tarea 4 ipd416 ricardohernandezvidal

TAREA #3 IPD-416: CONTROL AVANZADO DE ACCIONAMIENTOS ELECTRICOS, 8 DE JUNIO 2015 1

Tarea #4 IPD-416Control vectorial de una maquina de induccion

Ricardo Hernandez Vidal 201121035-2

F

1 INTRODUCCIONLas maquinas de induccion o asincronicas sonaquellas que convierten energa electrica enenerga mecanica mediante la conexion desus bobinas trifasicas de estator a una fuentede voltaje. Debido a que el torque (energaiamecanica) se produce debido a la interaccionde las variables electricas entre el estator yel rotor, y ademas estas ecuaciones funcionande acuerdo al principio de induccion mutuade Faraday, es que su modelado matematicorequiere de ecuaciones no lineales y de altoorden para sistemas dinamicos complejos.

En el presente documento se propone elcontrol vectorial usando las coordenadas dq apartir de las variables en proporcionadaspor el modelo dinamico de la tarea anterior. Apartir de las ecuaciones dinamicas se encuen-tran funciones de transferencias a las cuales sele disenan PI para el control contnuo. Posteri-ormente se analizan las respuestas ante referen-cias de velocidad e impacto de carga.

Adicionalmente se crea un modelo de uninversor PWM a partir de una modulacion vec-torial de los MOSFET, usando como referen-cias los voltajes que son resultado del controldisenado, pero esta vez discretizando las corri-entes de estator.

2 DESARROLLO2.1 Dinamica de la maquina de induccion

Las ecuaciones que modelan la maquina deinduccion en coordenadas (cuyas coorde-nadas son fijas para un observador situado enel estator y son rotatorias, con velocidad m,para el observador ubicado en el rotor) son lassiguientes:

~vs = Rs~is +

~st

(1)

0 = Rr~ir + ~rt jr ~r (2)

~s = Ls~is + Lm~i

r (3)

~r = Lm~is + Lr~i

r (4)

Adempas teniendo en cuenta la equivalen-cia de coordenadas dq a es:

~ir = ~idqr e

jr (5)~r =

~dqr ejr (6)

Donde r es el angulo del sistema dq re-specto de , en otras palabras r =< ~r yse puede calcular mediante:

e = tan1(

rr

) (7)

Es importante mencionar que las coorde-nadas son estaticas para un observador situ-ado en el estator, y rotatorias para un obser-vador situado en el rotor (giran con velocidad


r). Estas coordenadas son especialmente ocu-padas para modelar el motor. Las coordenadasdq en cambio son utilizadas para el controlvectorial, debido a que modelan la maquinade induccion como una maquina DC. Para estose toman las variables en y se multiplicanpor ejr . De esta forma en las coordenadasdq quedan en orientacion con el flujo de rotor,siendo ~qr = 0. Debido a que en la practicano se tiene acceso al flujo del rotor, se debehacer una estimacion de este para pasar deuna coordenada a otra, y as poder modelar ycontrolar las variables.

A continuacion se muestran los diagramascon los cuales se puede pasar de a dq y vice-versa.

Fig. 1. Diagrama de transformacion de coordenadas a dq.

Fig. 2. Diagrama de transformacion de coordenadas dq a .

2.2 Estimacion del flujo de rotorPara la estimacion del flujo se utilizan las sigu-ientes ecuaciones de rotor:

0 = Rr~ixyr +

~xyrt

(8)~ixyr =

~xyrLr Lm

Lr~ixyr (9)

Evaluando la ecuacion (9) en (8) ydefiniendo la constante r = LrLm :

r ~xyrt

+ ~xyr = Lm~ixys (10)

Usando la transformada de Laplace:

~xyr =Lm

rs+ 1~ixyr (11)

El diagrama para estimar el flujo de rotor esel siguiente

Fig. 3. Estimador de flujo de rotor.

Dicho estimador se implementa con el mo-tor conectado directamente a la red 220V/50Hzsin torque (pero con inercia 2 0.38), como sique:

Fig. 4. Motor conectado directamente a la red 220/50 e imple-mentacion del estimador.

Adicionalmente en plecs se simula el motorde induccion, con los mismos parametros (iner-cia 2 0.38):


Squirrel-Cage IMV_3ph

Scope

Scope1

TorqueSensor

RotationalFrame

RotationalFrame1

SpeedSensorTorque2

Scope2

Step

Scope3

K

Gain

Inertia

Fig. 5. Simulacion en PLECS.

