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Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 1
TEMA 4:
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 2
ESQUEMA DE LA UNIDAD
1.- Ecuaciones de primer grado.
2.- Ecuaciones de segundo grado completas.
3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas.
3.1.- Caso 0b .
3.2.- Caso 0c .
4.- Ecuaciones bicuadradas.
5.- Ecuaciones racionales.
6.- Ecuaciones de grado mayor que dos.
7.- Ecuaciones irracionales.
8.- Ecuaciones exponenciales.
9.- Sistemas de ecuaciones lineales.
9.1.- Método de sustitución.
9.2.- Método de igualación.
9.3.- Método de reducción.
10.- Sistemas de ecuaciones no lineales.
1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Para resolver las ecuaciones de primer grado se recomienda seguir los siguientes pasos:
1. Quitar los paréntesis.
2. Si hay fracciones ponerle a todas el mismo denominador.
3. Quitar los denominadores teniendo mucho cuidado con los signos.
4. Pasar todos los términos que contengan la incógnita a la izquierda de la ecuación y todos
los términos que no la tengan a la derecha.
5. Agrupar en ambos lados de la ecuación.
6. Despejar la incógnita pasando el número que tiene delante al otro lado de la ecuación
DIVIDIENDO.
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 3
Ejemplos: resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
a)
2
3
8
7
4
32
2
13
xxx
2
3
8
7
4
32
2
13 xxx
2
3
8
7
4
62
2
33 xxx
8
12
8
7
8
124
8
1212
xxx
1271241212 xxx 1212127412 xxx 36x
b)
5
33
15
124
3
12
5
2
xxxx
5
93
15
48
3
22
5
2 xxxx
15
279
15
48
15
1010
15
63 xxxx
27948101063 xxxx 10627498103 xxxx
3514x 14
35x
2.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS
Recordatorio:
Son ecuaciones de la forma 02 cbxax , donde cba ,, son números distintos de cero.
Estas ecuaciones se resuelven aplicando la siguiente fórmula: a
cabbx
2
42
Observaciones:
- Antes de aplicar la fórmula para resolver la ecuación, hay que asegurarse de que todos los
términos de la ecuación están a la izquierda, quedando un cero a la derecha.
- Al aplicar la fórmula no olvidar quiénes son cba ,, , ya que podemos tener desordenada la
ecuación y confundirnos.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas.
a) 0762 xx
2
14
2
867
2
86
2
646
2
28366
12
714662
x
2
2
2
861
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 4
b) 01032 xx
2
4
2
732
2
73
2
493
2
4093
12
101433 2
x
2
10
2
735
3.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS
Son ecuaciones de la forma 02 cbxax donde """" cob vale cero. Aunque se pueden
resolver con la misma fórmula que las ecuaciones de segundo grado completas, hay una forma más
rápida de resolverlas.
3.1.- Caso b = 0
En este caso el término que le falta a la ecuación es la “x”. Se podría resolver siguiendo los
siguientes pasos:
1. Se resuelve la ecuación como si fuera de primer grado; es decir, como si la “x” no estuviera
elevada al cuadrado.
2. Cuando esté despejada la “ 2x ”, el cuadrado se pasa al otro lado en forma de raíz cuadrada,
sin olvidar que cuando se saca la raíz cuadrada de un número hay dos soluciones, una positiva y
otra negativa.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) 0273 2 x
0273 2x 273 2x 3
272x 92x xx 9 3
b) 0255 2 x
0255 2x 255 2x 5
252x xx 52 5
c) 06416 2 x
06416 2x 6416 2x 16
642x 42x xx 4 2
d) 0182 2 x
0182 2x 182 2x 2
182x 92x xx 9 3
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 5
3.2.- Caso c = 0
En este caso el término que le falta a la ecuación es el término independiente. Se podría resolver
siguiendo los siguientes pasos:
1. Se saca factor común.
2. Se plantean dos ecuaciones, una en la que se iguala a cero lo que ha quedado fuera del
paréntesis después de haber sacado factor común, y otra igualando a cero lo que ha quedado dentro
del paréntesis.
