TALLER MTODOS DE APROXIMACIN DE RAICES

JUAN SEBASTIAN OTLORA LEGUIZAMNCD. 20121020025

DOCENTE:ING. CARLOS ALFONSO ACOSTA SERRANO

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS DE CALDASFACULTAD DE INGENIERAINGENIERA DE SISTEMASMETODOS NUMRICOS - GR. 81BOGOTA D.C, ABRIL 2013TALLER1. Del texto facilitado en clase, extraiga 2 preguntas de cada prrafo enumerado.Errores por equivocacina. A qu nivel del proceso de modelado matemtico ocurren lo errores por equivocacin?Pueden suceder en cualquier nivel, es decir, durante cualquier etapa del desarrollo de un problema, referente a los mtodos numricos, pueden ocurrir errores. As mismo, estos pueden ser de distinta ndole, por lo que se hace necesario el uso de procesos numricos y/o computacionales ms eficientes que permitan minimizar el error. Por ejemplo mediante prcticas efectivas de programacinb. Cmo se pueden evitar estos errores?Antes estos errores ocurran o bien por la falta de precisin en las computadoras o por errores de clculo humano. Ahora la computadores generan resultados tan aproximados que se descarta errores en estas. Los errores sucedern entonces, a causa de la falta de conocimiento de principios fundamentales de gran influencia en el desarrollo de problemas, o incluso por simples clculos numricos.

Errores de formulacina. En qu casos es posible encontrar errores de formulacin aunque puedan ser imperceptibles?A pesar de que no son iguales a los de equivocacin, son muy comunes. Son errores en el modelamiento de una solucin a un problema. Es decir cuando no se tiene en cuenta todas las caractersticas y efectos, por ejemplo de una ecuacin en los diferentes escenarios del universo. Es decir, pueden existir incluso errores mnimos en la aplicacin del mtodo a escalas de distintas magnitudes como tiempo, espacio, velocidad etc.b. Qu consecuencias tienen los errores de formulacin?Si no se es consciente por ejemplo, de la diferencia de una proporcin lineal y una cuadrtica as como de otras proposiciones en el modelamiento de un problema se estara tratando con un modelo deficiente, que claramente harn que el mtodo numrico diverja con imprecisin en la bsqueda de soluciones aproximadas.

Incertidumbre en los datosa. Qu tipo de errores generan incertidumbre en los datos sobre los basa un modelo?Cuando se desea probar el modelo o escenario de un problema a solucionar, se realizan por lo general, procesos de repeticin de datos que seguramente generarn alguna divergencia entre datos. Es decir se asociara una incertidumbre a cada uno de ellos, por lo que estos errores son una manifestacin clara de inexactitud e imprecisin. O bien, la incertidumbre en los datos puede ser debida a los instrumentos usados en las tomas de datos, a causa desviacin o de la misma inexactitud.b. Cmo es posible cuantificar los errores de medicin?Este proceso se hace posible a travs una sumatoria de datos de diferentes estadsticas conocidas, de tal manera que la informacin que se genere sea lo suficiente para manifestar condiciones especficas en el comportamiento de los datos, es decir de la posicin del centro de distribucin de los datos y del grado de esparcimiento de estos.

2. En que consiste el Teorema de Bolzano. Aplquelo.Propuesto por Bernhard Bolzano (1781-1848).Si una funcin f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y f(a) y f(b) son de distinto signo, existe por lo menos un punto entre a y b para el cual f(c)=0. Si: f(x) es continua en [a,b] f(a).f(b) < 0 Entonces, existe un c perteneciente al intervalo (a,b) tal que f(c) = 0

Geomtricamente, el teorema establece que si dos puntos ( a, f(a) ) y ( b, f(b) ) de la grfica de una funcin continua estn situados en diferentes lados del eje x, entonces la grfica intersecta al eje en algn punto entre a y b. Por supuesto que puede haber varias intersecciones.EjemploComprobar que la ecuacin x3 + x 1 = 0 tiene al menos una solucin real en el intervalo [0,1].Consideramos la funcin f(x) = x3 + x 1, que es continua en [0,1] por ser polinmica. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo: f(0) = 1 < 0 f(1) = 1 > 0Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un c (0. 1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solucin en ese intervalo.

3. Detecte los errores de los ejemplos propuestos en el material dado en clase.

a. Mtodo de la Biseccin.Dada Aproximar la raz de la ecuacin 0,10,50,91,31,72,12,52,9

-6,29-4,44-3,29-2,01-0,571,153,165,47

Los anteriores errores surgen al reemplazar los valores y obtener el logaritmo natural de nmeros negativos, los cuales no existen.La raz se encuentra en el intervalo (1.7, 2.1)-Iteracin 1

Por tanto no es raz. Se observa que el signo se mantiene. -Iteracin 2

Por tanto no es raz. Se observa que el signo cambia.-Iteracin 3

Como el valor de error es mnimo se puede dejar ah.

b. Mtodo de la regla falsaDada Aproximar la raz de la ecuacin 0,10,50,91,31,72,12,52,9

-6,29-4,44-3,29-2,01-0,571,153,165,47

Los anteriores errores surgen al reemplazar los valores y obtener el logaritmo natural de nmeros negativos, los cuales no existen.La raz se encuentra en el intervalo (1.7, 2.1)

Formula a tener en cuenta:

-Iteracin 1

, Hay cambio de signo entonces calculamos el error para saber si hemos llegado a una buena aproximacin.

Como el valor de error es mnimo se puede dejar ah.

c. Mtodo de Newton Raphson.Dado Aproximar la raz en el intervalo con 3 iteracionesPor tanteo decimos que.-Iteracin 1

-Iteracin 2

-Iteracin 2

4. De un ejemplo dcada mtodo numrico postulado en el material dado en clase. a. Mtodo de Biseccin.Dada Hallar la raz 11,11,21,31,41,51,61,7

-2-1,59-1,16-0,71-0,240,560,761,29

La raz se encuentra en el intervalo -Iteracin 1

Por tanto no es raz. Se observa que el signo se mantiene.-Iteracin 2

Por tanto no es raz. Se observa que el signo se mantiene.-Iteracin 3

Por tanto no es raz. Se observa que el signo se mantiene.-Iteracin 4

Por tanto no es raz. Se observa que el signo se mantiene.

El error es mnimo, se puede dejar ah.b. Mtodo de la Regla Falsa.Dada Hallar la raz -2,6-2,5-2,4-2,3-2,2-2,1-2-1,9

-6,77-5,12-3,62-2,26-1,0480,03911,84

La raz se encuentra en el intervalo

Formula a tener en cuenta:

-Iteracin 1

.Con una iteracin el valor es muy cercano, calculando el error para mirar el acercamiento obtenemos

La aproximacin es muy cercana, por lo que se puede dejar esa aproximacin.

c. Mtodo de Newton Raphson.Dada Hallar la raz 0,20,40,60,811,21,41,6

-1,36-0.640,161,0423,044,165,36

La raz se encuentra en el intervalo Por tanteo decimos que.-Iteracin 1

-Iteracin 2

Como el valor es prximo, se procede a calcular el error y determinar si el valor se toma o se contina.

Como el error absoluto es mnimo se puede tomar 0,5615 como valor aproximado.