Para comparar, se grafican los flujos de rotoren en PLECS y en Simulink con los diagra-mas mostrados.

Fig. 6. Flujo de rotor en alpha. En rojo, simulacion en PLECS.En Azul, en Simulink.

Fig. 7. Flujo de rotor en beta. En rojo, simulacion en PLECS. EnAzul, en Simulink.

En las figuras 6 y 7 se puede apreciar quelos flujos coinciden en todo momento. Por loque se puede decir que el estimador esta biendisenado.

Ahora se muestra la magnitud y el angulodel flujo de rotor en Simulink, pero esta vezusando impacto (en 1.5[s]) de carga nominal(que como se observo en la tarea anterior es deTnom = 180[Nm]):

Fig. 8. Magnitud (arriba, en [Vm]) y angulo (abajo, en [rad]) delflujo de rotor estimado.

La magnitud del flujo de rotor en estadoestacionario con carga nominal es de 0.8673[Vm]. Esta magnitud corresponde en verdada la variable ~dr , pues ~qr = 0, por lo que|~r|nom = ~drnom = 0.8673[V m]. Usaremos estevalor para el control vectorial en la seccion quesigue.

2.3 Control vectorial2.3.1 Diseno de controladores PILa velocidad del rotor y las corrientes de estatorse controlan mediante PIs, los cuales debenser disenados por algun metodo. En la tarea seexigen anchos de banda, ademas para un buencontrol nos interesa el amortiguamiento. Es poresto que se usara la herramienta SISOtool deMATLAB, para as asignar polos y ceros (RootLocus).

PI corrienteReescribiendo las ecuaciones (1),(3) y (4)pero ahora en coordenadas dq se tiene:


~vdqs = Rs~idqs +

~dqst

+ je ~dqs (12)

~dqs = Ls~idqs + Lm~i

dqr (13)

~dqr = Lm~idqs + Lr~i

dqr (14)

A partir de estas ecuaciones es posibleescribir el voltaje ~vdqs en funcion de lasvariables de estado ~dqr y~idqs .Dicha ecuacion es la siguente:

~vdqs = (Rs +L2mL2rRr)~i

dqs + Ls

~idqst...

... LmLrr

~dqr j LmLr (e sl) + jeLs~idqs

Definiendo convenientemente las vari-ables R = Rs +

L2mL2rRr y = LsR y

llevando la ultima ecuacion al dominiode Laplace, ademas de separar en d y qlas variables se tiene:

~ids~vds

=~iqs~vqs

=1R

s+ 1(15)

Evaluando los parametros de lamaquina que se quiere controlar, setiene la siguiente planta:

Gi(s) =2.646

0.01022s+ 1(16)

Se procede a disenar el controlador PIpara el cual se fuerza un coeficiente deamortiguamiento = 0.701 ademas deun ancho de banda de 200 [Hz].

Fig. 9. Diseno de controlador PI para corriente en herramientagrafica SISOtool

Fig. 10. Bode del lazo cerrado del controlador PI de corriente,usando la planta calculada.

En la figura 9 se puede apreciar que elcoeficiente de amortiguamiento es iguala 0.701, mientras que en la figura 10 secorrobora el ancho de banda de 200[Hz],pues tiene una cada de 3[dB] en esafrecuencia. El controlador del lazo decorriente queda como sigue:

Ci(s) =3.4326(s+ 555.6)

s(17)


PI velocidadEste controlador de velocidad es el lazoexterno del control, y dado que el lazointerno tendra un ancho de banda 20 ve-ces mayor, dicha ganancia se consideraunitaria. Por lo que solo se debe consid-erar la ecuacion mecanica siguiente:

mTe

=1

Js=

1

0.76s(18)

Donde J se considera con carga, es decir,el doble de la inercia del motor en vaco.De la misma forma que el controlador decorriente, se disena el PI para el controlde velocidad.

Fig. 11. Diseno de controlador PI para velocidad en herramientagrafica SISOtool

Fig. 12. Bode del lazo cerrado del controlador PI de velocidad,usando la planta calculada.

