taller invop resuelto para corregir estudiantes unimag 2014 ii

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENAPROGRAMA INGENIERIA INDUSTRIAL

EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL: MODELACION

DOCENTE: LUIS ALVARADO ATENCIO

El estudiante debe analizar los ejercicios para detectar cuales están mal planteados o resueltos y explicar porque.

Haga las suposiciones que sean necesarias.

1. (Mezcla de Güisqui) Una compañía destiladora tiene dos grados de güisqui en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca súper consta de dos terceras parte del grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones de grado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5, mientras que cada galón del súper produce una utilidad de $6 ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades?

MARCAS GRADO I GRADO II UTILIDADREGULAR 50% 50% $ 5

SÚPER 75% 25% $ 6

Solución:¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de güisqui de la marca regular en galonesx2 = la Cantidad de güisqui de la marca súper en galonesMax Z = 5x1 + 6x2 …….(1)Sujetos a: 1500x1 + 1000x2 < 3000 …….. (2) 2250x1 + 500x2 < 2000 ……….(3) lo que queda Planteado

2. (Mezcla) Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que las más cara contiene 50% de cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuates y 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcla debería producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $ 10 por cada kilo de la mezcla más barata y de $ 15 por cada kilo de la mezcla más cara?

MEZCLA CACAHUATE NUEZ GANANCIA POR SEMANA

BARATA 80% 20% $10 POR KILOCARA 50% 50% $ 15 POR KILO

Solución:¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de mezcla de la marca BARATA en kilogramosx2 = la Cantidad de mezcla de la marca CARA en kilogramosMax Z = 10x1 + 15x2 …….(1)Sujetos a: 1440x1 + 240x2 < 1800 …….. (2) 900x1 + 600x2 < 1200 ……….(3) lo que queda Planteado

3. (Dediciones sobre producción) Una compañía produce dos productos, A y B. Cada unida de A requiere 2 horas en cada máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Se dispone de 100 horas a la semana en la primera máquina y de 110 horas en la segunda máquina. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B ¿Cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total?

PRODUCTO HRSMÁQUINA 1

HRSMÁQUINA 2

UTILIDAD

A 2 5 $ 70 POR KILOB 4 3 $50 POR KILO

Solución:¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de producción de A en unidadesx2 = la Cantidad de producción de B en unidadesMax Z = 70x1 + 50x2 …….(1)Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 ……... (2) 5x1 + 3x2 < 110 ……….(3) lo que queda Planteado4. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio anterior, suponga que se recibe una orden por 14 unidades de A a la semana. Si la orden debe cumplirse, determine el nuevo valor de la utilidad máxima.Solución:¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de producción de A en unidadesx2 = la Cantidad de producción de B en unidadesMax Z = 70x1 + 50x2 …….(1)Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 …….. (2) 5x1 + 3x2 < 110 ……….(3) lo que queda Planteado

5. (Decisiones sobre Producción). Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquina, como se indica a continuación:


HRSMÁQUINA 2

HRSMÁQUINA 3

UTILIDAD

A 2 4 3 $250 POR KILOB 5 1 2 $300 POR KILO

Si los número de horas disponibles en las máquinas al mes son 200, 240 y 190 en el caso de la primera, segunda y tercera, respectivamente, determine cuántas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar la utilidad total.

Solución:¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de producción de A en unidadesx2 = la Cantidad de producción de B en unidadesMax Z = 250x1 + 300x2 …….(1)Sujetos a: 2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado

6. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio anterior, suponga que una repentina baja en la demanda del mercado del producto A obliga a la compañía a incrementar su precio. Si la utilidad por cada unidad de A se incrementa a $600, determine el nuevo programa de producción que maximiza la utilidad total.Solución:


HRSMÁQUINA 2

HRSMÁQUINA 3

UTILIDAD

A 2 4 3 $600 POR KILOB 5 1 2 $300 POR KILO

¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de producción de A en unidadesx2 = la Cantidad de producción de B en unidadesMax Z = 250x1 + 300x2 …….(1)

Sujetos a: 2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado

7. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio 5, suponga que el fabricante es forzado por la competencia a reducir el margen de utilidad del producto B. ¿Cuánto puede bajar la utilidad de B antes de que el fabricante deba cambiar el programa de producción? (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total).

Solución:PRODUCTO HRS

MÁQUINA 1HRS

MÁQUINA 2HRS

MÁQUINA 3UTILIDAD

A 2 4 3 $600 POR KILOB 5 1 2 $ X POR KILO

¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de producción de A en unidadesx2 = la Cantidad de producción de B en unidadespero en éste caso, debemos tomar en cuenta que se debe minimizar, ahora la UTILIDAD del PRODUCTO B, pues bien, se reduce la mitad de la utilidad por lo tanto queda: Max Z = 250x1 + 150x2 …….(1) (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total).Sujeto a: 2x1 + 5x2 < 200 ……... (2) 4x1 + 1x2 < 240 ……...(3) 3x1 + 2x2 < 190 ........... (4) lo que queda Planteado

8. (Decisiones sobre inversión) Un gerente de Finanzas tiene $ 1106 de un fondo de pensiones, parte de cual debe invertirse. El gerente tiene dos inversiones en mente, unos bonos conversadores que producen un 6% anual y unos bonos hipotecarios más efectivo que producen un 10% anual. De acuerdo con las regulaciones del gobierno, no más del 25% de la cantidad invertida puede estar en bonos hipotecarios. Más aún, lo mínimo que puede ponerse en bonos hipotecarios es de %100,000. Determine las cantidades de la dos inversiones que maximizarán la inversión total.Solución:¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de la inversión en bonos conservadoresx2 = la Cantidad de la inversión en bonos hipotecariosMax Z = x1 + x2 …….(1)Sujetos a: (0.06)(1,000,000)x1 + (0.1)(1,000,000)x2 < (1,000,000)(0.25) ……... (2) x2 > 100,000 ……... (3)

9. (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100 acre pies en los cuales puede sembrar dos cultivos. Dispone de $ 3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por acre:

CULTIVOS COSTO DE PLANTAR DEMANDA HORAS-HOMBRE

UTILIDAD

PRIMERO $20 5 $ 100SEGUNDO $40 20 $ 300

Solución:¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de producción del PRIMER CULTIVO en acre piesx2 = la Cantidad de producción del SEGUNDO CULTIVO en acre piesMax Z = 100x1 + 300x2 …….(1) (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total).Sujeto a: x1 + x2 < 100 ......... (2) esta ecuación se debe a que sólo tiene 100 acre pies para los cultivos 5x1 + 20x2 < 1350…... (3) 20x1 + 40x2 < 3000 ......(4) lo que queda Planteado

10. (Decisiones sobre plantación de cultivos) En el ejercicio anterior, determine la porción del terreno que deberá plantearse con cada cultivo si la utilidad por concepto del segundo cultivo sube a $ 450 por acre.

Solución:CULTIVOS COSTO DE PLANTAR DEMANDA HORAS- UTILIDAD

HOMBREPRIMERO $20 5 $ 100SEGUNDO $40 20 $ 450

¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de producción del PRIMER CULTIVO en acre piesx2 = la Cantidad de producción del SEGUNDO CULTIVO en acre piesMax Z = 100x1 + 450x2 …….(1) (El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total).Sujeto a: 5x1 + 20x2 < 1350…... (2) 20x1 + 40x2 < 3000 ......(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

11. (Planeación dietética) La dietista de un hospital debe encontrar la combinación más barata de dos productos, A y B, que contienen:- al menos 0.5 miligramos de tiamina- al menos 600 calorías

PRODUCTO TIAMINA CALORIASA 0.2 mg 100B 0.08 mg 150

Solución:Variables:x1 = la Cantidad mas Barata del producto Ax2 = la Cantidad mas Barata del Producto BMax Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: 0.2x1 + 0.08x2 > 0.5…... (2) (al menos) 100x1 + 150x2 > 150 ......(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

12. (Putificación del mineral) Una compañía posee dos minas, P y Q. En el cuadro siguiente se muestra la producción de los elementos por cada tonelada producida por ambas minas respectivamente:

MINAS COBRE ZINC MOLIBDENO COSTO POR TON. DE OBTENCIÓN DE MINERAL

P 50 lb 4 lb 1 lb $ 50Q 15 lb 8 lb 3 lb $ 60

La compañía debe producir cada semana, al menos las siguientes cantidades de los metales que se muestran a continuación:- 87,500 libras de cobre- 16,000 libras de zinc- 5,000 libras de molibdeno¿Cuánto mineral deberá obtenerse de cada mina con objeto de cumplir los requerimientos de producción a un costo mínimo?Solución:Variables:x1 = la Cantidad de Mineral de la MINA P en librasx2 = la Cantidad de Mineral de la MINA Q en libras

Max Z = 50x1 + 60x2 …….(1) Sujeto a 50x1 + 15x2 < 87,500 ......... (2) (COBRE) 4x1 + 8x2 < 16,000…... (3) (ZINC) x1 + 3x2 < 5000 ......(4) (MOLIBDENO) lo que queda planteado

13. (Espacio de Almacenamiento) La bodega de un depa, de química industrial, almacena, al menos 300 vasos de un tamaño y 400 de un segundo tamaño. Se ha decidido que el número total de vasos almacenados no debe exceder de 1200. Determine la cantidades posibles de estos dos tipos de vasos que pueden almacenarse y muéstrelo con un gráfica.Solución:

Variables:x1 = la Cantidad de vasos de primer tamañox2 = la Cantidad de vasos de segundo tamañoMax Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 > 300…... (2) (al menos) x2 > 400 ......(3) x1 + x2 < 1200 .......(4)

14. (Espacio de Almacenamiento) En el ejercicio anterior, supongamos que los vasos del primer tamaño ocupan 9 in2 del anaquel y los del segundo 6 in2. El área total de anaqueles disponibles para almacenar es a lo sumo de 62.8 ft2. Determine las cantidades posibles de los vasos y muéstrelo con una gráfica.Solución:Variables:x1 = la Cantidad de vasos de primer tamañox2 = la Cantidad de vasos de segundo tamañoMax Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: x1 > 300…... (2) (al menos) x2 > 400 ......(3) x1 + x2 < 1200 .......(4) 9x1 + 6x2 < 62.8 .......(5)

15. (Planeación Dietética) Una persona está pensando reemplazar en su dieta de la carne por frijoles de soya. Una onza de carne contiene un promedio de casi de 7 gramos de proteína mientras que una onza de frijoles de soya (verde) contiene casi 3 gramos de proteína. Si requiere que si consumo de proteína diaria que obtiene de la carne y de los frijoles de soya combinados debe ser al menos de 50 gramos. ¿Qué combinación de éstos nutrientes formarán un dieta aceptable?Solución:Variables:x1 = la Cantidad de Carnex2 = la Cantidad de Frijoles de Soya Min Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a: 7x1 + 3x2 > 50 .......(5) x1, x2 > 0

16. (Ecología) Un estanque de peces los abastecen cada primavera con dos especias de peces S y T. Hay dos tipos de comida F1 y F2 disponibles en el estanque. El peso promedio de los peces y el requerimiento diario promedio de alimento para cada pez de cada especia está dado en el cuadro siguiente:

especies F1 F2 Peso PromedioS 2 Unidades 3 Unidades 3 librasT 3 Unidades 1 Unidades 2 libras

If there are six hundred of F1 and three hundred of F2 everyday. How do you debit supply the pool for what the total weight of fishes are at least 400 pounds?Solución:¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE S) en Primavera en Unidadesx2 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE T) en Primavera en UnidadesMax Z = x1 + x2 …….(1)Sujetos a: 2x1 + 3x2 < 600 …….. (2) 3x1 + 1x2 < 300 ……….(3) 3x1 + 2x2 > 400 lo que queda Planteado

17. Un granjero tiene 200 cerdos que consumen 90 libras de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones:Libras por Libra de Alimento

Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/lb)Maíz 0.001 0.09 0.02 0.2

Harina de Soya 0.002 0.6 0.06 0.6

Los requisitos de alimento de los cerdos son:1. Cuando menos 1% de calcio2. Por lo menos 30% de proteína 3. Máximo 5% de fibra

Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por díaSolución:¿Qué es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimentox2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de AlimentoMin Z = 0.2x1 + 0.6x2 …….(1)Sujetos a: 0.001x1 + 0.002x2 < (90)(0.01) …….. (2) 0.09x1 + 0.6x2 < (90)(0.3) ……….(3) 0.02x1 + 0.06x2 > (90)(0.05) .......... (4) lo que queda Planteado

18. Un pequeño banco asigna un máximo de $20,000 para préstamos personales y para automóviles durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El monto de los préstamos para automóvil desde ser cuando menos de dos veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales ¿Cómo deben asignarse los fondos?Solución:¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad Fondos de préstamos personalesx2 = la Cantidad fondos de préstamos para automóvilMin Z = 0.2x1 + 0.6x2 …….(1)Sujetos a: (0.14)(20,000)x1 + (0.12)(20,000)x2 < 20000 …….. (2) x2 > (2)(0.14)(20,000) ……….(3) x1 > (0.01)(0.12)(20,000) .......... (4) lo que queda Planteado

19. Una planta armadora de radios produce dos modelos HiFi-1 y HiFi-2 en la misma línea de ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en la estaciones de trabajo son:

Minutos por Unidad de Minutos por Unidad deEstación de Trabajo HiFi-1 HiFi-2

1 6 42 5 53 4 6

Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3 respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán de HiFi-1 y HiFi-2 a fin de minimizar la suma de tiempos no usados (inactivos) en la tres estaciones.Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 1x2 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 2Min Z = x1 + x2 …….(1)Sujetos a: 6x1 + 4x2 < (0.1)(480) …….. (2) 5x1 + 5x2 < (0.14)(480) ……….(3)

4x1 + 6x2 > (0.12)(480) .......... (4) lo que queda Planteado

20. Una compañía de productos electrónicos, produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelos utiliza 10 piezas de ciertos componente electrónicos, en tanto que cada unidad del segundo modelos requiere ocho piezas del mismo componente. La disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de modelos 1 y 2 es $30 y $ 20, respectivamente. Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio.Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de producción del modelo 1 de Radio

x2 = la Cantidad de producción del modelo 2 de RadioMax Z = 30x1 + 20x2 …….(1)Sujetos a: x1 < 60 …….. (2) 10x1 + 8x2 < 800 ……….(3) x2 < 75 .......... (4) lo que queda Planteado 21. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquina. El tiempo por máquina asignado a los productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son:Minutos Por Unidad

Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia1 10 6 8 $22 5 20 15 $3

Nota: Determine la combinación óptima de los productos.

Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad de Unidades del Producto 1x2 = la Cantidad de Unidades del Producto 2Min Z = 2x1 + 3x2 …….(1)Sujetos a: 10x1 + 5x2 < 10 …….. (2) 6x1 + 20x2 < 10 ……….(3) 8x1 + 15x2 < 10 .......... (4) lo que queda Planteado

22. Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos de publicidad de $1000 por mes cada minutos de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $100. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 25 más venta que cada minutos de publicidad por la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual por anuncios por radio y televisión.Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radiox2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el TelevisorMax Z = x1 + x2 …….(1)Sujetos a: 5x1 + 100x2 < 1000 …….. (2) x2 > (2)(x1) x1 > (25)(x2) ……….(3) 23. Una compañía elabora dos productos: A y B. El volumen de ventas del producto A es cuando menos el 60% de las ventas totales de los dos productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria está limitada a 100 lb. Los productos A y B utilizan esta materia prima en los índices o tasas de 2 lb/unidad y 4 lb/unidad, respectivamente. El precio de venta de los productos es $20 y $40 por unidad. Determine la asignación óptima de la materia prima a los dos productos.Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de Unidades del Producto Ax2 = la Cantidad de Unidades del Producto BMax Z = 20x1 + 40x2 …….(1)Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 …….. (2) x1 > (0.6)(60) ……….(3)

24. Una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más tiempo de manos de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sobreros son exclusivamente del segundo tipo. La compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por producto es $8 por el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número de sobreros de cada tipo que debe elaborarse para maximizar la ganancia.Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 1x2 = la Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 2Max Z = 8x1 + 5x2 …….(1)Sujetos a: 150x1 + 200x2 < 500 …….. (2) x1 > (2)(200) ……….(3)

25. Una empresa pequeña, cuenta con dos máquina para elaborar dos productos. Cada producto tiene que pasar por la máquina A y después por la máquina B. El producto 1 requiere 3 horas de la máquina A y 2 de la máquina B, mientras que el producto 2 requiere 1 hora de la máquina A y 2 horas de la máquina B. La capacidad de las máquina A y B son 500 y 650 horas semanales respectivamente. El producto a deja 350 pesos y el segundo producto B deja 600 pesos por utilidades. Analice usted la situación de la operación de esta, dado que por escasez de materia prima no puede producir más de 21 unidades del producto.Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de Unidades del Producto Ax2 = la Cantidad de Unidades del Producto BMax Z = 350x1 + 600x2 …….(1)Sujetos a: 3x1 + 1x2 < 500 …….. (2) 2x1 + 2x2 < 650 …….. (3) x1 + x2 < 21 ……...….(4)

26. el grupo “IMPEXA”, desea hacer publicidad para su productos en tres diferentes medios: radio, televisión y revista. El objetivo principal es alcanzar tantos clientes como sea posible. Han realizado un estudio y el resultado es:

Durante el día Durante la noche Radio RevistasNúmero de clientes potenciales que puede alcanzar por unidades de publicidad

450,000 800,000 675,000 200,000

500,000 1,000,000 650,000 250,000

“IMPEXA” no quiere gastar más de $1,200,00. Además en publicidad por televisión no desean gastar más de 750 mil pesos. Se desean comprar tres unidades de televisión durante el día y 2 unidades durante la noche. Plantee el problema como un modelo de programación lineal.Solución:¿Qué es lo que vamos a MAXIMIZAR?x1 = la Cantidad de clientes Potenciales por díax2 = la Cantidad de clientes Potenciales por nochex3 = la Cantidad de clientes por Radiox4 = la Cantidad de clientes por revistasMax Z = x1 + x2 + x3 + x4…….(1)Sujetos a: x1 + x2 + x3 + x4 < 1,200,000 x1 + x2 < 750,000 x1 > 450,000 x1 < 500,000 x2 > 800,000 x2 < 1,000,000 x3 > 375,000 x3 < 650,000 x4 > 200,000 x4 < 250,000 3x1 < 2x2

27. La señora Morales tiene una dieta a seguir, la cual reúne los siguientes requisitos alimenticios. Al menos 4 mg. de vitamina A Al menos 6 mg. de vitamina B A lo más 3 mg. de vitamina D

Así mismo, la dieta está formada por pan, queso, buebo, y carne. La tabla siguiente nos da los requerimientos por vitamina en mg. así como el costo:Contenido en mg por gramo de producto

PRODUCTO COSTO VITAMINA A VITAMINA B VITAMINA DPAN

QUESO4031

0.200.15

0.180.10

0.100.14

BUEBOSCARNE

1953

0.150.30

0.400.35

0.150.16

Solución:¿Qué es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad a comprar de PANx2 = la Cantidad a comprar de QUESOx3 = la Cantidad a comprar de HUEVOx4 = la Cantidad a comprar de CARNE

Min W = 40x1 + 31x2 + 19x3 + 53x4…….(1)

Sujetos a: 0.20x1 + 0.15x2 + 0.15x3 + 0.30x4 > 4 0.18x1 + 0.10x2 + 0.40x3 + 0.35x4 > 6 0.10x1 + 0.14x2 + 0.15x3 + 0.16x4 > 3 28. (Inversiones) A Julio que es asesor de inversiones, se le presentan 4 proyectos con sus respectivos costos en un período de tres años, así como la utilidad total. El requiere maximizar la utilidad total disponiendo de $50,000; $24,000; y $30,000 en cada uno de los años siguientes:

PROYECTO UTILIDAD TOTAL COSTO AÑO 1

COSTO AÑO 2

COSTO AÑO 3

X1

X2

X3

X4

100907580

6295

148

192

514189

Solución:¿Qué es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimentox2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de AlimentoMin Z = 0.2x1 + 0.6x2 …….(1)Sujetos a: 0.001x1 + 0.002x2 < (90)(0.01) …….. (2) 0.09x1 + 0.6x2 < (90)(0.3) ……….(3) 0.02x1 + 0.06x2 > (90)(0.05) .......... (4) lo que queda Planteado Disponibilidad:Las cantidades disponibles por año se asignan a las diferentes variables o proyectos bajo estas restricciones para optimizar o maximizar la utilidad total.

29. Supóngase que el Banco de Crédito al Campesino tiene dos planes de inversión a saber: El primero en el programa de tierras de riego, el segundo en el programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un 30% de la inversión al fin del año, mientras que el segundo plan regresa un 65% de la inversión, para el término de dos años. Los intereses recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule el programa lineal que le permita al banco maximizar la inversión total en un sexenio, si la inversión es de $ 100 millones.Solución:¿Qué es lo que vamos a MAXIMIZAR?xiR = la Cantidad de inversión de riesgo a una año ixiT = la Cantidad de inversión Temporal en 2 años idonde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Max Z = x1 + x2 + x3 + x4…….(1)Sujetos a: x1R + x1T < 100,000 x2R + x2T < 1.30x1R

x3R + x3T < 1.30x2R + 1.65x1T

x4R + x4T < 1.30x3R + 1.65x2T

x5R + x5T < 1.30x4R + 1.65x3T

x6R < 1.30x5R + 1.65x4T

30. Una compañía de perfumes puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión. Su presupuesto limita los gastos de publicidad a $1,500 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $15 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $90. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. Los datos históricos muestran que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 30 veces más ventas que cada minuto de publicidad por radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión.Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radiox2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el TelevisorMax Z = x1 + x2 …….(1)Sujetos a: 15x1 + 90x2 < 1500 …….. (2) x2 > (2)(x1) x1 > (30)(x2) ……….(3)

31. Una Tienda de animales ha determinado que cada Hámster debería recibirla menos 70 unidades de proteína. 100 unidades de carbohidratos y 20 unidades de grasa. Si la tienda vende los seis tipos de alimentos mostrados en la tabla. ¿Qué mezcla de alimento satisface las necesidades a un costo mínimo para la tienda?

Alimento Proteínas(Unidades / Onza)

Carbohidratos (Unidades / Onza)

Grasa(Unidades / Onza)

Costo(Onza)

ABCDEF

203040404530

503020255020

491110910

235688

Solución:¿Qué es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad a mezclar de Ax2 = la Cantidad a mezclar de Bx3 = la Cantidad a mezclar de Cx4 = la Cantidad a mezclar de Dx5 = la Cantidad a mezclar de Ex6 = la Cantidad a mezclar de FMin W = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 + 8x5 + 8x6…….(1)Sujetos a: 20x1 + 30x2 + 40x3 + 40x4 + 45x5 + 30x6 < 70 ......... PROTEÍNA 50x1 + 30x2 + 20x3 + 25x4 + 50x5 + 20x6 < 100 ------ CARBOHIDRATOS 4x1 + 9x2 + 11x3 + 10x4 + 9x5 + 10x6 < 20 ---------- GRASA

32. Una compañía manufacturera local produce cuatro deferentes productos metálicos que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. La necesidades específicas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes:

Maquinado Pulido EnsambleProducto IProducto IIProducto IIIProducto IV

3224

1123

2121

La compañía dispone semalmente de 480 horas para maquinado, 400 horas para el pulido y 400 horas para el ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6 y $8 respectivamente. La compañía tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente 50 unidades del producto 1 y 100 unidades de cualquier combinación de los productos II y III, según sea la producción, pero sólo un máximo de 25 unidades del producto IV. ¿cuántas unidades de cada producto debería fabricar semanalmente la compañía a fin de cumplir con todas las condiciones del contrato y maximizar la ganancia total?Considere que las piezas incompletas como un modelo de Programación Lineal.

Solución:¿Qué es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad a fabricar del producto Ix2 = la Cantidad a fabricar del producto IIx3 = la Cantidad a fabricar del producto IIIx4 = la Cantidad a fabricar del producto IVMin W = 6x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4…….(1)Sujetos a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 480 1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 > 100 x4 < 25 33. Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos máquina. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan a continuación para las dos máquinas:

Máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 412

23

32

41

22

El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de máquina. Suponga que el costo por hora para las máquina 1 y 2 es $10 y $15. Las horas totales presupuestadas para todos os productos en las máquina 1 y 2 son 500 y 380. si el precio de venta por unidad para los productos 1, 2, 3 y 4 en $65, $70, $55 y $45, formule el problema como modelo de programación lineal para maximizar el beneficio neto total.Solución:¿Qué es lo que vamos a Maximizar?x1 = la Cantidad a fabricar del producto 1x2 = la Cantidad a fabricar del producto 2x3 = la Cantidad a fabricar del producto 3x4 = la Cantidad a fabricar del producto 4Max W = 65x1 + 70x2 + 55x3 + 45x4…….(1)Sujetos a: 2x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 < 500 3x1 + 2x2 + 1x3 + 2x4 < 380 34. La compañía Delta tiene maquinaria especializada en la industria de plástico. La compañía se dispone a iniciar operaciones el próximo mes de enero y cuenta con $300,000 y diez máquinas. La operación de cada máquina requiere de $4,000.00 al inicio de una mes para producir y al fin del mes la cantidad de $9,000.00 sin embargo, para cada dos máquinas se necesita un operador cuyo sueldo mensual es de $3000.00 pagando al principio del mes. La compañía se propone planear su producción, empleo de operador y compra de maquinaria que debe tener, al principio del mes siete, al máximo número de máquina en operación.Al principio de cada mes la compañía tiene disponibles tres alternativas para adquirir maquinaria. En la primera alternativa puede comprar máquina de $20,000.00 cada una con un periodo de entrega de una mes. Esto es, si al principio de cada mes “t” se pide y paga la maquinaria, está se entregará al principio del mes t + 1.En la segunda alternativa, se puede comprar en $15,000.00 cada maquinaria, pero el periodo de entrega es en dos meses. La última alternativa s comprar en $10,000.00 cada máquina con un periodo de entrega en tres meses.Formule un modelo de programación lineal que permita determinar la política de compra de maquinaria, producción y pago de operadores en cada mes, de manera tal que al principio del mes siete tenga el máximo número de máquina en operación.

Solución:¿Qué es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad a fabricar del producto Ix2 = la Cantidad a fabricar del producto IIx3 = la Cantidad a fabricar del producto IIIx4 = la Cantidad a fabricar del producto IVMin W = 6x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4…….(1)Sujetos a: 3x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 < 480 1x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 < 400 2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 > 100 x4 < 25

35. Una compañía de productos químicos que labora las 24 horas del día tiene las siguientes necesidades de personal técnico y especializado

Periodo Hora del día Personal técnico Personal Especializado123456

6 – 1010 –1414 – 1818 –2222 – 0202 - 06

204080452510

81215932

Observe que el periodo 1 sigue al periodo 6. Considere que cada persona en la compañía labora 8 horas consecutivas. Suponga que Xt y Zt, denotan el número de personas técnicas y especializadas, respectivamente, que empiezan a trabajar al inicio del periodo t en cada día. En esta compañía, el acuerdo sindical establece que en todo momento debe haber por lo menos tres veces el número de personal técnico que de personal especializado. Establezca un modelo de programación lineal pata determinar el mínimo número de personal técnico y especializado para satisfacer las necesidades diarias de trabajo en el compañía.