3. Las soluciones de esas dos ecuaciones serán las soluciones de la ecuación de segundo grado
que estamos buscando.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) 0255 2 xx
xx 05 0
0550255 2 xxxx
xx 05 5
b) 027 2 xx
xx 0 0
027027 2 xxxx
xxx 270277
2
c) 0126 2 xx
xx 06 0
0260126 2 xxxx
xx 02 2
d) 0248 2 xx
xx 08 0
0380248 2 xxxx
xx 03 3
4.- ECUACIONES BICUADRADAS
Son ecuaciones de la forma 024 cbxax , donde a, b, c son números reales y "a" no puede
valer cero.
Cuando "b" y "c" tampoco valen cero, a la ecuación bicuadrada se le llama completa, y en el
caso de que o "b" o "c" sean cero, se le llama incompleta, al igual que sucede con las ecuaciones de
segundo grado.
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 6
Las ecuaciones bicuadradas hay que transformarlas mediante lo que se conoce como un cambio
de variable en una ecuación de segundo grado. Los pasos que hay que seguir para resolverlas, de
una manera más detallada, son los siguientes:
1. Hacer el cambio de variable yx 2 , quedando así una ecuación de segundo grado. Vamos
a verlo: cambio de variable yx 2
00 22224 cbxxacbxax 02 cbyay
2. Resolver la ecuación de segundo grado, obteniendo así el valor de "y", que no es la
incógnita de la ecuación que tenemos que resolver.
3. Deshacer el cambio de variable que se hizo en el paso 1 para obtener el valor de "x", que es
el que nos interesa:
yx2 yx
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.
a) 045 24 xx
12
41455045045045
2
222224 yyyxxxx
2
8
2
354 442 xx 2x
2
35
2
95
2
16255
2
2
2
351 112 xx 1x
b) 0214 24 xx
12
211444021402140214
2
222224 yyyxxxx
2
12
2
846 62x 6x
2
84
2
644
2
48164
2
4
2
842 22x 2x No es real
c) 032 24 xx
22
32411032032032
2
222224 yyyxxxx
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 7
4
6
4
51
2
3
2
32x2
3x
4
51
4
251
4
2411
4
4
4
511 12x 1x No es real
5.- ECUACIONES RACIONALES
Son ecuaciones en las aparecen fracciones algebraicas. Para resolverlas se aconseja seguir los
siguientes pasos:
1. Si no lo tienen, ponerle a todas las fracciones el mismo denominador (que será el m.c.m. de
todos ellos).
2. Realizar las operaciones que quedan en los numeradores.
3. Quitar los denominadores teniendo cuidado con los signos. Recordar que si hay un signo
"-" delante de una fracción, al quitar el denominador hay que cambiarle el signo a todos los
términos del numerador.
4. Resolver la ecuación resultante, así se obtendrán POSIBLES soluciones de la ecuación
inicial.
5. Comprobar si las posibles soluciones obtenidas en el paso anterior son realmente
soluciones de nuestra ecuación.
Observación: la comprobación es necesaria por aparecer la incógnita en los denominadores de
las fracciones, ya que sabemos que no se puede dividir entre cero y cabe la posibilidad de que al
sustituir las posibles soluciones en los denominadores nos dé ese número, en cuyo caso el número
sustituido no podríamos considerar que es solución de la ecuación.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones
a) 024
22
2
x
x
x
x
22
220
22
2
22
120
24
2 2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
22
0
22
2
22
2 22
xxxx
xx
xx
x 022 22 xxx
2
222 xx 1x Posible solución
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 8
Comprobación: para ver si 1x es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si
anula algún denominador.
