tema 1 electromagnetismo

8/19/2019 Tema 1 electromagnetismo

1/16

Caṕıtol 1

Anàlisis vectorial

La propera secció és un repàs de coses ja sabudes per la majoria. Les altres parts són coses noves.

1.1 Àlgebra vectorial

No es farà un desenvolupament axiomàtic i molt formal (no es parlarà d’espai vectorial com un grups com-mutatiu amb una operació definida amb el cos del nombres reals que compleix determinades condicions),sinó de propietats útils en la pràctica.

Un escalar és una magnitud especificada per un nombre, per exemple: la temperatura, el pes,. . .

Un vector en l’espai de tres dimensions està definit per un tros de recta amb una fletxa o especificant

tres nombres, que poden ser, per exemple, les tres components en coordenades cartesianes. Un vector téun mòdul i una direcció. Un exemple de vector és la velocitat, no és suficient dir els km/h o els m/s, caldir en quina direcció es mou l’objecte.

La posició també és un vector.

1.1.1 Coordenades rectangulars o cartesianes

En l’espai euclidià tridimensional triem tres rectes perpendiculars entre si que es tallen en un punt

Figura 1.1: Coordenades rectangu-lars segons la regla de la mà dreta.

(s’anomena sistema de coordenades rectangular o cartesià). Hi ha dues maneres d’ordenar els eixos x,

1-1


2/16

1-2 Caṕıtol 1. Anàlisis vectorial

y i z; les dues maneres mai es poden fer coincidir fent una rotaci ó. Sempre es farà servir l’orientat adretes. Es pot recordar fàcilment si es compara amb un objecte quiral (la imatge especular és diferentdel objecte real) com pot ser: la mà dreta, un cargol bover, un text escrit, etc.

Orientació a dretes o estàndard

Hi ha vàries maneres de saber si un sistema de coordenades rectangulars és de dretes (sempre escompara amb un objecte quiral):

(a) Regla del palmell: l’eix x travessa el palmell de la mà dreta en direcció al dors, els altres 4 ditsen la direcció de y , i polze en z .

(b) Regla del braç: el braç dret coincidint amb x, els dits corbats en la direcció de y i el polze enla direcció de z .

(c) Regla del tornav́ıs: girar x fins y per on l’angle es més p etit, i l’avançament d’un llevataps otirabuixó dóna z .

(d) Regla del cargol bover: el cargol avança en la direcció x, les banyes apunten en la direcció y ila punta de la closca en la direcció z .

(e) Regla del tres dits perpendiculars. Ni ha moltes, una p odria ser: ı́ndex de la mà dreta en ladirecció de x, llarg y i polze en z .

Potser les preferibles son la primera i la segona.

Cal no abusar en dir la regla de la mà dreta, ja que hi ha moltes possibles assignacions de dits. Finsi tot es podria fer amb la mà esquerra, si es canvia de manera convenient l’assignació de dits.

Figura 1.2: Formes d’aplicar la regla de la mà dreta.

A partir d’aquests eixos podem determinar la posici ó de qualsevol punt, P , de l’espai per mitjà de tresnúmeros reals (x1, x2, x3) ≡ (x,y,z). El valor de x1 ve donat per la intersecció de l’eix x amb un plaperpendicular a aquest eix x i que passa pel punt P . De manera semblant es determinen els números x2i x3.

Una manera d’escriure el vector és A ≡ (Ax, Ay, Az).

1.1.2 Operacions entre vectors

Suma de dos vectors:

C = A + B; C i ≡ Ai + Bi (i = 1, 2, 3). (1.1)


3/16

1.1. Àlgebra vectorial 1-3

Figura 1.3: Sistema de coordenadesrectangulars segons la regla de la màesquerra. No s’utilitza.

Figura 1.4: Vector A = (4, 5, 3) ≡4ex + 5ey + 3ez.

La suma de dos vectors és un altre vector que s’obté sumant component a component

Producte per un escalar:α A ≡ (αAx, αAy, αAz). (1.2)

Llavors dues maneres d’escriure un vector són

A ≡ (Ax, Ay, Az) = Axex + Ayey + Azez, (1.3)

a on, ex, ey, ez, ( i, j, k o a vegades també x̂, ŷ, ẑ) se’n diuen vectors unitaris .

Producte escalar de dos vectors:

A · B ≡ AxBx + AyBy + AzBz = AB cos θ (1.4)

Mòdul d’un vector:

A2 ≡ | A|2 ≡ A · A = A2x + A2y + A

2z ⇒ A ≡ | A| =

A2x + A

2y + A

2z. (1.5)

Es pot demostrar que A · B = AB cos θ, (1.6)

Figura 1.5: Vector suma de dosvectors a partir de la regla delparal·lelogram.


