Técnicas e instrumentos para la toma racional de decisiones.

WILMER BARBOZA

CI:13.188.465

JULIO 2012

UNIVERSIDAD FERMÍN TOROFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALESANÁLISIS DE PROBLEMAS Y TOMA DE DECISIONES

La Programación Lineal

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La Programación Lineal (PL) es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos. La PL es un procedimiento que encuentra su aplicación práctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la producción. Problemas de transporte, distribución, y planificación global de la producción son los objetos más comunes del análisis de PL. La industria petrolera parece ser el usuario más frecuente de la PL. Un gerente de procesamiento de datos de una importante empresa petrolera recientemente calculó que del 5% al 10% del tiempo de procesamiento informático de la empresa es destinado al procesamiento de modelos de PL y similares.

La programación lineal aborda una clase de problemas de programación donde tanto la función objetivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos son lineales. Este problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la década del 40. Rara vez una nueva técnica matemática encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prácticas de negocios, comerciales e industriales y a la vez recibe un desarrollo teórico tan exhaustivo en un período tan corto. Hoy en día, esta teoría se aplica con éxito a problemas de presupuestos de capital, diseño de dietas, conservación de recursos, juegos de estrategias, predicción de crecimiento económico y sistemas de transporte. Recientemente la teoría de la programación lineal también contribuyó a la resolución y unificación de diversas aplicaciones.

El Método Simplex

El Método Simplex publicado por George Dantzig en 1947 consiste en un algoritmo iterativo que secuencialmente a través de iteraciones se va aproximando al óptimo del problema de Programación Lineal en caso de existir esta última.

La primera implementación computacional del Método Simplex es el ano 1952 para un problema de 71 variables y 48 ecuaciones. Su resolución tarda 18 horas. Luego, en 1956, un código llamado RSLP1, implementado en un IBM con 4Kb en RAM, admite la resolución de modelos con 255 restricciones.

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. (Véase método Gráfico)

El Método Simplex hace uso de la propiedad de que la solución óptima de un problema de Programación Lineal se encuentra en un vértice o frontera del dominio de puntos factibles (esto último en casos muy especiales), por lo cual, la búsqueda secuencial del algoritmo se basa en

la evaluación progresiva de estos

vértices hasta encontrar el óptimo. Cabe destacar que para aplicar el Método Simplex a un modelo lineal, este debe estar en un formato

especial conocido como formato estándar el cual definiremos a continuación.

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.

Métodos Meterminísticos

Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo:

Leche(lt)

Legumbre(1 porción)

Naranjas(unidad)

RequerimientosNutricionales

Niacina 3,2 4,9 0,8 13

Tiamina 1,12 1,3 0,19 15

Vitamina C 32 0 93 45

Costo 2 0,2 0,25

1. 2. Variables de Decisión:

3. X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta4. X2: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta5. X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la DietaFunción Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3

Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales

Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13 Tiamina: 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15 Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45 No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0

La solución Óptima es X1=0, X2=11,4677, X3=0,483871, con Valor Óptimo V(P)=2,4145.

EJEMPLO DE MÉTODOS DETERMINÍSTICOS

Probabilidad Bayesiana

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Es una de las diferentes interpretaciones del concepto de probabilidad y pertenece a la categoría de probabilidades probatorios. La interpretación bayesiana de la probabilidad puede ser visto como una extensión de la lógica que permite el razonamiento con proposiciones cuya verdad o falsedad es incierto. Para evaluar la probabilidad de una hipótesis , la probabilística bayesiana especifica alguna probabilidad a priori, que se actualiza a la luz de nuevos y relevantes datos .

La interpretación bayesiana proporciona un conjunto estándar de procedimientos y fórmulas para realizar este cálculo. Probabilidad bayesiana interpreta el concepto de probabilidad como "un concepto abstracto, una cantidad que se le asigna en teoría, con el propósito de representar a un estado de conocimiento, o que el cálculo de las probabilidades asignadas previamente," en contraste con la interpretación de que como la frecuencia o la "propensión" de algún fenómeno .

El término "bayesiano" se refiere al matemático del siglo 18 y el teólogo Thomas Bayes , que proporcionó el primer tratamiento matemático de un problema no trivial de la inferencia bayesiana . Sin embargo, fue el matemático francés Pierre-Simon Laplace , que fue pionero y popularizó lo que ahora se llama probabilidad bayesiana.

