tema 02. funciones hiperbólicas [v0.8]
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Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaProf. Miguel Walker Urena
Dpto. Matematica AplicadaMA-1002: Calculo 2
Ciclo 1-2014
Tema 2. Funciones Hiperbolicas[ version 0.8, compilado el 13/3/2014 ]
Contenidos
1 Introduccion a las Funciones Hiperbolicas 21.1 Funciones Hiperbolicas Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Recprocos de las Funciones Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 El Calculo con Funciones Hiperbolicas 92.1 Lmites con funciones hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Derivadas con funciones hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Integrales con funciones hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Graficas de funciones Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Funciones Hiperbolicas Inversas 253.1 Funciones invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Funciones Hiperbolicas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Ecuaciones hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Inversas de los recprocos hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Derivadas de funciones hiperbolicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Sustituciones Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Referencias 43
1
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 2
1 Introduccion a las Funciones Hiperbolicas
1.1 Funciones Hiperbolicas Basicas
Definicion 1.1 (Funciones Hiperbolicas). Las siguientes son llamadas funciones hiperbolicas
(a) Seno Hiperbolico: Es la funcion senh : IR IR tal que
senh(x) =ex ex
2=e2x 1
2ex
(b) Coseno Hiperbolico: Es la funcion cosh : IR [ 1,+[ tal que
cosh(x) =ex + ex
2=e2x + 1
2ex
(c) Tangente Hiperbolico: Es la funcion tanh : IR ] 1, 1[ tal que
tanh(x) =senh(x)
cosh(x)=ex exex + ex
=e2x 1e2x + 1
Ejemplo 1.1.
senh(0) =e0 e0
2=
0
2= 0 cosh(0) = e
0 + e0
2=
1 + 1
2= 1
Ejemplo 1.2.
senh(ln 2) =eln 2 e ln 2
2=
2 122
=4 1
4=
3
4
Ejemplo 1.3. Calcule el valor numerico de
cosh[2 ln(3) + ln(5)
]Solucion:
cosh[2 ln(3) + ln(5)
]= cosh
[ln(32) + ln(5)
]= cosh
[ln(32 5)]
= cosh [ln(45)]
=e2x + 1
2ex
x=ln(45)
=e2 ln(45) + 1
2eln(45)
=452 + 1
2 45=
1013
45
Nota 1.1.
senh[ln(a)] =a2 1
2a cosh[ln(a)] = a
2 + 1
2a tanh[ln(a)] = a
2 1a2 + 1
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 3
Ejemplo 1.4 (Ejercicio). Use la Definicion 1.1 para verificar las igualdades de la Nota 1.1.
Ejemplo 1.5. Calcule el valor numerico de la expresion
2 senh(ln(2)) cosh [ ln(4) 3 ln(2) + 1]Solucion: Recordando que 1 = ln(e) tenemos que
2 senh(ln(2)) cosh [ ln(4) 3 ln(2) + 1] = 2 4 12 2 cosh
[ln
(4e
23
)]=
3
2(e2
)2+ 1
2 ( e2)=
3
2 e
2 + 4
4e
=6e e2 4
4e
Ejemplo 1.6. Demuestre la siguiente igualdad
senh(2x) = 2 senh(x) cosh(x)
Solucion:
senh(2x) = 2 senh(x) cosh(x) e4x 12e2x
= 2 e2x 12ex
e2x + 1
2ex
e4x 12e2x
= 2 (e2x 1)(e2x + 1)
4e2x
e4x 12e2x
=e4x 1
2e2x(X)
1.2 Recprocos de las Funciones Hiperbolicas
Definicion 1.2 (Recprocos de las funciones hiperbolicas). Las siguientes son las funciones hiperbolicasrecprocas
(a) Cosecante Hiperbolico: Es la funcion csch : IR \ {0} IR \ {0} tal que
csch(x) =1
senh(x)=
2
ex ex =2ex
e2x 1
(b) Secante Hiperbolico: Es la funcion sech : IR ]0, 1 ] tal que
sech(x) =2
ex + ex=
2ex
e2x + 1
(c) Cotangente Hiperbolico: Es la funcion coth : IR \ {0} IR \ [1, 1] tal que
coth(x) =1
tanh(x)=
cosh(x)
senh(x)=ex + ex
ex ex =e2x + 1
e2x 1
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 4
Ejemplo 1.7. Calcule el valor numerico de la expresion
1 + sech(ln(5)) coth[ln(2) +
1
2ln(3)
]Solucion:
1 + sech[ln(5)] coth[ln(2) +
1
2ln(3)
]= 1 +
1
cosh[ln(5)] 1
tanh[ln(2
3)]
= 1 +2 5
25 + 1(2
3)2
+ 1(2
3)2 1
= 1 +10
26 12 + 1
12 1= 1 +
5
13 13
11
=13 11 + 5 11 132
13 11=
29
143 Ejemplo 1.8. Demuestre la siguiente igualdad
sech2(x) + tanh2(x) = 1
Solucion:
sech2(x) + tanh2(x) = 1 1cosh2(x)
+senh2(x)
cosh2(x)= 1
1 + senh2(x)
cosh2(x)= 1
1 + senh2(x) = cosh2(x)
1 +[e2x 1
2ex
]2=
[e2x + 1
2ex
]2 1 + e
4x 2e2x + 14e2x
=e4x + 2e2x + 1
4e2x
4e2x + e4x 2e2x + 1 = e4x + 2e2x + 1 2e2x = 2e2x (X )
1.3 Propiedades
Teorema 1.1 (Paridad). La funcion senh es impar y la funcion cosh es par, o sea
senh(x) = senh(x) cosh(x) = cosh(x)Prueba.
senh(x) = ex e(x)
2=ex ex
2= senh(x)
igualmente
cosh(x) = ex + e(x)
2=ex + ex
2= cosh(x)
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 5
Teorema 1.2 (Identidad pitagorica).
cosh2(x) senh2(x) = 1Prueba.
cosh2(x) senh2(x) =[e2x + 1
2ex
]2[e2x 1
2ex
]2=e4x + 2ex + 1 (e4x 2ex + 1)
4e2x
=e4x + 2ex + 1 e4x + 2ex 1
4e2x
=4e2x
4e2x
= 1
Teorema 1.3 (Formulas de la suma).