4/16


a on θ és l’angle entre els vectors.

Producte vectorial de dos vectors:

C ≡ A ∧ B ≡ (AyBz −AzBy)ex + (AzBx − AxBz)ey + (AxBy −AyBx)ez (1.7)

=

ex ey ez

Ax Ay AzBx By Bz

; (1.8)

a on el determinant es pot calcular per adjunts o per la regla de Sarrus1. També es pot escriure

C xC y

C z

=

AxAy

Az

∧

BxBy

Bz

=

AyBz − AzByAzBx − AxBz

AxBy − AyBx

=

0 −Az AyAz 0 −Ax

−Ay Ax 0

BxBy

Bz

(1.9)

Figura 1.6: Producte vectorial de dosvectors A ∧ B.

El mòdul val| A ∧ B| = AB sin θ, (1.10)

i és la superfı́cie del paral·lelogram determinat pels dos vectors. La direcció de C és ⊥ als vectors A i B.Com que n’hi ha dues, es fan servir les mateixes regles que per determinar un sistemes de coordenades dedretes (de fet ex ∧ ey = ez ): el vector A travessa el palmell en direcció al dors de la ma, els altres 4 dits

en la direcció de B, i el polze en C ; girar A fins B2 i el polze indica el sentit de C ; el dit ı́ndex amb A,el dit del mig amb B i el polze, perpendicular, dóna A ∧ B; el cargol avança en la direcció A, les banyesapunten en la direcció B i la punta de la closca en la direcci ó C .

Vectors perpendiculars i paral·lels

Hi una manera molt senzilla se saber si dos vectors son perpendiculars ( θ = π/2), el seu producteescalar es zero. Pel contrari si són paral·lels (θ = 0), és el seu pro ducte vectorial que s’anul·la.

1En el cas d’adjunts ex ey ezAx Ay AzBx By Bz

= ex Ay AzBy Bz

− ey Ax AzBx Bz

+ ez Ax AyBx By

.

Per aplicar la regla de Sarrus es calculen les diagonals descendents (signe positiu) i ascendents (signe negatiu) de

ex ey ez ex eyAx Ay Az Ax AyBx By Bz Bx By

= exAyBz + eyAzBx + ezAxBy − ezAyBx − exAzBy − eyAxBz.

2El braç dret coincidint amb A fa un pols amb B i el guanya. El polze indica el producte vectorial.


5/16

1.1. Àlgebra vectorial 1-5

Producte exterior o diàdic:

A B ≡

AxBx AxBy AxBzAyBx AyBy AyBz

AzBx AzBy AzBz

(1.11)

1.1.3 Camps escalar i vectorial

Camp escalar : en cada punt de l’espai hi ha associat un escalar (ex: temperatura, pressió , . . .). Lamanera més correcta de representar un camp escalar és mitjançant la seva funció matemàtica, però tambéhi ha maneres intüıtives de fer-ho:

• Escriure els escalars en alguns punts (per exemple: en els mapes del temps es posa la temperaturaen algunes ciutats).

• Dibuixar superf́ıcies (ĺınies si és en dues dimensions) a on la funció és constant (per exemple: en elsmapes meteorològics es dibuixen les corbes amb pressió constant, isòbares; en un mapa topogràficles corbes de la mateixa alçada, i en Electrostàtica les superfı́cies equipotencials).

Camp vectorial: en cada punt de l’espai hi ha associat un vector (ex: velocitat, acceleració , . . .). La

Figura 1.7: Vectores en alguns punts

de un camp vectorial.

manera més correcta de representar un camp vectorial és mitjançant la seva funció matemàtica, peròtambé hi ha maneres intuı̈tives de fer-ho:

• Dibuixar els vectors en alguns punts (en els mapes meteorològics es dibuixa una fletxa per indicarla direcció del vent en el mar, i la cua indica la velocitat).

• Dibuixar ĺınies tangents al vectors del camp, de manera que el nombre de ĺınies que travessen launitat de superf́ıcie sigui proporcional al mòdul del vector (és més intuı̈tiu, però té certes desavan-tatges).

Comentar el primer apartat de les fórmules del final: F.1--F.7


6/16


Figura 1.8: Ĺınies de camp per alcamp de la figura anterior.

