1.- La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia la formación de

proposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y la inferencia de

proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura

interna de las proposiciones más simples.1

Una lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples

representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas,

representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras

proposiciones de mayor complejidad.2

2.- La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que

consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a

otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones

con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el

que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos,

números, demostraciones y computación.

La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos,

teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La

investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio

de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente

como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática,

lógica teorética y lógica formal.1

La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de

la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y

estudiadas matemáticamente.

3.- Proposición El valor de verdad de una proposición lógica atómica (o variable

proposicional) es, por definición, verdadero o falso (podemos representarlo como

V o F).

Así el enunciado “llueve” es verdadero si y sólo si está lloviendo en ese momento.

Pero si dicho enunciado se considera como proposición lógica atómica, p,

entonces puede ser tanto verdadera como falsa.

Es una verdad de hecho o contingente, porque tiene los dos posibles valores de

verdad, por la propia definición de proposición lógica.

El contenido de la relación de un enunciado con lo real no es objeto de la lógica

sino de otras ciencias.

Es una frase o sentencia declarativa que es verdadero o falso pero no ambas

cosas a la vez. El cálculo proposicional se encarga del estudio de las relaciones

lógicas entre proposiciones.

4.- Los conectivos lógicos se combinan con las proposiciones simples para

formar nuevas proposiciones, que llamaremos proposiciones compuestas y

representaremos con letras mayúsculas. Los conectivos lógicos básicos son:

Negación: 

, no 

Disyunción: 

,   ó 

Conjunción: 

,   y 

Implicación Condicional: 

,   implica 

Implicación Bicondicional: 

,   si y sólo si 

La proposición  es la recíproca de , mientras que la

proposición   es la contrarrecíproca de  .

Como hemos dicho, las proposiciones pueden tomar dos valores, verdadero o

falso, que representaremos respectivamente con los números 1 y 0. Por tanto,

cuando digamos que una proposición toma valor 1 estaremos diciendo que es

verdadera.

El valor de verdad de una proposición compuesta queda determinado por los

valores de las proposiciones simples que la forman. Las tablas de verdad nos

indican los valores de verdad de una proposición para cada posible combinación

de los valores de las proposiciones simples (variables) que la la forman.

5.- Proposición atómica En los casos anteriores hemos considerado únicamente

la posibilidad de un enunciado atómico o simple, simbolizada con una sola

variable. Estas proposiciones se llaman atómicas.

Si establecemos conexiones lógicas entre varias proposiciones según unas reglas

perfectamente establecidas en sus elementos simbólicos y definidas como

funciones de verdad, construiremos proposiciones moleculares o compuestas.

Así la proposición “Si llueve entonces el suelo está mojado”, enlaza la proposición

“llueve” con la proposición “el suelo está mojado”, bajo el aspecto de función de

verdad “si…… entonces…..”

6.- Proposiciones Molecular Es una proposición constituida a partir de

proposiciones atómicas (dos o más) mediante palabras que expresan conectores

lógicos

7.- El silogismo es una forma de razonamiento deductivo que consta de

dos proposiciones como premisas y otra como conclusión, siendo la última

una inferencia necesariamente deductivade las otras dos. Fue formulado por

primera vez por Aristóteles, en su obra lógica recopilada como El Organon, de sus

libros conocidos como Primeros Analíticos, (en griego Proto Analytika, en latín –

idioma en el que se reconoció la obra en Europa Occidental-, Analytica Priora).

La diferencia entre juicio y proposición es importante. La proposición afirma un

hecho como un todo, que es o no es, como contenido lógico del conocimiento. El

juicio, en cambio,atribuye un predicado a un sujeto lógico del conocimiento

otorgando a los términos al mismo tiempo una función lingüística

de significado (semántica) y una función formal lógica (sintáctica). Esto tiene su

importancia en el concepto mismo del contenido de uno, el juicio, y la otra, la

proposición, especialmente en los casos de negación, como se considera, más

adelante, en la problemática de la lógica silogística.

