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Tema 1: Conjuntos

Miguel Angel Olalla [email protected]

Departamento de AlgebraUniversidad de Sevilla

Septiembre de 2015

Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Conjuntos Septiembre de 2015 1 / 34

Contenido

1 Conjuntos. Operaciones basicas

2 Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia

3 Aplicaciones


Conjuntos. Operaciones basicas

Conjuntos

¿Que es un conjunto?

Definicion (Conjunto)

Llamaremos conjunto a una coleccion de objetos, distintos entre sı, quecomparten una propiedad. Para que un conjunto este bien definido debeser posible discernir si un objeto arbitrario esta o no en el.



Subconjunto

Definicion (Subconjunto)

Dados dos conjuntos A y B, diremos que A es un subconjunto de B sitodo elemento de A es tambien un elemento de B. Lo notaremos porA ⊂ B, escribiremos A 6⊂ B.

Proposicion (1.1.3)

Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera. Se tienen las siguientespropiedades:

a) A ⊂ A, ∅ ⊂ A.

b) Si A ⊂ B y B ⊂ C , entonces A ⊂ C .



Igualdad de conjuntos

Definicion (1.1.2)

Dados dos conjuntos A y B, diremos que son iguales si tienen los mismoselementos. Lo notaremos por A = B.

Dos conjuntos son iguales si se verifica que A ⊂ B y B ⊂ A.

Habitualmente se utiliza la prueba por doble inclusion para demostrarque dos conjuntos son iguales.



Conjunto universal

Definicion (Conjunto universal)

El conjunto universal o de referencia, que lo notaremos por U, es unconjunto del que son subconjuntos todos los posibles conjuntos que originael problema que tratamos.



Complementario

Definicion (Complementario)

Dado un conjunto A se define el complementario de A, notado por A oAc , como

A = {x | x ∈ U, x /∈ A}.

Se dan las siguientes igualdades: ∅ = U, U = ∅, A = A.



Cardinal de un conjunto

Definicion (Cardinal de un conjunto)

Cuando A es un conjunto finito, el numero de elementos de A se denominacardinal de A y se notara #(A).



Union de conjuntos

Definicion (Union de conjuntos)

Dados dos conjuntos A y B se define la union de A y B, notado porA ∪ B, como el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecenal menos a uno de los dos conjuntos, A o B, es decir

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

De igual forma se definen A1 ∪ · · · ∪ An =⋃n

i=1 Ai y⋃

i∈I Ai



Union de conjuntos

Proposicion (Propiedades de la union)

La union de conjuntos verifica las siguientes propiedades, para cualesquieraconjuntos A, B y C :

(a) Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A.

(b) Asociativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ).

(c) A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B.

(d) ∅ ∪ A = A.

(e) A ⊂ B si y solo si A ∪ B = B.



Interseccion de conjuntos

Definicion (Interseccion de conjuntos)

Dados dos conjuntos A y B se define la interseccion de A y B, notadopor A ∩ B, como el conjunto formado por aquellos elementos quepertenecen a los dos conjuntos, A y B, es decir

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

De igual forma se define A1 ∩ · · · ∩ An =⋂n

i=1 Ai y⋂

i∈I Ai



Interseccion de conjuntos

Proposicion (Propiedades de la interseccion)

La interseccion de conjuntos verifica las siguientes propiedades, paracualesquiera conjuntos A, B y C :

(a) Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A.

(b) Asociativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ).

(c) A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B.

(d) ∅ ∩ A = ∅.(e) A ⊂ B si y solo si A ∩ B = A.



Diferencia de conjuntos

Definicion (Diferencia de conjuntos)

Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia de A y B, notada porA \ B, como el conjunto formado por aquellos elementos de A que nopertenecen a B, es decir

A \ B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Luego A \ B = A ∩ B.



Diferencia simetrica de conjuntos

Definicion (Diferencia simetrica de conjuntos)

Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia simetrica de A y B,notada por A4B, como el conjunto formado por aquellos elementos quepertenecen a uno solo de los conjuntos A y B, es decir

A4B = {x | x ∈ A \ B ∨ x ∈ B \ A}.

Luego A4B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).



Propiedades de las operaciones entre conjuntos

Proposicion (1.1.8)

Sean A ⊂ B dos conjuntos. Entonces A ∪ (B \ A) = B y A ∩ (B \ A) = ∅.