1.2 Gradient

En una carretera es pot definir el pendent. En una funció d’una variable, el pendent és la derivada de lafunció. La variació de la funció d’un punt a l’altre separats una distància dx, molt petita, es pot escriure

df = df dx

dx. (1.12)

En una muntanya ja és més complicat, ja que el pendent depèn de la direcció en la que caminem. Enun camp escalar en tres dimensions, tamb́e cal calcular com varia el camp quan es va d’un punt a unaltre. Es defineix el gradient ( ∇ψ = grad ψ ) com un vector que multiplicat per d l = ( dx, dy, dz) dónala variació de la funció entre (x,y,z) i (x + dx, y + dy, z + dz), és a dir

dψ ≡ ∇ψ · d l ≡ grad ψ · d l (1.13)

El gradient indica la direcció de màxima variació i es perpendicular a les superf́ıcies de camp constant (enuna muntanya, el gradient de l’altura indica la direcció en la que el pendent es més important, apuntacap al cim de muntanya i és perpendicular a les corbes de nivell). El gradient d’un camp escalar és un

camp vectorial,ja que a cada punt s’hi associa un vector.

Concepte de derivada parcial

Amb una funció de varies variables és una mica més complicat fer una derivada. Es defineix la derivadaparcial com la derivada respecte a una variable si les altres es mantenen constants, es pot interpretarcon el pendent en la direcció d’un eix. Matemàticament es substitueix el śımbol d pel ∂ (́es una darrodonida, no és una delta grega, δ , ni una arrova, @), aix́ı per a la funció f = x2y3z

∂f

∂x = 2xy2z,

∂f

∂y = 3x2y2z,

∂f

∂z = x2y3. (1.14)

En coordenades rectangulars es pot demostrar que3

∇ψ = grad ψ = ∂ψ

∂xex +

∂ψ

∂yey +

∂ψ

∂z ez (1.15)

a on es defineix l’operador nabla com

∇ ≡ ex∂

∂x + ey

∂

∂y + ez

∂

∂z (1.16)

3Cal tenir en compte que

dψ = ∂ψ

∂x

dx + ∂ψ

∂y

dy + ∂ψ

∂z

dz = ∇ψ · d l


7/16

1.3. Divergència 1-7

Exemple

El gradient de la funció ψ (x ,y,z ) = x2y + xyz és

∇ψ = ∂ψ∂x

ex + ∂ ψ

∂y ey +

∂ ψ

∂z ez = (2xy + yz )ex + (x

2 + xz )ey + (xy)ez.

Per a un edifici d’altura h(x, y) = 25 − x2−y2 per |x|, |y| ≤ 5, les superf́ıcies (ĺınies) d’altura constantsón cercles x2 + y2 = 25 − h i la direcció de màxim pendent és

∇h = −2xex − 2ey,

que sempre és perpendicular als cercles d’altura constant.

Compte en tractar ∇ com un vector ja que Aψ ∧ Aφ = 0 però ∇ψ ∧ ∇φ no té per què ser zero.

1.3 Divergència

El flux d’un fluid a través d’una superf́ıcie depèn de l’orientació de la superf́ıcie respecte a la velocitatdel fluid.

Fets

Si plou, per exemple, no és el mateix un full de paper a terra o vertical. Tampoc es mulla tant la robaen un estenedor que la estirada a terra. Nosaltres ens mullem més dels muscles que de l’esquena.

Tampoc és la mateixa l’energia solar que arriba a Catalunya, per exemple, l’estiu que l’hivern. L’angleque fa el Sol es diferent, per això a l’estiu fa més calor encara que estem més lluny del Sol (pel 4 degener és quan la Terra està més propera al Sol).

El flux d’un vector A a través d’una superfı́cie S es defineix com:

Φ =

S

A · n dS (1.17)

a on n és un vector unitari perpendicular a l’element infinitesimal de la superf́ıcie, dS . Cal fer la integral(suma) si l’angle no és sempre el mateix, per exemple, al calcular la radiació solar total rebuda per laTerra (en diferents punts la inclinació dels raigs de Sol és diferent.)

Integrals de superfı́cie

Una integral d’una funció en una superf́ıcie no és res més que una suma, en superf́ıcies molt petites,dels valors de la funció multiplicada per la superf́ıcie:

S

f dS ≡ lim∆Sj→0

j

f j ∆S j. (1.18)

La tècnica per fer integrals de superf́ıcie (és una integral múltiple) és similar a la de les integrals ambuna variable. Per exemple:

x2y dx dy =

dx

dy x2y =

dx x2

y2

2 =

x3

3

y2

2 (1.19)


8/16


El flux a través d’una superf́ıcie tancada ens indica si hi ha flux sortint o entrant en el volum tancat perla superf́ıcie. Matemàticament es defineix la divergència com

∇ · A ≡ div A ≡ lim∆V→0

1

∆V

S

A · n dS (1.20)

a on n és el vector unitari perpendicular a la superf́ıcie i que apunta cap a l’exterior del volum.