(a)
senh(a+ b) = senh(a) cosh(b) + cosh(a) senh(b)
senh(a b) = senh(a) cosh(b) cosh(a) senh(b)
(b)
cosh(a+ b) = cosh(a) cosh(b) + senh(a) senh(b)
cosh(a b) = cosh(a) cosh(b) senh(a) senh(b)
(c)
tanh(a+ b) =tanh(a) + tanh(b)
1 + tanh(a) tanh(b)
tanh(a b) = tanh(a) tanh(b)1 tanh(a) tanh(b)
Ejemplo 1.9. Verifique la formula
senh(a+ b) = senh(a) cosh(b) + cosh(a) senh(b)
Solucion:
senh(a+ b) = senh(a) cosh(b) + cosh(a) senh(b)
e2(a+b) 1
2ea+b=e2a 1
2ea e
2b + 1
2eb+e2a + 1
2ea e
2b 12eb
e2a+2b 12ea+b
=(e2a 1)(e2b + 1) + (e2a + 1)(e2b 1)
4ea+b
e2a+2b 1 = e2a+2b + e2a e2b 1 + e2a+2b e2a + e2b 1
2
e2a+2b 1 = 2e2a+2b 2
2
e2a+2b 1 = e2a+2b 1 (X )
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 6
Ejemplo 1.10. Pruebe la formula
tanh(a b) = tanh(a) tanh(b)1 tanh(a) tanh(b)
Solucion:
tanh(a b) = tanh(a) tanh(b)1 tanh(a) tanh(b)
senh(a b)cosh(a b) =
senh(a)cosh(a) senh(b)cosh(b)
1 senh(a) senh(b)cosh(a) cosh(b)
senh(a) cosh(b) cosh(a) senh(b)cosh(a) cosh(b) senh(a) senh(b) =
senh(a) cosh(b)cosh(a) senh(b)senh(a) cosh(b)
cosh(a) cos(b)senh(a) sen(b)cosh(a) cosh(b)
senh(a) cosh(b) cosh(a) senh(b)cosh(a) cosh(b) senh(a) senh(b) =
senh(a) cosh(b) cosh(a) senh(b)cosh(a) cosh(b) senh(a) senh(b)
(X)
Ejemplo 1.11 (Ejercicio). Demuestre las partes del Teorema 1.3 que no hayan sido demostradas.
Ejemplo 1.12. Pruebe la formula
senh(a) cosh(b) =senh(a+ b) + senh(a b)
2
Solucion:
senh(a+ b) + sen(a b) = senh(a) cosh(b) + cosh(a) senh(b) + senh(a) cosh(b) cosh(a) senh(b)= 2 senh(a) cosh(b)
luego
senh(a) cosh(b) =senh(a+ b) + senh(a b)
2
Teorema 1.4 (Productos de hiperbolicas).
(a) senh(a) cosh(b) =senh(a+ b) + senh(a b)
2
(b) senh(a) senh(b) =cosh(a+ b) cosh(a b)
2
(c) cosh(a) cosh(b) =cosh(a+ b) + cosh(a b)
2
Ejemplo 1.13 (Ejercicio). Pruebe las partes (b) y (c) del Teorema 1.4.
Teorema 1.5 (Formulas del argumento doble).
(a) senh(2x) = 2 senh(x) cosh(x)
(b) cosh(2x) = senh2(x) + cosh2(x)
(c) tanh(2x) =2 tanh(x)
1 + tanh2(x)
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 7
Prueba.
senh(2x) = senh(x+ x)
= senh(x) cosh(x) + cosh(x) senh(x)
= 2 senh(x) cosh(x)
igualmente
cosh(2x) = cosh(x+ x)
= cosh(x) cosh(x) + senh(x) senh(x)
= cosh2(x) + senh2(x)
= senh2(x) + cosh2(x)
finalmente
tanh(2x) = tanh(x+ x)
=tanh(x) + tanh(x)
1 + tanh(x) tanh(x)=
2 tanh(x)
1 + tanh2(x)
Ejemplo 1.14. Pruebe quesenh(3x) = 3 senh(x) + 4 senh3(x)
Solucion:
senh(3x) = senh(x+ 2x)
= senh(x) cosh(2x) + cosh(x) senh(2x)
= senh(x) [ senh2(x) + cosh2(x) ] + cosh(x) [ 2 senh(x) cosh(x) ]= senh3(x) + senh(x) cosh2(x) + 2 senh(x) cosh2(x)
= senh3(x) + 3 senh(x) cosh2(x)
= senh3(x) + 3 senh(x)[ 1 + senh2(x) ]
= senh3(x) + 3 senh(x) + 3 senh3(x)
= 3 senh(x) + 4 senh3(x)
Teorema 1.6 (Cuadrados de las hiperbolicas).
senh2(x) =cosh(2x) 1
2 cosh2(x) = cosh(2x) + 1
2
Prueba. Recuerde que cosh2(x) senh2(x) = 1 , entonces
cosh(2x) = senh2(x) + cosh2(x) cosh(2x) = senh2(x) + senh2(x) + 1 cosh(2x) = 2 senh2(x) + 1 cosh(2x) 1 = 2 senh2(x) senh2(x) = cosh(2x) 1
2
-
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igualmente
cosh(2x) = senh2(x) + cosh2(x) cosh(2x) = cosh2(x) 1 + cosh2(x) cosh(2x) = 2 cosh2(x) 1 cosh(2x) + 1 = 2 cosh2(x) cosh2(x) = cosh(2x) + 1
2
Ejemplo 1.15. Verifique la igualdad
cosh4(x) =3
8+
cosh(2x)
2+
cosh(4x)
8
Solucion:
cosh4(x) =[cosh2(x)
]2=
[cosh(2x) + 1
2
]2=
cosh2(2x) + 2 cosh(2x) + 1
4
=cosh(4x)+1
2 + 2 cosh(2x) + 1
4
=cosh(4x) + 1 + 4 cosh(2x) + 2
8
=3 + 4 cosh(2x) + cosh(4x)
8
=3
8+
cosh(2x)
2+
cosh(4x)
8
Ejemplo 1.16. Halle una formula para senh(x/2)
Solucion: Por el Teorema 1.6, tenemos que
senh2(x/2) =cosh(x) 1
2= senh(x/2) =
cosh(x) 1
2
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 9
2 El Calculo con Funciones Hiperbolicas
2.1 Lmites con funciones hiperbolicas
Nota 2.1. Las funciones senh y cosh estan definidas y son continuas en todo IR, por lo que paratodo a IR
limxa senh(x) = senh(a) limxa cosh(x) = cosh(a)
Ejemplo 2.1.
limx3
2 senh[ln(x)] + cosh(x)
7 x =2 senh[ln(3)] + cosh(3)
7 3=
2 916 + cosh(3)4
=83 + cosh(3)
4
=8 + 3 cosh(3)
12
Nota 2.2. Cuando tenemos un lmite indeterminado con funciones hiperbolicas, puede ser util expresarel lmite en terminos de exponenciales.
