2

34

5 c

e a

d

b

G = (V ,A) y G ’=(V ’,A’) son isomorfos (G G ’)

f : V V ’ biyectiva | {u,v} A {f(u),f(v)} A’

f(1) = c

f(2) = e

f(3) = a

f(4) = d

f(5) = b



45/55

Tema 1: 45

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d


Invariantes: Si G y G’ son isomorfos (G G ’) deben

tener en común:

número de vértices

número de aristas

grados de los vértices

número de ciclos de igual longitud

número de componentes conexas

etc.



46/55

Tema 1: 46

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d


Grafo autocomplementario: Si G G

G

1

2

3

4

5

6

8

7

e

b

g

d

a

c

f

h

G

f(1)=a, f(2)=b, …. f(8)=h



47/55

Tema 1: 47

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d


Lista de grados de un grafo

1

2

34

5

Relación de adyacencias

{2,4,3,3,4}

(1)=2, (2)=4, (3)=3, (4)=3,(5)=4

Lista de grados (4,4,3,3,2)



48/55

Tema 1: 48

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d



Dos grafos pueden tener la misma lista de grados y no ser isomorfos.

1

6

5 4

3

2

f

e d

c

ba

Listas de grados (3,3,3,3,3,3)

No son isomorfos. El primer grafo contiene 3-ciclos y el segundo no.



49/55

Tema 1: 49

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d



No siempre una secuencia numérica decreciente representa una lista de

grados de un grafo. Cuando esto ocurre se dice que la secuencia numérica

es una secuencia gráfica.

La secuencia numérica decreciente (a1,a2,...,ap)

(con a1>0,p>1) es una secuencia gráfica si, y sólo

si, también lo es la que resulta de efectuar las

siguientes operaciones:

1) Eliminar el primer elemento (a1) de la lista.

2) Restar una unidad a los primeros a1 elementos

de la nueva lista.

3) Ordenar en sentido decreciente la nueva lista.

Teorema de

Havel-Hakimi



50/55

Tema 1: 50

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d



Una secuencia numérica decreciente representa una lista de grados de un

grafo si el siguiente algoritmo devuelve una lista de ceros:

Algoritmo de Havel-Hakimi

P.1 Leer la lista decreciente (a1,a2,...,ap).

P.4 Restar 1 a los primeros a1 elementos de la

nueva lista.

P.5 Ordenar (decreciente) la nueva lista.

P.2 Mientras el primer elemento sea a1>0

P.3 Eliminar el elemento a1 de la lista.

P.6 Retornar la lista (a1,a2,...).

Isomorfismo de grafos (5,4,4,4,2,1)P.3


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Tema 1: 51

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d




P.4 Restar 1 a los primeros a1 elementos de la nueva lista.





(4,4,4,2,1)

(3,3,3,1,0)

(3,3,1,0)

(2,2,0,0)

(2,0,0)

(1,-1,0)

(-1,-1)

P.4

P.3

P.4

P.3

P.4

P.4

(5,4,4,4,2,1) no es una secuencia gráfica

(1,0,-1)

P.5

(0,-1)

P.3



52/55

Tema 1: 52

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d


(1,2,2,3,4)

(4,3,2,2,1)

(3,2,2,1)

(2,1,1,0)

(1,1,0)

(0,0,0)

P.3

P.4

P.3

P.4(1,2,2,3,4) es una secuencia gráfica










53/55

Tema 1: 53

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d


(1,2,2,3,4)

(4,3,2,2,1)

(3,2,2,1)

(2,1,1,0)

(1,1,0)

(0,0,0)

P.3

P.4

P.3

P.4










54/55

Tema 1: 54

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d


(1,2,2,3,4)

(4,3,2,2,1)

(3,2,2,1)

(2,1,1,0)

(1,1,0)

(0,0,0)

P.3

P.4

P.3

P.4










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Tema 1: 55

Matemática

Discreta

Pedro

Reyes

I n t r o d


(1,2,2,3,4)

(4,3,2,2,1)

(3,2,2,1)

(2,1,1,0)

(1,1,0)

(0,0,0)

P.3

P.4

P.3

P.4








tema 1 matemática discreta

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