S’aplica a un camp vectorial i dóna un camp escalar. Si la divergència és positiva és una font , si ésnegativa és un claveguer´ o. Si es dibuixen les ĺınies de camp, la integral de superf́ıcie (flux del camp) ésproporcional al nombre de ĺınies que travessen la superf́ıcie. En coordenades rectangulars

Figura 1.9: En el punt A la di-vergència és positiva (les ĺınies decamp surten) i en el punt B negativa(les ĺınies de camp entren).

∇ · A = div A = ∂Ax

∂x +

∂Ay

∂y +

∂Az

∂z (1.21)

Exemple

Sigui el camp

A ≡ 2xex ⇒ div A = ∇ · A = ∂

∂x 2x = 2;

intuı̈tivament també es veu que la seva divergència és no nul·la.Sigui el camp

B ≡ yex ⇒ div B = ∇ · B = ∂ ∂x

y = 0;

intuı̈tivament també es veu que la seva divergència és nul·la.

La divergència del gradient se’n diu laplaciana

∇2ψ ≡ ∇ · ∇ψ , (1.22)

en coordenades rectangulars

∇2ψ = ∂ 2ψ

∂x2 +

∂ 2ψ

∂y2 +

∂ 2ψ

∂z2 . (1.23)

S’ha emprat la notació de Leibniz per a la derivada de la derivada (derivada segona):

∂

∂x

∂

∂xψ ≡

∂

∂x

2ψ ≡

∂ 2ψ

(∂x)2ψ ≡

∂ 2ψ

∂x2 .

Per a un vector en coordenades rectangulars, es defineix la laplaciana d’un vector com la laplaciana decada component, és a dir,

∇2

A ≡ ∇2

Ax ex + ∇2

Ay ey + ∇2

Az ez. (1.24)


9/16

1.4. Teorema de la divergència 1-9

1.4 Teorema de la divergència

Si en una casa hi ha aixetes obertes i desaigües, com podem saber si sortirà aigua per les portes? Noméscal saber si el flux sortint de les aixetes es superior o inferior al flux entrant pels desaigües

També se’n diu teorema de Gauss i matemàticament s’escriu

4

V

∇ · A dV =

S

A · n dS (1.25)

Integrals de volum

De manera semblant a les integrals de superf́ıcie, una integral d’una funció en un volum no és res mésque una suma, en volums molt petits, dels valors de la funció multiplicada pel volum:

f dV ≡ lim

∆V j→0

j

f j ∆V j . (1.26)

La tècnica per fer integrals de volum (és una integral múltiple) és similar a la de les integrals de

superf́ıcie. Per exemple: x2yz 3 dx dy dz =

dx

dy

dz x2yz 3 =

dx

dy x2y

z 4

4 =

dx x2

y2

2

z 4

4 =

x3

3

y2

2

z 4

4 .

Si es posen ĺımits d’integració, és similar,

ax=0

dx

ay=0

dy

az=0

dz x2y z 3 =

ax=0

dx

ay=0

dy x2ya4

4 =

ax=0

dx x2 a2

2

a4

4 =

a3

3

a2

2

a4

4 =

a9

24.

1.5 Rotacional

Si anem en bicicleta en la direcció ex i fa vent de velocitat v, l’ajuda que fa el vent és proporcional av · ex, és a dir, si el vent ve per darrera ens farà anar més de pressa, si ve per davant, irem més a poc apoc i si ve de costat quasi no influirà. Si la carretera no és recta hauré de sumar la influència parcial encada tros, d l, de la carretera. Es defineix la integral de ĺınia, Del camp A al llarg de la corba C entredos punts r1 i r2, com

I =

r2r1

A · d l (1.27)

essent d l un element diferencial de longitud pres sobre la recta tangent a la corba en un punt donat.

El rotacional s’aplica a un camp vectorial i dóna un altre camp vectorial. Es defineix com

( ∇∧ A) · eS ≡ lim∆S →0

1

∆S

C

A · d l. (1.28)

El vector perpendicular a la superf́ıcie, eS , i el vector tangent al circuit, d l, no són pas independents.Podem escollir el sentit de qualsevol dels dos, però no dels dos al mateix temps. Si el palmell apunta capa la part interna de la superf́ıcie i el dors de la mà dreta cap a la part externa, llavors el dit polze indica

4És molt fàcil de demostrar a partir de la definició donada aqúı per a la divergència. Només cal subdividir el volumamb una suma de volums infinitesimals. En les superf́ıcies comunes a dos volums les integrals de superf́ıcie es compensen inomés queda la superfı́cie exterior.

lim∆V j→0

j

∇ · A ∆V j =j

Sj

A · n dS ⇒

V

∇ · A dV =

S

A · n dS


10/16


eS i els altres dits d l (això només es pot fer en superfı́cies orientables; la cinta de Möbius és un exemplede superf ı́cie no orientable).