Solución:xiR = la Cantidad de personal técnicoxiT = la Cantidad de personalidad especializadodonde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Min Z = x1 + x2 Sujetos a: 20x1 + 8x2 > 60 40x1 + 12x2 > 120 80x1 + 15x2 > 240 45x1 + 9x2 > 3(45) 25x1 + 3x2 > 75 10x1 + 2x2 > 30

36. Ferrocarriles Nacionales de México tiene al inicio del próximo año la siguiente demanda de locomotoras diesel para ocupar su sistema en todo el país:

Trimestre 1 2 3Locomotoras

Diesel750 800 780

La gerencia de ferrocarriles puede satisfacer su demanda mediante la combinación de las siguientes alternativas:a) Uso de la existencia de locomotoras diesel en estado de trabajob) Compra de locomotoras al extranjero las cuales pueden entregarse al principio de cualquier trimestrec) Reparar locomotoras en los talleres nacionales con carácter normal. El tiempo re reparación es de 6 meses.d) Reportar locomotoras en los talleres nacionales con carácter urgente. El tiempo de reparación es de 3 meses.

La alternativa b tiene un costo de $5,000,000 por locomotoraLa alternativa c tiene un costo de $100,000 por locomotoraLa alternativa d tiene un costo de $250,000 por locomotoraSe estima que al principio del año se tendrán 650 locomotora en estado de trabajo y el presupuesto de operación para ese año es de $100,000,000 entregado en partidas trimestrales de 40, 30, 20 y 10 millones respectivamente.Se supone que al final de cada trimestre el 5% de las locomotoras debe mantenerse a reparación y el 5% quedan fuera de servicio. Formule un problema de programación lineal que permita determinar la combinación de políticas que debe tomar en cuenta la gerencias de F.F.C.C. para minimizar costos y satisfacer la demanda de locomotoras.

Solución:¿Qué es lo que vamos a Minimizar?x1 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 1x2 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 2x3 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 3

Min W = 5,000,000x1 + 100,000x2 + 250,000x3 …….(1)Sujetos a: x1 + x2 + x3 < 100,000,000 750x1 + 800x2 + 780x3 > 650 x1 > (0.05)(750) x2 > (0.05)(800) x3 > (0.05)(780) 37. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?Solución Es un problema de programación lineal.Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo ALlamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

inversión rendimientoTipo A x 0,1xTipo B y 0,08y

210000 0,1x+0,08yCondiciones que deben cumplirse (restricciones):

R1

R2

R3

R4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4

x y x y x y x y0 210000 130000 0 0 60000 0 0210000 0 130000 65000

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)La función objetivo es;F(x, y)= 0,1x+0,08y Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D) 38. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? Solución En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:

Tipo Nº Bizcocho Relleno BeneficioT. Vienesa x 1.x 0,250x 250xT. Real y 1.y 0,500y 400y 150 50

Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible: Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200

x Y0 100200 0

Para x + y =150

x Y0 150150 0

La otras dos son paralelas a los ejes Al eje OY x=125Al eje Ox y =125Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante La región factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vértices: El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados)

Se observa que la restricción y es redundante (es decir “sobra”)Resolviendo el sistema:

, por reducción obtenemos y=50, x=100 Otro vértice es el punto C(100, 50)Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:X+y=150X=125Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25) Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200

x Y0 0200 -125

Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe solución única debe hallarse en uno de los vérticesLa unción objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemosf(125,0)=31.250f(125,25)=31.250+10.000=41.250f(100,50)=25.000+20.000=45.000f(0,100)=40.000 El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50) Conclusión: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales. 39. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela. Solución Es un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es hacer mínima la función objetivo.Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50 plazas que alquila la escuela.

Entonces se tiene x , y

Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar:

40x +50y , que simplificada quedaría 4 x +5y Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son

La función objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y Dibujamos las rectas auxiliares, r1 r2 r3 r4

x y x y x y x y8 0 0 10 0 9 0 8 0 9 10 0

Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo.Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es la parte amarilla.

Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las rectas r3 y r4

por reducción

restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, y =4Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema. La solución óptima . Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor valor (método analítico). 40. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?.Solución Organizamos los datos en una tabla: días Alta calidad Calidad media Baja calidad Coste diarioMina A x 1x 3x 5x 2000xMina B y 2y 2y 2y 2000y

80 160 200 La función objetivo C(x, y)=2000x + 2000y

Las restricciones son: La región factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r1 x + 2y=80, r2 3x + 2y= 160 y r3 5x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la región no acotada que determina el sistema de restricciones:

Los vértices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estén dentro de la región factible).

r1 r2 que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo)

r2 r3 que nos da el punto (20, 50) r1 r3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la región factible.En la gráfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el (40, 20). Luego la solución es trabajar 40 días en la mina A y 20 en la B. (método gráfico)Lo comprobamos aplicando el método analítico: C(0, 100)=2000.100=200000C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 coste mínimoC(80, 0)= 2000.80 =160000 41. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este?

Sea x = nº electricistas y = nº mecánicos La función objetivo

f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones La región factible sería para estas restricciones:

Se aprecia gráficamente (línea en rojo) que la solución óptima está en el punto (20, 20).Por tanto: 20 electricistas y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) =250.20+200.20=9000 42. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas.SoluciónSea x el nº que se ofertan de tipo T, y el nº que se ofertan de tipo P.

nº Ganancia Turista x 30xPrimera y 40yTotal 5000 30x +40y

La función objetivo es: f(x, y)=30x +40y

Las restricciones:

La región factible:

Los vértices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B resolviendo el sistema correspondiente)El método gráfico nos da que el punto solución es el B (3750, 1250)

Comprueba los resultados usando el método analítico (sustituyendo los puntos vértices en f y viendo q el máximo valor se obtiene en B)

43. Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.

OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.

VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).

Cantidad de liquidaciones (X2).

RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo

Tiempo disponible de revisión

Número máximo de liquidaciones

Maximizar

Sujeto a:

La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.

44. Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico.

Los estudios de mercado han mostrado que:

1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial.

2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio.

La publicidad en periódico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad.

OBJETIVO : Minimizar los costos de publicidad.

VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X1).

Anuncios para las familias de ingreso medio (X2).

RESTRICCIONES : Porcentaje de presentación.

Minimizar

Sujeto a:

SOLUCION OPTIMA:

45. Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %?

Minimizar

Sujeto a:

SOLUCION OPTIMA:

46. Una pequeña empresa fabrica artículos de dos tipos a partir de tres materias primas,

llamadas A ,B ,C . El artículo tipo 1 produce utilidad de $400 por unidad, y para su

fabricación se requieren una libra de A , una libra de B y tres gramos de C . El artículo tipo 2 produce utilidad de $300 por unidad, para cuya fabricación se necesitan una libra

de A , 2 libras de B y 2 gramos de C .

La empresa dispone de 150 libras de A , 240 libras de B y 420 gramos de C , para el siguiente periodo de producción (puede ser una hora, un día u otro lapso).

La compañía desea conocer cuantas unidades de cada tipo de artículo debe producir en el periodo con el fin de maximizar la utilidad total por venta de los artículos. Se supone que todos los artículos producidos se venden y que la utilidad unitaria permanece constante, sin importar la cantidad vendida.Construcción del modelo:

Siguiendo la metodología propuesta en este capitulo, una vez comprendida la situación que se describe, vamos a organizar los datos en una tabla; con lo cual será más fácil su utilización para construir el modelo.

(Libras de /período)(Libras de /período)(Libras de /período)

De ADe BDe C

Debemos usar unas variables para cuantificar el nivel o grado al cual llevaremos a cabo cada actividad.

Por ello definimos las variables así:

X1 : cantidad de artículos tipo 1 a fabricar en el período.X2 : cantidad de artículos tipo 2 a fabricar en el período.

Función del objetivo

Utilidad total = 400X1+ 300X2 $/periodo

Limitantes o restricciones en el logro del objetivo

La cantidad utilizada de cada materia prima debe ser menor o igual que la cantidad disponible.

1 X 1+1 X2≤1501 X 1+2 X2≤2403 X 1+2 X 2≤420

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

Por lo cual el modelo tendrá la siguiente forma final:

Minimizar Utilidad total = 400X1+ 300X2

Sujeta a:

1 X 1+1 X2≤1501 X 1+2 X2≤2403 X 1+2 X 2≤420

Con X1, X2 ≥ 0

47. Una compañía produce artículos de tres tipos, realizando las operaciones C , F ,T . La

máquina de la operación C cuesta $1500/hora de funcionamiento, la de la operación F cuesta $2400/hora y la de la operación T cuesta $1200/hora.

El costo del material para una unidad del artículo 1 es $50, para una unidad del artículo 2 es de $80 y para una unidad del artículo 3 es de $140.

Los precios de venta para los artículos son respectivamente de $400, $420 y $500, la unidad.

Los tiempos de proceso requeridos por una unidad de cada tipo de material, se dan en la siguiente tabla:

Minutos de operación por unidad

La compañía necesita conocer cuantas unidades de cada tipo de artículo debe fabricar en una hora, para obtener la máxima utilidad.

Construcción del modelo:

Inicialmente podemos elaborar unas tablas con los datos del problema, así:

Las variables a utilizar se definen como:

Xi : cantidad de artículos del tipo i a fabricar en una hora (i=1,2,3 ) .Obsérvese que ahora se han definido las variables con una notación más genérica y resumida.

Después de haber comprendido el proceso y definido las variables de decisión, podemos construir el modelo así:

Maximizar: Utilidad =Z=127 . 5 X 1+187. 5 X 2+250 X 3

Sujeto a:

2 .5 X 1+2 .5 X 2+2 . 0 X3≤60 Minutos de C /hora2 .0 X1+1 . 0 X 2+0. 5 X 3≤60 Minutos de F /hora4 .0 X1+2 .5 X2+2 . 0 X 3≤60 Minutos de T /hora

Con→X 1 ,X 2 , X 3≥0

48. Un fabricante debe cumplir los siguientes compromisos, en el primer trimestre:

La capacidad mensual de producción de su planta es de 20.000 unidades. El costo unitario de producción varia cada mes, así: Enero $20, Febrero $9 y Marzo $12. La compañía estima en $3 el costo de almacenamiento de cada unidad que posea en la bodega él último día del mes. La capacidad de la bodega de que dispone es de 22.000 unidades.

La empresa tiene en el inventario 50 unidades y desea tener 70 al final. El problema a resolver consiste en la determinar del programa de producción mensual que minimiza los costos totales en el trimestre.

Se supone que la producción se realiza durante todo el mes y el despacho se efectúa él último día de mes.

Construcción del modelo

Deseamos determinar el programa de producción para obtener el mínimo costo en el trimestre. Para ello definimos las variables así:

Pi : cantidad de artículos producidos en el mes i ( i=E , F , M )IFi : unidades en el inventario final del mes i.

Minimizar: Costos: Z=10 (XE )+9 (XF )+12 (XM ) Costo de Producción

+3 ( IFE+ IFF+ IFM ) Costo de almacenamiento.Sujeto a:

1. Capacidades de producción por mes:

Enero PE≤20 . 000

Febrero PF≤20 .000

Marzo PM≤20 . 000

2. Despachos comprometidos cada mes:

Enero PE=10 . 000+ IFEFebrero IFE+PF=30 . 000+ IFFMarzo IFF+PM=20. 000+70

3. Capacidad de la bodega

Enero PE≤22 . 000

Febrero IFE+PF≤20 . 000

Marzo IFF+PM≤22. 000

Los problemas de este tipo también pueden modelarse de otra manera como lo sugiere el siguiente grafico:

Acá las variables se definen como:

Sean Xij : cantidad de artículos producidos en el mes i con destino a las ventas del mes j (i=E , F , M j=E ,F ,M ) .De esta forma el inventario final de cada mes esta integrado por las cantidades producidas ese mes con destino a los meses siguientes.

La función objetivo y las restricciones serán:

Minimizar:Costo =Z=10 (X 11+X 12+X 13+9 (X 22+X 23 )+13 (X 33+X 34 )+3 (X 12+X 23+X 34 )+6 (X13 ) )

Nótese como los valores (X 12+X 13 y X 23+X 13 ) equivalen a los inventarios finales de los meses de Enero y Febrero.

Sujeta a:

Capacidades de producción por mes:

Enero X 11+X12+X13+X 14≤20. 000

Febrero X 22+X 23+X24≤20 . 000

Marzo X 33+X34≤20 . 000

Despachos comprometidos cada mes:

Enero X 11+50=10 . 000

Febrero X 12+X 22=30 . 000

Marzo X 13+X23+X 33=20 . 000

49. Un granjero sabe que debe suministrar diariamente a cada una de sus vacas, un

mínimo de 27, 21 y 30 unidades de los elementos nutricionales A ,B ,C , respectivamente. Para prepararles la comida puede comprar dos clases de alimentos. Una libra del

alimento 1 contiene 3, 1, y 1 unidades del nutriente A ,B ,C , respectivamente, y cuesta $40. Por otra parte, una libra del alimento 2 contiene respectivamente 1, 1 y 2 unidades de los nutrientes y cuesta $20.

El granjero desea conocer cuántas libras de cada alimento necesita utilizar para nutrir a cada una de sus vacas, de tal forma que minimice los costos. Suponga que no hay limite en cuanto al peso total de la comida (mezcla) resultante.


Para iniciar, podemos elaborar una tabla con los datos del problema:

GASOLINA

PRECIO DE

VENTA

($/GALÓN)

MÁXIMA

VENTA

(galón/día)

COMPOSICIÓN

REQUERIDA

Corriente 3000 5*106

Max 60% de B

Extra 3600 1*106 Min 50% de A

Sean XAi : libras del alimento i que dedicaremos a la preparación de la dieta

para una vaca( i=1,2 ) .

