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TALLER 2

MODELAR MEDIANTE ECUACIONES

Grados 7mo a 9no

Universidad de Puerto Rico en Bayamón

Departamento de Matemáticas

Preparado porSandro Molina Cabrera, Ph.D.

TABLA DE CONTENIDO

PRE–PRUEBA 3

OBJETIVOS 4

JUSTIFICACIÓN 5

INTRODUCCIÓN 6

TRADUCCIÓN 7

GUÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS 9

PROBLEMAS 10

PROBLEMAS DE PROMEDIO 10

PROBLEMAS CON NÚMEROS 11

PROBLEMAS CON EDADES 12

PROBLEMAS CON DINERO 14

PROBLEMAS GEOMÉTRICOS 15

PROBLEMAS CON MEZCLAS 17

PROBLEMAS DE TRABAJO 19

PROBLEMAS ADICIONALES 23

POS–PRUEBA 24

RESPUESTAS 25

RESPUESTAS DE LA PRE–PRUEBA 25

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS EN EL MÓDULO 25

RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS ADICIONALES 27

RESPUESTAS DE LA POS–PRUEBA 27

2

PRE–PRUEBA

Nombre: Escuela:

Instrucciones: En los problemas 2 al 8 establezca la ecuación pero NO la resuelva.

1. Traduzca el siguiente enunciado al lenguaje matemático: El largo de un rectángulo es

3 más que dos veces su ancho.

2. Un estudiante en un curso de cálculo obtuvo 45, 86 y 71 en los exámenes parciales.

Éste desea saber qué puntuación necesita obtener en el cuarto examen para tener 80

de promedio. Establezca una ecuación que modele este problema.

3. Un número aumentado en una tercera parte del mismo resulta ser 60. ¿Cuál es éste

número? Establezca una ecuación que modele este problema.

4. Un hombre tiene tres veces la edad de su hijo. En 15 años, su edad será el doble de

la edad que su hijo tendrá para entonces. ¿Qué edades tienen el hombre y su hijo?

Establezca una ecuación que modele esta situación.

5. Suponga que el precio de la seda es seis veces el precio del lino. María compró 20

metros de seda y 35 metros de lino por $542.50. ¿Cuál es el precio de la seda y del

lino? Establezca una ecuación que modele este problema.

6. El perímetro de una cancha de tenis es de 42 metros. El largo de la cancha es 2

metros más que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la cancha? Establezca una

ecuación que modele el perímetro de la cancha en términos de su ancho.

7. Una compañía de licores tiene una solución de alcohol concentrada al 40%. Se desea

mezclar alcohol puro con la solución al 40% para obtener una solución con una

concentración de alcohol al 55%. ¿Cuántas onzas de solución al 40% y de alcohol

puro hay que mezclar para obtener 42 onzas de una solución de alcohol al 55%?

Establezca una ecuación que modele este problema.

8. A José le toma 60 minutos podar la grama de un patio, pero Tomás lo poda en 40

minutos. Establezca una ecuación que modele el tiempo que le tomará a ambos

podar el patio, si trabajan juntos usando 2 podadoras.

3

OBJETIVOS

Al terminar el estudio de este módulo, el participante podrá:

1. traducir frases a expresiones matemáticas.

2. establecer una guía para modelar problemas aplicados.

3. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas de promedio.

4. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas con números.

5. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas de edades.

6. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas de dinero.

7. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas geométricos.

8. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas de mezclas.

9. reconocer y modelar mediante ecuaciones problemas de trabajo.

4

JUSTIFICACIÓN

Uno de los procesos medulares usados para estudiar problemas aplicados es el modelar

mediante ecuaciones. Este se usa ampliamente tanto en áreas de las ciencias puras

(Física, Biología, etc.) como en los campos más aplicados del saber humano (Negocios,

Ingeniería, etc.). Además de ser una de las aplicaciones más importantes de las

ecuaciones, el modelar mediante ecuaciones involucra el análisis detallado de una

situación verbal para traducirla al lenguaje de las matemáticas. Esto provee una

excelente oportunidad para desarrollar el razonamiento lógico. Por estas razones,

modelar mediante ecuaciones forma parte del material cubierto en cursos de

matemáticas a varios niveles.

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INTRODUCCIÓN

DEFINICIÓN Una ecuación es un enunciado que nos dice que dos expresiones son

iguales.