El significat intüıtiu del rotacional és: en un camp de forces un molinet donaria voltes si el rotacional ésdiferent de zero.

En coordenades rectangulars és fàcil trobar un expressió diferencial,

∇∧ A = rot A =

ex ey ez

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

Ax Ay Az

=

∂Az

∂y −

∂Ay

∂z

ex +

∂Ax

∂z −

∂Az

∂x

ey +

∂Ay

∂x −

∂Ax

∂y

ez .

(1.29)

Exemple

Sigui el camp

A ≡ 2xex ⇒ rot A = ∇ ∧ A =

ex ey ez

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

2x 0 0

= 0;

intuı̈tivament també es veu que el seu rotacional és nul.

Sigui el camp

B ≡ yex ⇒ rot B = ∇ ∧ B =

ex ey ez

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

y 0 0

= −ez;

intüıtivament també es veu que el seu rotacional és no nul.

Comentar apartat del operador nabla del final: F.8--F.18

1.6 Teorema de Stokes

Si en una olla gegant hi ha vàries batedores elèctriques i manuals (turmix, minipimer, etc.), com podemsaber cap quin costat girarà el ĺıquid en les parets de l’olla? Cal tenir en compte cap a quin costat girarcada batedora i la potencia de cada una. Matemàticament5

S

( ∇∧ A) · n dS =

C

A · d l. (1.30)

Superfı́cies no orientables

Tant el teorema de la divergència com el de Stokes, estrictament només són vàlids per a superf́ıcies

5La demostració es immediata a partir de la definició de l’eq. (1.28), i es fa d’una manera semblant al teorema de ladivergència. Subdividint la superfı́cie en sup erfı́cies infinitesimals, aplicant la definició de rotacional en cada ∆S j i com quepels circuits interiors les integrals de ĺınia es compensen

lim∆Sj→0

j

( ∇ ∧ A) · n ∆S j =j

C j

A · d l ⇒

S

( ∇ ∧ A) · n dS =

C

A · d l


11/16

1.7. Teorema de Helmholtz 1-11

orientables, és a dir, en el que es pot definir n. En aquest curs mai les tindrem en compte, nomésconsiderarem superf́ıcies orientables.

Exemples de superf́ıcies no orientables són la cinta de Möbius, i l’ampolla de Klein que és unasuperf́ıcie tancada (no té vores ni fronteres) en la que no es pot distingir l’exterior de l’interior.

1.7 Teorema de Helmholtz

Per a les l ı́nies d’un camp només hi ha dues possibilitats: comencen i acaben en algun punt, o estantancades sobre si mateixes. La primera possibilitat implica una divergència no nul·la i la segona unrotacional diferent de zero. El rotacional també indica si es comprimeixen o es separen les l ı́nies de camp.

Tot això es fàcil de veure-ho. Si agafem un circuit amb dos costats paral·lels i dos perpendiculars a les ĺınies

de camp, el rotacional depèn de la variació del camp en els costats paral·lels al propi camp (de com s’acosten

o es separen les ĺınies de camp, ja que amb separació més gran el camp és més feble). En canvi si considerem

un volum tancat amb quatre superfı́cies paral·leles al camp i dues perpendiculars, la divergència depèn de comvaria el camp en les superfı́cies perpendiculars (de si neixen o moren l ı́nies de camp).

Matemàticament, si d’un camp vectorial es coneix la seva divergència i el seu rotacional, el camp estàcompletament definit, és a dir,

∇ · F = ρ ∇∧ F = J

⇒ F = − ∇φ + ∇∧ A (1.31)

a on s’ha definit

φ(r) ≡ 1

4π

V

ρ(r1)

|r − r1|dV 1

A(r) ≡ 1

4π

V

J (r1)

|r − r1|dV 1

Comentar les fórmules F.17 (rotacional del gradient)

i F.13 (divergència del rotacional)

1.8 Altres sistemes de coordenades

A vegades alguns càlculs matemàtics es simplifiquen considerablement si es consideren sistemes de coor-denades diferents de les rectangulars. Per exemple, un mariner en el mar té més fàcil calcular la sevaposició a partir de la longitud i latitud que amb un sistema de coordenades cartesianes amb un origensituat en el centre de la Terra.

Coordenades ciĺındriques

Són una ampliació en 3 dimensions de les coordenades polars en un pla. Venen donades per les següentsdefinicions

x = r cos ϕ; y = r sin ϕ; z = z ⇒ r = (r cos ϕ, r sin ϕ, z). (1.32)

El vectors unitaris tenen la direcció que surt a l’incrementar la coordenada corresponent. Per ex: er té

la direcció que resulta a l’augmentar r i mantenir constants ϕ i z.


