Tcnicas de ConteoLIC. EDWIN SALAZAR

CONTEO Las tcnicas de conteo son aquellas que son usadas paraconocer el numero posible de elementos de un espacio muestral sin necesidad de hacer una lista uno a uno de estos. estos. Ejemplo : De cuantas formas diferentes se puede vestir una persona con 3 camisas, 4 pantalones y 2 pares de zapatos, todos de diferente modelo?. Se les denomina tcnicas de conteo a las: combinaciones, permutaciones y diagrama de rbol Las bases para entender el uso de las tcnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo.2

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en dondeel primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras, el segundo paso de N2 maneras y el r-simo paso rde Nr maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:N1 x N2 x ..........x Nr maneras

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Ejemplo : Una persona desea armar un computador, para lo cul

considera que puede seleccionar la Motherboard de entre las dos disponibles, mientras que el procesador debe ser un Intel, la tarjeta de video puede ser una ATI Radeon o una GForce y por ltimo hay disponible dos modelo s de caja (Tower). Cuantas maneras tiene esta persona de armar su PC?

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PRINCIPIO MULTIPLICATIVOCuntas patentes para automvil pueden ser diseadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro nmeros, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los nmeros de entre los dgitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y nmeros, b. No es posible repetir letras y nmeros, c. Cuntas de las placas diseadas en el punto b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseadas en el punto b empiezan por la letra D seguida de la G. Cuntos nmeros telefnicos es posible disear, los que deben constar de siete dgitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los nmeros y es posible repetir dgitos, b. El cero no debe ir en la primera posicin y no es posible repetir dgitos, c. Cuntos de los nmeros telefnicos del punto b empiezan por el nmero siete?, d. Cuntos de los nmeros telefnicos del punto b forman un nmero impar?4

PRINCIPIO ADITIVOSi se desea llevar a efecto una actividad, la cul tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras..... y la ltima de las alternativas puede ser realizada de W maneras, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de :M + N + .........+ W maneras

EJEMPLO: Se desea comprar una lavadora de ropa, para lo cul EJEMPLO:

ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Whirpool, LG y samsumg, cuando se va a hacer la compra se encuentra que samsumg, la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kg.), en cuatro colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica, mientras que la lavadora de la marca LG, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kg.), en dos colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica y la lavadora de la marca S, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kg., dos colores diferentes y solo hay semiautomtica. Cuntas maneras existen de comprar una lavadora?

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Cmo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?

Cuando se trata de una sola actividad,la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.6

DIAGRAMA DE RBL Cuntos elementos tiene el espacio muestral delexperimento, lanzar 3 monedasUNA DOS TRESCARA SELLO CARA SELLO POSIBILIDADES SELLO CARA SELLO CARA SELLO SELLO CARA SELLO

2

n

CARA CARA

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PERMUTACIN Y COMBINACIN COMBINACIN: Es un modo de seleccionar elementos de un conjunto, en donde el orden en el cual se acomodan los elementos no es importante. importante.

PERMUTACIN: Son las posibles ordenacin de un conjunto en donde importa el orden especifico de la seleccin. seleccin.

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EJEMPLO DE COMBINACIONSupongamos que un curso est conformado por 35 estudiantes. estudiantes.

a) El profesor desea que tres de los estudiantes realicen actividades como moderadores y secretarios en los debates de clase. En este caso el orden en el clase. que los estudiantes realicen estas tareas no es relevante, por lo tanto estamos hablando de las (combinaciones). (combinaciones).

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EJEMPLO DE PERMUTACIONES Los estudiantes participan en el nombramiento de losrepresentantes del gobierno escolar , para lo cual, sern electos de acuerdo con el numero de votos entre Daniel, Arturo y Rafael (Monitor, suplente y representante de los estudiantes). estudiantes).CARGO POSIBILIDAD 1 POSIBILIDAD 2 POSIBILIDAD 3 POSIBILIDAD 4

PRESIDENTE SECRETARIO TESORERO

Daniel Arturo Rafael

Arturo Daniel Rafael

Rafael Daniel Arturo

Daniel Rafael Arturo

En el ejemplo podemos ver que las representaciones antes definidasson diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones s importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con Permutaciones. Permutaciones.10

Notacin y clculo de Permutaciones Permutaciones de n elementos: Cuando de un conjunto seseleccionan todos los elementos posibles; ejemplo: con los nmeros 8,7,5,4 formar nmeros de cuatro cifras.n

Pn = n ! = 4! = 24.

Permutaciones de n elementos: Cuando de un conjunto se elementos:seleccionan algunos de los elementos posibles; Cuntas maneras posibles; hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro universidad, si hay 14 participantes?. Si n es el total de participantes participantes?. en el concurso y r es el nmero de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresin anterior, entonces: entonces:

n! 14! = = 24024. nP = r (n r )! (14 4)!

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Ejercicios Permutaciones1. Cuantas representaciones diferentes sern posiblesformar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, s esta representacin puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequea empresa. empresa. Cuntos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), ser posible generar con los dgitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dgitos, b. Es posible repetir dgitos. dgitos.

2.

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COMBINACIONES Como ya se mencion, una combinacin, es un arreglo o seleccinde elementos en donde no interesa el lugar o posicin que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinacin nos interesa arreglo. formar grupos y el contenido de los mismos. mismos. La frmula para determinar el nmero de combinaciones es: es:

n! n Cr = (n r )!r !

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Ejemplo de Combinaciones a. Si se cuenta con 15 estudiantes y senecesitan conformar grupos de trabajo de a 5, el nmero de grupos posibles que se pueden conformar son:

n! 15! = = 3003 n Cr = ( n r )!r ! (15 5)!5!

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