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones:

1. 5 + 3 = 8

2. x + 30 = 12x

3. E = mc2

Resolver problemas aplicados utilizando ecuaciones involucra una serie de pasos que nos

conducen a un problema matemático. Primero el problema aplicado se describe en

palabras obteniendo lo que se conoce como un problema verbal. Luego se traduce la

información contenida en esta descripción verbal del problema al lenguaje de las

matemáticas. Para esto utilizamos la siguiente estrategia: se introducen símbolos,

usualmente letras, para representar las cantidades desconocidas y luego se hallan

relaciones que involucren estos símbolos. Estas relaciones se traducen a ecuaciones. Este

proceso se conoce como modelar mediante ecuaciones.

DEFINICIÓN Modelar mediante ecuaciones es el proceso de construir una o mas

ecuaciones que describan un problema aplicado.

ProblemaAplicado

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

descripciónverbal⎯ →⎯⎯⎯

ProblemaVerbal

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

lenguaje de lasmatemáticas⎯ →⎯⎯⎯⎯

ProblemaMatemático

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Es importante señalar que la ecuación o ecuaciones que se obtengan deben describir el

problema. Una vez se obtiene una solución matemática, se debe revisar que ésta tenga

sentido, tanto en el contexto del problema verbal como en el contexto del problema

aplicado.

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TRADUCCIÓN

Una destreza necesaria para modelar problemas mediante ecuaciones es el traducir al

lenguaje matemático la información presentada en el problema verbal. Esto conlleva la

selección de símbolos que representen las cantidades mencionadas. A continuación

presentamos una tabla con algunas palabras claves y la operación a la que traducen.

Adición Sustracción Multiplicación División Exponentes

más menos por entre elevado

más que menos que multiplicar dividir exponente

añadir quitar veces cociente cuadrado

aumentar disminuir producto mitad (÷2) cubo

sumar restar de tercio (÷3)

agregar sustraer doble (x2) cuarto (÷4)

más largo más corto triple (x3) parte

diferencia por

NOTAS:

1. La palabra es y las frases es igual y lo mismo se traducen como =.

2. La palabra por, dependiendo del contexto, puede traducirse como un producto o una

división.

Veamos algunos ejemplos donde se traducen descripciones verbales al lenguaje

matemático.

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EJEMPLOS Traduzca las siguientes descripciones verbales a expresiones o ecuaciones

matemáticas

1. La edad de José es tres veces la de Miguel

Traducción: Refiriéndonos a la tabla, veces significa multiplicación. Si x denota la

edad de Miguel entonces la edad de José es 3x.

2. El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura.

Traducción: Refiriéndonos a la tabla, por significa multiplicación y mitad significa

dividir en 2. Luego introducimos símbolos que denoten las cantidades

mencionadas en el problema. Así, si A denota el área del triángulo, b la base y h

la altura, entonces A =b2h .

3. Trabajo es igual a fuerza por distancia.

Traducción: Si T denota trabajo, F denota fuerza y d distancia entonces T=Fd.

EJERCICIOS Traduzca las siguientes descripciones verbales a expresiones o

ecuaciones matemáticas

1. El área de un rectángulo es el producto del largo y el ancho del rectángulo.

2. Presión es fuerza por cada unidad de área.

3. La ganancia total de vender cierta cantidad de neveras es $325 por nevera

multiplicado por el número de neveras vendidas.

4. La edad de Juan es 12 años más que el doble de la edad de Carlos.

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GUÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS

Hay una serie de principios que sirven de guía al modelar un problema con ecuaciones.

1. Leer cuidadosamente el problema. Leer varias veces de ser necesario. Pensar en los

datos que se ofrecen, en la desconocida y en la pregunta.

2. Introducir notación. En particular, denotar la cantidad desconocida por una letra.

3. Organizar la información. Por ejemplo, se puede utilizar una tabla.

4. Hacer un dibujo, si es apropiado. El dibujo no tiene que ser a escala pero debe

representar la situación planteada en el problema.

5. Determinar una o más relaciones que involucren la desconocida. Estas relaciones

pueden estar descritas en palabras en el enunciado del problema o pueden ser

relaciones ya conocidas.

6. Formular una o más ecuaciones. Estas ecuaciones tienen que describir en términos

matemáticos las relaciones dadas en palabras en el problema. Revise que estas

ecuaciones tengan sentido en el contexto del problema. Si hay más de una ecuación

trate de combinarlas para obtener una sola ecuación.

NOTA: En un problema aplicado donde se exija que se halle el valor de la desconocida

entonces se tendría que:

7. Resolver la ecuación.

8. Verificar las soluciones. Estas no sólo tienen que hacer sentido matemáticamente sino

que también en el contexto del problema.

