tarea 1

UNIVERSIDAD DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA

CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

Tarea Académica N° 1

Formulación de modelos

ESTUDIANTE

Yasmin Apari Muñoz

PROFESOR

Luis Peña Mendoza

Fecha de entrega: 04 de abril de 2016

2016 - 1

Caso 1

Problema de combinación de productos a fabricar

Metalco Company desea hacer una nueva aleación con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de

plomo a partir de varias aleaciones disponibles que tienen las siguientes propiedades:

Propiedad Aleación

1 2 3 4 5

% de aluminio 60 25 45 20 50

% de zinc 10 15 45 50 40

% de plomo 30 60 10 30 10

Costo ($/libra) 22 20 25 24 27

El objetivo es formular el modelo que determine las proporciones de estas aleaciones que deben

mezclarse para producir la nueva aleación al costo mínimo.

Solución:

Variables de decisión:

Xi : proporción de aleación “i” para producir la nueva aleación

Donde:

i = {1, 2, 3, 4, 5}

Función objetivo:

C = costo total de la nueva aleación

Mín C = 22 X1 + 20 X2 + 25 X3 + 24 X4 + 27 X5

Restricciones:

Aluminio: 0.60 X1 + 0.25 X2 + 0.45 X3 + 0.20 X4 + 0.50 X5 = 0.40

Zinc: 0.10 X1 + 0.15 X2 + 0.45 X3 + 0.50 X4 + 0.40 X5 = 0.35

Plomo: 0.30 X1 + 0.60 X2 + 0.10 X3 + 0.30 X4 + 0.10 X5 = 0.25

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 1

Caso 2

Problema de Transporte

Medequip Co. produce equipos de precisión de diagnóstico médico en dos fábricas. Se han

recibido pedidos de 3 centros médicos para la producción de este mes. La siguiente tabla

muestra el costo unitario de envío desde cada fábrica a cada centro, además muestra el número

de unidades que se producirán en cada fábrica y el número de unidades ordenadas a cada

cliente. Ahora debe tomar la decisión sobre el plan de cuántas unidades enviar de cada fábrica

a cada cliente.

A De

Costo unitario de envío Producción

Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3

Fábrica 1 $ 600 $ 800 $ 700 400 und.

Fábrica 2 $ 400 $ 900 $ 600 500 und.

Orden 300 und. 200 und. 400 und.

Solución:


Xij : número de unidades que se envían de la fábrica “i” al cliente “j”.

Donde:

i = {1, 2}

j = {1, 2, 3}

Función objetivo:

C = costo total del envío

Mín C = 600 X11 + 800 X12 + 700 X13 + 400 X21 + 900 X22 + 600 X23

Restricciones:

X11 + X12 + X13 = 400

X21 + X22 + X23 = 500

X11 + X21 = 300

X12 + X12 = 200

X13 + X23 = 400

Caso 3

Problema del plan de producción e inventarios

Una compañía manufacturera produce 2 tipos de productos, A y B. La demanda (en unidades)

se muestra a continuación:

A B

Marzo 5000 2000

Abril 8000 4000

La compañía posee 2 líneas de ensamble (cualquier producto puede ensamblarse en cualquier

línea). La capacidad de cada línea y las tasas de producción se muestran en las siguientes tablas:

Capacidad (horas)

Línea 1 Línea 2

Marzo 800 2000

Abril 400 1200

Producto Tasa de producción (horas / unidad)

Línea 1 Línea 2

A 0.15 0.16

B 0.12 0.14

El costo de producción es de 5 $ / hora (se paga sólo por las horas trabajadas). Se puede

almacenar productos a un costo mensual de 0.50 $ / unidad. Actualmente, el almacén cuenta

con 500 unidades de A y 750 unidades de B. Se desea que el inventario al final del mes de Abril

sea por lo menos 1000 unidades de cada producto. Plantee un MPL para determinar el plan de

producción e inventarios que minimice el costo total y cumpla con la demanda.

Solución:


Xij : cantidad de horas trabajadas por línea “i” en el producto “j”.

