tema 0 2º bach

Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA

TEMA 1 Cinemática,

Dinámica y Energía

1. Magnitudes vectoriales1.1. Operaciones con magnitudes vectoriales

2. Cinemática del punto material2.1. Cinemática de los diferentes movimientos.2.2. Composición de movimientos

3. Causas del movimiento. DINÁMICA3.1. Leyes de Newton3.2. Teorema de conservación de la cantidad de movimiento3.3. Aplicaciones de las leyes de Newton.

4. Trabajo y Energía4.1. Definición de trabajo4.2. Definición de energía.4.3. Conservación de la Ec. Teorema de las fuerzas vivas.4.4. Teorema de conservación de la Energía mecánica.

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1. MAGNITUDES VECTORIALES.

Como hemos visto en cursos anteriores, la ciencia se construye sobre una serie de magnitudes que identifican y cuyas relaciones definen un fenómeno objeto de estudio

EscalaresLas magnitudes pueden ser de dos tipos

Vectoriales

Una magnitud escalar es aquella que queda perfectamente definida dando un valor, que indica la intensidad con que se manifiesta la magnitud y una unidad.

Una magnitud vectorial no queda definida perfectamente dando un número. Viene representada mediante un vector.

Un vector es un segmento orientado caracterizado por:

- Módulo: Representado por la longitud del segmento. Depende del valor numérico de la magnitud: de su intensidad.

- Dirección: Recta sobre la que se apoya el segmento.- Sentido: Hacia donde apunta la flecha.- Punto de Aplicación: Origen del vector.

Para expresar matemáticamente un vector, necesitamos un SISTEMA DE REFERENCIA. (S.R.)

Tomaremos como S.R. una terna de ejes coordenados ortogonales (x,y,z,) y los versores

.

- Módulo =

- Dirección: La marcada por el versor director

- Sentido: El marcado por el versor director

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http://www.math.rutgers.edu/~greenfie/mill_courses/math251/gifstuff/ijk.gif%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5


- Cosenos directores:

1.1. Operaciones con vectoresSean los dos vectores A y B que se describen

analíticamente a continuación:

Podremos realizar las siguientes operaciones:

a) Suma y diferencia:

b) Producto escalar de dos vectores: Es un escalar que representa la proyección de un vector

sobre el otro.

Siendo α el ángulo que forman

Utilizando las componentes de los vectores:

El producto escalar es la proyección de un vector sobre otro.

c) Producto vectorial de dos vectores: Es otro vector con:

Módulo: ; siendo α el ángulo que forman

Dirección: perpendicular a los dos vectores y

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Sentido: El de la regla del tornillo al hacer girar el primero sobre el segundo por el camino más corto.

Utilizando las componentes de los vectores, el vector producto vectorial, en componentes será:

d) Derivada temporal de un vector: Si tenemos un vector que varía con el tiempo, o sea, sus componentes varían con t; son funciones de t.

e) Cuando un vector, sus componentes, cumplen las condiciones de integrabilidad podemos calcular:

·) Su circulación a lo largo de una curva entre dos puntos A y B.

Ejemplo: Trabajo realizado por una fuerza.C: Curva de integración

: Camino infinitesimal que nos marca como ir de

A a B por C.

··) Flujo de un vector a través de una superficie SLa superficie en matemáticas se puede representar como un vector con:

Módulo: s = Área. Dirección: Perpendicular a la superficie. Sentido: Hacia fuera.

= vector infinitesimal cuya suma

representa todo .

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Ejercicios:1. Dados los vectores

,

,

;Hallar:a) A, B, C.b)

2. Una magnitud viene representada por un vector en un espacio bidimensional

Calcular:) Módulo del vector.b) Cosenos directores.c) Versor que marca la dirección y el sentido de .

3. Una magnitud viene representada por un vector bidimensional . Sabiendo que su módulo es 15 y que forma un ángulo de 30º con el eje OX. Calcula:

a) Componentes del vector.b) Vector unitario .

2. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIAL.

Para estudiar el movimiento de un punto material en el espacio vamos a necesitar un S.R. y una serie de magnitudes.