En términos generales, hay dos puntos de vista sobre la probabilidad Bayesiana que interpretan el concepto de probabilidad de diferentes maneras. De acuerdo con el punto de vista objetivista, las reglas de la estadística bayesiana puede ser justificada por exigencias de la racionalidad y coherencia y se

interpreta como una extensión de la lógica . De acuerdo con la visión subjetivista, la probabilidad cuantifica una "opinión personal". Muchas modernas de aprendizaje de máquinas métodos se basan en principios bayesianos objetivistas. En el punto de vista bayesiano, la probabilidad se asigna a una hipótesis, mientras que en el punto de vista frecuentista , una hipótesis se suele prueba sin que se le asigna una probabilidad.

Definiciones

Variable aleatoria: un aspecto del problema para que un valor no está inicialmente conocido.

Ejemplos: temperatura del paciente, el paciente tiene infección viral?

Dominio: el rango de valores posibles de una variable puede tomar. Puede ser lógico (verdadero / falso), discreto (negro / rojo / verde) o valores continuos.

Evento Atómica (resultado): Una descripción completa de la estado del mundo sobre el cual el agente es incierto. –

Por ejemplo, si el mundo se compone de sólo dos variables de la cavidad de Boole y Dolor de muelas, entonces hay 4 sucesos atómicos distintos:

Caries = falso y dolor de muelas = false

Caries = falso y dolor de muelas = true

Cavidad = true y dolor de muelas = false

Cavidad = true y dolor de muelas = trae

Teoría de Juego

La teoría de juegos es el estudio de la estratégica toma de decisiones . Más formalmente, es "el estudio de modelos matemáticos de conflicto y la cooperación entre los inteligentes racionales que toman las decisiones ". Un término alternativo sugerido "como un nombre más descriptivo para la disciplina" es interactivo teoría de la decisión .

La teoría de juegos Se utiliza principalmente en economía, ciencias políticas y psicología, así como la lógica y la biología. El primer tema abordado juegos de suma cero , de modo que las ganancias de una persona exactamente iguales las pérdidas netas del otro participante (s). Hoy, sin embargo, la teoría de juegos se aplica a una amplia gama de relaciones de clase, y se ha convertido en un término genérico para el lado lógico de la ciencia, para incluir tanto humanos como no-humanos, como las computadoras. Usos clásicos incluyen una sensación de equilibrio en numerosos juegos, donde cada persona ha descubierto o desarrollado una táctica que no puede con éxito sus mejores resultados, teniendo en cuenta el otro enfoque.

Métodos Probabilísticos

La teoría de juegos moderna comenzó con la idea de la existencia de equilibrios en estrategias mixtas en la suma cero de dos personas, los juegos y su prueba por John von Neumann . Prueba original de Von Neumann usa de punto fijo de Brouwer teorema sobre aplicaciones continuas en compactos conjuntos convexos, que se convirtió en un método estándar en teoría de juegos y la economía matemática. Su trabajo fue seguido por su libro 1944 Teoría de Juegos y Comportamiento Económico , con Oskar Morgenstern , que considera los juegos cooperativos de varios jugadores. La segunda edición de este libro proporciona una teoría axiomática de la utilidad esperada, lo que permitió estadísticos matemáticos y

economistas para tratar la toma de decisiones bajo incertidumbre.

Esta teoría fue desarrollada ampliamente en la década de 1950 por muchos estudiosos. La teoría de juegos fue más explícita aplicada a la biología en la década de 1970, a pesar de una evolución similar se remontan por lo menos hasta la década de 1930. La teoría de juegos ha sido ampliamente reconocido como una herramienta importante en muchos campos. Ocho juegos de los teóricos han ganado el Premio Nobel de Ciencias Económicas , y John Maynard Smith fue galardonado con el Premio Crafoord para su aplicación de la teoría de juegos a la biología.

Ejemplo  Lanzar  una  moneda.  