024
22
2
x
x
x
x
1x 1x
412 21
03 01
Como al sustituir la "x" de los denominadores por "1", no se ha anulado ninguno de ellos,
podemos afirmar que 1x SÍ es solución de nuestra ecuación.
b) 196
3
3
22
xxx
x
2
2
2223
31
3
13
3
321
96
3
3
2
x
x
xx
xx
xxx
x
xxxxx
x
xx
xx
xxx693623
3
69
3
3
3
623 22
2
2
22
2
0369623 22 xxxxxx 0x Posible solución
Comprobación: para ver si 0x es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si
anula algún denominador.
196
3
3
22
xxx
x
0x 0x
30 90602
03 09
Como al sustituir la "x" de los denominadores por "0", no se ha anulado ninguno de ellos,
podemos afirmar que 0x SÍ es solución de nuestra ecuación.
c) 01
112
xxx
1
10
1
1
1
110
1
112 xx
xx
xx
x
xxxxx
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 9
1011
0
11
1xx
xxxx
x
xx 1x Posible solución
Comprobación: para ver si 1x es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si
anula algún denominador.
01
112
xxx
1x
112
0
Como al sustituir la "x" de los denominadores por "1", se ha anulado uno de ellos, podemos
afirmar que 1x NO es solución de nuestra ecuación, y como no hay otras posibles soluciones,
nuestra ecuación no tiene solución.
6.- ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE DOS
Son ecuaciones en las que la incógnita aparece elevada a un número mayor que dos. Para
resolverlas se aconseja seguir los siguientes pasos:
1. Descomponer o factorizar la ecuación.
2. Igualar a cero cada uno de los factores de la factorización, quedando así tantas ecuaciones
como factores tenga la ecuación, pero serán de grados menores que la inicial.
3. Resolver las ecuaciones planteadas en el paso anterior.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor que dos
a) 0671344 234 xxxx
Factorización de la ecuación:
4 4 -13 -7 6
1x -1 -4 0 13 -6
4 0 -13 6 0
2x -2 -8 16 -6
4 -8 3 0
384 2 xx
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 10
Así, la ecuación factorizada queda de esta manera: 038421 2 xxxx
Igualar a cero cada uno de los factores y resolver:
038421 2 xxxx
01x 1x
02x 2x
42
344880384
2
2 xxx
8
48
8
168
8
48648
8
12
8
48
2
3
8
4
8
48
2
1
b) 0652 23 xxx
Factorización de la ecuación:
1 2 -5 -6
1x -1 -1 -1 6
1 1 -6 0
2x 2 2 6
1 3 0
3x
Así, la ecuación factorizada queda de esta manera: 0321 xxx
Igualar a cero cada uno de los factores y resolver:
0321 xxx
01x 1x
02x 2x
03x 3x
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 11
7.- ECUACIONES IRRACIONALES
Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita aparece dentro de una raíz (en
nuestro caso siempre serán raíces cuadradas).
Para resolver una ecuación irracional se aconseja seguir los siguientes pasos:
1. Asilar la raíz del resto de la ecuación; es decir, dejar la raíz a un lado del signo "=" y el
resto de términos de la ecuación al otro lado. Conviene siempre dejar la raíz en el lado donde
quede con un signo positivo delante.
2. En el lado en el que no está la raíz, agrupar todo lo que se pueda de manera que queden,
como mucho, dos términos.
3. Encerrar todo lo que hay a la izquierda del signo "=" en un solo paréntesis, y todo lo que
hay a la derecha del signo "=" en otro.
4. Elevar al cuadrado cada uno de los paréntesis, así se irá la raíz y quedará una ecuación sin
raíces.
5. Resolver la ecuación resultante en el paso anterior, obteniendo así POSIBLES soluciones
de la ecuación irracional.
6. Comprobar si las posibles soluciones obtenidas en el paso anterior son o no soluciones de la
ecuación de partida.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones irracionales
a) 31452 xxx
44513453145 222 xxxxxxxxx
xxxxxxxxxx 81645445445 2222
22
3
121230123081645 22 xxxxxxx 4x Posible
solución
Comprobación: comprobamos si 4x es solución de la ecuación irracional.