Donde:

i = {1, 2}

j = {A, B}

Función objetivo:

C = costo total

Min C = 5 (X1A + X2A + X1B + X2B) + (0.5 * 2000)

Restricciones:

X1A + X1B ≤ 1200

X2A + X2B ≤ 3200

X1A / 0.15 + X2A / 0.16 = 1350

X1B / 0.12 + X2B / 0.14 = 6250

Caso 4

Coalco, problema de transporte

Coalco explota carbón en 3 minas y lo embarca para 4 clientes. Los costos por tonelada de

carbón en producción, la ceniza y el contenido de azufre del carbón; y la capacidad de

producción de cada mina se proporcionan en la siguiente tabla:

Mina Costo de

producción ($/t) Capacidad (t)

Contenido de ceniza

Contenido de azufre

1 50 120 8% 5%

2 55 100 6% 4%

3 62 140 4% 3%

El costo de transporte de carbón ($ / t) desde cada mina a cada cliente se muestra en la siguiente

tabla, así como también la demanda de carbón que necesita cada cliente se muestra en la

siguiente tabla:

Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4

Mina 1 4 6 8 12 Mina 2 9 6 7 11 Mina 3 8 12 3 5

Demanda (t) 80 70 60 40

Se requiere que, para cada cliente, la cantidad total de carbón embarcado proveniente de las 3

minas contenga a lo más 5% de ceniza y a lo más 4% de azufre. Plantear un modelo de

programación lineal que minimice el costo por cumplir las demandas de los clientes.

Solución:


Xij : cantidad de carbón enviado de la mina “i” al cliente “j”.

Donde:

i = {1, 2, 3}

j = {1, 2, 3, 4}

Función objetivo:

C = costo total

Min C = 50 (X11 + X12 + X13 + X14) + 55 (X21 + X22 + X23 + X24) + 62 (X31 + X32 + X33 + X34) + 4 X11 + 9 X21

+ 8 X31 + 6 X12 + 6 X22 + 12 X32 + 8 X13 + 7 X23 + 3 X33 + 12 X14 + 11 X24 + 5 X34

= 54 X11 + 64 X21 + 70 X31 + 56 X12 + 61 X22 + 74 X32 + 58 X13 + 62 X23 + 65 X33 + 62 X14 + 66

X24 + 67 X34

Restricciones:

X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 120

X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 100

X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 140

X11 + X21 + X31 ≥ 80

X12 + X22 + X32 ≥ 70

X13 + X23 + X33 ≥ 60

X14 + X24 + X34 ≥ 40

0.08 X11 + 0.06 X21 + 0.04 X31 ≤ 0.05 (X11 + X21 + X31)

0.08 X12 + 0.06 X22 + 0.04 X32 ≤ 0.05 (X12 + X22 + X32)

0.08 X13 + 0.06 X23 + 0.04 X33 ≤ 0.05 (X13 + X23 + X33)

0.08 X14 + 0.06 X24 + 0.04 X34 ≤ 0.05(X14 + X24 + X34)

0.05 X11 + 0.04 X21 + 0.03 X31 ≤ 0.04 (X11 + X21 + X31)

0.05 X12 + 0.04 X22 + 0.03 X32 ≤ 0.04 (X12 + X22 + X32)

0.05 X13 + 0.04 X23 + 0.03 X33 ≤ 0.04 (X13 + X23 + X33)

0.05 X14 + 0.04 X24 + 0.03 X34 ≤ 0.04 (X14 + X24 + X34)

Caso 5

Problema en la mezcla de aceite

Una empresa produce aceite monogrado y aceite multigrado, mezclando aceite común con dos

aditivos. Por cada litro de los aceites producidos los contenidos en litro de aditivos son:

Tipo de Aceite Aditivo I Aditivo II

Aceite monogrado 3/20 1/4

Aceite multigrado 1/4 7/20

La empresa dispone de 120 litros de aditivo I, 175 litros de aditivo II y de una cantidad ilimitada

de aceite común. Los precios por litro de aditivo I y II son respectivamente 200 US$. y 160 US$.

y un litro de aceite común vale 80 US$.

El aceite monogrado se vende a 150 US$ el litro y un litro de aceite multigrado vale 180 US$ La

producción combinada de los dos aceites tiene que ser superior ó igual a 400 unidades (una

unidad es igual a un litro de aceite).

