Clculo Diferencial e Integral III

Tarea 1

Agosto de 2014

21. Pruebe que, si x = (x1, ..., xn) Rn, entonces:

(a) |xi| nxn para i = 1, ..., n(b) nxn |x1|+ + |xn|(c) nxn

n maxi=1,..,n

{|xi|}

2. Sean a1, ..., an R. Pruebe que

nSi=1

ai

2 n

nSi=1

a2i

3. Sean x1, . . . , xn Rn tales que xi xj = 0 si i, j {1, . . . , n}, i 9= j. Pruebe que:nx1 + + xnn2 = nx1n2 + + nxnn2

(Este resultado es conocido como el teorema de Pitgoras)

4. Sean x, y Rn. Pruebe que:

(a) x y = 0 s y slo si nx+ yn = nx yn(b) x y > 0 s y slo si nx+ yn > nx yn(c) x y < 0 s y slo si nx+ yn < nx yn

Interprete geomtricamente estos resultados

5. Sean x, y Rn diferentes de 0. Pruebe que:

(a) si nxn = nyn = nx yn entonces el ngulo entre x y y es /3(b) si nxn = nx yn entonces el ngulo entre x y y es igual al ngulo entre y y y x

Interprete geomtricamente estos resultados

6. Sean x, y Rn. Pruebe que:

(a) nx+ yn = nxn+ nyn s y slo si existe R, > 0, tal que x = y(b) nx yn = nxn+ nyn s y slo si existe R, < 0, tal que x = y(c) nx+ yn2 + nx yn2 = 2 (nxn2 + nyn2)(d) |nxn nyn| nx yn

7. Sea r > 0. Definimos B1r (0) = {x Rn | nxn1 < r} y Br (0) = {x Rn | nxn < r}.Describa geomtricamente los conjuntos B1r (0) y B

r (0) cuando n = 2 y n = 3.

8. Sean A,B subconjuntos de Rn. Diga si las siguientes afirmaciones son ciertas. Pruebesu respuesta.

(a) int(A B) = int(A) int(B); int(A B) = int(A) int(B)(b) ext(A B) = ext(A) ext(B); ext(A B) = ext(A) ext(B)(c) Fr(A B) = Fr(A) Fr(B); Fr(A B) = Fr(A) Fr(B); Fr(A) = Fr(Ac)

3(d) (A B) = A B; (A B) = A B

(e) si A B entonces: int(A) int(B); ext(B) ext(A); Fr(A) Fr(B); A B

(f) Rn = int(A) Fr(A) ext(A)

9. Pruebe que, si A Rn, entonces A int(A) Fr(A). D un ejemplo en el que estacontencin sea propia.

10. Pruebe que, si A Rn, entonces A es cerrado s y slo si A A.

11. Pruebe que, si A Rn es finito, entonces A es cerrado.

12. Pruebe que, si x A, entonces para cualquier r > 0, Br(x) tiene una infinidad depuntos de A.

13. Sean a1, ..., an, b1, ...bn R tales que ai < bi para i = 1, ..., n. Pruebe que el conjuntoA = (a1, b1) (an, bn) = {(x1, ..., xn) Rn | ai < xi < bi, i = 1, ..., n} es unconjunto abierto

14. Sean a1, ..., an, b1, ...bn R tales que ai bi para i = 1, ..., n. Pruebe que el conjuntoA = [a1, b1] [an, bn] = {(x1, ..., xn) Rn | ai xi bi, i = 1, ..., n} es unconjunto cerrado

15. Pruebe que el conjunto A del problema anterior, es un conjunto acotado

16. Sean A,B Rn. Si AB = {(x, y) R2n | x A, y B}, pruebe que:

(a) si A y B son abiertos (en Rn) entonces AB es abierto (en R2n)(b) si A y B son cerrados (en Rn) entonces AB es cerrado (en R2n)(c) si A y B son acotados (en Rn) entonces AB es acotado (en R2n)