El objetivo es minimizar los costos. El modelo queda:

Minimizar: Costo =Z=40 AX 1+20 XA 2

Sujeto a:

Composición de la dieta

Nutriente 3 XA 1+1 XA 2≥27 (unidades de A /vaca)Nutriente B 1 XB1+1XB2≥21 (unidades de B /vaca)

Nutriente C 1 XC 1+2 XC 2≥30 (unidades de C /vaca)

Se deja al estudiante la comprobación de la consistencia de las unidades.Veamos otro ejemplo que ilustra el caso de composición o mezcla de ingredientes.

50. Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, la corriente y la extra. La corriente se vende a $3000 galón y la extra a $3600. Las gasolinas se fabrican a partir de dos crudos, cuyos análisis de componentes aparecen a continuación:

La gasolina corriente debe contener máximo 60% deB , mientras que la extra debe contener mínimo 50% de A .El oleoducto de la compañía puede suministrar un máximo de 2 millones de galones crudo 1, y 3 millones de crudo 2, al día.

La compañía espera vender a lo máximo 5 millones de galones de gasolina corriente y 1 millón de gasolina extra, cada día.

¿Cómo debe proceder la empresa para obtener la máxima ganancia diaria?


Elaboraremos una tabla con los datos importantes acerca de las gasolinas, así:

A

Las variables se definen así:

SeanXij : el número de galones de crudo i que se dedican a producir la gasolina j (i=1,2 ) ; j=(C= corriente, E= extra).

Debemos suponer que al mezclar por ejemplo X 11 galones de crudo 1 y X 21 galones de crudo 2, resultaran X 11+X21 galones de gasolina 1, pues no hay pérdidas en la operación.

Considerando que el objetivo es maximizar las utilidades por venta de las gasolinas, y que estas deben cumplir unos requisitos de composición, además de tener limites en la producción, debido a la demanda y limites en la disponibilidad de crudos, el modelo del problema será:

Maximizar: Z=3000 (X 11+X 21 )+3600 (X 12+X 22 )−150 (X 11+X 12 )−120 (X 21+X 22 )

Sujeto a:Composición de gasolinas

B en la corriente: 0 .40 X 11+0 .70 X 21≤0 . 60 (X 11+X 21 ) (gal deB en gas. corriente).

A en la extra: 0 .60 X 12+0.30 X 22≥0 . 50 (X 12+X 22 ) (gal de A en gas. corriente).

Disponibilidad de crudos:X 11+X12≤2∗10 6 (galón de crudo 1)X 21+X 22≤3∗10 6 (galón de crudo 2)

Ventas máximas (producción máxima)X 11+X21≤5∗10 6 (galón de corriente)X 12+X 22≤1∗10 6 (galón de extra)

51.La fábrica de Hilados y Tejidos "Manizales" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125

gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.

El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?

Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal.

Variables de decisión:

X1: Cantidad de metros del tejido T a fabricar diariamente.X2: Número de metros del tejido T’ a producir por día.Z : Función de utilidad por la venta de los tejidos T y T’.

Modelo (Primal)::

MAX Z = 4000 X1 + 5000 X2

Sujeta a:

1. 0.125 X1 +0.2X2 500

2. 0.150 X1 +0.1X2 300

3. 0.072 X1 + 0.027X2 108

X1, X2 0

52.La empresa "Caldas" tiene un sistema de producción constituido por tres secciones, a través de las cuales elabora dos productos. En la primera sección lo más que se pueden procesar son 300 unidades del artículo uno o 400 del producto dos diariamente; la sección segunda fabrica como mínimo 350 unidades del producto uno o 450 unidades del producto dos por día.La sección tercera puede elaborar hasta 400 unidades del artículo uno o 500 unidades del artículo dos diariamente.

Si los productos uno y dos generan una utilidad de $1000 y $700 respectivamente. ¿Cuántos productos de cada uno se deben fabricar para maximizar la utilidad?.


Definición de variables reales:

X1: Cantidad del producto uno a fabricar por día.X2: Cantidad del artículo dos a producir diariamente.Z : Función de utilidad de los productos uno y dos.

Modelo (Primal)::

MAX Z = 1000 X1 + 700 X2

Con sus restricciones:

Primera sección:

Cuando X1= 0, X2= 400; cuando X2= 0, X1= 300

X2 400 – 400/300 X1

1. 4X1 + 3 X2 1200

Segunda sección:


X2 450 – 450/350 X1

2. 9X1 + 7X2 3150

Tercera sección:


X2 500 – 500/400 X1

3. 5X1 + 4 X2 2000

53.En una planta, la demanda estimada para el próximo año es la siguiente:

Primer trimestre : 15000 unidades de A.Segundo trimestre : 25000 unidades de A.Tercer trimestre : 40000 unidades de A.Cuarto trimestre : 20000 unidades de A.

En el almacén se cuenta con 10000 unidades, al iniciarse el período v se desea disponer de un inventario de 5000 unidades al finalizar el año. La producción durante el último trimestre del período anterior fue de 5000 unidades.

Si el costo de aumento de la producción C1= $50 por unidad, el costo de disminución de la producción C2= $30 por unidad y el costo de almacenaje C3= $20 por unidad.

¿Qué cantidad deberá producirseen cada trimestre para minimizar costos de manejo de producción?

Plantear este problema como un modelo de Programación Lineal

Definición de variables:

Xj : Producción durante el trimestre j.Ij : Inventario al finalizar el trimestre j.C1 : Costo de aumento de producción.C2 : Costo de disminución de producción.C3 : Costo de almacenamiento de producción.

Dj : Demanda estimada en el trimestre j.Aj : Unidades adicionales producidas sobre el nivel del trimestre j-1.Rj : Unidades en que el nivel de producción disminuyó sobre el trimestre j-1.I0 : 10000 unidades a Diciembre 31 de 2002 Inventario.I4 : 5000 unidades a Diciembre 31 de 2003 Inventario.X0 : 5000 unidades que se producen en el cuarto trimestre de 2002.W : Función de costos de manejo de producción.

Modelo (Primal):

MIN W = (20*5000) + C1(A1 + A2 + A3 + A4) + C2(R1 + R2 + R3 + R4) + C3(I1 + I2 + I3+ I4)


54.Al Director Financiero de la Corporación Financiera Nacional le han dado $50000000 para que invierta en un período de tres años.El Director ha determinado que existen tres oportunidades de inversión disponibles en el momento y que son las siguientes: la inversión A rinde el 18% anual; la inversión B rinde el 12% el primer año y el 21% los años siguientes y la inversión C rinde el 55% al final del tercer año y no se puede volver a invertir.

También ha encontrado que al comienzo del segundo año existe otra oportunidad de inversión, la D que produce 25% al final del tercer año y por una sola vez.El Director Financiero desea saber cuánto dinero invertir, dónde y cuándo en tal forma que la cantidad de dinero disponible al inicio del cuarto año sea máximo.



Ai : Dinero a invertir al comienzo del año i en la inversión A; i = 1,2,3Bi : Cantidad invertida en pesos al inicio del año i en la inversión B.C1 : Dinero a invertir al comienzo del año 1 en la inversión C.D2 : Cantidad invertida en pesos al inicio del año 2 en la inversión D.Z : Dinero a principio del cuarto año.

Modelo (Primal):

MAX Z = 50000000 + 0.18(A1 + A2 + A3) + (0.12B1 + 0.21B2 + 0.21B3) + 0.55C1 + 0.25D2

Sujeta a:

1. A1 +B1 + C1 50000000

2. – 0.18A1+A2– 0.12B1+ B2 +C1+D2 50000000

3 .– 0.18A1- 0.18A2– 0.12B1–0.21B2+ A3+ B3+C1+D2 50000000

Ai, Bi, C1, D2 0 i

55. Suponga que una gallina toma dos semanas para poner doce huevos para la venta o para empollar cuatro huevos.¿Cuál es el mejor programa de poner huevos y empollar si al final del cuarto período todas las gallinas y pollos se venden a $12000 cada uno, los huevos a $200 cada uno?Asuma:

A. Un inventario inicial de cien huevos y cien gallinas.B. Cien gallinas y cero huevos.C. Cien gallinas y cero huevos y también un inventario final de cien gallinas y cero huevos.


Variables reales:

Xij: Cantidad de gallinas en el período i y en la actividad j.

i = 1,2,3,4;j = 1,2;j = 1 (poniendo);j = 2 (incubando)

Z: Función de utilidad para poner y/o empollar huevos.

Modelo (Primal):

A)MAX Z = 12000{100+200( X12+ X22+ X32+ X42)}+200{100–4X 12+12 X21– 4 X32+ 12 X31 4 X42+ 12 X41}

Sujeta a:

B)MAX Z = 12000 { 100 + 200 ( X22+ X32+ X42) } + 200 { 12 X11– 4 X22+ 12 X21– 4 X32+ 12 X31– 4 X42+ 12 X41}

Con las siguientes restricciones:

C) MAX Z = 8000 { 100 + 200 ( X22+ X32+ X42) } + 8000 * 100

Sujeta a:

56.Los príncipes de Serendipity se fueron en un pequeño viaje. Ellos no podían llevar muchas maletas; Más de trescientos libras las ponían a pensar. Planearon hasta el centavo. Cuando regresaron a Ceilán Descubrieron que sus dineros estaban a punto de acabar. Cuando, para su alegría, el príncipe Guillermo encontró una pila de cocos en el suelo.

"Cada uno nos producirá sesenta rupias", dijo el príncipe Ricardo cuando pisó una piel de león.

"Miren", gritó el príncipe Roberto. Cuando observó más pieles de león debajo del árbol. "Estas pieles nos pueden producir hasta trescientas rupias cada una, si las podemos llevar hasta la orilla del mar".

Cada piel pesaba quince libras y cada coco cinco, pero haciendo de tripas corazón pudieron llevar todo a la orilla.

La embarcación de regreso a la isla era pequeña, Quince pies cúbicos de equipaje - eso era todo.

Cada piel de león tomaba un pie cúbico, mientras que ocho cocos ocupaban el mismo espacio. Con todo el equipaje se hicieron a la mar y en el viaje calcularon lo que sería su nueva riqueza.

"Eureka", gritó Roberto. Nuestra fortuna es tan grande, que no existe otra forma de retornar así.

Con cualquier otra piel o coco que hubiéramos traído ahora seríamos más pobres. Y no sé qué le escribiré a mi amigo Horacio en Inglaterra, seguramente sólo él sabrá apreciar nuestro Serendipity.



X1: Número de cocos cargados en el bote.X2: Cantidad de pieles de león cargadas en el bote.Z: Función de utilidad correspondiente a los cocos y/o pieles de león cargados en el bote.

Modelo (Primal):

MAX Z = 60 X1+ 300 X2


1. 5 X1+ 15 X2 300

2. 1/8 X1+X2 15

X1, X2 0

57.Un barco tiene tres bodegas: Proa, popa y centro; los límites de capacidad para esas tres bodegas son:

BODEGAS

Proa

Popa

Centro

PESO ( Ton )

2000

1500

3000

VOLUMEN ( FT3 )

100.000

300.000

135.000

Se ofrecen las siguientes cargas y los responsables del barco pueden aceptar todo o parte de cada carga:

CARGAS

A

B

C

CANTIDAD (Ton)

6000

4000

2000

VOLUMEN (Ton/ FT3 )

60

50

25

UTILIDAD( $ / Ton )

6

8

5Buscando conservar el equilibrio en el barco, el peso de cada bodega debe ser proporcional a su capacidad en toneladas. ¿Cómo se debe repartir la carga buscando maximizar las ganancias totales?


Definición de variables

BODEGA PROA POPA CENTRO CANTIDAD VOLUMEN

CARGA (1) (2) (3) (Ton) (Ton/ FT3)

A XA1 XA2 XA3 6000 60

B XB1 XB2 XB3 4000 50

C XC1 XC2 XC3 2000 25

Peso 2000 1500 3000 TonVolumen 100.000 300.000 135.000 FT3

Z: Utilidad total.

Modelo (Primal):

MAX Z = 6 ( XA1+ XA2+ XA3) + 8 ( XB1+ XB2+ XB3) + 5 ( XC1+ XC2+ XC3)


Resumiendo:

MAX Z = 6 ( XA1+ XA2+ XA3) + 8 ( XB1+ XB2+ XB3) + 5 ( XC1+ XC2+ XC3)


58.Una empresa se dedica a la producción de pinturas para interiores y exteriores para su distribución; se emplean dos materias primas MP1 y MP2 para la producción de las pinturas. La disponibilidad máxima de MP1 es de 8 toneladas diarias y la de MP2 es de 5 toneladas por día. Los requerimientos diarios de materia prima por tonelada es la siguiente:

Toneladas de materia prima por tonelada de

Disponibilidad máxima

MP1

MP2

Utilidad por Tonelada

Pintura para Interiores

3

4

100.000

Pintura para Exteriores

7

1

300.000

diaria ( toneladas)

20

9

El estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en más de una tonelada. Además, el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas por día. Cuánta pintura para interiores y exteriores debe producir la empresa todos los días para maximizar el ingreso bruto ?

Variables reales:

X1: Número de toneladas diarias producidas de pintura para interiores.X2: Cantidad de toneladas diarias producidas de pintura para exteriores.Z : Función de utilidad correspondiente a la ganancia por la venta de pintura para interiores y exteriores.