NOTA: En este taller estableceremos ecuaciones que modelen problemas aplicados (es

decir sólo usaremos los pasos del 1 al 5). NO RESOLVEREMOS ESTAS ECUACIONES.

La resolución de ecuaciones se tratará en el siguiente taller.

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PROBLEMAS

Hemos dividido los problemas verbales en distintos tipos, para facilitar su estudio.

Aunque los problemas están enunciados para ser resueltos, recuerde que nosotros sólo

estableceremos la ecuación que modela el problema.

PROBLEMAS DE PROMEDIO

En este tipo de problema buscamos algún elemento de un promedio, por ejemplo una

nota en el promedio de notas de una clase.

EJEMPLO

Un estudiante en un curso de cálculo obtuvo 65, 78 y 81 en los exámenes parciales.

Éste desea saber que puntuación necesita obtener en el cuarto examen para tener 80


SOLUCIÓN: Una vez hemos leído el problema introducimos un símbolo que denote la

desconocida. Llamemos x a la puntuación en el examen final. Este problema no se presta

para hacer un dibujo.

Ahora veamos si aparece alguna relación en el problema que involucre la desconocida. Se

desea hallar la puntuación que el estudiante debe obtener en el cuarto examen para

tener 80 de promedio. Lo que se busca es el promedio de las 4 puntuaciones de los

exámenes, es decir,

65 + 78 + 81+ x4

= 80 .

Esta es una ecuación que modela la situación presentada en el problema.

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EJERCICIOS

1. Un estudiante en un curso de álgebra tiene puntuaciones de 75, 83, 71 y 85 en las 4

pruebas que ha tomado hasta ahora. El estudiante desea saber que puntuación debe

obtener en la próxima prueba para tener un promedio a 80. Establezca una ecuación

que modele este problema.

2. En un curso de precálculo Lidia ha obtenido 70, 85 y 45 en los tres exámenes que se

han ofrecido hasta ahora. Ella desea obtener un 75 de promedio. ¿Qué puntuación ha

de obtener en el cuarto examen para obtener el promedio que desea? Establezca una

ecuación que le indique cuánto debe sacar en el último examen.

PROBLEMAS CON NÚMEROS

Este tipo de problema enuncia relaciones entre ciertos números.

EJEMPLOS

1. Un número aumentado en una cuarta parte del mismo resulta ser 40. Se desea hallar

este número. Establezca una ecuación que modele este problema.

SOLUCIÓN: La cantidad desconocida en este problema es un número. Llamemos x a

ese número. La cuarta parte de este número es x4

. El problema nos dice que el número

en cuestión aumentado por su cuarta parte es 40. Luego

x + x4= 40 .

Esta ecuación modela la situación descrita en el problema.

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2. Un número es nueve más que otro. Si la suma de ambos es 54, ¿cuáles son los dos

números? Establezca una ecuación que modele esta situación.

SOLUCIÓN: Las desconocidas en este problema son dos números. Denotemos estos

números por x y y . ¿Qué relación hay entre x y y ? El problema nos indica que uno de

estos números es nueve más que el otro. Si seleccionamos uno de estos números, digamos

y , entonces y = x + 9 . Tenemos otra relación entre x y y . La suma de x y y es 54.

Luego, x + y = 54 . Como y = x + 9 tenemos que

x + (x + 9) = 54 .

EJERCICIOS

1. Un número es 21 menos que la mitad de otro. Si la diferencia de ambos es 30 halle

los dos números. Establezca una ecuación que modele esta situación.

2. La suma de tres números consecutivos es 144. Determine estos tres números.


PROBLEMAS CON EDADES

En este tipo de problemas se nos presentan una serie de datos sobre las edades de varios

sujetos y las relaciones que existen entre éstas.

EJEMPLOS

1. Un hombre tiene ocho veces la edad de su hijo. En dos años su edad será seis veces la

edad que su hijo tendrá para entonces. ¿Qué edad tienen el padre y su hijo

actualmente? Establezca una ecuación que modele esta situación.

SOLUCIÓN: Las desconocidas en este problema son las edades actuales del padre y de

su hijo. Como el hijo es menor que su padre denotemos por x la edad actual del hijo.

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Como la edad actual del padre es 8 veces la edad actual de su hijo, tenemos que 8x

representa la edad actual del padre. Para obtener la edad que tendrán en 2 años

sumamos 2 a x y a 8x . Organicemos la información que tenemos en una tabla.