Plantee el modelo como un problema de Programación Lineal.

Solución:


X : cantidad de litros de aceite monogrado

Y : cantidad de litros de aceite multigrado

Pc monogrado = (3*200/20) + (50*160/20) + (12*80/20) = 118 X

Pc multigrado = (5*200/20) + (7*160/20) + (8*80/20) = 138 Y

Función objetivo:

U = utilidades

Max U = (150 X – 118 X) + (180 Y – 138 Y) = 32 X + 42 Y

Restricciones:

Cantidad de litros de Aditivo I: (3X /20) + (5Y / 20) = 120

Cantidad de litros de Aditivo II: (5X /20) + (7Y / 20) = 175

Producción total: X + Y ≥ 400

Caso 6

Problema de desperdicio en el corte o de recorte de las existencias

Una Compañía papelera produce rollos de papel con un ancho estándar de 20 pies cada uno. Los

pedidos especiales de los clientes, con diferentes anchos, se producen recortando los rollos

estándar. Los pedidos típicos (que pueden variar día a día) se resumen en la siguiente tabla:

Pedido Ancho deseado (pies) Número deseado de rollos

1 5 150

2 7 200

3 9 300

En la práctica, un pedido se prepara fijando las cuchillas de corte en el ancho deseado. Por lo

común, hay cierto número de formas en las cuales se pueden cortar un rollo estándar para

satisfacer un pedido determinado. Se requiere formular el modelo que minimice el desperdicio.

Representación Matemática:

Trate de determinar las combinaciones de las posiciones de las cuchillas (variables) que pueden

satisfacer los pedidos requeridos (restricciones) con el área mínima de desperdicio en el corte

(objetivo). La definición de las variables como se dan deben traducirse de tal forma que pueda

utilizarla el operador de la cortadora. De manera específica las variables se definen como el

número de rollos estándar que van a cortarse conforme a una posición determinada de las

cuchillas. Esta definición requiere la identificación de todas las posiciones posibles de las

cuchillas.

Solución:

Corte tipo i Ancho de pies Ancho útil

en pies Desperdicio

en pies 5 7 9

1 - 1 1 16 4

2 2 1 - 17 3

3 2 - 1 19 1

4 4 - - 20 0

5 1 2 - 19 1

6 - - 2 18 2


Xi : número de rollos cortados bajo el patrón del corte tipo “i”.

Donde:

i = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Función objetivo:

D = desperdicio

Min D = 4 X1 + 3 X2 + X3 + 0 X4 + X5 + 2 X6

Restricciones:

- Demanda 5 pies:

0 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 4 X4 + 1 X5 + 0 X6 = 150

- Demanda 7 pies:

1 X1 + 1 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 2 X5 + 0 X6 = 200

- Demanda 9 pies:

1 X1 + 0 X2 + 1 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 2 X6 = 300

Caso 7

Problema en la programación de autobuses

La Municipalidad de Lima está estudiando la factibilidad de introducir un sistema de autobuses

de tránsito masivo que disminuya el problema de la contaminación ambiental, reduciendo el

número de vehículos que circulan en la ciudad.

El estudio inicial busca la determinación del número mínimo de autobuses que pueda manejar

las necesidades de transporte. Después de recopilar la información necesaria, el ingeniero de la

ciudad observó que el número mínimo de autobuses fluctuaba según la hora del día. Al estudiar

más a fondo los datos, fue evidente que era posible hacer una aproximación del número de

autobuses mediante valores constantes sobre intervalos sucesivos de 4 horas cada uno.

El siguiente gráfico resume los descubrimientos del ingeniero. Para llevar a cabo el

mantenimiento diario requerido, cada autobús podía operar sólo ocho horas sucesivas del día.

Se requiere formular el modelo para determinar el número de autobuses que van a operar

durante los diferentes turnos (variables) que satisfagan la demanda mínima (restricciones), al

mismo tiempo que se minimiza el número total de autobuses diarios en operación (objetivo).