Modelo (Primal):

MAX Z = 100000 X1+ 300000 X2

Sujeta a:

59.Un hacendado dispone de los siguientes recursos para emplearlos en la próxima cosecha: $70000000 de capital disponible, 1000 horas tractor y 50 hectáreas de tierra cultivable. Estas tierras son propias para sembrar maíz, caña de azúcar y ajonjolí; se supone que tiene a su disposición hombres suficientes y sin restricción y sus costos de producción son los siguientes: tractor e implementos $ 5000 la hora, mano de obra $ 4000 la hora, cada hectárea no sembrada $ 4500. Además se supondrá un costo como penalización, de un peso por cada peso no invertido. Los siguientes datos son por hectárea:

Cosecha

Maiz

Caña de Azucar

Ajonjoli

Mano de Obra (Hor)

10

25

30

Tractor (Hor)

20

20

15

Otros costos

$3500

$4000

$10000

Valor de la cosecha (Has)

$300000

$380000

$410000



X1: Cantidad de hectáreas de maíz a producir.X2: Número de hectáreas de caña de azúcar a cosechar.X3: Cantidad de hectáreas de ajonjolí a producir.Z : Función de utilidad correspondiente a los cultivos que la hacienda produce.

Modelo (Primal):

MAX Z = [ 3000000 – ( 5000 * 20 + 4000 * 10 + 3500 )] X1 + [ 3800000 – (( 5000 * 25 ++ 4000 * 25 + 4000 )] X2+

( 4100000 – ( 5000 * 15 + 4000 * 30 + 10000 )]X3


60.Un fabricante de electrodomésticos produce cuatro modelos de lavadoras L1, L2, L3 y L4. Estos aparatos constan fundamentalmente de un tambor metálico recubierto con una carcasa, el cual gira por efecto de un motor eléctrico controlado por un microprocesador electrónico.

Los modelos L1 y L3 son lavadoras con menor capacidad de carga (4 kgr), necesitando 5 mt2 de material metálico, mientras que los modelos L2 y L4 que cargan 10 kgr, requieren 8,5 mt2 de material metálico. La cantidad de material metálico disponible es de 10000 mt2.

Los modelos L1 y L2 llevan un motor denominado M1 y un microprocesador P1; los modelos L3 y L4 tienen un motor M2 y un microprocesador P2. El motor M1 es menos potente que el M2 y el microprocesador P1 tiene menos programas que el microprocesador P2; el material necesario para fabricar los motores puede obtenerse prácticamente sin limitación.

Los motores se ensamblan en una nave de montaje con una capacidad de trabajo de 3000 horas, siendo requeridas una hora para montar un motor M1 y 1,5 horas para ensamblar un motor M2. En cuanto a los microprocesadores se pueden fabricar en la propia empresa en una sección de la planta de montaje o se pueden encargar a un fabricante de material electrónico. En el primer caso, compiten con la fabricación de los motores M1 y M2 necesitando 0,3 horas la fabricación de P1 a un costo de $ 100000 y 0,75 horas la fabricación de P2 con un costo de $ 180000. En el segundo caso, el vendedor puede suministrar cualquier cantidad de P1 y P2 a un precio de $ 180000 y $ 360000 respectivamente.

Finalmente, las lavadoras se montan en otra nave de acabado con capacidad de 5000 horas, siendo preciso un tiempo de 1,5 horas para el modelo L1, 2,3 horas para el modelo L2, 3 horas para el modelo L3 y 4,2 horas para el modelo L4. Para satisfacer a todos los segmentos, el fabricante decide que la producción mínima de cada modelo sea de 300 unidades. Como dato adicional se conoce, según informe del departamento de mercadeo,que la demanda de modelos de mayor capacidad es siempre superior a la demanda de los modelos de menor capacidad, por lo que la producción combinada de los modelos L2 y L4 debe ser superior a la producción combinada de los modelos L1 y L3.

La utilidad proporcionada es de $160000 para el modelo L1, $170000 para el modelo L2, $180000 para el modelo L3 y $200000 para el modelo L4. Plantear un modelo de Programación Lineal para la planificación de la producción de las lavadoras teniendo como objetivo la maximización de los beneficios.


X1 : Número de lavadoras L1 a fabricar.X2 : Cantidad de lavadoras L1 a producir.X3 : Número de lavadoras L3 a fabricar.

X4 : Cantidad de lavadoras L4 a producir.X5 : Número de microprocesadores P1 a fabricar en la empresa.X6 : Cantidad de microprocesadores P1 a comprar.X7 : Número de microprocesadores P2 a producir en la empresa.X8 : Cantidad de microprocesadores P2 a comprar.X9 : Número de motores M1 a fabricar.X10 : Cantidad de motores M2 a producir.Z : Función de utilidad correspondiente a la ganancia por la venta de lavadoras modelos L1, L2, L3 y L4.

Modelo (Primal):

MAX Z = 160000 X1 + 170000 X2 + 180000 X3 + 200000 X4 – 100000 X5 – 180000 X6 – 180000 X7 – 360000 X8

MAX Z = 160000 X1 + 170000 X2 + 180000 X3 + 200000 X4 – 100000 X5 – 180000 X6 – 180000 X7 – 360000 X8

Sujeta a:

61.Un país está atravesando una aguda crisis económica a raíz del enorme incremento de la deuda externa. Uno de los efectos más visibles de la crisis es el carácter

especulativo que está adquiriendo el mercado de capitales; la influencia de diversos agentes: Gobierno, Fondo Monetario Internacional, Banca Nacional y Banca Extranjera, etc, hace que los indicadores económicos (inflación, devaluación, entre otros) experimente constantes modificaciones haciendo muy poco fiables las previsiones a medio y a largo plazo. En este contexto, los inversionistas se han decantado por una política de inversión a corto y muy corto plazo como mecanismo de defensa ante la inestabilidad del mercado.

Uno de estos inversionistas está estudiando como invertir $ 100000000 producto de una herencia; un asesor financiero le proporciona el siguiente cuadro en el que se recogen las posibles inversiones, su rendimiento, plazo, así como dos índices de calidad de la inversión, uno proporcionado por un organismo estatal y el otro proveniente de una fuente extranjera. Para la obtención de estos índices de calidad se tienen en cuenta conceptos tales como liquidez, riesgo, etc, de difícil cuantificación; el índice estatal recorre una escala de la A a la Z, siendo A la mejor calidad, mientras que el índice extranjero califica a las inversiones en una escala de 0 a 100, siendo 100 la mejor calidad.

Indice de Calidad

Inversion

1

2

3

4

5

6

Tipo

Bonos Empresa Privada

Bonos Estatales

Deuda Publica Nacional

Deuda Publica Regional

Pagares Estatales

Moneda Extranjera

Organismo Estatal

C

B

A

B

A

D

Fuente Extranjera

95

85

92

90

97

93

Dias

10

15

21

21

30

7

Neto

3,166

3,99

6,30

5,94

6,38

1,75

El inversionista pretende elegir su cartera de modo que alcance los máximos beneficios. No obstante, el asesor financiero le aconseja que diversifique su inversión de acuerdo con los criterios siguientes:

La cantidad colocada en inversiones estatales no debe ser superior al 70% del total invertido.

La cantidad invertida en bonos debe ser superior a lo invertido en deuda pública. La razón entre las inversiones en efectos de titularidad pública (inversiones 2, 3, 4 y 5) y las

inversiones en efectos de titularidad privada (inversiones 1 y 6) deben ser a lo sumo de tres a uno.

No debe colocarse más de un 60% en inversiones catalogadas por el organismo estatal con un índice inferir o igual a B.

La calidad media de la inversión según el índice de fuente extranjera debe ser como mínimo 92. Debido a las disposiciones legales, la cantidad máxima que puede invertirse en pagarés

estatales es de $4000000. La duración media de la inversión debe estar comprendida entre 14 y 21 días.


Variables reales:

X1 : Cantidad colocada en la inversión 1 (en millones de pesos).X2 : Cantidad colocada en la inversión 2 (en millones de pesos).X3 : Cantidad colocada en la inversión 3 (en millones de pesos).

X4 : Cantidad colocada en la inversión 4 (en millones de pesos).X5 : Cantidad colocada en la inversión 5 (en millones de pesos).X6 : Cantidad colocada en la inversión 6 (en millones de pesos).Z : Función de utilidad correspondiente a la ganancia obtenida de acuerdo a las inversiones realizadas 1, 2, 3, 4, 5 y/o 6.

inversiones realizadas 1, 2, 3, 4, 5 y/o 6.

Modelo (Primal):

MAX Z = 3,16 X1 + 3,99 X2 + 6,30 X3 + 5,94 X4 + 6,38 X5 + 1,75 X6


Resumiendo:

MAX Z = 3,16 X1 + 3,99 X2 + 6,30 X3 + 5,94 X4 + 6,38 X5 + 1,75 X6


62. Una empresa de confecciones puede producir 1000 pantalones o 3000 blusas (o una combinación de ambos) diariamente. El departamento de acabado puede trabajar sobre 1500 pantalones o sobre 2000 blusas (o una combinación de ambos) cada día; el departamento de mercadeo requiere que se produzcan diariamente al menos 400 pantalones. Si el beneficio de

un pantalón es de $ 4000 y el de una blusa es de $ 3000. ¿ Cuántas unidades se deben de producir de cada uno para maximizar las utilidades ?.



X1 : Cantidad de pantalones a producir diariamente.X2 : Número de blusas a fabricar por día.Z : Función de utilidad correspondiente a la ganancia por la venta de pantalones y blusas.

Modelo (Primal):

MAX Z = 4000 X1 + 3000 X2

Sujeta a:

Resumiendo:

MAX Z = 4000 X1 + 3000 X2

Sujeta a:

63. La Granja Manizales tiene como actividad principal la cría y engorde de cerdos destinados al consumo humano como también a la fabricación de embutidos. La tarea principal encargada por medio del veterinario es supervisar la preparación de un alimento (salvado) especial, reconstituyente para alimentar una camada que se encuentra convaleciente de una leve enfermedad. Se precisan 1000 kgr del alimento cuya composición debe cumplir las siguientes especificaciones:

La cantidad de peso de hidratos de carbono (H) debe estar comprendida entre un 40% y un 70%.

La cantidad en peso de proteínas (P) debe estar entre un 15% y un 50%. La cantidad de peso en grasas (G) debe estar comprendida entre un 10% y un 30%. La cantidad en peso de minerales (M) debe ser superior al 3%.

Para la preparación del alimento se puede recurrir a tres tipos de cuido proporcionados por la compañía FINCA, dos tipos de harina de pescado suministrados por la empresa PURINA o bien comprar directamente en el almacén paquetes de mineralescon la composición adecuada. La siguiente tabla muestra la composición porcentuales en peso de cada uno de estos productos, así como su costo por kilogramo:

Alimentos

Cuido A

Cuido B

Cuido C

Harina 1

Harina 2

Minerales

H

76

64

45

71

69

0

P

21

24

37

2

1,5

0

G

3

12

18

26

29

0

M

0

0

0

1

0,5

100

Costo / Kgr

22

31

45

17

15

125

El gerente desea evitar una excesiva dependencia de un único proveedor, Al tiempo que desea mantener buenas relaciones comerciales con ambos proveedores; por ello, piensa que el pedido debería repartirse de manera equitativa entre las empresas FINCA y PURINA. En este sentido lo más que podría tolerarse es una diferencia en más o en menos entre los dos pedidos de hasta un 20% de la cantidad total pedida a ambos proveedores. Por otra parte la compañía FINCA ha avisado que las existencias de su cuido más barato el A, son un tanto escasas, por lo que solo podrá suministrar a tiempo a lo sumo 300 kgr. El problema que debe resolver la gerencia es determinar que cantidades compra de cada producto para fabricar el alimento necesario para el ganado porcino al menor costo posible.


a) La cantidad de peso de hidratos de carbono (H) debe estar comprendida entre un 40% y un 70%.b) La cantidad en peso de proteínas (P) debe estar entre un 15% y un 50%.c) La cantidad de peso en grasas (G) debe estar comprendida entre un 10% y un 30%. d) La cantidad en peso de minerales (M) debe ser superior al 3%.

Modelo (Primal):

MIN W = 22 XA + 31 XB + 45 XC + 17 X1 + 15 X2 + 125 XM


Resumiendo:

MIN W = 22 XA + 31 XB + 45 XC + 17 X1 + 15 X2 + 125 XM

Sujeta a:

64. Una empresa produce bobinas de papel de 500 metros de longitud y un metro de ancho ; se ha estimado que la demanda para el mes próximo es de : 500 bobinas de 20 cm de ancho, 400 bobinas de 30 cm de ancho, 250 bobinas de 40 cm de ancho y 300 bobinas de 70 cm de ancho (todas las bobinas son de 500 metros de longitud).

El fabricante debe cortar las bobinas de un metro de ancho con el tamaño de las peticiones para satisfacer la demanda, pero también desea que el desperdicio en el corte sea tal que el número de bobinas que fabrique de un metro sea mínimo con el objetivo que el costo de producción también lo sea, si se considera desperdicio los sobrantes iguales o superiores a 10 cm.

Variables reales:

Xi : Número de bobinas a cortar de 500 metros según el patrón i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 W : Función de costo del desperdicio en el corte de las bobinas.

Patrones 20 30 40 70 Sobrantes (cm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

3

3

1

0

1

0

0

1

2

0

0

1

0

1

1

2

3

0

2

0

1

0

0

0

1

1

0

2

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

10

10

0

10

0

10

0

0

MIN W = 10 X3 + 10 X4 + 1 0X6 + 10 X8

Sujeta a:

65.En la Empresa Colombiana de Petróleos ECOPETROL se procesan tres tipos de gasolina:

Tipo

1

Clase

Popular

Octanaje (Ocatnos)

95

2

3

Corriente

Extra

92

98

Para ello se mezclan cuatro productos base, cuyo costo y disponibilidad son:

Costo

A

B

C

D

Unidad

3000

2000

4000

1000

Costo / Unidad ($/Barril)

90000

180000

120000

150000

Para la clasificación de la mezcla en uno de los tres tipos de gasolina se atiende a la proporción de los productos que la componen de acuerdo a la siguiente tabla:

Producto

1

2

3

Producto A

30%

50%

70%

Producto B

40%

10%

---

Producto C

50%

---

---

Producto D

---

---

---

Utilidad/Unidad($/Barril)

150000

12000

90000

---: Indica que no interesa la proporción de ese producto.