En la figura 11 se puede apreciar que elcoeficiente de amortiguamiento es iguala 0.701, mientras que en la figura 12 secorrobora el ancho de banda de 10[Hz],pues tiene una cada de 3[dB] en esafrecuencia. El controlador del lazo develocidad queda como sigue:

C(s) =32.862(s+ 22.22)

s(19)

En el enunciado de la tarea se pide lim-itar la corriente iqs = 150%Isnom. Paraesto se realizara el antienrrollamientodel lazo de velocidad como lo indica lasiguiente figura:

Fig. 13. Antienrrollamiento aplicado al lazo de velocidad.

La entrada del lazo de realimentacionmostrado en la figura 13 es el error develocidad mecanica m. La salida corre-sponde a la actuacion que ingresa a laplanta. El saturador nos permitira limi-tar el torque electrico lo que implica quese puede limitar la corriente en q. Estose explica por la siguiente ecuacion:

Te = 32pLmLr={~r ~is} =

3

2pLmLr

dr iqs = KT i

qs

(20)Se sabe que ids es constante, por lo que sepuede limitar directamente la corrientelimitando el torque electrico. El torqueelectrico nominal es de 180[Nm] por loque el saturador tendra como lmites -270 y 270 [Nm]. La ganancia y el con-trolador realimentado se calculan direc-tamente del controlador de la ecuacion(19) como 1/C() y 1/C(s) 1/C().


2.3.2 ImplementacionPara el control vectorial, se necesita transformarlas coordenadas del modelado del motor acoordenadas dq para controlar como un motorDC el motor de induccion. Para esto se uti-liza el estimdor de flujo implementado en laseccion 2.1. Esto logra que las variables estenorientadas con el flujo de rotor y facilita (masbien posibilita) el diseno de controladores PI,conocidos en la seccion 2.2. Se implementa elcontrol asumiento un comportamiento ideal delinversor, esto es que los actuadores de tensionde los controladores de corriente y velocidadsean los mismos que se le aplican al motorde induccion. Esto se muestra en la siguientefigura.

Fig. 14. Esquema del control de velocidad mecanica implemen-tado en su totalidad.

La constante KT se calcula como sigue:

KT =3

2pLmLr

drnom (21)

Evaluando los parametros y usando el valorde drnom = 0.8673[V m] se llega al valor KT =2.4546. Ahora se tienen todos los parametrospara simular.

2.3.3 ResultadosCambio de marcha

Para esta sinulacion se utiliza un escalon develocidad que va desde 1500[rpm] a -1500[rpm]en t = 1[s] como referencia en el control. Larespuesta de este escalon se muestra en la figura15.

Fig. 15. Respuesta de velocidad mecanica ante cambio demarcha.

Se observa que el sistema tiene un tiempo derespuesta 0.9[s], un overshoot de 50[rpm] (peakde 1550[rpm]) y un error estacionario igual a 0.El torque electrico se muestra en la figura 16.

Fig. 16. Respuesta de torque electrico ante cambio de marcha.

Cabe recordar que el torque es propor-cional a la derivada de la velocidad. Por ende,cuando la velocidad crece en el transiente bajoalgun tipo de polinomio, el torque crece en laderivada de ese polinomio. De manera similar,mientras la velocidad es constante, el torque es0 y cuando el primero es una recta, el segundoes constante. Durante un intervalo de tiempoel torque es negativo constante, esto se debe aque se debe frenar el motor para llevarlo de -1500[rpm] a 1500[rpm]. Ademas se verifica que


no supera el valor maximo establecido por elsaturador, que es 270[Nm].

Fig. 17. Respuesta de corrientes de estator a,b,c ante cambiode marcha.

La magnitud en el transiente no supera los111.5[A], lo que se condice con el hecho de quela corriente nominal es de 77[A], y el 150% deesta es 115.5[A], que fue la condicion impuestapor el saturador. Ademas para llevar al motor a1500[rpm] se consumen altas corrientes, cuandoel motor trabaja a velocidad nominal disminuyedicha corriente y durante el cambio de marchaesta corriente es de la misma magnitud quedesde el reposo a 1500[rpm].

Fig. 18. Respuesta de corriente de estator dq ante cambio demarcha.