31452 xxx
4x 4x
34144542
1142016
110
11 soluciónesSíx 4
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 12
b) 552 xx
xxxxxxxxx 10255555555 2222
222
10
2020105251022 xxxxx 2x Posible solución
Comprobación: comprobamos si 2x es solución de la ecuación irracional.
552 xx
2x 2x
52522
354
39
33 soluciónesNox 2
3.- ECUACIONES EXPONENCIALES
Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en el exponente de una potencia. Las hay de dos
tipos:
Ec. Monómicas son aquellas en las que se pueden expresar los dos términos de la
ecuación como una potencia de la misma base. Estas ecuaciones tienen dos términos.
Ejemplos:
a) 273 52 x
273 52 x
Se factorizan las bases (en este caso solo se factoriza el 27): 352 33 x
Cuando a ambos lados del "=" queden potencias con la misma base, se "tachan" las bases
de manera que quedan igualados los exponentes: 352 x
Por último se resuelve la ecuación que queda planteada en el paso anterior (ecuación en la
que ya no hay potencias). En este ejemplo queda una ecuación de primer grado:
2
222532352 xxxx 1x
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 13
b) 125
15 42
xx
Factorización de las bases (en este caso solo se factoriza el número 125): 3
4
5
15
2
xx
Se pasa la potencia 35 al numerador de la fracción (recordar que para pasar una potencia
del numerador al denominador o viceversa basta con cambiar de signo al EXPONENTE de
la potencia: 34 552 xx
Tachamos las bases y resolvemos la ecuación que queda:
2
12164
12
3144403434
2
22 xxxxx
2
6
2
243
2
24
2
44
2
2
2
241
Ec. Trinómicas son aquellas en las que es necesario hacer un cambio de variable para
resolverlas, transformándose la ecuación inicial en otra ecuación no exponencial. Estas ecuaciones
tienen más de dos términos.
Ejemplos:
a) 9033 2 xx
Aplicamos en la segunda potencia la propiedad de la suma de potencias de la misma base:
9039390333 2 xxxx
Hacemos el siguiente cambio de variable: yx 3 , con el que la ecuación queda de la
siguiente manera: 909 yy
Resolvemos la ecuación cuya incógnita es la "y":
10
909010909 yyyy 9y
Por último deshacemos el cambio de variable (quedando una ecuación exponencial del tipo
anterior):
233933 xxx y 2x
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 14
b) 655 1 xx
Aplicamos en la primera potencia la propiedad de división de potencias de la misma base:
655
5 x
x
Hacemos el siguiente cambio de variable: yx 5 , con el que la ecuación queda de la
siguiente manera: 65
yy
Resolvemos la ecuación cuya incógnita es la "y":
3055
30
5
5
56
5yy
yyy
y5
6
30306 yyy
Por último deshacemos el cambio de variable (quedando una ecuación exponencial del tipo
anterior):
155555 xxx y 1x
9.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas. Según el
número de soluciones que tengan, los sistemas pueden ser de tres tipos:
Sistema compatible determinado: es aquel que tiene solamente una solución.
Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas
secantes; es decir, por dos rectas que se cortan en un solo punto (que es
la solución del sistema).
Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale un valor para cada una de las incógnitas.
Sistema compatible indeterminado: es aquel que tiene infinitas soluciones.
Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas
coincidentes; es decir, dos rectas que son la misma (las soluciones del
sistema son los infinitos puntos de cualquiera de las rectas).
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 15
Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale una igualdad entre dos números que es
cierta (por ejemplo 44 ).
Sistema incompatible: es aquel que no tiene solución.
Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas paralelas; es decir, que no
se cortan nunca:
Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale una igualdad entre dos números que no es
cierta (por ejemplo 9 = 4).
