1. (¬α∨β )∧ (α∨¬β )≡(α∧β)∨(¬α ∧¬β )

≡[((¬α∨ β)∧α)∨((¬α∨ β)∧¬β )] // Ley distributiva

≡[(α ∧(¬α∨ β))∨(¬β∧(¬α∨ β))] //Ley conmutativa

≡[((α∧¬α)∨(α∧β ))∨((¬ β∧¬α)∨(¬ β∧ β))] // Ley distributiva

≡[((α∧¬α )∨(α∧β ))∨((¬ β∧¬α )∨( β∧¬ β))] //Ley conmutativa

≡[((F)∨(α∧β))∨((¬β∧¬α)∨(F))] //Ley de negación

≡[((α∧β )∨(F))∨((¬β∧¬α )∨(F))] //Ley conmutativa

≡[(α ∧β)∨(¬β∧¬α )] // Ley de identidad

≡[(α ∧β)∨(¬α∧¬β )] // Ley conmutativa

2. ( (( ( p→ p )→p )→p )→p )→p≡ p∨¬ p

≡ ( (( (¬ p∨ p )→p )→p )→p)→ p // p→q≡¬ p∨q

≡ ( ((¬ (¬ p∨ p )∨ p )→p )→p)→ p //p→q≡¬ p∨q

≡ ( (( (¬¬ p∧¬ p )∨ p )→ p )→p )→p // Ley de De Morgan

≡¿ //Ley de la doble negación

≡¿ //Ley de negación

≡ ( (p∨F ¿→p )→ p )→p //Ley conmutativa

≡¿ //Ley de identidad

≡ ( (¬ p∨ p )→p )→p // p→q≡¬ p∨q

≡ (¬ (¬ p∨ p )∨ p )→p // p→q≡¬ p∨q

≡ ( (¬¬ p∧¬ p )∨ p )→ p // Ley de De Morgan

≡ ( (p∧¬ p )∨ p )→p //Ley de la doble negación

≡ ( (F )∨ p )→p //Ley de negación

≡ (p∨F )→p //Ley conmutativa

≡ (p )→p //Ley de identidad

≡¬ p∨ p // p→q≡¬ p∨q

≡ p∨¬ p //Ley conmutativa

4.¬(( p)→((q)∨((q)→(r ))))

≡¬(( p)→((q)∨(¬q∨ r))) // p→q≡¬ p∨q

≡¬(¬( p)∨((q)∨(¬q∨ r))) // p→q≡¬ p∨q

≡(¬¬ p∧¬(q∨(¬q∨ r ))) //Ley de De Morgan

≡(¬¬ p∧(¬q∧¬(¬q∨r ))) //Ley de De Morgan

≡(¬¬ p∧(¬q∧(¬¬q∧¬r))) //Ley de De Morgan

≡( p∧(¬q∧(q∧¬r ))) //Ley de la doble negación

≡ ( p∧ ( (q∧¬r )∧¬q ) ) //Ley conmutativa

≡( p∧(q∧(¬r∧¬q))) //Ley asociativa

≡( p∧((¬r∧¬q)∧q)) //Ley conmutativa

≡( p∧(¬r∧(¬q∧q))) //Ley asociativa

≡( p∧(¬r∧(F ))) //Ley de negación

5. ¬((m)→((n)→(( p)→((q)→(m)))))

≡¬((m)→((n)→(( p)→(¬q∨m)))) // p→q≡¬ p∨q

≡¬((m)→((n)→(¬ p∨(¬q∨m)))) // p→q≡¬ p∨q

≡¬((m)→((n)→(¬ p∨(¬q∨m)))) // p→q≡¬ p∨q

≡¬((m)→(¬n∨(¬ p∨(¬q∨m)))) // p→q≡¬ p∨q

≡¬(¬m∨(¬n∨(¬ p∨(¬q∨m)))) // p→q≡¬ p∨q

≡(¬¬m∧¬(¬n∨(¬ p∨(¬q∨m)))) //Ley de De Morgan

≡(¬¬m∧¬(¬n∨(¬ p∨(¬q∨m)))) //Ley de De Morgan

≡(¬¬m∧(¬¬n∧¬(¬ p∨(¬q∨m)))) //Ley de De Morgan

≡(¬¬m∧(¬¬n∧(¬¬ p∧¬(¬q∨m)))) //Ley de De Morgan

≡(¬¬m∧(¬¬n∧(¬¬ p∧(¬¬q∧¬m)))) //Ley de De Morgan

≡(m∧(n∧( p∧(q∧¬m)))) //Ley de la doble negación

≡(m∧(n∧( p∧(q∧¬m)))) //Ley asociativa

≡(n∧(m∧( p∧(q∧¬m)))) //Ley asociativa

≡(n∧(p∧(m∧(q∧¬m)))) //Ley asociativa

≡(n∧(p∧(q∧(m∧¬m)))) //Ley asociativa

≡(n∧(p∧(q∧(F )))) //Ley de negación