La corriente de estator en d es aproxi-madamente constante durante todo el tiempo

(iss = 21.68[A]), mientras que la corriente deestator en q sufre las consecuencias del escalonde referencia al comienzo y luego del cam-bio de marcha. En el transiente la corriente semantiene constante en 110[A], luego el rotorgira a 1500[rpm] y la corriente es 0. Luego enel cambio de marcha la corriente es constantenuevamente en -110[A] para que al alcanzar los-1500[rpm] la corriente vuelva a ser 0.

Fig. 19. Respuesta de flujo de rotor ante cambio de marcha.

El flujo de rotor demora aproximadamente 1[s] en estacionar su magnitud en 0.876 [Vm]. Almomento de aplicar el cambio de marcha, existeun pequeo (casi inapreciable) aumento del flujode rotor, para luego estacionarse nuevamenteen el mismo valor. En cuanto a su angulo, esposible apreciar el momento en que va desdepi en el segundo 2.4, el angulo intenta subirlentamente pero se devuelve. Es aqu donde seaprecia con total claridad que el flujo de rotorse devuelve a pi.


Impacto de carga

En este caso se mantiene una referencia develocidad constante de 1500[rpm] y se aplica untorque nominal de 180[Nm] en 2[s].

Fig. 20. Respuesta de velocidad mecanica ante cambio demarcha.

Se puede apreciar que el sistema de controldemora 0.9[s] en estabilizarse. Luego existe unpequeno error de velocidad debido al impactode torque nominal pero el controlador lo cor-rige rapidamente.

Fig. 21. Respuesta de torque electrico ante impacto de carganominal.

El torque electrico crece como la derivada dela velocidad del rotor, hasta que la velocidades igual a la de referencia. En ese instante eltorque electrico disminuye a cero, pues hastael momento no hay torque de carga. En el se-gundo 2[s], se aplica el torque nominal llegandoa igualar el torque de carga.

Fig. 22. Respuesta de corrientes de estator a,b,c ante impactode carga nominal.

A diferencia del cambio de marcha, la cor-riente luego del impacto de carga se mantieneen un valor alto. Esto es porque el motor debesoportar la carga y para eso debe existir untraspaso de potencia que se traduce en un au-mento de corriente. La amplitud de corrientecon torque nominal es de 77[A] (igual que di-rectamente conectado a la red) mientras que alimpactar la carga existe un overshoot de 95[A].

Fig. 23. Respuesta de corriente de estator dq ante impacto decarga nominal.

La corriente en d tiene un valor fijo de21.68[A] mientras que en dq, luego del impactode carga nominal, tiene un valor estacionariode 77.42[A], de igual forma que la amplitud decorrientes a,b,c.


Fig. 24. Respuesta de flujo de rotor ante impacto de carganominal.

La magnitud de flujo de rotor antes delimpacto de carga es de 0.8655, luego del im-pacto, se tiene un overshoot de 0.8753, paraestacionarse en 0.8656. Como se puede apreciar,la magnitud vara casi imperceptiblemente. Encuanto al angulo, este no cambia en absoluto,esto se explica porque al impactar la carga elrotor sigue girando al mismo lado, y casi conla misma velocidad, por lo que el cambio no seaprecia.

2.4 Modelado del inversor

Las secciones anteriores describen el controlvectorial en lazo de corriente y velocidad us-ando como alimentacion las referencias de di-cho control. Pero los dispositivos de control noson capaces de entregar la potencia que exigeun motor de induccion. Es por esto que seimplementa una modulacion vectorial de uninversor PWM. Adicionalmente, el muestreo decorriente sera sincronico con la nombrada mod-ulacion vectorial, con frecuencia de muestreode 5[kHz]. El diagrama se muestra en la figura25.

Inversor

SpeedSensor

TLgndrot

gnd mec

+ K

C(oo) Te max-min

-0.0001349z-0.9956

Antienrollamiento

Krpmrad

K

1/KT

+

3.623z-3.242z-1

PI corriente Iq

Estimador Flujo

rpm

3phSRF

abc

Is_abc(z)

wm*

Te

ZOH

.

V..

MotorInduccion

Te1

Fig. 25. Implementacion del inversor PWM modulado vectorial-mente.