9.1.- Método de sustitución
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución se aconseja seguir los
siguientes pasos:
1. Despejar una incógnita de una de las ecuaciones.
Observaciones:
- Para evitar errores con los signos, se aconseja despejar una incógnita que tiene delante un
número positivo. Si interesa despejar una incógnita que tiene delante un número negativo, antes
de hacerlo se le puede cambiar el signo a toda la ecuación para que pase a ser positivo.
- Aunque se puede despejar la incógnita que se quiera, lo más fácil es despejar una incógnita
que tenga delante un “1”.
2. Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación, quedando así una ecuación de primer
grado.
3. Resolver la ecuación resultante en el paso anterior, así se obtiene el valor de una de las
incógnitas.
4. Hallar el valor de la otra incógnita.
Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución
a) 952
53
yx
yx
Despejamos la “y” de la primera ecuación:
53 yx 53 xy
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 16
Sustituimos en la segunda ecuación la “y” despejada y resolvemos la ecuación que queda:
341725915292515295352952 xxxxxxxyx
17
34x 2x
Calculamos el valor de “y”:
Una vez que se tiene el valor de una de las incógnitas, para hallar lo que vale la otra se
puede coger cualquiera de las ecuaciones que han aparecido a lo largo del ejercicio en la que
aparezca la incógnita que falta por calcular.
Aquí vamos a coger la ecuación que salió cuando se despejó la “y” en el primer paso:
5652353 yyxy 1y
b) 1223
73
yx
yx
Despejamos la “y” de la segunda ecuación, pero para no tener problemas con los signos,
como tiene delante un número negativo, antes le cambiamos el signo a la ecuación entera:
1223 yx 12321223 xyyx2
123
xy
Sustituimos en la primera ecuación la “y” despejada y resolvemos la ecuación que queda:
2
14
2
369
2
27
2
3697
2
123373
xxxx
xxyx
11
222211361492143692 xxxxxx 2x
Calculamos el valor de “y”:
Una vez que se tiene el valor de una de las incógnitas, para hallar lo que vale la otra se
puede coger cualquiera de las ecuaciones que han aparecido a lo largo del ejercicio en la que
aparezca la incógnita que falta por calcular.
Aquí vamos a coger la primera ecuación del sistema de partida:
3
99327373273 yyyyyx 1y
9.2.- Método de igualación
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación se aconseja seguir los
siguientes pasos:
1. Despejar una incógnita de una de las ecuaciones. (Recordar la observación que se hizo en el
punto anterior).
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 17
2. Despejar la misma incógnita de la otra ecuación.
3. Igualar las incógnitas despejadas en los pasos anteriores y resolver la ecuación que queda.
4. Hallar el valor de la otra incógnita.
Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación
a) 952
53
yx
yx
Despejamos la “y” de la primera ecuación:
5353 yxyx 53 xy
Despejamos la “y” de la segunda ecuación:
xyyx 2959525
29 xy
Igualamos y resolvemos:
34172592152925155
29
5
2515
5
2953 xxxxx
xxxx
17
34x 2x
Calculamos la otra incógnita:
5652353 yyxy 1y
b) 1223
73
yx
yx
Despejamos la “x” de la primera ecuación:
73yx yx 37
Despejamos la “x” de la segunda ecuación:
12231223 yxyx3
122
yx
Igualamos y resolvemos:
2112291229213
122
3
921
3
12237 yyyy
yyyy
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 18
11
333311211229 yyyy 3y
Calculamos la otra incógnita:
9733737 yxyx 2x
9.3.- Método de reducción
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción se aconseja seguir los
siguientes pasos:
1. Multiplicar la primera ecuación por el coeficiente que tenga en la otra ecuación una de las
incógnitas.
2. Multiplicar la segunda ecuación por el coeficiente que tenga en la primera ecuación la misma
incógnita que antes.