Mantenemos aquí la denominación de juicio por ser lo más acorde con lo

tradicional, teniendo en cuenta que este tipo de lógica, como tal, está en claro

desuso, sustituida por la lógica simbólica en la que esta lógica es interpretada

como lógica de clases. Ver cálculo lógico.

La relación entre los términos de un juicio, al ser comparado con un tercero que

hace de "término medio", hace posible la aparición de las posibles conclusiones.

Así pues, el silogismo consta de dos juicios, premisa mayor y premisa menor, en

los que se comparan tres términos, de cuya comparación se obtiene un nuevo

juicio como conclusión.

La lógica trata de establecer las leyes que garantizan que, de la verdad de los

juicios comparados (premisas), se pueda obtener con garantía de verdad un

nuevo juicio verdadero (conclusión).

8.- Una tautología es una proposición compuesta que toma valor 1 para cualquier

combinación de los valores de sus variables. Lo contrario de una tautología es

una contradicción, proposición compuesta que siempre es falsa.

es una fórmula bien formada de un sistema de lógica proposicional que resulta

verdadera para cualquier interpretación; es decir, para cualquier asignación

de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas. La construcción de

una tabla de verdad es un método efectivo para determinar si una fórmula

cualquiera es una tautología o no

Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en

todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de

otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones

que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones

sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de

verdad, tenemos la variableA en disyunción con su contradicción, si A es verdad,

su negación es falsa y si A es falsa su negación es verdad, en cualquier caso una

de las dos alternativas es cierta, y su disyunción es cierta en todos los casos

9.- Contradicciones Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción,

aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor

siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad

de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas

lasrelaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

Procederemos de manera similar al caso anterior. Partiendo de la variable A y su

contradicción, la conjunción de ambos siempre es falso, dado que si A es verdad

su contradicción es falsa, y si A es falsa su contradicción es verdad, la conjunción

de ambas da falso en todos los casos.

10.- Contingencia Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho,

aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las

proposiciones que la integran. Sea el caso:  .

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el

valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C.(Columnas 1, 2, 3)

Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de   

aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las

filas.(Columnas 2,3 → 4)

Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de

aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores

de la columna  , (columna 4) que representarán los valores de la

proposición completa  , cuyo valor de verdad es V o F según la fila

de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 → 5)

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición   es V y

cuándo es F.

10.- Equivalencia Lógica En lógica, las sentencias p y q son lógicamente

equivalentes si poseen el mismo contenido lógico.

Sintácticamente, p y q son equivalentes si cada una puede probar a la

otra. Semánticamente, p y q son equivalentes si ambas tienen el mismo valor de

verdad en cada modelo.

La equivalencia lógica de p y q a veces se denota   o bien  . Sin

embargo, estos símbolos son también utilizados para denotar el bicondicional. La

interpretación propia depende del contexto, y aunque ambos conceptos están

fuertemente relacionados, la equivalencia lógica es diferente de la equivalencia

material.

11.- Leyes Lógicas

Doble negación

Conmutativas

Asociativas

Distributivas

Leyes de DeMorgan

De idempotencia

De identidad

De dominación

Inversas

De absorción

Reglas de Sustitución

Sea P una tautología y q una variable de P. Si sustituimos cada aparición de q

por cualquier otra proposición Q entonces la proposición resultante es también

una tautología.

Sea P una tautología y Q una proposición que aparece en P. Si reemplazamos

Q por una proposición lógicamente a Q obtendremos una nueva proposición

lógicamente equivalente a P.

Cualquier proposición es lógicamente equivalente a otra que contiene

solamente los conectivos lógicos -, v,and.

Dualidad

Llamaremos dual de una proposición que contiene sólo los conectivos lógicos

not ,and or a la proposición resultante de sustituir and por or, or por and y 1 por 0.

Principio de Dualidad: si P y Q son dos proposiciones lógicamente equivalentes

que contienen sólo los conectiv, y escribiremos Ps lógicos not, or, and entonces

los duales de ambas proposiciones también son equivalentes entre sí.

12.- Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que

muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación

de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.1

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato

más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-

philosophicus, publicado en 1921.