Y1 : Cantidad de barriles de gasolina tipo 1 (Popular).Y2 : Número de barriles de gasolina tipo 2 (Corriente).Y3 : Cantidad de barriles de gasolina tipo 3 (Extra).YA : Número de barriles del producto A.YB : Cantidad de barriles del producto B.YC : Número de barriles del producto C.YD : Cantidad de barriles del producto D.Xij : Número de barriles del producto i {A, B, C, D} invertidos en j {1, 2, 3} Z : Función de maximización de la utilidad.

Modelo (Primal):

MAX Z = 150000 X1 + 120000 X2 + 90000 X3 – 90000 YA – 180000 YB – 120000 YC – 150000YD


66. El gobierno actual requiere el máximo apoyo para que se apruebe en el Congreso el plan de desarrollo propuesto para el próximo año. A través de sus consejeros ha sabido que hay 35 congresistas de un grupo de coalición y 27 de otro partido que aún no han definido su voto. El presidente decide entonces concertar por teléfono a estos congresistas indecisos para convencerlos de que lo apoyen, sabiendo que tiene una probabilidad 0,9 de éxito con los miembros de la coalición y 0,6 de otro partido. ¿Cuántos congresistas de cada partido deberá telefonear para maximizar su probabilidad de éxito si no puede realizar un número total de llamadas superior a 30 en el actual régimen de austeridad?


XC : Cantidad de congresistas de la coalición.Xo : Número de congresistas de otro partido.Z : Función de maximización del éxito.

Modelo (Primal):

MAX Z = 0,9 XC + 0,6 Xo

67.Una empresa requiere adquirir cuatro productos (1, 2, 3 y 4) y se conoce que hay tres compañías (A, B y C) que los procesan y los venden. La diferencia entre las compañías hace que los artículos se distingan por su calidad, es decir, probabilidad que sean menos defectuosos y sus precios:

Calidad

A

B

C

1

0,4

0,6

0,7

2

0,6

0,7

0,6

3

0,8

0,4

0,5

4

0,7

0,9

0,8

Producto

A

B

C

1

6

8

3

2

4

7

5

3

2

5

7

4

3

9

6

Si se pretende tener una media no inferior a 8, 14, 23 y 15 unidades sin defecto de los productos 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si se desea minimizar el costo que se debe comprar.

Variables reales:

Xij : Cantidad de artículos i, i {1, 2, 3, 4} que se comprarán en la empresa j, j {A, B, C} W : Función de minimización de costos.

Modelo (Primal):

MIN W = 6 X1A + 4 X2A + 2 X3A + 3 X4A + 8 X1B + 7 X2B + 5 X3B + 9 X4B + 3 X1C + 5 X2C + 7 X3C + 6 X4C

Sujeta a:

68.Un granjero tiene 1000 hectáreas de terreno para cultivar próximamente y desea planificar tales cultivos; sabe que necesitará disponer de 300 toneladas de trigo y 270 toneladas de maíz para alimentar a su ganado, lo que puede obtener mediante su propia cosecha o por medio de compra en el mercado. Lo que produzca y que no se dedique a su ganado, lo puede vender; los precios de venta son $500000 y $450000 por cada tonelada de trigo y de maíz, respectivamente. Los precios de compra son un 35% superior debido a las ganancias de intermediarios y a los costos de transporte.

Otro cultivo posible es de la caña de azúcar, que se vende a $300000 cada tonelada producida. Sin embargo, normas del Mercado Común Latinoamericano imponen una cuota máxima para la producción de azúcar, lo que conlleva que cada tonelada de caña de azúcar producida sobre tal cuota tendrá un precio de venta de $100000; para el próximo cultivo se espera que tal cuota sea de 4000 toneladas.

Basado en experiencias anteriores, el granjero conoce que la producción media es de 8, 5 y 4 toneladas por hectárea de trigo, maíz y caña de azúcar. El costo de cultivar una hectárea de trigo, maíz y caña de azúcar es de $3000000, $3800000 y $4300000.

Se debe plantear un modelo de Programación Lineal que le ayude al granjero a maximizar sus beneficios.


U1 : Cantidad de hectáreas en las que cultivará trigo.U2 : Número de hectáreas en las que sembrará maíz. U3 : Cantidad de hectáreas en las que plantará caña de azúcar.

V1 : Número de toneladas que comprará de trigo.V2 : Cantidad de toneladas que comprará de maíz.W1 : Número de toneladas que venderá de trigo.W2 : Cantidad de toneladas que venderá de maíz.W3 : Número de toneladas que venderá de caña de azúcar a $300000.W4 : Cantidad de toneladas que venderá de caña de azúcar a $100000. Z : Función de maximización de utilidades.

Modelo (Primal):

MAX Z= 6 X1A + 4 X2A + 2 X3A + 3 X4A + 8 X1B + 7 X2B + 5 X3B + 9 X4B + 3 X1C + 5 X2C + 7 X3C + 6 X4C


69.La gerencia de una planta termoeléctrica de generación de energía, que emplea carbón como combustible, está estudiando la configuración operativa de la planta a fin de cumplir con las nuevas leyes de contaminación ambiental; para esta planta, las tasas máximas de emisión son: máxima emisión de óxido de azufre 4000 partes por millón (ppm), máxima emisión de partículas (humo) 10 kilogramos / hora (kgr / hor).

El carbón se traslada a la planta por ferrocarril y se descarga en depósitos cercanos a la misma; de aquí se lleva con una cinta transportadora a la unidad pulverizadora, donde se pulveriza y alimenta directamente la cámara de combustión, a la velocidad conveniente; el calor producido en la cámara de combustión, se utiliza para crear vapor, el cual impulsa las turbinas.

Se emplean dos tipos de carbón: tipo A, que es un carbón duro y de quema limpia con un bajo contenido en azufre (bastante caro) y tipo B, que es un carbón barato, relativamente suave, que produce humo y tiene un alto contenido en azufre (ver tabla adjunta). El valor térmico en términos de vapor producido es mayor para el carbón A que para el carbón B, siendo de 26000 y 18000 libras por tonelada respectivamente.

CARBON

A

B

OXIDO DE AZUFRE EN GASES COMBUSTIBLES

1600 ppm

4800 ppm

PARTICULAS (EMISION / TON)

0,5 Kg / Ton

1 Kg / Ton

Como el carbón A es duro, la unidad pulverizadora puede manejar a lo sumo 18 toneladas de carbón A por hora; sin embargo puede pulverizar hasta 22 toneladas de carbón B por hora. El sistema de carga de la cinta transportadora tiene una capacidad de 20 toneladas por hora y es independiente del tipo de carbón.

Uno de los interrogantes que se plantea la gerencia es que dados los límites de emisión de los agentes contaminantes y los tipos disponibles de carbón. ¿Cuál es la máxima producción posible de electricidad de la planta que le permitirá a la gerencia determinar el margen de seguridad disponible para cubrir las demandas de energía?


X1 : Cantidad de carbón tipo A en toneladas utilizadas por hora en la quema .X2 : Número de toneladas de carbón tipo B en toneladas empleadas en una hora para quema. Z : Función de maximización de producción.

Modelo (Primal):

MAX Z= 26000 X1 + 18000 X2

Resumiendo:

MAX Z= 26000 X1 + 18000 X2


70. Una destilería dispone de malta propia en cantidad de 300 barriles / día. Además, puede comprar malta de dos distribuidores A y B con costos de $12000 y $15000 por barril, en cantidades máximas de 600 y 400 barriles / día, respectivamente. La malta puede mezclarse directamente o destilarse para producir malta enriquecida de dos tipos 1 y 2. El destilador puede procesar a lo sumo 800 barriles / día. Un barril destilado de la propia casa produce 0,3 barriles de malta tipo 1y 0,6 barriles de malta tipo 2; un barril de malta A produce 0,4 barriles de malta tipo 1 y 0,4 barriles de malta tipo 2; un barril de malta B produce 0,7 barriles de malta tipo 1 y 0,1 barriles de malta tipo 2.

La mezcla de malta no procesada se vende a $16000 el barril, limitándose el mercado a 150 barriles / día; el sobrante de malta debe destruirse con costo de $1200 el barril; con las maltas destiladas pueden hacerse dos productos un de superior calidad (S) que se vende a $20000 el barril y debe contener al menos el 60% de producto 1 y otro de baja calidad (B) que se vende a $15000 barril y puede contener a lo sumo el 50% de producto 2.

La destilería desea satisfacer la demanda del producto de alta calidad, que es de 250 barriles por día y asegurarse un beneficio de $300000 diarios; además, puesto que se espera un cambio en le mercado del producto de baja calidad, la destilería desea minimizar su producción.

Formular un modelo de Programación Lineal que responda al problema de planificación planteado teniendo en cuenta las limitaciones en la producción y las exigencias de demanda y beneficio económico, suponiendo, además, que la venta de la mezcla está garantizada.

Variables reales:

Xi : Barriles por día de malta disponible del distribuidor i, i = {A, B, C} donde C: Malta disponible en la propia destilaría.Xij : Cantidad de malta disponible del distribuidor i, dedicada a la actividad j, j = {M, D, d}, donde M: Mezcla, D: Destilería y d: Destrucción. X1 : Producción de barriles de malta de tipo 1 por día.X2 : Número de barriles de malta de tipo 2 a producir diariamente.XS : Cantidad de barriles de malta de alta calidad.XB : Número de barriles de malta de baja calidad.Xkl : Cantidad de barriles de malta de tipo k, k = {1, 2} dedicada a la producción de calidad l, l= {S, B}. W : Función de volumen de producción de baja calidad.

Modelo (Primal):

MAX Z = X1B + X2B

Sujeta a:

71.La fábrica de Hilados y Tejidos "Manizales" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr

de c.

El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?



X1: Cantidad de metros del tejido T a fabricar diariamente.X2: Número de metros del tejido T’ a producir por día.Z : Función de utilidad por la venta de los tejidos T y T’.

Modelo (Primal)::

MAX Z = 4000 X1 + 5000 X2

Sujeta a:

1. 0.125 X1 +0.2X2 500

2. 0.150 X1 +0.1X2 300

3. 0.072 X1 + 0.027X2 108

X1, X2 0

72.La empresa "Caldas" tiene un sistema de producción constituido por tres secciones, a través de las cuales elabora dos productos. En la primera sección lo más que se pueden procesar son 300 unidades del artículo uno o 400 del producto dos diariamente; la sección segunda fabrica como mínimo 350 unidades del producto uno o 450 unidades del producto dos por día.La sección tercera puede elaborar hasta 400 unidades del artículo uno o 500 unidades del artículo dos diariamente.

Si los productos uno y dos generan una utilidad de $1000 y $700 respectivamente. ¿Cuántos productos de cada uno se deben fabricar para maximizar la utilidad?.


Definición de variables reales:

X1: Cantidad del producto uno a fabricar por día.X2: Cantidad del artículo dos a producir diariamente.Z : Función de utilidad de los productos uno y dos.

Modelo (Primal)::

MAX Z = 1000 X1 + 700 X2


Primera sección:


X2 400 – 400/300 X1

1. 4X1 + 3 X2 1200

Segunda sección:


X2 450 – 450/350 X1

2. 9X1 + 7X2 3150

Tercera sección:


X2 500 – 500/400 X1

3. 5X1 + 4 X2 2000

73. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima?

1 Elección de las incógnitas.x = número de pantalonesy = número de chaquetas 2 Función objetivof(x,y)= 50x + 40y 3 RestriccionesPara escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

pantalones chaquetas disponible

algodón 1 1,5 750

poliéster 2 1 1000

x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤15002x + y ≤ 1000Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:x ≥ 0y ≥ 0

74. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

1 Elección de las incógnitas.x = nº de lámparas L1

y = nº de lámparas L2

2 Función objetivof(x, y) = 15x + 10y 3 RestriccionesPasamos los tiempos a horas20 min = 1/3 h30 min = 1/2 h10 min = 1/6 hPara escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

L1 L2 Tiempo

Manual 1/3 1/2 100

Máquina 1/3 1/6 801/3x + 1/2y ≤ 1001/3x + 1/6y ≤ 80Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:x ≥ 0y ≥ 0 4

75. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

1 Elección de las incógnitas.x = camiones de tipo Ay = camiones de tipo B 2 Función objetivof(x,y) = 30x + 40y 3 Restricciones

A B Total

Refrigerado 20 30 3 000

No refrigerado 40 30 4 00020x + 30y ≥ 3 000

40x + 30y ≥ 4 000x ≥ 0y ≥ 0

76. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

1 Elección de las incógnitas.x = Xy = Y 2 Función objetivof(x,y) = 10x + 30y 3 Restricciones

X Y Mínimo

A 1 5 15

B 5 1 15x + 5y ≥ 155x + y ≥ 15x ≥ 0y ≥ 0 4

77. Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

1 Elección de las incógnitas.x = P1

y = P2

2 Función objetivof(x, y) = 6.5x + 7y 3 Restricciones

P1 P2 Disponibles

Cuadernos 2 3 600

Carpetas 1 1 500

Bolígrafos 2 1 4002x + 3y ≤ 600x + y ≤ 5002x + y ≤ 400x ≥ 0y ≥ 0 4

78. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

1 Elección de las incógnitas.x = nº de lotes de Ay = nº de lotes de B 2 Función objetivof(x, y) = 30x + 50y 3 Restricciones

A B Mínimo

Camisas 1 3 200

Pantalones 1 1 100x + 3y ≤ 200x + y ≤ 100x ≥ 20 y ≥ 10

79. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

1 Elección de las incógnitas.x = Pastillas grandesy = Pastillas pequeñas 2 Función objetivof(x, y) = 2x + y 3 Restricciones40x + 30y ≤ 600x ≥ 3y ≥ 2xx ≥ 0y ≥ 0

80. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

1 Elección de las incógnitas.x = autobuses pequeñosy = autobuses grandes 2 Función objetivof(x, y) = 600x + 800y 3 Restricciones40x + 50y ≥ 400 x + y ≤ 9 x ≥ 0 y ≥ 0

81. Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondigón con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 80$ por libra; la carne de cerdo contiene68% de carne y 32% de grasa, y cuesta 60$ por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondigón, si se desea minimizar el costo ymantener el contenido de grasa no mayor de 25%?