Vector de posición:

Es el vector que va desde 0 hasta el punto del espacio donde se

encuentra el móvil. Si varía

con el tiempo, el objeto se mueve.

Trayectoria: Curva descrita por el punto en su movimiento. Desplazamiento: Si el móvil va desde A hasta B, es un vector.

(SI) m

El espacio recorrido no es solo coincide si la trayectoria es rectilínea.

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Ecuación de movimiento: Es la ecuación que describe la posición del móvil a lo largo del tiempo.

S.I. (m)

Velocidad media e instantánea:

Aceleración media e instantánea:

2.1. Cinemática de los diferentes movimientos

a) M.R.U. (Es constante en dirección y módulo por lo que su trayectoria línea recta)

Si conocemos el vector aceleración y las condiciones iniciales del movimiento, podemos determinar la velocidad; y una vez conocida ésta, hallar el vector de posición.

Si ó

El movimiento se da en una sola dirección podemos pasar del estudio vectorial.

Espacio recorrido.

Gráficas

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b) M.R.U.A.

Como el movimiento se da en línea recta podemos pasamos del carácter vectorial.

Suponiendo Posición inicial cero; eliminando .

Gráficas

Ejercicios:4. La ecuación de la trayectoria de un móvil es

Calcular

a) b) y c) , y en y .

5. La velocidad de un móvil aumenta uniformemente desde 20m/s hasta 108 m/s en 5s. ¿Qué espacio recorrió el móvil en ese tiempo?

6. Un móvil circula a 90km/h y consigue parar tras recorrer 312,5m. Calcula la aceleración media y el tiempo en parar.

7. Desde lo alto de una torre de 100m se lanza hacia abajo un cuerpo con una velocidad inicial de 20 m/s. Calcular:

a) v en b) t al llegar al suelo y v en ese momento.

8. Lanzamos un objeto hacia arriba con 40 m/s. Calcular la altura máxima alcanzada y el tiempo que tarda.

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c) M.C.U.

La trayectoria será una circunferencia y utilizaremos magnitudes angulares.En este movimiento la velocidad angular cte

En este movimiento, al ir variando continuamente la dirección de la velocidad, ES UN MOVIMIENTO ACELERADO.Si recordamos, la aceleración tiene dos componentes que llamábamos intrínsecas:

Aceleración tangencial: Expresa la variación del módulo de la velocidad.

Aceleración normal: Expresa la variación de la dirección de la velocidad.

Ejercicios:

9. Un automóvil toma una curva de 142m de radio con una velocidad cuyo módulo

aumenta según la ecuación en unidades del S.I. Calcula la y en

.

10. Dado el vector en unidades S.I. Calcula:

a) y

b) Componentes intrínsecas de la aceleración.

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MAGNITUDES ANGULARES Y UNIDADES

Ángulo que forma con el eje OX

Velocidad angular media

Velocidad angular instantánea

= Aceleración angular media

Aceleración angular instantánea

RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES

En un M.C.U.

En un M.C.U.A.

Ejercicios11. Un disco de 10cm gira con una velocidad de 45rpm. Calcula:

a) Su ω en .

b) Velocidad lineal en los puntos de la periferia.c) Ángulo descrito en 15 minutos y el nº de vueltas que da en ese tiempo.d) Componentes intrínsecas de la aceleración.

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12. Las ruedas de una bicicleta, de 50cm de radio, giran a partir del reposo durante 40s

con una aceleración angular de . A continuación mantiene la velocidad

adquirida durante 1 minuto. Calcula:a) ω final de las ruedas y v final.b) Nº de vueltas que da la rueda.c) Distancia recorrida por la bicicleta.

13. Una rueda de radio 0,4m parte del reposo y al cabo de 4 segundos adquiere . Calcular:

a) ω en .

b) velocidad lineal.c) Aceleración normal y tangencial.

2.2. Composición de movimientos.

Los movimientos en dos dimensiones son la combinación de dos movimientos simples, cada uno en una dimensión.Para estudiar estos movimientos compuestos debemos:

- Distinguir claramente la naturaleza de cada uno de los movimientos x(t) e y(t) componentes.