Variable  aleatoria  X:  el  resultado  del  sorteo  

Dominio:  {cabeza,  la  cola}  

Resultados:  {X  =  cabeza,  la  cola  =  X}  

Dos  lanzamientos  de  la  misma  moneda  

Variable  aleatoria:                    X  (resultado  de  la  primera  tirada),  

                                                                                         Y  (resultado  de  la  segundo  lanzamiento)  

Dominio  de  X  e  Y:  {cabeza,  la  cola}  Resultados:  {{X  =  cabeza,  Y  la  cabeza  =},  

{X  =  cabeza,  la  cola  =  Y},  {X  =  cola,  la  cabeza  =  Y},  {X  =  cola,  la  cola  Y  =}}

Métodos Probabilísticos

EJEMPLO DE MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

Modelo de transporte y localización

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Esta técnica es una aplicación de la programación lineal.   Para este tipo de problemas se considera que existe una red de fábricas, almacenes o cualquier otro tipo de puntos, orígenes o destinos de unos flujos de bienes.   La localización de nuevos puntos en la red afectará a toda ella, provocando reasignaciones y reajustes dentro del sistema.   El método de transporte permite encontrar la mejor distribución de los   flujos mencionados basándose, normalmente en la optimización de los costes de transporte (o, alternativamente, del tiempo, la distancia, el beneficio, etc.)   En los problemas de localización, este método puede utilizarse para analizar la mejor ubicación de un nuevo centro, de varios a la vez y en general   para cualquier reconfiguración de la red.   En cualquier caso, debe ser aplicado a cada una de las alternativas a considerar para determinar la asignación de flujos óptima.  

Para utilizar el método de transporte hay que considerar los siguientes pasos:

  1. Los puntos de origen y la capacidad o abasto por período, para cada uno.

  2. Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno.

  3. El costo de embarque por una unidad desde cada origen hacia cada destino.

El primer paso en el procedimiento de este tipo de problema es establecer una matriz de transporte, la cual tiene como objetivo resumir de manera provechosa y concisa

todos los datos relevantes y continuar los cálculos del algoritmo.

Para crear la matriz de transporte deben seguirse los siguientes pasos:

  1. Crear una fila que corresponda a cada planta (existente o nueva) que se esté considerando y crear una columna para cada almacén.

  2. Agregar una columna para las capacidades de las plantas y una fila para las demandas de los almacenes, e insertar después sus valores numéricos específicos.

  3. Cada celda que no se encuentre en la fila de requisitos ni en la columna de capacidad representa una ruta de embarque desde una planta hasta un almacén. Insertar los costos unitarios en la esquina superior derecha de cada una de esas celdas.

En muchos problemas reales, a veces sucede que la capacidad excede a los requisitos unidades, se agrega una columna (un almacén ficticio) con una demanda de unidades y los costos de embarque en las nuevas celdas creadas son igual a $0, pues en realidad esos embarques no se realizan, por lo que representan capacidad de planta no utilizada. Igualmente, si los requerimientos exceden a la capacidad por unidades, se agrega una fila más (una planta ficticia) con capacidad de unidades y se asignan costos de embarque iguales a los costos faltantes de las nuevas celdas. Si estos últimos costos no se conocen o su valor es el mismo para todos los almacenes, se le asigna $0 por unidad a los costos de embarque de cada celda de la fila ficticia. La solución óptima no resulta afectada, pues el mismo faltante de unidades se necesita en todos los casos. Para lograr que la suma de todas las capacidades sea igual a la suma de todas las

demandas es que se añade una planta ficticia o un almacén ficticio.

Cuando la matriz inicial está conformada, el objetivo es establecer el patrón de asignación de menor costo que satisfaga todas las demandas y agote todas las capacidades. Este patrón se determina mediante el método de transporte, el cual garantiza que se hallará la solución óptima. La matriz inicial se completa con una solución que cumpla dos condiciones: sea factible y satisfaga las demandas de todos los almacenes y agote las capacidades de todas las plantas. Luego se crea una nueva matriz con una solución nueva, teniendo ésta un costo total más bajo. Este procedimiento iterativo se debe realizar hasta que no sea posible mejorar la solución anterior, cuando esto ocurra la solución óptima se ha encontrado.

En este método es obligatorio que se cumpla que el número de embarques no iguales a 0 en la solución óptima nunca sea mayor que la suma del número de planta y almacenes menos 1.

En el caso que se emplee un paquete de software sólo se introducen los datos correspondientes a la primera matriz.

Métodos Híbridos

Técnica de MonteCarlo

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¿Qué es la simulación Monte Carlo?

La simulación Monte Carlo es una técnica matemática computarizada que permite tener en cuenta el riesgo en análisis cuantitativos y tomas de decisiones. Esta técnica es utilizada por profesionales de campos tan dispares como los de finanzas, gestión de proyectos, energía, manufacturación, ingeniería, investigación y desarrollo, seguros, petróleo y gas, transporte y medio ambiente.