12/16


Figura 1.10: Coordenades cilı́ndriques.

Si ho calculem matemàticament

er = 1

∂r∂r ∂r

∂r= (cos ϕ, sin ϕ, 0) , eϕ =

1

∂r∂ϕ ∂r

∂ϕ= (− sin ϕ, cos ϕ, 0) , ez =

1

∂r∂z ∂r

∂z= (0, 0, 1) ,

Si mantenim r = constant i variem ϕ y z , es forma una superf́ıcie S r ci ĺındrica. Si mantenim ϕ = constanti variem r y z, es forma un pla, S ϕ, que passa per l’eix z. Si mantenim z = constant i variem r y ϕ, esforma un pla, S z, perpendicular a l’eix z .

El volum determinat per les 6 superf́ıcies: S r, S r+dr, S ϕ, S ϕ+dϕ, S z, y S z+dz, és el diferencial de volumen coordenades ciĺındriques i val

dV = r dr dϕ dz. (1.33)

Pel teorema de Pitàgores, la diagonal principal d’aquest cos que s’assembla a un paral·lelepı́pede, és:

dl =

dr2

+ (r dϕ)2

+ dz2

. (1.34)

Els diferencials de superfı́cie depenen molt de la superfı́cie que es consideri. Aix́ı per una superfı́cie en elpla z = 0 és: dS = r dr dϕ.

Àrea del cercle

Com a pràctica d’integrals dobles calcularem l’àrea d’un cercle de radi R,

S =

dS =

R0

r dr

π0

dϕ =

R0

dr 2π = πR2

En coordenades rectangulars els càlculs, p er suposat dóna el mateix resultat, són una mica més llargs:

S =

dS = 4

R0

dy

√ R2−y20

dx = 4

R0

dy

R2 − y2 = 2

y

R2 − y2 + R2 sin−1 yR

R0

= 2R2 sin−1 1 − 2R2 sin−1 0 = πR2

a on s’ha emprat l’eq. (o.2) de la taula d’integrals.

Exemples en coordenades ciĺındriques

Considerem el camp escalar en dues dimensions h(r, ϕ) = 1000 − r2 i avaluem-ne el gradient,

∇h = ∂h

∂r er + 1

r

∂h

∂ϕ eϕ = −2rer


13/16

1.8. Altres sistemes de coordenades 1-13

Considerem ara varis camps vectorials diferents i avaluem la divergència

A0 ≡ 3er ⇒ ∇ · A0 = 1r

∂

∂r(rAr) =

1

r

∂

∂r(3r) =

3

r

A1 ≡ 3rer ⇒ ∇ · A1 = 1r

∂

∂r(rAr) =

1

r

∂

∂r(3r2) = 6

A2 ≡

3

r er ⇒

∇ · A2 =

1

r

∂

∂r (rAr) =

1

r

∂

∂r (3) = 0

A3 ≡ 3r2

er ⇒ ∇ · A3 = 1r

∂

∂r(rAr) =

1

r

∂

∂r

3

r = − 3

r3

Si es vol avaluar el rotacional de camps similars,

B0 ≡ 3eϕ ⇒ ∇ ∧ B0 = + 1r

∂

∂r(rBϕ) ez =

1

r

∂

∂r(3r) ez =

3

r ez

B1 ≡ 3reϕ ⇒ ∇ ∧ B1 = + 1r

∂

∂r(rBϕ) ez =

1

r

∂

∂r(3r2) ez = 6 ez

B2 ≡ 3r

eϕ ⇒ ∇ ∧ B2 = + 1r

∂

∂r(rBϕ) ez =

1

r

∂

∂r(3) ez = 0

B3

≡

3

r2

eϕ

⇒

∇ ∧ B3 = +

1

r

∂

∂r

(rBϕ) ez = 1

r

∂

∂r

3

r

ez =

−

3

r3

ez

En els dos casos la manera de variar del camp amb la dist ància al centre fa que la divergència o elrotacional sigui positiu, nul o negatiu.

Coordenades esfèriques

Són semblants a les geogràfiques de longitud i latitud però amb l’origen dels angles una mica diferent6.

Figura 1.11: Coordenades esfèriques.

Venen donades per les següents definicions

x = r sin θ cos ϕ; y = r sin θ sin ϕ; z = r cos θ ⇒ r = r(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ), (1.35)

a on 0 ≤ θ ≤ π i 0 ≤ ϕ ≤ 2π. El vectors unitaris tenen la direcció que surt a l’incrementar la coordenadacorresponent. Per ex: eθ té la direcció que resulta a l’augmentar θ i mantenir constants ϕ i r.