Ejemplo 2.2.
limx0
senh(x)
x=
0
0
por otro lado
limx0
senh(x)
x= lim
x0e2x 12xex
, esto es 0/0
LH=
1
2limx0
2e2x
ex + xex
=1
2 2
1 + 0
= 1
Ejemplo 2.3.
limx4
tanh(x 4)(x 4) cosh(x 4) =
0
0= indeterminado
por otro lado
limx4
tanh(x 4)(x 4) cosh(x 4) = limx4
senh(x 4)(x 4) cosh2(x 4)
= limx4
senh(x 4)(x 4) , pues cosh(0) = 1 6= 0
= 1
Nota 2.3. Recordemos quelim
x+ ex = + lim
x ex = 0
De manera informal se puede escribir: e+ = + e = 0
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 10
Igualmentelim
x+ ex = 0 lim
x ex = +
Ejemplo 2.4.
limx+ senh(x) = limx+
ex ex2
=e+ e
2
=+ 0
2= +
Ejemplo 2.5.
limx tanh(x) = limx
e2x 1e2x + 1
=e 1e + 1
=0 10 + 1
= 1
Teorema 2.1.
(a)lim
x+ senh(x) = + limx senh(x) =
(b)lim
x+ cosh(x) = limx cosh(x) = +
(c)lim
x+ tanh(x) = 1 limx tanh(x) = 1
Ejemplo 2.6 (Ejercicio). Verifique los lmites del Teorema 2.1.
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 11
Ejemplo 2.7.
limx+ tanh(x) [csch(x) + 3] = limx+ 1
[1
senh(x)+ 3
]=
1
+ + 3= 0 + 3
= 3
Ejemplo 2.8.
limx
cosh(x)
csch(x) + senh(x)= lim
xcosh(x)
1senh(x) + senh(x)
= limx
senh(x) cosh(x)
1 + senh2(x)
= limx
senh(x) cosh(x)
cosh2(x)
= limx
senh(x)
cosh(x)
= limx tanh(x)
= 1
Ejemplo 2.9.
limx+
cosh(x) sen [ sech(x)]tanh(3x)
= limx+ cosh(x) sen
[sech(x)
], pues tanh(+) = 1 6= 0
= limx+
sen[
sech(x)]
sech(x)
= lim0
sen()
, pues = sech(x)
x+ 0
= 1
Ejemplo 2.10.lim
x+[senh(x) cosh(x)] = ++ = indeterminadoPor otro lado
limx+[senh(x) cosh(x)] = limx+[senh(x) cosh(x)]
senh(x) + cosh(x)
senh(x) + cosh(x)
= limx+
senh2(x) cosh2(x)senh(x) + cosh(x)
= limx+
1senh(x) + cosh(x)
=1
++ +=1+
= 0
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 12
2.2 Derivadas con funciones hiperbolicas
Teorema 2.2. Para todo x IR[senh(x)
]= cosh(x)
[cosh(x)
]= senh(x)
Prueba. [senh(x)
]=
[ex ex
2
]=ex + ex
2= cosh(x)
igualmente [cosh(x)
]=
[ex + ex
2
]=ex ex
2= senh(x)
Teorema 2.3. Algunas derivadas de uso frecuente
1. [tanh(x)
]= sech2(x)
[coth(x)
]= csch2(x)
2. [sech(x)
]= sech(x) tanh(x)
[csch(x)
]= csch(x) coth(x)
Ejemplo 2.11. Verifique la igualdad[sech(x)
]= sech(x) tanh(x)
Solucion: [sech(x)
]=[ 1
cosh(x)
]= senh(x)cosh2(x)
= tanh(x)cosh(x)
= sech(x) tanh(x)
Ejemplo 2.12 (Ejercicio). Verifique las igualdades del Teorema 2.3.
Ejemplo 2.13. Calcule
D =[
cosh8[x3 sen(3x) ] + 2ex tanh(6x) x3 + 5]
Solucion:
D =[
cosh8[x3 sen(3x) ]]
+ 2[ex tanh(6x)
] 3x2= 8 cosh7[x3 sen(3x) ] senh[x3 sen(3x) ] [ 3x2 3 cos(3x) ] + 2
[ex tanh(6x) + 6ex sech2(6x)
] 3x2
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 13
Ejemplo 2.14.
limx0
1 cosh(x) + 2xln(1 + x)
=0
0= indeterminado
por otro lado
limx0
1 cosh(x) + 2xln(1 + x)
LH= lim
x0 senh(x) + 2
(1 + x)1
=0 + 2
1= 2
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 14
2.3 Integrales con funciones hiperbolicas
Nota 2.4. El hecho de saber que
d
dxsenh(x) = cosh(x) d
dxcosh(x) = senh(x)
nos facilita el calculo de integrales que contienen funciones hiperbolicas.