La simulación Monte Carlo ofrece a la persona responsable de tomar las decisiones una serie de posibles resultados, así como la probabilidad de que se produzcan según las medidas tomadas. Muestra las posibilidades extremas —los resultados de tomar la medida más arriesgada y la más conservadora— así como todas las posibles consecuencias de las decisiones intermedias.

Los científicos que trabajaron con la bomba atómica utilizaron esta técnica por primera; y le dieron el nombre de Monte Carlo, la ciudad turística de Mónaco conocida por sus casinos. Desde su introducción durante la Segunda Guerra Mundial, la simulación Monte Carlo se ha utilizado para modelar diferentes sistemas físicos y conceptuales.

Cómo funciona la simulación Monte Carlo

La simulación Monte Carlo realiza el análisis de riesgo con la creación de modelos de posibles resultados mediante la sustitución de un rango de valores —una distribución de probabilidad— para cualquier factor con incertidumbre inherente. Luego, calcula los resultados una y otra vez,

cada vez usando un grupo diferente de valores aleatorios de las funciones de probabilidad. Dependiendo del número de incertidumbres y de los rangos especificados, para completar una simulación Monte Carlo puede ser necesario realizar miles o decenas de miles de recálculos. La simulación Monte Carlo produce distribuciones de valores de los resultados posibles.

El análisis de riesgo se puede realizar cualitativa y cuantitativamente. El análisis de riesgo cualitativo generalmente incluye la evaluación instintiva o “por corazonada” de una situación, y se caracteriza por afirmaciones como “Eso parece muy arriesgado” o “Probablemente obtendremos buenos resultados”. El análisis de riesgo cuantitativo trata de asignar valores numéricos a los riesgos, utilizando datos empíricos o cuantificando evaluaciones cualitativas. Vamos a concentrarnos en el análisis de riesgo cuantitativo.

Mediante el uso de distribuciones de probabilidad, las variables pueden generar diferentes probabilidades de que se produzcan diferentes resultados.  Las distribuciones de probabilidad son una forma mucho más realista de describir la incertidumbre en las variables de un análisis de riesgo.  Las distribuciones de probabilidad más comunes son:

Normal – O “curva de campana”.  El usuario simplemente define la media o valor esperado y una desviación estándar para describir la variación con respecto a la media.  Los valores intermedios cercanos a la media tienen mayor probabilidad de producirse.  Es una distribución simétrica y describe muchos fenómenos naturales, como puede ser la estatura de una población.  Ejemplos de variables que se pueden describir con distribuciones normales son los índices de inflación y los precios de la energía.

Lognormal – Los valores muestran una clara desviación; no son simétricos como en la distribución normal.  Se utiliza para representar valores que no bajan por debajo del cero, pero tienen un potencial positivo ilimitado.  Ejemplos de variables descritas por la distribución lognormal son los valores de las propiedades inmobiliarias y bienes raíces, los precios de las acciones de bolsa y las reservas de petróleo.

Uniform – Todos los valores tienen las mismas probabilidades de producirse; el usuario sólo tiene que definir el mínimo y el máximo.  Ejemplos de variables que se distribuyen de forma uniforme son los costos de manufacturación o los ingresos por las ventas futuras de un nuevo producto.

Triangular – El usuario define los valores mínimo, más probable y máximo.  Los valores situados alrededor del valor más probable tienen más probabilidades de producirse.  Las variables que se pueden describir con una distribución triangular son el historial de ventas pasadas por unidad de tiempo y los niveles de inventario.

Métodos Híbridos

LPERT – El usuario define los valores mínimo, más probable y máximo, como en la distribución triangular.  Los valores situados alrededor del más probable tienen más probabilidades de producirse.  Sin embargo, los valores situados entre el más probable y los extremos tienen más probabilidades de producirse que en la distribución triangular; es decir, los extremos no tienen tanto peso.  Un ejemplo de uso de la distribución PERT es la descripción de la duración de una tarea en un modelo de gestión de un proyecto.

Discrete – El usuario define los valores específicos que pueden ocurrir y la probabilidad de cada uno.  Un ejemplo podría ser los resultados de una demanda legal: 20% de posibilidades de obtener un veredicto positivo, 30% de posibilidades de obtener un veredicto negativo, 40% de posibilidades de llegar a un acuerdo, y 10% de posibilidades de que se repita el juicio.