Observación: si antes de multiplicar las ecuaciones observamos que se pueden simplificar los
números por los que vamos a multiplicarlas, se simplifican.
3. Comprobar que una de las incógnitas aparece con coeficientes opuestos (mismo número pero
de signo contrario) en las ecuaciones. Si es así hay que sumar dichas ecuaciones. Si hay una
incógnita que tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, con el mismo signo, antes de
sumarlas a una de las ecuaciones hay que cambiarle el signo a cada uno de sus términos.
4. Despejar la incógnita.
5. Calcular el valor de la otra incógnita.
Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción
a) 952
53
yx
yx
Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que tenga la “x” en la otra ecuación:
952
53
yx
yx →
9523
532
yx
yx →
27156
1026
yx
yx →
27156
1026
yx
yx
1717 y Como la “x” ha quedado con el mismo número y signo delante, se le cambia el signo a una de las ecuaciones, por ejemplo a la primera.
17
171717 yy 1y
Calculamos el valor de la otra incógnita:
3
66315351353 xxxxyx 2x
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 19
b) 4565
932
yx
yx
Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que tenga la “y” en la otra ecuación:
4565
932
yx
yx →
45653
9326
yx
yx →
45651
9322
yx
yx →
4565
1864
yx
yx
Como estos números se pueden simplificar dividiéndolos entre 3, lo hacemos para trabajar con números más pequeños.
Como la “y” ha quedado con el mismo número y signo delante en las dos ecuaciones, se le cambia el signo a una de ellas, por ejemplo a la primera.
4565
1864
yx
yx →
4565
1864
yx
yx
63x
Calculamos el valor de la otra incógnita:
1353126939312693632932 yyyyyx
3
135y 45y
10.- SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Son sistemas en los que en una de las ecuaciones o las dos alguna de las incógnitas aparecen
elevadas a una potencia o multiplicadas entre sí.
Los métodos más empleados en la resolución de este tipo de sistemas son el de sustitución y el
de reducción.
Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas no lineales
a) 7
2522
yx
yx
En este caso el método más adecuado es el de sustitución.
Despejamos la "x" de la segunda ecuación:
7yx yx 7
La sustituimos en la primera ecuación:
25144925725 222222 yyyyyyx
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 20
22
2424196140241420251449 222 yyyyyy
4
16
4
2144
4
214
4
414
4
19219614y
4
12
4
2143
Calculamos el valor de la otra incógnita. Como han salido dos valores para "y", habrá
que calcular dos valores de "x".
Para 4y Solución 1
477 xyx 3x
→
Para 3y Solución 2
377 xyx 4x
b) 12
7
yx
yx
En este caso el método más adecuado es el de sustitución.
Despejamos la "y" de la segunda ecuación:
12yxx
y12
La sustituimos en la primera ecuación:
0127712712
712
7 222
xxxxx
x
xx
x
xxyx
2
8
2
174
2
17
2
17
2
48497
12
1214497x
2
6
2
173
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 21
Calculamos el valor de la otra incógnita. Como han salido dos valores para "x", habrá
que calcular dos valores de "y".
Para 4x Solución 1
4
1212y
xy 3y
Para 3x Solución 2
3
1212y
xy 4y
c) 8073
5252
22
22
yx
yx
En este caso el método más adecuado es el de reducción.
8073
5252
22
22
yx
yx
80732
52523
22
22
yx
yx
160146
156156
22
22
yx
yx
160146
156156
22
22
yx
yx
160146
156156
22
22
yx
yx
42 y
442 yy 2y
Calculamos el valor de "x":
Para 2y
5220252452522525252 222222 xxxyx
36362
7272220522 2222 xxxxx 6x
Solución 1: 2,6 yx
Solución 2: 2,6 yx
Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 22
Para 2y
5220252452522525252 222222 xxxyx
36362
7272220522 2222 xxxxx 6x
Solución 3: 2,6 yx
Solución 4: 2,6 yx
FIN DEL TEMA