Teorema 2.4. Como consecuencia del segundo teorema fundamental del calculo, para todo x IRsenh(x) dx = cosh(x) + C
cosh(x) dx = senh(x) +D
siendo C,D IR constantes arbitrarias.Ejemplo 2.15. Calcule
I =
x3 senh(x4) dx
Solucion:Note que
u = x4 = du = 4x3 dxluego
I =1
4
senh(u) du =
1
4cosh(u) + C =
cosh(x4)
4+ C
Nota 2.5 (Integracion por Sustitucion). Recuerde que
f[g(x)
] g(x) dx = f(u) du, donde u = g(x)igualmente b
af[g(x)
] g(x) dx = g(b)g(a)
f(u) du, donde u = g(x)
Ejemplo 2.16. Calcule
I =
ln 50
tanh(x) dx
Solucion:
I =
ln 50
senh(x)
cosh(x)dx
=
13/51
du
u, si u = cosh(x) du = senh(x) dx
= ln(u)13/51
= ln(13/5) ln(1)= ln(13/5)
Ejemplo 2.17. Calcule
I =
senh(x)cosh3(x)
dx
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 15
Solucion: Haciendou = cosh(x) = du = senh(x) dx
obtenemos
I =
u3/2 du =
u3/2+1
3/2 + 1 + C =u1/2
1/2 + C =2
cosh(x)+ C
Nota 2.6 (Integracion por Partes). Recuerde que, para cualquier a en el dominio de f
f(x) g(x) dx = f(x) g(x)f (x) g(x) dx
o lo que es lo mismo u dv = uv
v du
igualmente baf(x) g(x) dx = f(x) g(x)
ba
baf (x) g(x) dx
Ejemplo 2.18. Calcule
I =
ln(4)0
x senh(x) dx
Solucion:Resolvemos por partes [ u = x dv = senh(x) ]luego
I = x cosh(x)
ln(4)0
ln(4)0
cosh(x) dx
= ln(4) cosh[ln(4)] 0 1 senh(x)ln(4)0
= ln(4) 16 + 18 0 1 senh[ln(4)] + senh(0)
=17 ln(2)
4 16 1
8
=17 ln(2)
4 15
8
Ejemplo 2.19. Calcule sech(x) dx
Solucion: sech(x) dx =
1
cosh(x)dx
=
cosh(x)
cosh2(x)dx
=
cosh(x)
1 + senh2(x)dx
=
du
1 + u2, haciendo u = senh(x)
= arctan(u) + C
= arctan[ senh(x) ] + C
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 16
Nota 2.7. El ejemplo anterior tambien puede ser resuelto usando la forma exponencial de sech:sech(x) dx =
2ex
e2x + 1dx
= 2
du
u2 + 1, haciendo u = ex
= 2 arctan(u) +K
= 2 arctan[ ex ] +K
esto significa que
arctan[ senh(x) ] 2 arctan[ ex ] = C K = , es constanterecordando que
tan(a b) = tan(a) tan(b)1 + tan(a) tan(b)
tan(2) = 2 tan 1 tan2()
y por el hecho de que tan[arctan()] = , obtenemos que
tan() =senh(x) tan[2 arctan(ex)]
1 + senh(x) tan[2 arctan(ex)]
=e2x12ex 2e
x
1e2x1 + e
2x12ex 2e
x
1e2x
=
e4x2ex+1+4e2x2ex(e2x1)
1 1=
O sea que = pi/2 es en efecto una constante.En particular,
arctan[senh(0)] 2 arctan[e0] = arctan(0) 2 arctan(1) = 0 2 pi4
= pi2
entonces = pi2Nota 2.8. Recuerde que
F (x) = f(x) f(x) dx = F (x) + C
Ejemplo 2.20. Demuestre quesech3(x) dx =
senh(x)
2 cosh2(x)+
1
2arctan
[senh(x)
]+ C
Solucion: Sea
F (x) =senh(x)
2 cosh2(x)+
1
2arctan
[senh(x)
]entonces
F (x) =1
2 cosh
3(x) 2 senh2(x) cosh(x)cosh4(x)
+1
2 cosh(x)
1 + senh2(x)
=1
2 cosh(x) senh
2(x)
cosh3(x)+
cosh(x)
2 [1 + senh2(x)]
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 17
Hay que demostrar que F (x) = sech3(x), y es cierto si y solo si
sech3(x) =1
2 cosh(x) senh
2(x)
cosh3(x)+
cosh(x)
2 [1 + senh2(x)]
1 = cosh3(x)
2 cosh(x) cosh
3(x) senh2(x)cosh3(x)
+cosh4(x)
2 [1 + senh2(x)]
1 = cosh2(x)
2 senh2(x) + cosh
4(x)
2 [1 + senh2(x)]
1 = cosh2(x)
2 senh2(x) + cosh
4(x)
2 [cosh2(x)], pues cosh2(x) senh2(x) = 1
1 = cosh2(x)
2 senh2(x) + cosh
2(x)
2 1 = cosh2(x) senh2(x) (X )
Como F (x) = sech3(x), entonces sech3(x) dx = F (x) + C
quedando demostrada as la igualdad.
Teorema 2.5. Algunas integrales de uso frecuente
1. tanh(x) dx = ln[cosh(x)] + C
coth(x) dx = ln[senh(x)] + C
2. sech2(x) dx = tanh(x) + C
csch2(x) dx = coth(x) + C
3. sech(x) dx = arctan[ senh(x) ] + C
csch(x) dx =
1
2ln
[cosh(x) 1cosh(x) + 1
]+ C
Ejemplo 2.21 (Ejercicio). Verifique las igualdades del Teorema 2.5.
Ejemplo 2.22. Calcule
I =
tanh[ ln(x) ]
xdx
Solucion:Haciendo
u = ln(x) = du = dxx
obtenemos
I =
tanh(u) du = ln[ cosh(u) ] + C = ln
[cosh
(ln(x)
) ]+ C = ln
[x2 + 1
2x
]+ C
Nota 2.9. Recuerde quecosh2(w) senh2(w) = 1
lo que nos permite imitar metodos de integracion analogos a los trigonometricos.