- Aplicar a cada movimiento componente sus propias ecuaciones.- Hallar las ecuaciones del movimiento compuesto sabiendo que:

El vector de posición del móvil se obtiene sumando vectorialmente los vectores de posición de los movimientos componentes:

y su módulo es .

La velocidad se obtiene sumando vectorialmente los vectores velocidad de los movimientos componentes:

. Su módulo es

El tiempo empleado en el movimiento compuesto es igual al tiempo empleado en cualquiera de los movimientos componentes.

Composición de dos MRU perpendicularesEs la composición de un MRU sobre el eje X y otro MRU sobre el eje Y.

Eje X: MRU

Eje Y: MRU

Ejemplo: Movimiento de una barca sometida a la corriente de un río.

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Movimiento parabólico

Es la composición de un MRU sobre el eje X y un MRUA con la aceleración de la gravedad, sobre el eje Y.

Eje X: MRU

ConstanteEje Y: MRUA

Donde

Ejemplo: Un objeto lanzado desde lo alto de un edificio con una inclinación sobre la horizontal.

Ejercicios

14. Una barca cruza un río de 30m de anchura. Si la velocidad de la corriente es de 4 m/s y la barca desarrolla una velocidad de 2 m/s perpendicular a la corriente, calcula:

a) El tiempo que tarda la barca en cruzar el río.b) La distancia que recorre.c) La ecuación de su trayectoria.

15. Se lanza un balón desde un montículo de 50m de altura, con una velocidad de 100 m/s que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Calcula: a) la altura máxima b) El tiempo de movimiento y el alcance.

16. Se lanza un proyectil desde la cima de una montaña de 200m de altura, con una velocidad de 50 m/s y un ángulo de inclinación de 45º. Calcula:

a) La altura máxima que alcanza.b) La velocidad en el punto más alto.c) El alcance.

17. Se dispara un proyectil formando un ángulo de 53º por encima de la horizontal alcanzando un edificio alejado 43,2m en un punto que se encuentra 13,5m por encima del punto de lanzamiento. Calcular:

a) Velocidad de disparo.b) Tiempo de vuelo.c) Velocidad cuando choca con el edificio.

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3. CAUSAS DEL MOVIMIENTO. DINÁMICA.Un objeto en reposo puede ponerse en movimiento cuando lo empujamos con una fuerza. De la misma manera, éste puede detenerse cuando le aplicamos una fuerza. También podemos cambiar la dirección del movimiento de un objeto.Todos los cambios en el movimiento se deben a la acción de una o varias fuerzas

3.1. Leyes de NewtonPrimera ley o ley de la inercia

Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme si no actúa ninguna fuerza sobre él, o si la resultante de las fuerzas que actúan es nula.

NOTAS IMPORTANTES.- Sobre un cuerpo siempre actúa alguna fuerza (su peso, el rozamiento…) No

obstante, si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es nula, la situación equivale a que no actúe ninguna fuerza sobre él.

- Para que un cuerpo se mantenga en MRU debe actuar sobre él una fuerza que se oponga a la de rozamiento y la neutralice.

Ejemplo:17. Calcula la fuerza que debe comunicarse a un cuerpo de 300kg de masa para que se deslice por el suelo con velocidad constante si el coeficiente de rozamiento cinético es de 0,3.

Segunda ley o ley fundamental de la dinámica

Si sobre un cuerpo actúa una fuerza resultante, , éste adquiere una aceleración,

que es directamente proporcional a la fuerza:

m es la masa inercial del cuerpo.

NOTAS:- Si la fuerza resultante sobre el cuerpo es 0, su aceleración también será 0 y éste

permanecerá en reposo o en MRU como afirma la primera ley.- Si la fuerza resultante es diferente de 0, la aceleración tiene la misma dirección y

sentido que la fuerza resultante.

Ejemplo:18. Calcula la aceleración de un paquete de 2kg que asciende verticalmente atado a una cuerda cuya tensión es de 30N.