6La latitud geogràfica és l’angle amb el pla z = 0, i θ és l’angle amb l’eix z, per això a vegades se’n diu colatitud .


14/16


Si ho calculem matemàticament

er = 1∂r∂r

∂r

∂r= (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) ,

eθ = 1

∂r

∂θ

∂r

∂θ= (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ) , eϕ =

1

∂r

∂ϕ

∂r

∂ϕ= (− sin ϕ, cos ϕ, 0) .

Si mantenim r = constant i variem θ y ϕ, es forma una superf́ıcie S r esfèrica. Si mantenim θ = constanti variem r y ϕ, es forma una superf́ıcie cònica, S θ amb el vèrtex a r = 0. Si mantenim ϕ = constant ivariem r y θ, es forma un pla, S ϕ, que passa per l’eix z.

El volum determinat per les 6 superf́ıcies: S r, S r+dr, S θ, y S θ+dθ, S ϕ, S ϕ+dϕ, és el diferencial de volumen coordenades esfèriques i val

dV = r2 sin θ dr dθ dϕ. (1.36)

Pel teorema de Pitàgores, la diagonal principal d’aquest cos que s’assembla a un paral·lelepı́pede, és:

dl = dr2 + (r dθ)2 + (r sin θ dϕ)2. (1.37)

Els diferencials de superf ı́cie també depenen molt de la superfı́cie que es consideri.

Volum de l’esfera

Com a pràctica d’integrals triples calcularem el volum d’una esfera de radi R,

V =

dV = R0

r2 dr

π0

sin θ dθ

2π

0

dϕ = 2π

R0

r2 dr

π0

sin θ dθ = 4π

R0

r2 dr = 4

3πR3

En coordenades rectangulars els càlculs, p er suposat dóna el mateix resultat, són una mica més llargs:

V = dV

= 8 R

z=0

dz √ R2−z2

y=0

dy √ R2−z2−y2

x=0

dx = 8 R

z=0

dz √ R2−z2

y=0

dy R2 −z 2

−y2

= 4

Rz=0

dz

y

R2 − z 2 − y2 + (R2 − z 2)sin−1 y√ R2 − z 2

√ R2−z2y=0

= 4

Rz=0

dz (R2 − z 2) sin−1 1 − sin−1 0 = 2π Rz=0

dz (R2 − z 2) = 2π

R2z − z 3

3

Rz=0

= 4

3πR3,

a on s’ha emprat l’eq. (o.2) de la taula d’integrals.

Laplaciana d’un vector

En el cas de coordenades rectangulars, ja s’ha definit, eq. (1.24), la laplaciana d’un vector com lalaplaciana de cada component, és a dir,

∇2 A ≡ ∇2Ax ex + ∇2Ay ey + ∇

2Az ez (1.24)

que es pot comprovar que coincideix amb l’equació

∇2 A = ∇( ∇ · A) − ∇∧ ∇∧ A . (1.38)

Aquesta darrera expressió és la que es fa servir per definir la laplaciana en coordenades ciĺındriques iesf̀eriques.


15/16

F ÓRMULES ÚTILS 1-15

Productes entre vectors

a · b ≡ axbx + ayby + azbz = ab cos θ (F.1)

a ∧ b ≡ (aybz − azby)ex + (azbx − axbz)ey + (axby − aybx)ez =

ex ey ezax ay azbx by bz

= ab sin θ en (F.2)

a · b ∧ c =

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

= b · c ∧ a = c · a ∧ b (F.3)

a ∧ ( b ∧ c) = b(a · c)− c(a · b) (F.4)

(a ∧ b) ∧ c = b(a · c)− a( b · c) (F.5)

(a ∧ b) · (c ∧ d) = (a · c)( b · d)− (a · d)( b · c) = a · b ∧ (c ∧ d)

(F.6)

(a ∧ b) ∧ (c ∧ d) = ca · ( b ∧ d)

− d

a · ( b ∧ c)

= b

a · (c ∧ d)

− a

b · (c ∧ d)

(F.7)

Operador nabla ∇(ψφ) = ψ ∇φ + φ ∇ψ (F.8)

∇(a · b) = ( b · ∇)a + (a · ∇) b + b ∧ ( ∇∧ a) + a ∧ ( ∇∧ b) (F.9)

∇ 1

|r − r1| = −

r − r1|r − r1|3

; ∇11

|r − r1| =

r − r1|r − r1|3

(F.10)

∇ · (ψa) = ( ∇ψ) · a + ψ( ∇ · a) (F.11)