Teorema (Leyes distributivas y de De Morgan)

Dados tres conjuntos A, B y C se verifican las siguientes igualdades:

(a) Leyes distributivas:

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ), A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).

(b) Leyes de De Morgan: Supongamos que A,B ⊂ C

C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B), C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B).



Partes de un conjunto

Definicion (Partes de un conjunto)

Dado un conjunto X , se define el conjunto de las partes de X , notadoP(X ), como el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de X .

Teorema (1.1.10)

El conjunto P(X ) es finito si y solo si lo es X . De hecho, en este caso,

#(P(X )) = 2#(X ).


Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia

Producto cartesiano

Definicion (Producto cartesiano)

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de A y Bcomo el conjunto de pares ordenados formados (por este orden) por unelemento de A y uno de B y se denota

A× B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Tambien se puede definir el producto cartesiano de una cantidad finita deconjuntos de la forma natural

A1 × · · · × An =n∏

i=1

Ai = {(a1, . . . , an) | ai ∈ Ai , para i = 1, . . . , n}.



Correspondencia

{(a, 1), (a, 3), (b, b), (b, 1), (b, 3)}.



Correspondencia

Definicion (Correspondencia)

Una correspondencia G de A en B es un subconjunto del productocartesiano A× B. Equivalentemente se puede definir como una regla queasocia algunos elementos de A con algunos elementos de B.Concretamente, G asocia a ∈ A con b ∈ B si el par (a, b) ∈ G .



Relacion

Definicion (relacion)

Sea A un conjunto. Una relacion R definida en A es una correspondenciade A en sı mismo.

Si el par (x , y) ∈ A× A esta en R, diremos que x esta R–relacionado cony , o que esta relacionado con y por R. Esto se notara frecuentemente xRy(notese que el orden es importante).



Relacion

Definicion (Posibles propiedades de una relacion)

Sea R una relacion en un conjunto A. Entonces diremos que R es:

(a) Reflexiva cuando para todo x ∈ A se tiene que xRx .

(b) Simetrica cuando xRy siempre implica yRx .

(c) Antisimetrica cuando, si tenemos xRy e yRx , entonces x = ynecesariamente.

(d) Transitiva si tenemos xRy e yRz siempre es xRz .



Relaciones de orden y de equivalencia

Definicion (Relacion de orden)

Las relaciones reflexivas, antisimetricas y transitivas se denominanrelaciones de orden.

Definicion (Relacion de equivalencia)

Las relaciones reflexivas, simetricas y transitivas se denominan relacionesde equivalencia.



Clases de equivalencia

Definicion (Clases de equivalencia)

Si R es una relacion de equivalencia en A, denominamos clase deequivalencia de un elemento x ∈ A al conjunto de todos los elementos deA relacionados con x , esto es,

x = R(x) = {y ∈ A | xRy},

donde la primera notacion se usa si R se sobreentiende, y la segunda si noes ası.



Clases de equivalencia

Teorema (Las clases de equivalencia como una particion)

Sean A un conjunto y R una relacion de equivalencia en A. Entonces severifican las siguientes propiedades:

(a) Todo elemento pertenece a una clase de equivalencia.

(b) Dos clases de equivalencia son disjuntas o iguales.

Esto es, la relacion R divide completamente al conjunto A en subconjuntosdisjuntos (las clases de equivalencia), es decir, las clases de equivalenciaforman una particion del conjunto A.



Conjunto cociente

Corolario (1.2.6)

Sean A un conjunto y R una relacion de equivalencia en A, Sean loselementos x , y ∈ A. Se tiene que las clases de equivalencia de x e y soniguales, R(x) = R(y), si y solo si xRy .

Definicion (Conjunto cociente)

Dada una relacion de equivalencia R definida sobre un conjunto A, elconjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia de A por R sedenomina conjunto cociente de A por R. La notacion usual es

A/R = {R(x) | x ∈ A}.


Aplicaciones

Aplicacion

Definicion (Aplicacion)

Una aplicacion f de A en B es una correspondencia donde todo elementode A tiene asociado un unico elemento de B. Esto es, en notacionmatematica, una correspondencia G es una aplicacion si y solo si severifica que

∀a ∈ A ∃!b ∈ B tal que (a, b) ∈ G .