Solución:


Xi : número de horas que trabaja el bus “i”

Donde:

i = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Función objetivo:

Min F = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

Restricciones:

4 ≤ X1 + X6 ≤ 16 0 ≤ X1 ≤ 8

8 ≤ X2 + X1 ≤ 22 0 ≤ X2 ≤ 8

10 ≤ X3 + X2 ≤ 25 0 ≤ X3 ≤ 8

7 ≤ X4 + X3 ≤ 29 0 ≤ X4 ≤ 8

12 ≤ X5 + X4 ≤ 23 0 ≤ X5 ≤ 8

4 ≤ X6 + X5 ≤ 20 0 ≤ X6 ≤ 8

Caso 8

Problema en la programación de producción

La empresa de jugos “Guatt’s” vende 7 tipos de diferentes jugos envasados en cajas de 1 litro:

Durazno, Naranja, Manzana, Piña, Zanahoria y 3 tipos de combinados (combinado F, combinado

G y combinado H). Para la elaboración de los diferentes 8 tipos de jugos, se utiliza como materia

prima Kgs de fruta fresca de Durazno, Limón, Naranja, Manzana, Piña y Zanahoria. El costo de

cada materia prima ($/Kgs) así como el precio de venta de cada tipo de jugo ($/litro) equivalen

a:

Costo de Materia Prima ($/kg) Precio de Venta ($/litro)

Durazno 20 99

Limón 27 -

Naranja 24 99

Manzana 42 95

Piña 36 95

Zanahoria 16 99

A su vez, el precio de venta para cada uno de los 3 tipos de combinados es de 120 ($/litro).

Para la elaboración de 1 litro de jugo de Durazno, Naranja, Manzana, Piña y Zanahoria; se utiliza

como materia prima solo la fruta fresca correspondiente a cada caso. No obstante, los

requerimientos de Kgs necesarios para elaborar cada uno de estos jugos, varía. Además, existen

limitaciones para la capacidad de producción mensual en la planta procesadora de jugos

“Guatt’s”. La información pertinente de estas situaciones se muestra a continuación:

Requerimientos de Kgs. de Materia Prima

Necesaria para elaborar 1 Litro de Jugo Capacidad Máxima Producción (litros)

Durazno 3.75 200

Naranja 3 280

Manzana 2.25 320

Piña 2.5 240

Zanahoria 5 150

Para elaborar 1 litro de jugo de los combinados F, G y H, se requieren exactamente 4 Kgs de

materia prima en cada uno de estos 3 casos. El combinado tipo F requiere a lo menos un 25%

de Naranja, a lo más un 25% de Limón y exactamente un 50% de Zanahoria. Por su parte, el

combinado tipo G requiere a lo menos un 20% de Naranja, a lo menos un 15% de Limón y, a lo

menos un 35% de Manzana. Finalmente, el combinado tipo H requiere exactamente 50% de

Naranja, 10% de Limón y 40% de Zanahoria.

Además, la capacidad de producción en los 3 tipos de combinados está limitada a producir como

máximo: 250 litros para el combinado G y 180 litros para los combinados F y H. Plantee el

problema de programación lineal que permita programar la producción de jugos “Guatt’s” para

un período mensual. Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo

y el conjunto de restricciones.

Solución:


Xi : cantidad de litros de jugo de “i”

Xjk : cantidad de litros de jugo de “j” mezclado con el combinado “k”

Donde:

i = {A, B, C, D, E, F, G, H, I}

j = {A, B, C, D, E, I}

k = {F, G, H}

A: Durazno

B: Naranja

C: Manzana

D: Piña

E: Zanahoria

F: Combinado F

G: Combinado G

H: Combinado H

I: Limón

Función objetivo:

G = Ganancia total obtenida en la producción de jugos

Max G = 120 (XF + XG + XF) + 24 XA – 21 XB + 0.5 XC + 5 XD – 6.6 XE – (96 𝑋𝐵𝐹

2

𝑋𝐹 + 108

𝑋𝐼𝐹2

𝑋𝐹 + 64

𝑋𝐸𝐹2

𝑋𝐹 +

96 𝑋𝐵𝐺

2

𝑋𝐺 + 108

𝑋𝐼𝐺2

𝑋𝐺 + 168

𝑋𝐶𝐺2

𝑋𝐺 + 10.8 XI)