Tercera ley o principio de acción y reacción

Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, éste a su vez ejerce sobre el

primero una fuerza con el mismo módulo y dirección, pero de sentido contrario:

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NOTAS:

- Las dos fuerzas y , llamadas de acción y reacción, son simultáneas.

- Aunque ambas fuerzas son opuestas, no se anulan mutuamente, debido a que se ejercen sobre cuerpos distintos.

3.2. Teorema de conservación de la cantidad de movimientoLa cantidad de movimiento representa una medida de la dificultad de detener un cuerpo en movimiento. Así, la dificultad de detener un camión es mayor cuanto mayor es su masa y su velocidad.

El momento lineal o cantidad de movimiento , de un cuerpo es el producto de su masa por su velocidad.

Es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y sentido que la velocidad.Esta expresión es válida para un cuerpo simple o partícula. Para sistemas con más de una partícula, la cantidad de movimiento total del sistema es el vector suma de las cantidades de movimiento de las partículas individuales.

A partir de la segunda ley de Newton podemos relacionar la cantidad de movimiento de un cuerpo con la fuerza resultante que actúa sobre él.

La fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es igual a la derivada de su cantidad de movimiento respecto al tiempo. Esta expresión de la segunda ley de Newton es más general que la vista anteriormente.

Si en lugar de un solo cuerpo consideramos dos cuerpos que pueden interactuar entre sí, pero que están aislados de sus alrededores (es decir, cada cuerpo puede ejercer una fuerza sobre el otro, pero no hay fuerzas exteriores), las fuerzas que se ejercen entre sí son de acción y reacción.

y , ,

y se cumple:

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Como + = 0:

En consecuencia, la cantidad de movimiento total del sistema permanece constante:

Esta expresión constituye el:TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO:

Si la resultante de las fuerzas exteriores sobre un sistema es nula, la cantidad de movimiento de éste permanece constante.

Si cte

Ejemplo:19. Una roca, inicialmente en reposo, tras ser dinamitada explota dividiéndose en tres trozos iguales. Dos de ellos salen con velocidades de 80 m/s y 60 m/s hacia el Norte y el Este, respectivamente. Calcula la velocidad y la dirección del tercer fragmento.

20. Dos bolas de 2 kg y 5 kg se mueven en la misma dirección y sentidos contrarios con velocidades respectivas de 3 m/s y 4 m/s, chocan y quedan unidas. Calcula la velocidad del sistema después del choque.

21. Calcula con qué fuerza tenemos que empujar una mesa de 20kg para que se desplace a velocidad constante si el coeficiente de rozamiento cinético con el suelo es de 0,1.

22. Un fusil de 5kg dispara un proyectil con v de salida = 200m/s. La masa del proyectil es de 0,01kg. ¿Con qué velocidad retrocede el arma?

23. Dos cuerpos A de 4kg y B de 2kg se encuentran juntos y apoyados sobre una superficie horizontal. Se ejerce una fuerza de 12N en dirección horizontal sobre A, y éste empuja a B. Calcula:a) Aceleración del sistema.b) Fuerza que soporta cada bloque.

3.3. Aplicaciones de las leyes de NewtonLas leyes de Newton son muy útiles para resolver los problemas de dinámica.Recordemos que para aplicar las leyes de Newton:1. Dibujamos un esquema con todas las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo del problema.2. Elegimos un sistema de coordenadas conveniente para cada cuerpo y determinamos las componentes de las fuerzas a lo largo de estos ejes.3. Aplicamos la segunda ley de Newton en forma de componentes.

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4. Resolvemos las ecuaciones o los sistemas de ecuaciones resultantes.5. Comprobamos el resultado.

A) Dinámica del movimiento rectilíneo.En este tipo de problemas debemos tomar el eje OX en la dirección del movimiento. De esta manera los vectores y tienen una sola componente y pueden expresarse en forma escalar.A continuación estudiaremos el movimiento sobre un plano de un cuerpo sometido a fuerzas constantes.