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 18
Ejemplo 2.23. Calcule
I =
cosh5(x) senh4(x) dx
Solucion:
I =
[cosh2(x)
]2senh4(x) cosh(x) dx
=
[1 + senh2(x)
]2senh4(x) cosh(x) dx
=
[1 + u2
]2u4 du, donde u = senh(x)
=
[1 + 2u2 + u4
]u4 du
=
[u4 + 2u6 + u8
]du
=u5
5+ 2
u7
7+u9
9+ C
=senh5(x)
5+
2 senh7(x)
7+
senh9(x)
9+ C
Nota 2.10. Recuerde que
senh2(w) =cosh(2w) 1
2 cosh2(w) = cosh(w) + 1
2
Ejemplo 2.24. Calcule
I =
1/30
cosh2 [ 3 arctan(x) ]
1 + x2dx
Solucion:
Hagamos
u = arctan(x) = du = dx1 + x2
note que{x = 0 = u = arctan(0) = 0x = 1/
3 = u = arctan(1/3) = pi/6
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 19
luego
I =
pi/60
cosh2(3u) du
=
pi/60
cosh(6u) + 1
2du
=1
2
pi/60
cosh(6u) du+1
2
pi/60
du
=1
2 senh(6x)
6
pi/60
+1
2 upi/60
=senh(pi) senh(0)
12+
1
2(pi
6 0)
=senh(pi) + pi
12
Ejemplo 2.25. Demuestre que
4 cosh3(x) = cosh(3x) + 3 cosh(x)
y usar la igualdad anterior para calcular la integral
I =
senh(x)
6
cosh(3x) + 3 cosh(x)dx
Solucion:
4 cosh3(x) = cosh(3x) + 3 cosh(x)
4 cosh3(x) = cosh(2x+ x) + 3 cosh(x) 4 cosh3(x) = cosh(2x) cosh(x) + senh(2x) senh(x) + 3 cosh(x) 4 cosh3(x) = [senh2(x) + cosh2(x)] cosh(x) + 2 senh(x) cosh(x) senh(x) + 3 cosh(x) 4 cosh3(x) = [2 cosh2(x) 1] cosh(x) + 2 senh2(x) cosh(x) + 3 cosh(x) 4 cosh3(x) = 2 cosh3(x) cosh(x) + 2 senh2(x) cosh(x) + 3 cosh(x) 2 cosh3(x) = 2 senh2(x) cosh(x) + 2 cosh(x) cosh2(x) = senh2(x) + 1 (X )
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 20
luego
I =
senh(x)
6
cosh(3x) + 3 cosh(x)dx
=
senh(x)
6
4 cosh3(x)
dx
=16
4
du6u3, donde u = cosh(x)
=13
2
duu
=13
2 2u+ C
=2
cosh(x)3
2+ C
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 21
2.4 Graficas de funciones Hiperbolicas
Grafica 1 (Seno hiperbolico). La grafica G del seno hiperbolico
IR IR
es el conjunto de puntos (x, y) tales que
y = senh(x)
La grafica del Seno Hiperbolico pasa por el origen pues senh(0) = 0Note que no esta acotada
limx+ senh(x) = + limx senh(x) =
Es siempre creciente pues y = cosh(x) > 0Ademas, como y = senh(x) {
G es ^ x > 0G es _ x < 0
Grafica 2 (Coseno hiperbolico). La grafica G del cosenohiperbolico
IR [ 1,+[es el conjunto de puntos (x, y) tales que
y = cosh(x)
La grafica del Coseno Hiperbolico pasa por el punto (0, 1).Note que esta acotada inferiormente por 1 pero no esta acotada superiormente
limx+ cosh(x) = limx cosh(x) = +
Como y = senh(x) {G es x > 0G es x < 0
Es siempre ^ pues y = cosh(x) > 0
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 22
Grafica 3 (Tangente hiperbolico). La grafica G del tangentehiperbolico
IR] 1, 1[es el conjunto de puntos (x, y) tales que
y = tanh(x)
La grafica del Tangente Hiperbolico pasa por el origen pues tanh(0) = 0Hay dos asntotas horizontales: y = 1
limx+ tanh(x) = 1 limx tanh(x) = 1
Es siempre creciente pues y = sech2(x) > 0Ademas, como y = 2 sech2(x) tanh(x){
G es ^ x < 0G es _ x > 0
Note ademas que G esta acotada entre 1 y 1
Grafica 4 (Cosecante hiperbolico). La grafica G del Cosecantehiperbolico
IR \ {0} IR \ {0}es el conjunto de puntos (x, y) tales que
y = csch(x)
La grafica del Cosecante Hiperbolico tiene asntota vertical x = 0
limx0+
csch(x) = + limx0
csch(x) =
y asntota horizontal y = 0 pues
limx+ csch(x) = limx csch(x) = 0
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 23
Es siempre decreciente pues y = csch2(x) cosh(x) < 0Ademas, como y = csch(x)
[csch2(x) + coth2(x)
]{G es ^ x > 0G es _ x < 0
Grafica 5 (Secante hiperbolico). La grafica G del Secantehiperbolico
IR ]0, 1 ]es el conjunto de puntos (x, y) tales que
y = sech(x)
La grafica del Secante Hiperbolico pasa por el punto (0, 1) y tiene asntota horizontal y = 0 pues
limx+ sech(x) = limx+ sech(x) = 0
Ademas, como y = sech2(x) senh(x){G es x < 0G es x > 0
Es siempre _ pues y = sech(x) [
tanh2(x) sech2(x)]< 0 siempre.
Secante Hiperbolico esta acotado entre 0 y 1.
Grafica 6 (Cotangente hiperbolico). La grafica G delCotangente hiperbolico
IR \ {0} ],1 [ ]1,+[
es el conjunto de puntos (x, y) tales que
y = coth(x)
La grafica del Cotangente Hiperbolico tiene asntota vertical x = 0:
limx0+
coth(x) = + limx0
coth(x) =
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 24
y tiene asntotas horizontal y = 1 pues
limx+ coth(x) = 1 limx coth(x) = 1
Es siempre decreciente pues y = csch2(x) < 0Ademas, como y = 2 csch3(x) cosh(x){
G es ^ x > 0G es _ x < 0
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 25
3 Funciones Hiperbolicas Inversas
3.1 Funciones invertibles
Recordemos que
Definicion 3.1 (Funcion Inversa). Una funcion f : A B es invertible si y solo si existe una funcion
f1 : B A
tal que x A, f1 [f(x)] = x.O lo que es lo mismo
y = f(x) f1(y) = xf1 es llamada funcion inversa de f .
Notas 3.1. Recuerde que:
1. f : A B es funcion x A, ! y B t.q. y = f(x)2. f : A B es inyectiva si: f(x1) = f(x2) x1 = x23. f : A B es sobreyectiva y B, x A t.q. y = f(x).
O sea, f(A) = Img(f) = B
4. f : A B es biyectiva f es inyectiva y sobreyectiva.Entonces f es biyectiva y B, !x A t.q. y = f(x).
5. f : A B es invertible f es una funcion biyectiva.En tal caso y0 = f(x0) f1(y0) = x0.