Restricciones:

XA ≤ 200 ; XB ≤ 280 ; XC ≤ 320 ; XD ≤ 240; XE ≤ 150 ; XF ≤ 180 ; XG ≤ 250 ; XH ≤ 180

𝑋𝐵𝐹

𝑋𝐹 ≥ 0.25 ;

𝑋𝐼𝐹

𝑋𝐹 ≤ 0.25 ;

𝑋𝐸𝐹

𝑋𝐹 = 0.5 ;

𝑋𝐵𝐺

𝑋𝐺 ≥ 0.2 ;

𝑋𝐼𝐺

𝑋𝐺 ≥ 0.15 ;

𝑋𝐶𝐺

𝑋𝐺 ≥ 0.35

Caso 9

Caso Sunco Oil

Sunco Oil produce tres tipos de gasolina (1, 2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando

tres tipos de petróleo crudo (1, 2 y 3). En la tabla siguiente se muestran los precios de venta por

barril de las gasolinas y los precios de compra, por barril, del petróleo crudo. Sunco puede

comprar hasta 5000 barriles de cada tipo de petróleo crudo diariamente.

PRECIOS DE VENTA

POR BARRIL ($)

PRECIO DE COMPRA POR BARRIL ($)

Gasolina 1 70 Crudo 1 45



Los tres tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla

de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 1 tiene que tener un índice de octano

promedio de por lo menos 10 y a lo más 1 % d azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza

para obtener la gasolina 2 tiene que tener un índice de octano promedio de por lo menos 8 y a

lo más 2% de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 3 tiene

que tener un índice de octano promedio de por lo menos 6 y a lo más 1% de azufre. El índice de

octano y el contenido de azufre de los tres tipos de petróleo se dan en la tabla que sigue a

continuación. La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 4

dólares, y la refinería se Sunco pude producir diariamente, hasta 14000 barriles de gasolina.

ÍNDICE DE OCTANO CONTENIDO DE AZUFRE

Crudo 1 12 0.5%

Crudo 2 6 2.0%

Crudo 3 8 3.0%

Los clientes de Sunco necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina:

gasolina 1, 3000 barriles, gasolina 2, 2000 barriles, gasolina 3, 1000 barriles. La compañía se

siente comprometida a cumplir con estas demandas. Sunco tiene la posibilidad de estimular la

demanda de sus productos mediante la publicidad. Cada dólar invertido diariamente en el

publicidad para cierto tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de este tipo de gasolina den

10 barriles. Por ejemplo, si Sunco decide gastar diariamente 20 dólares para promover la

gasolina 2, la demanda diaria de la gasolina 2 se incrementara en 20(10)=200 barriles. Formule

un PL que permita a Sunco a maximizar sus ganancias diarias (ganancias = ingreso – costos).

Solución:


Gi : cantidad de barriles producidos de la gasolina i

Cab : cantidad de crudo “b” utilizado en la producción de la gasolina “a”

Ni : inversión de publicidad para la gasolina i

Función objetivo:

G = ganancias diarias

Max G = 70 G1 + 60 G2 + 50 G3 + 45 (C11 + C12 + C13) – 35 (C21 + C22 + C23) – 25 (C31 + C32 + C33) – (N1

+ N2 + N3) + 10 (70(N1) + 60(N2) + 50(N3))

Restricciones:

12 C11 + 6 C12 + 8 C13 ≥ 10

12 C21 + 6 C22 + 8 C23 ≥ 8

12 C31 + 6 C32 + 8 C33 ≥ 6

0.5 C11 + 2 C12 + 3 C13 ≥ 1

0.5 C21 + 2 C22 + 3 C23 ≥ 2

0.5 C31 + 2 C32 + 3 C33 ≥ 1

C11 + C12 + C13 ≤ 5000

C21 + C22 + C23 ≤ 5000

C31 + C32 + C33 ≤ 5000

G1 + G2 + G3 + 10 (N1 + N2 + N3) ≤ 14000

G1 + 10 N1 < 3000

G2 + 10 N2 < 2000

G3 + 10 N3 < 1000

tarea 1

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