En el esquema se observa que existe unmuestreo de corrientes de estator con el bloqueZOH (zero-older hold, retenedor de ordencero). Dicho muestreo se realiza a 5[kHz].Ademas, el bloque Space Vector PWM cal-cula los disparos de los MOSFET del inver-sor a partir de los voltajes de referencia delcontrol, realizando una modulacion vectorialPWM. Se discretizan los controladores usandoun perodo de muestreo de 5[kHz] usando unretenedor de orden cero. Se mantiene la mismaestructura, con antienrrollamiento y saturadorde torque en el lazo de velocidad. Los contro-ladores discretos quedan de la siguiente forma:

Ci(z) =3.433z 3.051

z 1 (22)1

C(z) 1

C() =0.0001349z 0.9956 (23)

Observe que en el controlador de corrienteCi(z), el polo se encuentra en z = 1. Estoes porque el polo del controlador contnuose encuentra en 0 (1/s), y debido a que elmapeo de s a z es z = esT , con T perodo demuestreo, z = e0(1/5000) = 1. Lo anterior explica


tambien que para controladores contnuos y es-tables, sus polos se encuentran en el semiplanoizquierdo, y el respectivo mapeo en z es dentrodel crculo unitario.

2.4.1 Cambio de marchaLa referencia de velocidad sera un cambio demarcha nominal desde 1424[rpm] a -1424[rpm],sin torque de carga, solo la inercia de lamaquina. En la siguiente figura se muestra enpunteado rojo la referencia, en punteado negroel control contnuo, y en azul el control discreto.

Fig. 26. Respuesta de velocidad mecanica ante cambio demarcha nominal.

Se aprecia que el control discreto es leve-mente mas rapido que el control contnuo. Peroen general tienen una respuesta casi identica.

Fig. 27. Respuesta de corrientes de estator ante cambio demarcha nominal.

En estado estacionario alacanzan el mismovalor ambas corrientes. Pero en estado tran-siente existen peaks elevados en el caso dis-creto, lo que puede ser debido a la mayorrapidez en el caso discreto.

Fig. 28. Respuesta de torque electrico ante cambio de marchanominal.

Nuevamente la respuesta es similar, salvoen 3 segundos, justo en el instante en que se ter-mina el cambio de marcha. El torque electricoalcanza un valor muy elevado, no respetando elsaturador ni el coeficiente de amortiguamientocalculado en el caso continuo.

Fig. 29. Corrientes de estator abc discretizadas con ZOH.

Se observa que las corrientes estanmuestreadas, teniendo como referencia una si-


nusoidal de frecuencia 50[Hz] y de amplitud22[A], similar al caso contnuo. A continuacionse muestra la FFT de la corriente en estadoestacionario.

Fig. 30. Transformada de Fourier de las corrientes de estatorabc.

Se observa que existe solo amplitud en50[Hz], lo que demuestra que el control discretofunciona y las armonicas de switcheo estanausentes. Este analisis es valido para antes yluego del cambio de marcha.

2.4.2 Impacto de cargaEn este caso se estudia el impacto de carganominal 180[Nm]. Este se aplica en 2[s]. Acontinuacion se muestra la respuesta de la ve-locidad del rotor ante dicho impacto.

Fig. 31. Respuesta de velocidad mecanica ante impacto decarga nominal.

Se observa nuevamente que la respuestadiscreta es mas rapida que la continua.

Fig. 32. Respuesta de corrientes de estator ante impacto decarga nominal.

Las corrientes estacionarias coinciden, soloque las corrientes discretas muestran mayordistorsion en las coordenadas dq. Pero las cor-rientes en abc muestran el mismo compor-tamiento estacionario que el cambio de marcha:la FFT de las corrientes tienen componenetesespectrales en 50[Hz] solamente.

Fig. 33. Respuesta de torque electrico ante impacto de carganominal.

Finalmente el torque electrico en este casoes muy similar.


2.4.3 Regla de TustinLa regla de Tustin sugiere reemplazar la vari-able frecuencial s por:

s =2

Ts

z 1z + 1

(24)

Siempre que la planta contnua sea estable(polos en el semiplano izquierdo,


5 ANEXOA continuacion se muestra el codigo en Matlabpara las simulaciones.

%Simul ink%c l e a r a l lp=2;J v a c i o = 0 . 3 8 ;J carga =2 J v a c i o ;Lm= 0 . 0 4 ;Ls = 0 . 0 4 1 6 ;Lr = 0 . 0 4 2 4 ;Rs = 0 . 2 ;Rr = 0 . 2 ;f =50;we=2pi f ;ws=5060;

sigma=1Lm2 /( LsLr ) ;Rsr=Rs+( Ls ) Rr /( Lr ) ;tausrprima=sigma (Lm) /Rsr ;taur =( Lr ) /Rr ;taum= J v a c i o ;psi r nom = 0 . 8 6 7 3 ;KT = (3/2) ppsi r nomLm/Lr ;