Nota 3.2. Considere C : y = f(x) una curva en el plano IR2
tal que f invertible.Si D : y = f1(x) es la curva correspondiente a la inversa de f ,D es generado por la reflexion de los puntos de C con respectoa la recta identidad ` : y = x.O sea,
(x0, y0) C (y0, x0) D
Ejemplo 3.1. Si f(x) = ex, entonces f1(x) = lnx, a continuacion las representaciones graficas de las
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 26
curvas que se generan:
Nota 3.3. Una funcion f es invertible en un intervalo ]a, b[ si y solo si f es monotona en ]a, b[.Decir que f es monotona en ]a, b[ significa que f siempre o f siempre en ]a, b[, o sea
x ]a, b[, f (x) > 0 x ]a, b[, f (x) < 0
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 27
3.2 Funciones Hiperbolicas Inversas
Nota 3.4. La funcion senh es monotonamente creciente en todo su dominio, por lo que es invertibleen todo IR.
Definicion 3.2 (Arcoseno Hiperbolico). El Arcoseno Hiperbolico
arcsenh : IR IR
corresponde a la funcion inversa de la funcion senh : IR IR .En tal caso se escribe
y = arcsenh(x) = senh1(x) senh(y) = x
Teorema 3.1. Para todo x IR
arcsenh(x) = senh1(x) = ln[x+
x2 + 1
]Prueba. Para todo x IR
senh1(x) = ln[x+
x2 + 1
] x = senh
[ln[x+
x2 + 1
] ]
x = e2u 12eu
u=ln[x+
x2+1 ]
x =[x+x2 + 1
]2 12[x+x2 + 1
] x = x
2 + 2xx2 + 1 + x2 + 1 1
2x+ 2x2 + 1
x = 2x2 + 2x
x2 + 1
2x+ 2x2 + 1
= x 2x+ 2x2 + 1
2x+ 2x2 + 1
x = x
Queda entonces verificado que la igualdad es correcta.
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 28
Nota 3.5. La funcion cosh es invertible cuando se redefine su dominio, diremos que el cosenohiperbolico es invertible como una funcion monotonamente creciente
[ 0,+[ [ 1,+[
Definicion 3.3 (Arcocoseno Hiperbolico). El Arcocoseno Hiperbolico
arccosh : [ 1,+[ [ 0,+[
corresponde a la funcion inversa de la funcion redefinida cosh : [ 0,+[ [ 1,+[ .En tal caso se escribe
y = arccosh(x) = cosh1(x) cosh(y) = x
Teorema 3.2. Para todo x [ 1,+[
arccosh(x) = cosh1(x) = ln[x+
x2 1
]Ejemplo 3.2 (Ejercicio). Demuestre el Teorema 3.2.
Nota 3.6. La funcion tanh es monotona creciente en todo su dominio, por lo que es invertible entodo IR.
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 29
Definicion 3.4 (Arcotangente Hiperbolico). El Arcotangente Hiperbolico
arctanh : ] 1, 1[ IRcorresponde a la funcion inversa de la funcion tanh : IR ] 1, 1[ .
En tal caso se escribe
y = arctanh(x) = tanh1(x) tanh(y) = x
Teorema 3.3. Para todo x ] 1, 1[
arctanh(x) = tanh1(x) =1
2ln
[1 + x
1 x]
Ejemplo 3.3 (Ejercicio). Demuestre el Teorema 3.3.
Ejemplo 3.4. Calcule el valor numerico de la expresion
senh[tanh1(1/3)
]Solucion:
senh[tanh1(1/3)
]= senh
[1
2ln
(1 + 1/3
1 1/3)]
= senh
[ln
4/3
2/3
]= senh
[ln
2]
=2 12
2
=1
2
2
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 30
Ejemplo 3.5. Halle una formula explcita para la expresion
cosh[2 senh1(x)
]Solucion:
cosh[2 senh1(x)
]= cosh
[2 ln
(x+
x2 + 1
)]= cosh
[ln(x+
x2 + 1
)2]
=
(x+x2 + 1
)4+ 1
2(x+x2 + 1
)2
Ejemplo 3.6. Demuestre que
cosh1(x) = ln[x+
x2 1
]Solucion:
cosh1(x) = ln[x+
x2 1
] x = cosh
{ln[x+
x2 1
]}
x =[x+x2 1
]2+ 1
2[x+x2 1
] 2x = x
2 + 2x2 1 + x2 1 + 1x+x2 1
2x = 2x2 + 2x
x2 1
x+x2 1
2x = 2x(x+x2 1)
x+x2 1
2x = 2x (X )
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 31
3.3 Ecuaciones hiperbolicas
Definicion 3.5. Una ecuacion de la forma
F (senh(x), cosh(x)) = 0
o equivalente a una forma como la anterior, es llamada ecuacion hiperbolica.Si una ecuacion hiperbolica esta escrita en terminos de otras funciones hiperbolicas distintas de seno y
coseno hiperbolico, se recomienda trasformarla y simplificarla en terminos de senos y cosenos hiperbolicos.Para su solucion podemos descomponer la ecuacion a su forma exponencial, o utilizar formulas de
funciones hiperbolicas inversas.senh1(x) = ln
[x+
x2 + 1
], x IR
cosh1(x) = ln[x+
x2 1
], x [ 1,+[
tanh1(x) =1
2ln
[1 + x
1 x]
, x ] 1, 1[
Nota 3.7 (Ecuaciones Hiperbolicas Elementales). Tomar en cuenta que
senh(x) = a x = senh1(a) = ln[a+
a2 + 1
], a IR
cosh(x) = a x = cosh1(a) = ln[a+
a2 1
], a [ 1,+[
tanh(x) = a x = tanh1(a) = 12
ln
[1 + a
1 a]
, a ] 1, 1[
Ejemplo 3.7. Halle el valor de x tal que
tanh(x) =1
3
Solucion:Opcion 1: Usando las formulas
x = tanh1(1/3) =1
2ln
[1 + 1/3
1 1/3]
=1
2ln
[4/3
2/3
]=
ln(2)
2
Opcion 2: Usando exponenciales
tanh(x) =1
3 e
2x 1e2x + 1
=1
3
3e2x 3 = e2x + 1 2e2x = 4 e2x = 2 2x = ln(2) x = ln(2)
2
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 32
Ejemplo 3.8. Resuelva la ecuacion