A.1. Movimiento en un plano horizontal24. Un bloque de 3,5kg de masa es arrastrado por el suelo a velocidad constante mediante una cuerda horizontal cuya tensión es de 6 N.

a) Dibuja un esquema de las fuerzas que actúan sobre el bloque.b) Calcula la fuerza de rozamiento y el coeficiente cinético de rozamiento.c) La cuerda se inclina hacia arriba hasta formar un ángulo de 45º con la horizontal.d) Explica cómo se moverá el bloque y calcule su aceleración.

A.2. Movimiento en un plano inclinado25. Una caja baja a velocidad constante por una superficie inclinada 14° respecto a la horizontal. Calcula el coeficiente de rozamiento cinético.

A.3. Movimiento de cuerpos enlazados

Cuando dos cuerpos se mueven conjuntamente al estar unidos por una cuerda. Lo primero que debemos suponer es que el sistema se mueve en un sentido (hacia la izquierda o la derecha) y elegir consecuentemente el sistema de coordenadas. Si el módulo de la aceleración resultara negativo, significaría que el sentido escogido no es el correcto y deberíamos rehacer el problema escogiendo el sentido opuesto. Si en este caso el resultado también fuera negativo, significaría que el cuerpo se mantiene en reposo. Representamos todas las fuerzas que actúan sobre ambos cuerpos y calculamos su aceleración:

26. Dos masas se encuentran unidas por una cuerda inextensible y sin masa a través de una polea. La primera se encuentra sobre un plano inclinado 45º con la horizontal y la segunda cuelga verticalmente por la otra parte. Calcula la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda si:

= 10kg, = 3kg, α = 45° y = 0,2.

B) Dinámica del movimiento circularPara describir este tipo de movimiento precisamos las componentes intrínsecas de la aceleración y las magnitudes angulares.

B.1. Movimiento circular uniformeEste movimiento tiene las siguientes características:

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El módulo de la velocidad es constante, por lo que no existe aceleración

tangencial: .

La dirección de la velocidad varía constantemente, por lo que existe aceleración normal o centrípeta, .

En consecuencia, debe existir una fuerza resultante que produzca tal aceleración. Esta fuerza tiene la dirección normal a la trayectoria y se llama fuerza centrípeta.

27. Un coche de 1500 kg arranca con una por una pista de 200 m de radio.a) Calcular a los 5s.b) en ese instantec) que actúa sobre el coche en ese instante.

28. Una bola de 150g, atada al extremo de una cuerda de 40cm de longitud, gira apoyándose sobre una mesa horizontal sin rozamiento a razón de 15 vueltas por minuto. Calcule:a) La velocidad angular en rad/s.b) La tensión de la cuerda.

29. Una bola gira en el aire con MCU a razón de una vuelta por segundo. Si la longitud de la cuerda es de 0,3m y la masa de la bola es de 100g, calcule:a) La tensión de la cuerda.b) El ángulo que forma con la vertical.

30. Una piedra de 100g de masa gira en un plano vertical atada al extremo de una cuerda de 50cm de longitud. Calcula la velocidad mínima que debe tener la piedra para llegar al punto superior de su trayectoria con la cuerda tensa.

Datos: m = 0,lkg R = 0,5m

31. Una piedra de 100g de masa gira en un plano vertical atada al extremo de un hilo de 50 cm de longitud. Se aumenta la velocidad de la piedra hasta que el hilo se rompe por no poder aguantar la tensión. Si el límite de resistencia del hilo es de 7,5 N, calcula la velocidad con que saldrá disparada la piedra y di qué tipo de trayectoria seguirá.

32. Un ascensor de 500kg está sujeto por un cable de acero. Indicar la tensión que soporta:a) Cuando arranca para subir con .b) Sube con .c) Arranca con para bajar.

33. Un cuerpo desliza sin rozamiento por un plano inclinado de 20 m de longitud y 30º de inclinación. a) ¿Llega al suelo con la misma velocidad que otro que cayera libremente desde 10 m de altura?b) ¿Y si el coeficiente de rozamiento contra el plano fuera de 0.2?c) En los apartados anteriores, ¿Cuál llegará primero al suelo?

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4. TRABAJO Y ENERGÍA.

4.1. Definición de trabajoSupongamos un objeto que se traslada desde una posición 1 hasta otra posición 2 a lo largo de una trayectoria L y bajo la acción de una o varias fuerzas.