El objetivo es minimizar el costo (en centavos), z, de una libra de albondigón, donde:

Z = 80 veces el número de libras de carne molida de res, más 60 veces el número de libras de carne molida de cerdo empleadas.

Si se define:

X1 = número de libras de carne molida de res empleadas en cada libra de albondigón .

X2 = número de libras de carne molida de cerdo empleadas en cada libra de albondigón,

el objetivo se expresa como:

minimícese: z = 80X1 + 60X2 (1)

Cada libra de albondigón tendrá 0.20 x1, libras de grasa provenientes de la carne de res y 0.32 x2 libras de grasa de la carne de cerdo. El contenido total de grasa de una libra de albondigón no debe ser mayor de 0.25 libras. Entonces:

0.20X1 +0.32X2 <= 0.25 (2)

El número de libras de carne de res y de cerdo empleadas en cada libra de albondigón debe sumar 1; entonces:

X1 + X2 = l (3)

Finalmente, la tienda no puede usar cantidades negativas de ninguna de las carnes, así que hay dos restricciones de no negatividad: X1>= 0 y X2 >= 0. Combinando estas condiciones con (1), (2) y (3), se tiene:

minimícese: z = 80X1 + 60X2

con las condiciones: 0.20X1 + 0.32X2 <= 0.25 (4)

X 1 + X 2 = 1con: con todas las variables no negativas

El sistema (4) es un programa lineal. Como sólo hay dos variables, se puede dar solución gráfica.

82. Una excursionista planea salir de campamento. Hay cinco artículos que desea llevar consigo, pero entre todos sobrepasan las 60 Ib que considera que puede cargar. Para auxiliarse en la selección, ha asignado un valor a cada articulo en orden ascendente de importancia:

Articulo 1 2 3 4 5

Peso, Ib 52 23 35 15 7

Valor 100 60 70 15 15

¿Qué artículos deberá llevar para maximizar el valor total, sin sobrepasar la restricción de peso?

Haciendo que Xi (i = 1, 2, 3, 4, 5) indique la cantidad a llevar del artículo I, se puede plantear el objetivo como:

maximícese: z = 1OO X1 + 60 X2 + 70 X3 + 15 X4 + 15 X5 (/) La restricción de peso es:

52X1 + 23X2 + 35X3 + 15X4 + 7X5 <= 60 (2)

Ya que cada artículo se llevará o no se llevará, cada variable debe ser 1 o 0. Estas condiciones se cumplirán, si se pide que cada variable sea no negativa, no mayor que 1 y entera. Combinando estas restricciones con (1) y (2), se tiene el programa matemático:

maximícese: z = 1OO X1 + 60 X2 + 70 X3 + 15 X4 + 15 X5 con las condiciones: 52X1 + 23X2 + 35X3 + 15X4 + 7X5 <= 60

X1 <= 1X2 <= 1 (3)

X3 <= 1X4 <= 1

X5 <= 1

con: todas las variables enteras no negativas.

El sistema (3) es un programa entero

83. La Refinería Azteca produce dos tipos de gasolina sin plomo, regular y extra los cuales vende a su cadena de estaciones de servicio en $12 y $14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de la Azteca de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado, y deben cumplir con las siguientes especificaciones:

Presiónmáxima de vapor

Octanajeminimo

Demanda máxima,barriles/semana

Entregasj mínimas,barriles/semana

RegularExtra

2323

8893

10000020000

500005000

Las características del inventario de petróleos refinados son las siguientes:

Presiónde vapor

Octanaje Inventariobarriles

CostoS/barril

NacionalImportado

2515

8798

40 00060000

815

¿Qué cantidades de los dos petróleos (nacional e importado) deberá mezclar la Azteca en ambas gasolinas, a fin de maximizar la ganancia semanal?

Haciendo:

X1 barriles de petróleo nacional mezclado en la regular X2 barriles de petróleo importado mezclado en la regular X3 barriles de petróleo nacional mezclado en la extraX4 barriles de petróleo importado mezclado en la extra

X1 + X2 <= 100 000 (demanda máxima de regular) (2)X3 + X4 <= 20000 (demanda máxima de extra) (3)X1 + X2 >= 50000 (requerimiento máximo regular) (4)X3 + X4 >= 5000 (requerimiento mínimo de extra) (5)

Se producirá una cantidad X1 + X2 de gasolina regular y generará un ingreso de 12(X1 + X2), se producirá una cantidad X3 + X4 de extra y generará un ingreso de 14(X1 + X2). Se usará una cantidad X1 + X3 de petróleo nacional, a un costo de 8(X1 + X3); se usará una cantidad X2 + X4 de importado, a un costo de 15(X1 + X3). La ganancia total, z, es el ingreso menos el costo:

maximícese: z = 12(X1 + X2) + 14(X3 + X4) - 8(X1 + X3) - 15(X2 + X4)= 4X1-3X2 + 6X3- X4 (1)

Hay limitaciones impuestas a la producción por la demanda, la disponibilidad de suministros y las especificaciones de la mezcla. Se tiene de las demandas:

De la disponibilidad:X1 + X3 <= 40000 (nacional) (6)X2 + X4 <= 60000 (importado) (7)

Los componentes de una mezcla contribuyen al octanaje general, según sus porcentajes por peso; asimismo para la presión de vapor. Entonces, el octanaje de la regular es:

87 X1/(X1+X2) + 98 X2/(X1+X2)

y el requerimiento de que éste sea de por lo menos 88, lleva a:X1 – 10X2 <= 0 (8)

Igualmente, se obtiene:6X3 – 5X4 <= 0 (restricción de octanaje de la extra) (9)2X1-8X2 <= 0 (restricción de presión de vapor regular) (10)2X3-8X4 <= 0 (restricción depresión de vapor extra) (11)

Combinando de (1) hasta (11) con las cuatro restricciones de no negatividad de las cuatro variables, se obtiene el programa matemático

84. Minas Universal opera tres minas en West Virginia. El meneral de cada una se separa, antes de embarcarse, en dos garados. La capacidad diaria de producción de las mismas así, como sus costos diarios de operación son los siguientes:

Mineral de grado alto,ton/dia

Mineral de grado bajo, ton/dia

Costo de operación,$1 000/dia

Mina I Mina II Mina III

461

446

202218

La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Además, tiene contratos de trabajo que garantizan a los trabajadores de ambas minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la mina esté abierta. Determínese el número de días que cada mina debería operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un costo total mínimo.

Denótense con X1, X2 y X3, respectivamente, el número de días qué las minas I, II y III habrán de operar durante la semana venidera. Entonces, el objetivo(expresado en $1000) es:

minimícese: z = 20X1 + 22X2 + 18X3 (1)

La demanda de mineral de grado alto es:4X1 + 6X2+X3 >= 54 (2)

y la demanda de mineral de grado bajo es:4X1 + 4X2 + 6X3 >= 65 (3)

Como ninguna mina puede operar un número negativo de días, tres restricciones de no negatividad son X1 >= 0, X2 >= 0 y X3 >= 0. Por otro lado, como ninguna mina puede operar más de 7 días a la semana, otras tres restricciones son X1 <= 7, X2 <= 7 y X3<= 7. Finalmente, debido a los contratos laborales, Minas Universal no tiene nada qué ganar al operar una mina parte de un día; en consecuencia, X1, X2 y X3 deben ser enteros. Combinando las restricciones con (1), (2) y (3), se obtiene el programa matemático:

minimícese: z = 20X1 + 22X2 + 18X3 con las condiciones:

4X1 + 6X2+X3 >= 544X1 + 4X2 + 6X3 >= 65X1 <= 7 (4)

X2 <= 7X3 <= 7

con: todas las variables enteras y no negativas.

85. Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A 700; B 3.500; C 7.000.Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, más 2 unidades de A. Producir una unidad de C necesita 3 horas detrabajo, más 1 unidad de B. Cualquier unidad de A utilizada para producir B, no puede servendida. Similarmente cualquier unidad de B utilizada para producir C, no puede ser vendida.Para este período de planificación están disponibles 40 horas de trabajo. Formule yConstruya el modelo Lineal que maximice los ingresos de la empresa.

Utilizando el mismo proceso, se tiene lo siguiente:

Variables de desciciónX1: Unidades de A producidas en total X2: Unidades de B producidas en total X3: Unidades de C producidas en total X4: Unidades dse A vendidasX5: Unidades de B vendidas.

Objetivo:Max 700 X4 + 3.500 X5 + 7.000 X3

Restricciones:

X1 + 2X2 + 3X3 L40X1 =X4 + 2 X2

Ing. José Luis Albornoz Salazar

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL

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X2 = X5 + X3X1, X2, X3,X4, X5 L

86. La Cámara de Industriales de la región periódicamente promueve servicios públicos, seminarios y programas. Actualmente los planes de promoción para este año están en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad así como los costos y la audiencia estimados por unidad de publicidad, además de la cantidad máxima de unidades de publicidad en que puede ser usado cada medio se muestran a continuación.

Restricciones Televisión RadAudiencia por unidad de publicidad 100.000 18.0Costo por unidad de publicidad $ 2.000 $ 30Uso máximo del medio 10 20

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el50% del total de unidades de publicidad autorizados. Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a $18.500.

Utilizando el mismo proceso, se tiene lo siguiente: Variables de decisión:

X1: unidades de publicidad a contratar en televisión. X2: unidades de publicidad a contratar en radio.X3: unidades de publicidad a contratar en prensa.

Objetivo: Maximizar la audiencia total o cantidad de personas que ven la publicidad

Max 100.000 X1 + 18.000 X2 + 40.000 X3

Restricción 1: Disponibilidad limitada de presupuesto para la publicidad:

2.000 X1 + 300 X2 + 600 X3 <=18.500

Restricciones 2, 3 y 4: Uso máximo de medios para la publicidad: X1 <= 10 unidades de publicidad a contratar en t.vX2 <= 20 unidades de publicidad a contratar en radioX3 <= 10 unidades de publicidad a contratar en prensa

Restricción 5: Publicidad limitada a un máximo de 50% en radio, con relación al total de unidades a contratar:

X2 <= 0.5 (X1+ X2+ X3)Finalmente quedará expresada así: - 0.5 X1 + 0.5 X2 - 0.5 X3 <= 0

Restricción 6: La cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado

X1 >= 0.10 (X1+ X2+ X3)Finalmente quedará expresada así: 0.9 X1 – 0.1 X2 - 0.1 X3 >= 0

Posteriormente puede resumir el modelo agregándole la restricción de no-negatividad de las variables



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P R O BL EM A 87 : Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.

S OLUCIÓ N :

Va riab les : A = Cantidad de paquetes “A” a vender.B = Cantidad de paquetes “B” a vender.

Fun ción Ob jet ivo : Z = 6A + 5B (utilidad a maximizar)Res t r i ccio ne s : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema

A B Disponibilidad

Refresco con cafeína 3 2 120Refresco sin cafeína 3 4 180

D1 D2Requerimiento

Unidades de componente A. 2 1 70Unidades de componente B 3 2 120



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Res t r i cción 1 : 3A + 2B ≤ 120 (con cafeína) Res t r i cción 2 : 3A + 4B ≤ 180 (sin cafeína)

Res t r i ccio ne s : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema :

S olución :

Se deben vender 20 paquetes del tipo “A” y 30 paquetes del tipo “B” generando un beneficio máximo de 270,00 euros.

P R O BL EM A 88 : Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es:

dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B.

Res t r i cción 1 : 2 D1 + 1 D2 ≥ 70 (componente A) Res t r i cción 2 : 3 D1 + 2 D2 ≥ 120 (componente B)

Debe consumir 20 dietas “D1” y 30 dietas “D2” generándoleun costo mínimo de 93,50 €.

P R O BL EM A 89 : Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 has. con olivos de tipo A, ni más de 10 has. con olivos del tipo B. Cada

3Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5 €. y el de la dieta D2 hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m de agua anuales y

es 1,45 €. ¿Cuál es la distribución óptima para el menor costo?

S OLU C I Ó N :

Va riab les : D1 = Cantidad de dieta D1 a consumir.D2 = Cantidad de dieta D2 a consumir.

Fu n ción O b je t i v o : Z = 2,5 D1 + 1,45 D2 (costo a minimizar)

cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B, 225 €. Se dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite:a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite.b) Obtener la producción máxima.

A B Disponibilidad

M3 de agua anual 4 3 44Inversión 500,00 225,00 4.500,00Cantidad máxima a cultivar 8 10



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S OLU C I Ó N :

Va r i ab les : A = Cantidad de hectáreas de olivo del tipo “A” .B = Cantidad de hectáreas de olivo del tipo “B” .

Fu n ción O b je t i v o : Z = 500A + 300B (producción a maximizar)

Res t r i ccio ne s : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje todala información disponible para visualizar mejor las restricciones delproblema :

P R O BL EM A 90 : Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería este?

S OLUCIÓ N :

Res t r i cción 1 : 4A + 3B ≤ 44 (agua)

Rest ricción 2 : 500A + 225B ≤ 4.500 (inversión)

Va r i ab les : A = Cantidad de fundas del tipo “A” a fabricar.B = Cantidad de fundas del tipo “B” a fabricar.

Res t r i cción 3 : No se puede cultivar más de 8 has. con olivos de tipo A

A ≤ 8

Res t r i cción 4 : Ni más de 10 has. con olivos de tipo B

B ≤ 10

Se deben cultivar 6 has. con olivos del tipo “A” y 6,67 del tipo“B” generando una producción máxima de 5.000 litros de aceite.

