Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2010/2011

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Escola Secundria com 3 ciclo D. Dinis 11 Ano de Matemtica A

Tema II Introduo ao Clculo Diferencial I. Funes racionais e com radicais.

Taxa de Variao e Derivada

Tarefa n. 1 Resolva os seguintes problemas, tirando partido das potencialidades da sua calculadora grfica e no esquecendo que um plano de trabalho (heurstica) o pode ajudar. Analise a heurstica proposta no fim do problema 1.

1. Uma jovem atleta salta de uma prancha. O seu treinador, recorrendo a um processo fotogrfico, tomou nota do espao percorrido de duas em duas dcimas de segundo que registou no seguinte quadro de valores:

Tempo t (em segundos) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4

Espao percorrido e (em metros) 0 0,2 0,8 1,78 3,15 4,92 7,07 9,62 12,12 14,1 15,4 16,22 16,5

e no grfico: O treinador parou a contagem aos 16,5m.

a. Ser possvel, recorrendo apenas observao do grfico, indicar o momento em que a atleta entrou na gua?

b. Em que intervalo de tempo [1,2;1,4] ou [1,4;1,6] foi maior o espao percorrido pela atleta? Encontre uma explicao.

c. Use as potencialidades da sua calculadora para encontrar uma expresso para uma funo que se ajuste aos pontos que traduzem as observaes do treinador.

Heurstica: Ler com ateno o enunciado. Compreender o problema. Identificar os dados (que devem ser traduzidos nas mesmas unidades). Identificar o que pedido: a incgnita. Experimentar uma estratgia de resoluo. Criticar os resultados (nem sempre as solues das equaes so solues do problema). Dar a resposta.

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2. Num jacto de gua, cada gota descreve um arco de parbola. Esses jactos partem todos do solo. A altura, em metros, de um dos jactos de gua dada por: 2a 4t t= (t em segundos, contado a partir do instante em que sai do solo) a. Ao fim de quanto tempo uma gota de gua cai no lago, que se encontra 10 cm

abaixo do nvel do solo? (Resposta com aproximao s dcimas.) b. Qual a altura mxima atingida pelo jacto de gua? c. Qual a velocidade mdia do percurso da gota

c1) durante o primeiro segundo? c2) nos intervalos de tempo [0,5;1], [0,9;1], [0,99;1]?

Qual ser a velocidade da gota um segundo aps a sada?

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Escola Secundria com 3 ciclo D. Dinis 11 Ano de Matemtica A

Tema II Introduo ao Clculo Diferencial I. Funes racionais e com radicais.

Taxa de Variao e Derivada

Tarefa n. 1 Proposta de resoluo

1. Uma jovem atleta salta de uma prancha. O seu treinador, recorrendo a um processo fotogrfico, tomou nota do espao percorrido de duas em duas dcimas de segundo que registou no seguinte quadro de valores:

Tempo t (em segundos) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4

Espao percorrido e (em metros) 0 0,2 0,8 1,78 3,15 4,92 7,07 9,62 12,12 14,1 15,4 16,22 16,5

e no grfico ao lado. O treinador parou a contagem aos 16,5m. 1.1. Observando a forma da curva,

verificamos que ela sofre uma alterao de forma perto do instante 1,4 segundos. Podemos, por isso, conjecturar que foi nesse momento que a atleta entrou na gua.

1.2. No intervalo de tempo [1,2;1,4] a atleta percorreu 2,55m (9,62 - 7,07) e no intervalo [1,4;1,6] percorreu 2,5 m (12,12 - 9,62). Logo, foi no primeiro intervalo que a atleta percorreu um maior espao. Deslocou-se com mais velocidade no primeiro intervalo de tempo e esta diminui no segundo intervalo por a atleta ter entrado na gua.

1.3. Vamos usar o menu STAT e fazer uma regresso que no poder ser linear por o grfico no ser uma recta e tambm no dever ser quadrtica por o grfico no ser semelhante a uma parbola. Vamos ento experimentar uma funo polinomial do 3 grau e uma do 4 grau e analisar qual a que melhor se ajusta.

Comecemos por inserir os dados em duas listas (fazendo STAT seguido de EDIT). Em seguida vamos activar o grfico nuvem de pontos e escolher a janela em funo dos dados para vermos o grfico de pontos:

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Agora recorrendo a STAT seguido de CALC vamos escolher a regresso cbica em CubicReg e mandar escrever a expresso no editor de funes que ter, neste momento, de ter todas as funes desactivadas. Teremos de indicar as listas e a funo onde queremos escrever a expresso da regresso.

Faamos o mesmo para obter uma funo do 4 grau:

Observando atentamente os dois grficos e tendo em conta que a regresso ptima deve ter coeficiente de correlao muito prximo de 1 podemos considerar que as duas funes so aceitveis, sendo prefervel a do 4 grau. Se formos ao editor de funes encontramos l as duas expresses:

Podemos experimentar usar um valor aproximado para a funo do 4 grau e ver como se ajusta aos pontos. Engrossemos o trao do grfico:

Podemos dizer que a funo definida por ( ) 4 3 2f x 0,91x 1,24x 5,4x 0,72x 0,07= + + + uma boa aproximao da trajectria da atleta.

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2. Num jacto de gua, cada gota descreve um arco de parbola. Esses jactos partem todos do solo. A altura, em metros, de um dos jactos de gua dada por

2a 4t t=

(t em segundos, contado a partir do instante em que sai do solo) 2.1. Para determinar ao fim de quanto tempo uma gota de gua cai no

lago, que se encontra 10 cm abaixo do nvel do solo vamos resolver

a equao a = 0,1, que ser: 2 2 4 16 0,40,1 4t t t 4t 0,1 0 t2

+ = = =

S a soluo positiva nos interessa por o tempo no poder ser negativo. Com aproximao s dcimas ser 4,0 segundos.

2.2. A altura mxima atingida pelo jacto de gua dada pela ordenada do vrtice da parbola descrita pela gota.

Calculemos os zeros de a:

( )24t t 0 t 4 t 0 t 0 t 4 = = = = Calculemos a abcissa do vrtice que o valor mdio dos zeros: 0 4h 2

2+

= =

A ordenada do vrtice ( ) 2k a 2 4 2 2 4= = = . A altura mxima atingida pelo jacto de gua 4 m.

2.3. A velocidade mdia do percurso da gota 2.3.1. durante o primeiro segundo 3m/s porque a(1)=3 e a(0)=0 2.3.2. nos intervalos de tempo

[0,5;1] [0,9;1] [0,99;1] ( ) ( )a 1 a 0,5

0,53 1,75 2,5m / s

0,5

=

=

( ) ( )a 1 a 0,90,1

3 2,79 2,1m / s0,1

=

=

( ) ( )a 1 a 0,990,01

3 2,9799 2,01m / s0,01

=

=

A velocidade da gota um segundo aps a sada dever ser 2 m/s.