%%

%c o n t r o l v e c t o r i a lc l cpsi r nom = 0 . 8 6 7 3 ;KT = (3/2) ppsi r nomLm/Lr ;

s= t f ( s ) ;Rsigma = Rs + Rr (Lm 2 ) /( Lr 2 ) ;tausigma = sigmaLs/Rsigma ;

%l a z o c o r r i e n t eGi = (1/ Rsigma ) /( tausigma s +1) ;t f ( Gi ) ;Ci = 1907 (1+0 .0018 s ) /s ;Hi = CiGi/(1+ CiGi ) ;pid ( Ci ) ;

%l a z o v e l o c i d a d con c a rg aGw = 1/( J v a c i o s ) ;t f (Gw) ;syms x ;Cw = 7 3 0 . 2 7 ( 1 + 0 . 0 4 5 x ) /x ;

lim = l i m i t (Cw, x , i n f )c l ea r Cw

Cw = 7 3 0 . 2 7 ( 1 + 0 . 0 4 5 s ) /sT = 1/Cw 20000/657243;

%% Gra f i c o s , wmref /wmhold o f fplot ( wmref , r , Linewidth , 3 )hold onplot (wm, b , Linewidth , 3 )grid ont i t l e ( Respuesta de velocidad

m e c n i c a ante impacto de carganominal )

xlabel ( tiempo [ s ] )ylabel ( wm [rpm] )legend ( wmref , wm )

%% c o r r i e n t e shold o f fsubplot ( 3 , 1 , 1 ) ; plot ( Isa , b ,

Linewidth , 2 )grid ont i t l e ( Corr iente e s t a t o r f a s e a )xlabel ( tiempo [ s ] )ylabel ( I s a [A] )subplot ( 3 , 1 , 2 ) ; plot ( Isb , b ,

Linewidth , 2 )grid ont i t l e ( Corr iente e s t a t o r f a s e b )xlabel ( tiempo [ s ] )ylabel ( I sb [A] )subplot ( 3 , 1 , 3 ) ; plot ( I sc , b ,

Linewidth , 2 )grid ont i t l e ( Corr iente e s t a t o r f a s e c )xlabel ( tiempo [ s ] )ylabel ( I s c [A] )hold o f f

%% to r qu e e l e c t r i c o

hold o f fplot ( TL , r , Linewidth , 3 )hold onplot ( Te , b , Linewidth , 3 )grid ont i t l e ( Respuesta de velocidad

m e c n i c a ante impacto de carga


nominal )xlabel ( tiempo [ s ] )ylabel ( Torque e l c t r i c o )legend ( TL , Te )

%% angulo e l c t r i c o d e l r o t o r

hold o f fplot ( thetae , b , Linewidth , 1 . 5 )grid ont i t l e ( E s t i m a c i n n g u l o

e l c t r i c o del r o t o r ante anteimpacto de carga nominal )

xlabel ( tiempo [ s ] )ylabel ( t h e t a e [Nm] )

%% Co r r i e n t e dqsubplot ( 2 , 1 , 1 ) ; plot ( Isd , b ,

Linewidth , 2 )grid ont i t l e ( Corr iente e s t a t o r d )xlabel ( tiempo [ s ] )ylabel ( Isd [A] )subplot ( 2 , 1 , 2 ) ; plot ( Isq , b ,

Linewidth , 2 )grid ont i t l e ( Corr iente e s t a t o r q )xlabel ( tiempo [ s ] )ylabel ( I sq [A] )

%% f l u j o r mag y angsubplot ( 2 , 1 , 1 ) ; plot ( f lujor mag , b

, Linewidth , 2 )grid ont i t l e ( Magnitud f l u j o de r o t o r )xlabel ( tiempo [ s ] )ylabel ( F l u j o r o t o r [Vm] )subplot ( 2 , 1 , 2 ) ; plot ( f l u j o r a n , b

, Linewidth , 2 )grid ont i t l e ( Angulo f l u j o de r o t o r )xlabel ( tiempo [ s ] )ylabel ( n g u l o [ rad ] )

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