senh(x) tanh(x) 1 = 4 sech(x)Solucion:
senh(x) tanh(x) 1 = 4 sech(x) senh(x) tanh(x) + sech(x) = 5
senh2(x)
cosh(x)+
1
cosh(x)= 5
senh2(x) + 1
cosh(x)= 5
cosh2(x)
cosh(x)= 5
cosh(x) = 5 x = cosh1(5) = ln [5 +25 1 ] = ln [5 +24]
O de otra manera
cosh(x) = 5 e2x + 1
2ex= 5
e2x + 1 = 10 ex e2x 10 ex + 1 = 0 w2 10w + 1 = 0, para w = ex
luego
ex = w =10100 4
2
=1096
2
=104 24
2
= 5
24
Se concluye entonces que
ex = 5
24 x = ln[5
24]
Note que
ln[5 +
25] = ln
[1
5 +
24
]= ln
[52425 24
]= ln
[5
25]
Al final el conjunto solucion de la ecuacion es
S ={ ln
[5 +
25], ln
[5 +
25] }
Nota 3.8. Recordemos que
aw2 + bw + c = 0 w = bb2 4ac
2a
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 33
Ejemplo 3.9. Halle el conjunto solucion de la siguiente ecuacion hiperbolica:
3 cosh2(x) + senh(x) = 15 + 2 senh2(x)
Solucion: La ecuacion es hiperbolica cuadratica, como hay un termino senh lineal, es convenienteexpresar toda la ecuacion en terminos de senh usando la identidad pitagorica:
3 cosh2(x) + senh(x) = 15 + 2 senh2(x) 3[ 1 + senh2(x) ] + senh(x) = 15 + 2 senh2(x) 3 + 3 senh2(x) + senh(x) 15 2 senh2(x) = 0 senh2(x) + senh(x) 12 = 0 w2 + w 12 = 0, donde w = senh(x)
luego
w =11 + 4 12
2=149
2=
{6/2 = 3
8/2 = 4o simplemente factorizamos
w2 + w 12 = 0 (w 3)(w + 4) = 0 w = 3 w = 4
Tenemos entonces
senh(x) = 3 senh(x) = 4x = senh1(3) x = senh1(4)
x = ln[3 +
9 + 1] x = ln [4 +16 + 1 ]
x = ln[3 +
10] x = ln
[4 +
17]
El conjunto solucion corresponde a
S ={
ln[3 +
10], ln
[4 +
17]}
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 34
3.4 Inversas de los recprocos hiperbolicas
Nota 3.9. La funcion csch es monotonamente decreciente en todo su dominio, por lo que es invertibleen todo IR \ {0}.
Definicion 3.6 (Arcocosecante Hiperbolico). El Arcocosecante Hiperbolico
arccsch : IR \ {0} IR \ {0}
corresponde a la funcion inversa de la funcion csch : IR \ {0} IR \ {0} .En tal caso se escribe
y = arccsch(x) = csch1(x) csch(y) = x
Teorema 3.4. Para todo x IR \ {0}
arccsch(x) = csch1(x) = senh1(1/x) = ln
[1
x+
1
x2+ 1
]
Prueba.
y = csch1(x) csch(y) = x 1
senh(y)= x
senh(y) = 1x
y = senh1(1/x) = ln[
1
x+
1
x2+ 1
]
Nota 3.10. La funcion sech es invertible cuando se redefine su dominio, diremos que el secantehiperbolico es invertible como una funcion monotonamente decreciente
[ 0,+[ ] 0, 1 ]
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 35
Definicion 3.7 (Arcosecante Hiperbolico). El Arcosecante Hiperbolico
arcsech : ] 0, 1 ] [ 0,+[corresponde a la funcion inversa de la funcion redefinida sech : [ 0,+[ ] 0, 1 ] .En tal caso se escribe
y = arcsech(x) = sech1(x) sech(y) = x
Teorema 3.5. Para todo x [ 0,+[
arcsech(x) = sech1(x) = cosh1(1/x) = ln
[1
x+
1
x2 1
]
Ejemplo 3.10 (Ejercicio). Demuestre el Teorema 3.5.
Nota 3.11. La funcion coth es monotonamente decreciente en todo su dominio, por lo que es invertibleen todo IR \ {0}.
Definicion 3.8 (Arcocotangente Hiperbolico). El Arcocotangente Hiperbolico
arccoth : IR \ [1, 1] IR \ {0}corresponde a la funcion inversa de la funcion coth : IR \ {0} IR \ [1, 1] .
En tal caso se escribe
y = arccoth(x) = coth1(x) coth(y) = x
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 36
Teorema 3.6. Para todo x ],1[ ]1,+[
arccoth(x) = coth1(x) = tanh1(1/x) =1
2ln
[x+ 1
x 1]
Ejemplo 3.11 (Ejercicio). Demuestre el Teorema 3.6.
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 37
3.5 Derivadas de funciones hiperbolicas inversas
Teorema 3.7 (Derivadas de las funciones hiperbolicas inversas).
(a) [senh1(x)
]=
1x2 + 1
[cosh1(x)] = 1x2 1
[tanh1(x)
]=
1
1 x2
(b)
[csch1(x)
]=
1|x|1 + x2
[sech1(x)
]=
1x
1 x2 [coth1(x)
]=
1
1 x2
Ejemplo 3.12. Calcule [cosh1
(x4)]
Solucion: [cosh1
(x4)]]
=1
(x4)2 1 4x3
=4x3x8 1
Ejemplo 3.13. Demuestre la igualdad [
senh1(x)]
=1
x2 + 1
Solucion: Podemos calcular directamente usando la formula del senh [senh1(x)
]=[ln(x+
x2 + 1
)]=
(x+x2 + 1
)x+x2 + 1
=1 + 2x
2x2+1
x+x2 + 1
=
x2 + 1 + x
x2 + 1
(x+x2 + 1
)=
1x2 + 1
Nota 3.12 (Teorema de la funcion inversa). Recordemos que si f es invertible y derivable[
f1(x)]
=1
f [ f1(x) ]
Ejemplo 3.14. Calcule la derivada [senh1(x)
]usando el teorema de la funcion inversa.
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 38
Solucion: [senh1(x)
]=
1
senh[senh1(x)
]=
1
cosh[senh1(x)
]note que
cosh2(w) senh2(w) = 1 = cosh(w) =
1 + senh2(w)
entonces [senh1(x)
]=
1
cosh[senh1(x)
]=
11 + senh2
[senh1(x)
]=
11 + x2
Ejemplo 3.15 (Ejercicio). Verifique las igualdades del Teorema 3.7.