17. Sean A1, . . . , Ak subconjuntos de Rn. Pruebe que:

(a) si cada Ai es abierto entonces A1 Ak y A1 Ak son abiertos(b) si cada Ai es cerrado entonces A1 Ak y A1 Ak son cerrados

Estas afirmaciones siguen siendo ciertas para un nmero infinito de conjuntos?Pruebe su respuesta

18. Si A = ([0, 1] [0, 1]) (QQ) = {(x, y) R2 | x, y Q y 0 x 1, 0 y 1}

(a) quien es Fr(A), int(A), ext(A), A y A?

(b) A es abierto o cerrado?

19. Sea A un subconjunto de Rn. Pruebe que:

(a) x A s y slo si para todo r > 0 se tiene que Br(x) A 9= (b) A es cerrado s y slo si A = A

4(c) int(A) es un conjunto abierto y A es un conjunto cerrado

(d) int(int(A)) = int(A) y (A) = A

(e) Fr(A) = A (Ac)

20. Sea A un subconjunto de Rn. Pruebe que:

(a) si B A y B es abierto entonces B int(A) (es decir, de los conjuntos abiertosque estn contenidos en A, int(A) es el ms grande)

(b) si A B y B es cerrado entonces A B (es decir, de los conjuntos cerrados quecontienen a A, A es el ms chico)

21. SeanA,B subconjuntos deRn. Diga si las siguientes afirmaciones son ciertas: (A B) =A B; (A B) = A B. Pruebe su respuesta.

22. Sean A,B Rn. Pruebe que si A es abierto entonces (A B) = (A B).

23. Dado A Rn considere la siguiente familia de conjuntos

A,Ac, Ac, Acc, ...

Encuentre un ejemplo de un conjunto A R2 que produzca una familia con la mayorcantidad de conjuntos distintos. Sugerencia: La familia debe tener 14 elementos.

24. Sea A Rn un conjunto infinito. Pruebe que, si A es un conjunto cerrado y acotadoentonces todo subconjunto infinito B de A tiene un punto de acumulacin en A.

25. Sean A Rn un conjunto infinito y c R, con c > 0. Pruebe que, si nx yn c paratodo x, y A, entonces A es un conjunto no acotado.

26. Sean a1, ..., an, b1, ...bn R tales que ai < bi para i = 1, ..., n. Pruebe que el conjuntoA = (a1, b1) (an, bn) = {(x1, ..., xn) Rn | ai < xi < bi, i = 1, ..., n} es unconjunto convexo.

27. Sea A R. Sea A R. Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) A es conexo

(b) si para todos a, b A, a < b, y c R tal que a < c < b entonces c A(c) A es un intervalo (es decir, A es de alguna de las siguientes formas: (, b),

(, b], (a, b), (a, b], [a, b),[a, b], (a,), [a,))

28. Sean A,B,C Rn. Pruebe que si A y B estn separados entonces C A y C Bestn separados.

29. Sean A,B Rn. Pruebe que si A y B son conexos y A B 9= , entonces A B esconexo.

530. Sea A Rn abierto. Pruebe que A es disconexo s y slo si existen B,C Rn talesque B y C son abiertos ajenos no vacos y A = B C

31. Sea A Rn cerrado. Pruebe que A es disconexo s y slo si existen B,C Rn talesque B y C son cerrados ajenos no vacos y A = B C

32. Sea A Rn abierto. Pruebe que A es conexo s y slo si para cada par de puntosx, y A, existen x1, ..., xk A tales que [x, x1] [x1, x2] ... [xk, y] A donde[xi, xi+1] = {xi + t(xi+1 xi) Rn | t [0, 1]}.

33. Encuentre una familia de conjuntos A1, A2, A3, ... R2, tal que cada An es conexo,An+1 An para toda n N y que

Wn=1An sea un conjunto disconexo.