Durante una simulación Monte Carlo, los valores se muestrean aleatoriamente a partir de las distribuciones de probabilidad

introducidas.  Cada grupo de muestras se denomina iteración, y el resultado correspondiente de esa muestra queda registrado.  La simulación Monte Carlo realiza esta operación cientos o miles de veces, y el resultado es una distribución de probabilidad de posibles resultados.  De esta forma, la simulación Monte Carlo proporciona una visión mucho más completa de lo que puede suceder.  Indica no sólo lo que puede suceder, sino la probabilidad de que suceda.

La simulación Monte Carlo proporciona una serie de ventajas sobre el análisis determinista o “estimación de un solo punto”:

Resultados probabilísticos. Los resultados muestran no sólo lo que puede suceder, sino lo probable que es un resultado.

Resultados gráficos. Gracias a los datos que genera una simulación Monte Carlo, es fácil crear gráficos de diferentes resultados y las posibilidades de que sucedan.  Esto es importante para comunicar los resultados a otras personas interesadas.

Análisis de sensibilidad. Con sólo unos pocos resultados, en los análisis deterministas es más difícil ver las variables que más afectan el resultado.  En la simulación Monte Carlo, resulta más fácil ver qué variables introducidas tienen mayor influencia sobre los resultados finales.

Análisis de escenario. En los modelos deterministas resulta muy difícil modelar diferentes combinaciones de valores de diferentes valores de entrada, con el fin de ver los efectos de situaciones verdaderamente diferentes.  Usando la simulación Monte Carlo, los analistas pueden ver exactamente los valores que tienen cada variable cuando se producen ciertos resultados.  Esto resulta muy valioso para profundizar en los análisis.

Correlación de variables de entrada. En la simulación Monte Carlo es posible modelar relaciones interdependientes entre diferentes variables de entrada.  Esto es importante para averiguar con precisión la razón real por la que, cuando algunos factores suben, otros suben o bajan paralelamente.

Una empresa dispone de 3 fábricas para la elaboración de sus productos cuyas capacidades de producción son las siguientes:

1 | 2 | 3 |

45 000 uds. | 93 000 uds. | 60 000 uds. |

También dispone de 3 centros de distribución con capacidades:

A | B | C |

28 000 uds. | 65 000 uds. | 35 000 uds. |

Debido al aumento que han experimentado sus ventas (unas 70 000 unidades), la Dirección de la Empresa está evaluando la posibilidades de abrir un nuevo centro de distribución para lo cual tiene dos ubicaciones posibles (D, E).

Los costos de transporte entre las diferentes ubicaciones son:

| A | B | C | D | E |

1 | 8 | 12 | 2 | 6 | 15 |

2 | 13 | 4 | 3 | 10 | 4 |

3 | 0 | 7 | 11 | 8 | 7 |

Tabla 1.

SOLUCIÓN:

Existen muchos métodos para dar solución a este problema, sin embargo es comúnmente utilizado un software, el cual arroja los siguientes resultados:

En la ubicación D se obtiene el siguiente costo:

Ct:2*7000+6*38000+ 4*65000+ 3*28000+ 8*32000= 842.000

| A | B | C | D | Producción |

1 | 8 | | 12 | | 2 | | 6 | | 45 000 |

| | | 7 000 | 38 000 | |

2 | 13 | | 4 | | 3 | | 10 | | 93 000 |

| | 65 000 | 28 000 | | |

3 | 0 | | 7 | | 11 | | 8 | | 60 000 |

| 28 000 | | | 32 000 | |

Necesidades | 28 000 | 65 000 | 35 000 | 70 000 | |

Tabla 2.

Luego en la ubicación E se obtiene el siguiente costo:

Ct:12*10000+2*35000+ 4*55000+ 4*38000+ 7*32000= 786.000

| A | B | C | D | Producción |

1 | 8 | | 12 | | 2 | | 15 | | 45 000 |

| | 10 000 | 35 000 | | |

2 | 13 | | 4 | | 3 | | 4 | | 93 000 |

| | 55 000 | | 38 000 | |

3 | 0 | | 7 | | 11 | | 7 | | 60 000 |

| 28 000 | | | 32 000 | |

Necesidades | 28 000 | 65 000 | 35 000 | 70 000 | |