∇ · (a ∧ b) = b · ( ∇∧ a)− a · ( ∇∧ b) (F.12)

∇ · ∇ψ ≡ ∇2ψ (F.13)

∇ · ( ∇∧ a) = 0 ⇒ ∇ · b = 0 ⇐⇒ b = ∇∧ a (F.14)

∇∧ (ψa) = ( ∇ψ) ∧ a + ψ( ∇∧ a) (F.15)

∇∧ (a ∧ b) = ( b · ∇)a− (a · ∇) b + ( ∇ · b)a − ( ∇ · a) b (F.16)

∇∧ ∇ψ = 0 ⇒ ∇∧ a = 0 ⇐⇒ a = ∇ψ (F.17)

∇∧ ∇∧ a = ∇( ∇ · a)−∇2a (F.18)

Teoremes de integrals vectorials

V

∇ · A dV =

S

A · n dS (teorema de la diverg̀encia) (F.19)

S

( ∇∧ A) · n dS =

C

A · d l (teorema de Stokes) (F.20)

Teorema de Helmholtz

∇ · F = ρ ∇∧ F = J

⇒ F = − ∇φ + ∇∧ A; φ(r) ≡

1

4π

V

ρ(r1)

|r − r1|dV 1; A(r) ≡

1

4π

V

J (r1)

|r − r1|dV 1

(F.21)


16/16

1-16 F ÓRMULES ÚTILS

Coordenades rectangulars: dl =

dx2 + dy2 + dz2; dV = dx dy dz

∇ψ = ∂ψ

∂xex +

∂ψ

∂yey +

∂ψ

∂z ez (F.22)

∇ · A = ∂A

x∂x +

∂Ay

∂y + ∂A

z∂z (F.23)

∇∧ A =

∂Az

∂y −

∂Ay

∂z

ex +

∂Ax

∂z −

∂Az

∂x

ey +

∂Ay

∂x −

∂Ax

∂y

ez (F.24)

∇2ψ = ∂ 2ψ

∂x2 +

∂ 2ψ

∂y2 +

∂ 2ψ

∂z2 (F.25)

∇2 A = ∇( ∇ · A)− ∇∧ ∇∧ A = ∇2Ax ex + ∇2Ay ey + ∇

2Az ez (F.26)

Coordenades ciĺındriques: dl =

dr2 + (r dϕ)2 + dz2; dV = r dr dϕ dz

∇ψ = ∂ψ

∂r er +

1

r

∂ψ

∂ϕeϕ +

∂ψ

∂z ez (F.27)

∇ · A = 1

r

∂

∂r(rAr) +

1

r

∂Aϕ

∂ϕ +

∂Az

∂z (F.28)

∇∧ A =

1

r

∂Az

∂ϕ −

∂Aϕ

∂z

er +

∂Ar

∂z −

∂Az

∂r

eϕ +

1

r

∂

∂r(rAϕ)−

∂Ar

∂ϕ

ez (F.29)

∇2ψ = 1

r

∂

∂r

r

∂ψ

∂r

+

1

r2∂ 2ψ

∂ϕ2 +

∂ 2ψ

∂z2 =

∂ 2ψ

∂r2 +

1

r

∂ψ

∂r +

1

r2∂ 2ψ

∂ϕ2 +

∂ 2ψ

∂z2 (F.30)

∇2 A = ∇( ∇ · A)− ∇∧ ∇∧ A (F.18)

Coordenades esfèriques: dl =

dr2 + (r dθ)2 + (r sin θ dϕ)2; dV = r2 sin θ dr dθ dϕ

∇ψ = ∂ψ

∂r er +

1

r

∂ψ

∂θeθ +

1

r sin θ

∂ψ

∂ϕeϕ (F.31)

∇ · A = 1

r2∂

∂r(r2Ar) +

1

r sin θ

∂

∂θ(Aθ sin θ) +

1

r sin θ

∂Aϕ

∂ϕ (F.32)

∇∧ A = 1

r sin θ

∂

∂θ(Aϕ sin θ)−

∂Aθ

∂ϕ

er +

1

r

1

sin θ

∂Ar

∂ϕ −

∂

∂r(rAϕ)

eθ +

1

r

∂

∂r(rAθ)−

∂Ar

∂θ

eϕ

(F.33)

∇2ψ = 1

r2∂

∂r

r2

∂ψ

∂r

+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

sin θ

∂ψ

∂θ

+

1

r2 sin2 θ

∂ 2ψ

∂ϕ2 (F.34)

∇2 A = ∇( ∇ · A)− ∇∧ ∇∧ A (F.18)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c jcq, Unitat d’Electromagnetisme (UAB), març-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

tema 1 electromagnetismo

Documents