Fu n ción O b je t i v o :

Z = 40A + 20B (beneficio a maximizar)

Res t r i ccio ne s : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje todala información disponible para visualizar mejor las restricciones delproblema :

A B Disponibilidad

Horas de trabajo 4 3 48Unidades de tela 3 5 60Cantidad máxima a fabricar 9

Res t r i cción 1 : 4A + 3B ≤ 48 (horas de trabajo)

Res t r i cción 2 : 3A + 5B ≤ 60 (unidades de tela)

Res t r i cción 3 : A lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo “A”.

A ≤ 9



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A + B ≤ 210.000

Res t r i cción 2 : Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A

Se deben fabricar 9 fundas del tipo “A” y 4 del tipo “B”generando un beneficio máximo de 440,00 euros.

A ≤ 130.000

Res t r i cción 3 : y como mínimo 60.000 en las del tipo B

B ≥ 60.000

Res t r i cción 4 : Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B.

A ≤ 2B

Para introducir la restricción 4 en la hoja de cálculo Excel o en cualquier otro programa para solucionar problemas de Programación Lineal, se debe ordenar la misma de manera tal que las incógnitas queden del lado izquierdo del signo de desigualdad y el número del lado derecho. En este caso quedará :

Se deben invertir 130.000,00 euros en acciones del tipo “A” y80.000,00 en las del tipo “B” y esto generará 19.400,00 euros deinterés máximo anu



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Se deben vender 100 tortas Vienesas y 50 tortas Reales al día para obtener un beneficio máximo de 45.000,00 pesetas.

P R O BL EM A 91 : Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?.

S OLU C I Ó N :

Va r i ab les : MA = Días a trabajar en la Mina A. .MB = Días a trabajar en la Mina B.. .

Fu n ción O b je t i v o : Z = 2.000 MA + 2.000 MB (costo a minimizar)


MA MBRequerimiento

Hierro de alta calidad (ton.) 1 2 80Hierro de media calidad (ton.) 3 2 160Hierro de baja calidad (ton.) 5 2 200



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Va r i ab les : E = Cantidad de electricistas a elegir .M = Cantidad de mecánicos a elegir .

Res t r i cción 1 : 1 MA + 2 MB ≥ 80 (alta calidad)

Res t r i cción 2 : 3 MA + 2 MB ≥ 160 (media calidad)

Res t r i cción 3 : 5 MA + 2 MB ≥ 200 (baja calidad)

Fu n ción O b je t i v o : Z = 250 E + 200 M (beneficio a maximizar)

R e str i ccio ne s :

Res t r i cción 1 : Es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas.

M ≥ E que se puede ordenar como – E + M ≥ 0

Res t r i cción 2 : y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas

M ≤ 2E que se puede ordenar como – 2E + M ≤ 0

Res t r i cción 3 y 4 : En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos.

Se deben trabajar 40 días en la Mina “A” y 20 días en la Mina“B” para que el costo sea mínimo (120.000,00 euros).

P R O BL EM A 92 : Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cuál es este?

S OLU C I Ó N :

E ≤ 30

M ≤ 20

Deben elegirse 20 electricistas y 20 mecánicos para obtener un beneficio máximo de 9.000,00 euros.



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P R O BL EM A 93 : La compañía ESPECIAS INDIAN C.A., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en la producción de aderezos. INDIAN usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea curry o pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que aunque la empresa puede vender todo el pimentón que pueda producir, sólo puede vender hasta un máximo de 1500 botellas de curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de HB2. Determine él consumo de especias que maximice el ingreso de la Empresa.

Res t r i cción 5 : Las onzas de HB2 no utilizadas y las utilizadas deben sumar 8.500 onzas :

HB2 + 3 C + 3 P = 8.500

Va r i ab les : S OLU C I Ó N :

C = Cantidad de botellas de curry a producir. P = Cantidad de botellas de pimentón a producir. HB1 = Onzas de HB1 no utilizadas a vender. HB2 = Onzas de HB2 no utilizadas a vender.

Se deben producir 1.500 botellas de curry y 1.250 botellas de pimentón y se venderán 250 onzas de “HB2” que no se utilizaron. Todo generará un ingreso máximo de $ 5.791.750,00.

P R O BL EM A 94 : Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante

Fu n ción ob j e tiv o : Z = 2.750 C + 1.300 P + 375 HB1 + 167 HB2

Res t r i ccio ne s:

Res t r i cción 1 : Onzas de HB1 utilizadas en cada botella de aderezo :5 C + 2 P ≤ 10.000

Res t r i cción 2 : Onzas de HB2 utilizadas en cada botella de aderezo :3 C + 3 P ≤ 8.500

Res t r i cción 3 : Solo se pueden vender hasta 1.500 botellas de curry :C ≤ 1.500

Res t r i cción 4 : Las onzas de HB1 no utilizadas y las utilizadas deben sumar 10.000 onzas :

HB1 + 5 C + 2 P = 10.000

dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón requiere 1 m de algodón y 2 m de poliéster, cada chaqueta requiere 1,5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

S OLU C I Ó N :

Va r i ab les : P = Cantidad de pantalones a suministrar.C = Cantidad de chaquetas a suministrar.

Fu n ción O b j e ti v o : Z = 50 P + 40 C (venta a maximizar)



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P C Disponibilidad

Tejido de algodón 1 1,5 750Tejido de poliester 2 1 1.000

Res t r i cción 1 : 1 P + 1,5 C ≤ 750 (algodón)

Res t r i cción 2 : 2 P + 1 C ≤ 1.000 (poliester)

Se le deberán suministrar 375 pantalones y 250 chaquetas para conseguir una venta máxima de 28.750,00 euros.

P R O BL EM A 95 : Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, conigual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La

contratan para el transporte de 3.000 m3 de producto que

necesita refrigeración y 4.000 m3 de otro que no la necesita. El costo por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que elcoste total sea mínimo?

S OLU C I Ó N :

Va r i ab les : A = Cantidad de camiones del tipo A a utilizar.B = Cantidad de camiones del tipo B a utilizar.

Fu n ción O b je t i v o : Z = 30 A + 40 B (costo a minimizar)

Res t r i ccio ne s : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje todala información disponible para visualizar mejor las restricciones delproblema.

Como se dice que los camiones de tipo B tienen igual cubicaje que los del tipo A, significa que tienen un espacio total de 60 m3 (20+40). Y como se especifica que 50% es refrigerado y 50% no refrigerado los datos del camión tipo B serán 30 y 30.

A B Requerimiento

Espacio refrigerado 20 30 3.000Espacio no refrigerado 40 30 4.000

Res t r i cción 1 : 20 A + 30 B ≥ 3.000 (espacio refrigerado)

Res t r i cción 2 : 40 A + 30 B ≥ 4.000 (espacio no refrigerado)

Res t r i cción 3 : Como las variables o incógnitas son cantidades decamiones a utilizar, los resultados tienen que ser números enterospositivos (PROGRAMACION LINEAL ENTERA),

Se utilizaran 51 camiones del tipo “A” y 66 del tipo “B”generando un costo mínimo de 4.170,00 euros por kilómetro.



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Vamos a aprovechar este ejercicio para demostrar lo que hemos dicho anteriormente en lo relacionado a que no se recomiendan las aproximaciones de los resultados.

Si no se “ordena” a SOLVER que los resultados tienen que serenteros positivos el resultado será el siguiente :

Si hacemos la aproximación y decimos que debemos utilizar 67 camiones del tipo B, los valores obtenidos serán :

Note que el costo mínimo es de 4.180,00 €, que es mayor a los4.170,00 € que se obtienen cuando utilizamos la Programación LinealEntera (Restricción 3 de este ejercicio)

P R O BL EM A 96 : En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

S OLU C I Ó N :

Va r i ab les : X = Cantidad de compuesto X a comprar.Y = Cantidad de compuesto Y a comprar.

Fu n ción O b je t i v o : Z = 10 X + 30 Y (costo a minimizar)

Res t r i ccio ne s : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje todala información disponible para visualizar mejor las restricciones delproblema.

X Y Requerimiento

Unidades de sustancia A 1 5 15Unidades de sustancia B 5 1 15

Res t r i cción 1 : 1 X + 5 Y ≥ 15 (Unidades de sustancia A)

Res t r i cción 2 : 5 X + 1 Y ≥ 15 (Unidades de sustancia B)



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P R O BL EM A 97 : Una escuela prepara una excursión para 320 alumnos. La empresa de transporte tiene 10 autobuses de 20 plazas y 8 de 42 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autobús grande cuesta 900 € y el de uno pequeño 400 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

S OLU C I Ó N :

Va r i ab les : G = Cantidad de autobuses grandes a utilizar.

P = Cantidad de autobuses pequeños a utilizar.

Fu n ción O b je t i v o : Z = 900 G + 400 P (costo a minimizar)

Res t r i ccio ne s : R e str i cción 1 : Los alumnos que “quepan” en ciertonúmero de autobuses grandes más los que “quepan” en los autobusespequeños tiene que ser mayor o igual que 320.

42 G + 20 P ≥ 320

Res t r i cción 2 y 3 : La empresa de transporte tiene 10 autobuses de 20 plazas y 8 de 42 plazas.

P ≤ 10 ; G ≤ 8

Res t r i cción 4 : Pero sólo dispone de 9 conductores (si se tienen 9 conductores no se pueden asignar más de 9 autobuses)

1 G + 1 P ≤ 9

Restricción 5: Los valores tienen que ser enteros positivos (autobuses).

Se deberán utilizar 7 autobuses grandes y 2 autobuses pequeños generando un gasto mínimo de 7.100,00 euros.

P R O BL EM A 98 : Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras que para fabricar100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable de tipo B, 1000 euros. Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máximo.

S OLU C I Ó N :

Va r i ab les : En el planteamiento del problema notamos que todos los datos están referidos a 100 metros de cable, en base a esto podemos definir las variables como :

A = Cantidad de “rollos” de 100 mts. de cabledel tipo A a fabricar.

B = Cantidad de “rollos” de 100 mts. de cabledel tipo B a fabricar.

Fu n ción O b je t i v o : Z = 1.500 A + 1.000 B (maximizar)

Res t r i ccio ne s : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje todala información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema.

A B Disponibilidad

Kilogramos de Cobre 10 15 195Kilogramos de Titanio 2 1 20Kilogramos de Aluminio 1 1 14



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Res t r i cción 1 : 10 A + 15 B ≤ 195 (Kgs. de cobre)

Res t r i cción 2 : 2 A + 1 B ≤ 20 (Kgs. de titanio)

Rest ricción 3 : 1 A + 1 B ≤ 14 (Kgs. de aluminio)

Va r i ab les : A = Cantidad de lotes A a preparar. B = Cantidad de lotes B a preparar.

El beneficio máximo asciende a 17.000,00 euros y se obtiene fabricando 600 metros (6 rollos de 100 metros) de cable de tipo A y800 metros (8 rollos de 100 metros) de tipo B.

P R O BL EM A 99 : Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiere incentivar la compra de estos productos mediante la oferta de dos tipos de lotes: el lote A, que produce un beneficio de 8 euros, formado por un bañador, un gorro y unas gafas, y el lote B que produce un beneficio de10 euros y está formado por dos bañadores y unas gafas. Sabiendo que la publicidad de esta oferta tendrá un coste de1.500 euros a deducir de los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B que harán máximo el beneficio y a cuánto asciende éste.

S OLU C I Ó N :

Fu n ción O b j e ti v o : Z = 8 A + 10 B – 1.500 (maximizar)

Note que en la función objetivo se ha indicado la resta de los 1.500 euros que se deben deducir de los beneficios.

Res t r i ccio ne s : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema.

A B Disponibilidad

Bañadores 1 2 1.600Gafas de baño 1 1 1.000Gorros de baño 1 800

Res t r i cción 1 : 1 A + 2 B ≤ 1.600 (bañadores)

Res t r i cción 2 : 1 A + 1 B ≤ 1.000 (gafas de baño)

Res t r i cción 3 : 1 A ≤ 800 (gorros de baño)

Se deben preparar 400 lotes A y 600 lotes B para obtener el máximo beneficio que asciende a 7.700,00 euros.



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P R O BL EM A 100 : Se desea obtener la mezcla de petróleo a partir de crudos de distintas procedencias, cada uno de los cuales tienen distintas características. En la tabla adjunta se detallan los distintos crudos (4 en total) y sus características más importantes : el tanto por ciento de azufre, la densidad y el precio por TM en pesetas.

Se exige que la mezcla tenga unas características concretas que se traducen en un porcentaje del 40% de contenido de azufre y una densidad igual al 91%. Se desea que el precio de la mezcla sea mínimo.

S OLU C I Ó N : Va r i ab les :

K = Cantidad de crudo procedente de Kuwait. A = Cantidad de crudo procedente de Arabia. N = Cantidad de crudo procedente de Noruega. V = Cantidad de crudo procedente de Venezuela.

Fu n ción O b je t i v o : (minimizar costo de la mezcla)

Z = 35.000 K + 31.000 A + 39.000 N + 34.000 V

Res t r i ccio ne s :

Res t r i cción 1 : Se exige que la mezcla tenga unas características concretas que se traducen en un porcentaje del 40% de contenido de azufre

0,45 K + 0,40 A + 0,38 N + 0,41 V = 0,40

Res t r i cción 2 : y una densidad igual al 91%.

0,91 K + 0,95 A + 0,89 N + 0,92 V = 0,91

Res t r i cción 3 : Aunque no se haga mención en el problema, la suma de las proporciones de cada crudo debe ser igual a la unidad.

K + A + N + V = 1,00

La mezcla óptima debe tener 33% de crudo procedente de Noruega y 67% de crudo procedente de Venezuela generando un gasto mínimo de 35.666,67 pesetas por TM.

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