Teorema 3.8 (Primitivas Hiperbolicas Inversas).
(a) dx
1 x2 ={
tanh1(x) + C , si x ] 1, 1[coth1(x) + C , si x ],1[ ]1,+[
=1
2ln
1 + x1 x+ C
(b) dx
1 + x2= senh1(x) + C = ln
(x+
x2 + 1
)+ C
dxx2 1 = cosh
1(x) + C = ln(x+
x2 1)+ C
(b) dx
x
1 x2 = sgn(x) sech1(|x|) + C
= ln (1/|x|+1/x2 1 )+ Csiendo
sgn(x) =
1 si x > 0
0 si x = 0
1 si x < 0
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 39
Ejemplo 3.16. Calcule la integral
I =
pi/60
sec2()
1 tan2() d
Solucion: Seax = tan() = dx = sec2() d{
= 0 = x = tan(0) = 0 = pi/6 = x = tan(pi/6) = 1/3
luego
I =
1/30
dx
1 x2
= tanh1(x)1/3
0
= tanh1(1/
3) tanh1(0)
=1
2ln
[1 + 1/
3
1 1/3
] 1
2ln
[1 + 0
1 0]
=1
2ln
[3 + 13 1
]
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 40
3.6 Sustituciones Hiperbolicas
Nota 3.13. Comocosh2(z) senh2(z) = 1
obtenemos las siguientes igualdades
(a) 1 + senh2(z) = cosh2(z)
(b) cosh2(z) 1 = senh2(z)(c) 1 tanh2(z) = sech2(z)
Definicion 3.9 (Sustituciones Hiperbolicas). Se tienen las siguientes sustituciones hiperbolicas sugeridas:
(a) Cuando una integral tiene la forma
I =
F[x,a2 + x2
]dx
hacer
x = a senh(z) ={dx = a cosh(z) dza2 + x2 = a cosh(z)
luego
I =
F[a senh(z), a cosh(z)
] a cosh(z) dz(b) Cuando una integral tiene la forma
I =
F[x,x2 a2
]dx
hacer
x = a cosh(z) ={dx = a senh(z) dzx2 a2 = a| senh(z)|
luego
I =
F[a cosh(z), a| senh(z)| ] a senh(z) dz
(c) Cuando una integral tiene la forma
I =
F[x,a2 x2
]dx
hacer
x = a tanh(z) ={dx = a sech2(z) dza2 x2 = a sech(z)
luego
I =
F[a tanh(z), a sech(z)
] a sech2(z) dz
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 41
Ejemplo 3.17. Calcule usando una sustitucion hiperbolica adecuada
I =
x dx
25 + x2
Solucion: Sea x = 5 senh(z), entonces
dx = 5 cosh(z) dz
25 + x2 = 5 cosh(z)
luego
I =
5 senh(z) 5 cosh(z) dz
5 cosh(z)
= 5
senh(z) dz
= 5 cosh(z) + C
= 5 cosh [arcsen(x/5)] + C
= 5
1 + senh2 [arcsen(x/5)] + C
= 5
1 + (x/5)2 + C
=
25 + x2 + C
Ejemplo 3.18. Calcule usando una sustitucion hiperbolica adecuada
I =
9 x2x
dx
Solucion: Sea x = 3 tanh(z), entonces
dx = 3 sech2(z) dz
9 x2 = 3 sech(z)luego
I =
3 sech(z) 3 sech2(z)
3 tanh(z)dz
= 3
dz
senh(z) cosh2(z)
= 3
senh(z) dz
senh2(z) cosh2(z)= 3
senh(z) dz
[cosh2(z) 1] cosh2(z)= 3
dw
(w2 1)w2 , donde w = cosh(z) = dw = senh(z) dz
= 3
1 w2 + w2(w2 1)w2 dw
= 3
[1w2
+1
w2 1]dw
=3
w+
3
2ln
[w 1w + 1
]+ C, pues w = cosh(z) 1
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 42
Pues1
w2 1 =1
2
w + 1 (w 1)(w 1)(w + 1) =
1
2
[1
w 1 1
w + 1
]Finalmente
I =3
cosh(z)+
3
2ln
[cosh(z) 1cosh(z) + 1
]+ C
donde
z = tanh1[x/3] =1
2 ln[
1 + x/3
1 x/3]
=1
2 ln[
3 + x
3 x]
Ejemplo 3.19 (Ejercicio). Utilice sustituciones hiperbolicas para calcular las integrales indefinidas
(a) I =
x+ 21 + x2
dx
R/ I =1
2
[(x+
x2 + 1)2 + 1
x+x2 + 1
]+ 2 ln(x+
x2 + 1) + C
(b) I =
3 dx
xx2 1
R/ I = 3 arctan
[(x+
x2 1)2 1
2(x+x2 1)
]+ C
Ejemplo 3.20. Calcule usando una sustitucion hiperbolica adecuada
I =
x2 + 6x+ 2 dx
Solucion: Completando cuadrados
I =
x2 + 6x+ 9 9 + 2 dx =
(x+ 3)2 7 dx
Seax+ 3 =
7 cosh(z) = dx =
7 senh(z) dz
luego
I =
7 cosh2(z) 7
7 senh(z) dz
= 7
| senh(z)| senh(z) dz
= 7 sgn(z)
senh2(z) dz
= 7 sgn(z)
cosh(2z) 1
2dz
= 7 sgn(z) [
senh(2z)
4 z
2
]+ C
donde
z = cosh1(x+ 3
7
)= ln
(x+ 3
7+
(x+ 3)2
7 1
)
-
Tema 2. Funciones Hiperbolicas 43
note tambien que
senh(2z) = senh
{2 ln
(x+ 3
7+
(x+ 3)2
7 1
) }
= senh
ln(x+ 3
7+
(x+ 3)2
7 1
)2 =
(x+37
+
(x+3)2
7 1)4 1
2
(x+37
+
(x+3)2
7 1)2
Referencias
[1] Larson R., Hostetler, Calculo y Geometra Analtica, Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1989
[2] Edwards C. H., Advances Calculus of Several Variables, Academic Press Inc., New York, USA 1973
[3] Spiegel M. R., Manual de formulas y tablas matematicas, Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1970
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