Aplicaciones

Aplicacion

Es habitual denotar una aplicacion entre A y B de la forma f : A→ B. Enestas condiciones, dado a ∈ A el unico b ∈ B verificando (a, b) ∈ f sedenota f (a) y se denomina imagen de a (por f ).De esta notacion surge la terminologıa, comunmente usada, de llamar a Aconjunto original (o dominio) y a B conjunto imagen.

Sea X un conjunto cualquiera. Siempre se tiene la aplicacion

f : X → X , definida por f (x) = x , ∀x ∈ X ,

que llamaremos aplicacion identidad y notaremos por 1X .


Aplicaciones

Imagen

Definicion (Imagen)

Dada una aplicacion f : X → Y y dos subconjuntos A ⊂ X y B ⊂ Y ,definimos la imagen de A (o imagen directa de A), notada f (A), como

f (A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A con f (x) = y} ⊂ Y ,

esto es, el conjunto de elementos del conjunto imagen que son imagen deun elemento de A. Si A = X se denota f (X ) = im(f ) y se denominaimagen de f .

En general, si f : X → Y es una aplicacion, f (X ) 6= Y .


Aplicaciones

Anti-imagen

Definicion (Anti-imagen)

Dada una aplicacion f : X → Y y dos subconjuntos A ⊂ X y B ⊂ Y ,definimos la anti–imagen (o contraimagen, o imagen recıproca o imageninversa) de B, notada f −1(B), como

f −1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} ⊂ X ,

esto es, el conjunto de elementos del conjunto original cuya imagen estaen B.

Si f : X → Y es una aplicacion, siempre f −1(Y ) = X .


Aplicaciones

Propiedades de la imagen y la anti-imagen

Proposicion (1.3.5)

Sean f : X → Y una aplicacion, A1,A2 ⊂ X y B1,B2 ⊂ Y . Se verifica:

(a) f (A1 ∪ A2) = f (A1) ∪ f (A2),f (A1 ∩ A2) ⊂ f (A1) ∩ f (A2).

(b) f −1(B1 ∪ B2) = f −1(B1) ∪ f −1(B2),f −1(B1 ∩ B2) = f −1(B1) ∪ f −1(B2).

(c) f (f −1(B1)) ⊂ B1,A1 ⊂ f −1(f (A1)).


Aplicaciones

Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Definicion (Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva)

Sea una aplicacion f : X → Y .

(a) f se dice inyectiva si dos elementos distintos de X siempre tienenimagenes distintas. Dicho de otro modo, f es inyectiva si, def (x) = f (x ′), para x , x ′ ∈ X , se deduce que x = x ′.

(b) f se dice sobreyectiva (o sobre) si todo elemento de Y es imagen dealgun elemento de X . O sea, f es sobre si f (X ) = im(f ) = Y .

(c) f se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.


Aplicaciones

Aplicacion inversa. Composicion de aplicaciones

Definicion (Aplicacion inversa)

Sea f : X → Y una aplicacion biyectiva. La aplicacion inversa de f ,notada f −1 : Y → X , esta definida por f −1(y) = x , siendo x el unicoelemento de X que verifica f (x) = y .

Definicion (Composicion de aplicaciones)

Dadas dos aplicaciones f : X → Y y g : Y → Z se define la composicionde f y g , notada g ◦ f , de X en Z como

(g ◦ f )(x) = g(f (x)), para todo x ∈ X .

Obviamente g ◦ f : X → Z es una aplicacion. Ademas la composicion deaplicaciones verifica la propiedad asociativa.


Aplicaciones

Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Lema

Sea f : X → Y una aplicacion, se verifican las siguientes propiedades:

(a) f es inyectiva si existe una aplicacion g : Y → X tal que g ◦ f = 1X .

(b) f es sobreyectiva si existe una aplicacion g : Y → X tal quef ◦ g = 1Y .

Proposicion (1.3.11)

Sea f : X → Y una aplicacion, se verifica que f es biyectiva si y solo siexiste una aplicacion g : Y → X tal que

g ◦ f = 1X y f ◦ g = 1Y .

En este caso se tiene que f −1 = g .


Aplicaciones

Restriccion de una aplicacion

Definicion (Restriccion de una aplicacion)

Dada una aplicacion f : X → Y y un subconjunto A ⊂ X , se define larestriccion de f a A como la aplicacion

f|A : A → Yx 7→ f|A(x) = f (x)


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