Definimos el trabajo (W) realizado por una de las fuerzas que actúan sobre el objeto durante el desplazamiento anterior como:

Las unidades en el sistema internacional son los N·m ó julios

Si siendo el desplazamiento.

34. Se arrastra 10 m por el suelo un cajón de 50kg con v = cte. Calcula:a) Trabajo realizado por la fuerza peso en el desplazamiento.b) Trabajo realizado por la resultante de todas las fuerzas si no existe rozamiento.c) Trabajo realizado por la fuerza impulsora si = 0,4.d) Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.

35. Un coche marcha por una carretera horizontal a 36 km/h. y se deja en punto

muerto. ¿Qué trabajo realizará la hasta que se detiene?

m = 600kg = 0,5.

4.2. Definición de energíaDefinimos la energía como la capacidad que tiene un sistema para realizar un trabajo. La energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma.

Dependiendo de cómo se manifieste, hablaremos de:

Energía cinética, que está ligada al movimiento

Energía potencial, ligada a la posición de un objeto dentro de un campo de fuerzas conservativas. Existe una energía potencial asociada a cada una de las fuerzas conservativas.

Energía mecánica , que es la suma de las cinética y potencialEm= Ec + Ep

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4.3. Conservación de la Ec. Teorema de las Fuerzas VivasEl trabajo realizado por la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto, es igual a la variación de su Energía Cinética.

EjemploUn proyectil de 0,2kg, lanzado con una v = 200m/s, atraviesa una pared de 0,5m de grosor y sale de ella con v = 50m/s. ¿Qué fuerza de resistencia opuso la pared?

4.4. Definición de Energía potencial. Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza para trasladar un objeto desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido; solo depende de los puntos inicial y final.En este caso, el trabajo puede calcularse como la variación de cierta magnitud, denominada ENERGÍA POTENCIAL, entre los puntos inicial y final.

La definición de la energía potencial depende de la fuerza asociada (gravitatoria, eléctrica, elástica…) y del origen elegido para ella.

Solamente tiene sentido físico las variaciones de la energía potencial entre dos puntos. Su interpretación es el trabajo.

También podemos definir las fuerzas conservativas como aquellas fuerzas que realizan un trabajo nulo sobre una trayectoria cerrada.Demostrémoslo:

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4.5. Teorema de conservación de la Energía MecánicaEste teorema nos dice:

SI SOBRE UN OBJETO SOLAMENTE ACTUAN FUERZAS CONSERVATIVAS, LA ENERGIA MECANICA del objeto SE CONSERVA.

Demostración: Supongamos un objeto que se desplaza entre dos puntos: A (inicial) y B (final) bajo la acción de fuerzas conservativas. Si quisiéramos calcular el trabajo entre A y B a lo largo de cualquier trayectoria, podríamos hacer lo siguiente:

1º Definir una Energía potencial asociada a cada una de las fuerzas conservativas.

2º Utilizando que todas las fuerzas son conservativas, el trabajo realizado por la resultante de todas ellas:

3º Utilizando el teorema de conservación de la energía cinética:

4º Igualando ambas expresiones:

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Este teorema NO ES VALIDO si actúan fuerzas conservativas y no conservativas:Demostrémoslo:

Si al trasladar un objeto desde una posición inicial A hasta otra final B, actúan tanto fuerzas conservativas como no conservativas, la pérdida o ganancia (variación) de Em es debida al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.

Ejercicios:

36. Un bloque de hierro de 4kg cae desde una altura y llega al suelo con 50m/s. a) ¿Desde qué altura cayó? ¿Qué energía cinética posee el cuerpo en el momento del impacto? b) Si al llegar al suelo penetra en él una distancia de 20cm. ¿Qué resistencia ofreció el suelo a la penetración del bloque?

37. Un bloque de masa 50g se sitúa a 1m de altura sobre el extremo superior de un muelle colocado verticalmente. Si k del muelle es 25 N/m, y el cuerpo cae libremente sobre él, ¿qué distancia se comprime?

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tema 0 2º bach

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