Sujetos Edad Actual Edad Dentro de 2 Años

Padre 8x 8x + 2

Hijo x x + 2

Veamos qué relaciones hay entre las edades. El problema nos dice que la edad que

tendrá el padre dentro de dos años será 6 veces la edad que tendrá el hijo para ese

entonces. Luego

8x + 2 = 6(x + 2) .

2. Las edades de Diana, Olga y Susana suman 51 años. Diana tiene 6 años más que el

doble de la edad de Olga. Susana tiene 3 años menos que Olga. ¿Qué edad tienen

Diana, Olga y Susana? Establezca una ecuación que modele este problema.

Solución: Analizando el problema notamos que las edades de Diana y Susana están

dadas en términos de la edad de Olga. Usemos x para denotar la edad de Olga. Luego

Sujeto Edad

Olga x

Diana 2x + 6

Susana x − 3

También sabemos que las edades de Diana, Olga y Susana suman 51 años. Luego

tenemos la ecuación

x + (2x + 6) + (x − 3) = 51

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EJERCICIOS

1. Jorge es el doble de viejo que Luis. Hace cinco años sus edades sumaban 25 años.

¿Qué edad tienen Jorge y Luis? Establezca una ecuación que modele este problema.

2. Carmen tiene una tercera parte de la edad que tiene actualmente su madre. Dentro

de cuatro años ella tendrá la edad que su madre tenía hace treinta años. ¿Qué edad

tienen Carmen y su Madre? Establezca una ecuación que modele este problema.

PROBLEMAS CON DINERO

En este tipo de problema se nos presenta cantidades de dinero, precios, etc.

EJEMPLOS

1. Suponga que el precio de la seda es el triple del precio del algodón. Rosa compró 10

metros de seda y 15 metros de algodón por $39.95. ¿Cuál es el precio de la seda?


SOLUCIÓN: Como el precio de la seda es el triple del precio del algodón

representaremos el precio del algodón por x . Luego el precio de la seda es 3x . Con estos

símbolos organizamos los datos

Tela Cantidad (metros) Precio Costo

Algodón 15 x 15x

Seda 10 3x 10(3x) = 30x

El costo de las telas se obtiene multiplicando el precio por la cantidad de tela comprada.

El problema nos indica que Rosa gastó un total de $39.95. Este total es la suma del

costo de la seda y del algodón, luego tenemos

15x + 30x = 39.95

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2. Luz y Otto recibieron la misma cantidad de dinero de sus padres. Luz lo usó para

comprar 3 paquetes de frutas y le sobraron $10.50, mientras que Otto lo usó para

comprar 6 paquetes de las mismas frutas y le sobraron $2.40. ¿Cuál es el precio de un

paquete de frutas? Establezca una ecuación que modele este problema.

SOLUCIÓN: Comencemos por denotar el precio de los paquetes de fruta por x. Luz

compró 3 paquetes y le sobraron $10.50. Luego la cantidad de dinero, en dólares, que

tenía Luz era

3x +10.50

Otto compró 6 paquetes y le sobraron $2.50. Luego la cantidad de dinero, en dólares,

que tenía Otto era

6x + 2.50

Como recibieron la misma cantidad de dinero tenemos que

3x +10.50 = 6x + 2.50 .

EJERCICIOS

1. Si el precio del paladio es 8 veces el precio del tungsteno y se pagaron $524.50 al

comprar 20 onzas de paladio y 35 de tungsteno, ¿cuál es el precio del paladio?


2. En una feria se cobraba $2.00 por adulto y 60 centavos por niño. Se recolectaron

$655.40 por 775 admisiones. ¿Cuántos adultos y cuántos niños asistieron a la feria?


PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

En este tipo de problema los datos son presentados con relación a una situación

geométrica y por lo tanto, hacer un dibujo es muy conveniente.

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EJEMPLOS

1. El perímetro de una cancha de baloncesto es de 160 metros. El largo de la cancha es 5



SOLUCIÓN: Hagamos un dibujo de la situación.

Denotemos por a el ancho de la cancha. Como el largo es

5 metros más que el ancho tenemos que el largo de la

cancha está representado por a + 5 . ¿Cómo están relacionados el

largo y el ancho de la cancha? Se nos pide modelar el perímetro de la cancha en

términos de su ancho. Como la cancha es rectangular, su perímetro P es

P = 2l + 2a

donde l denota el largo y a el ancho. Luego l = a + 5 y substituyendo tenemos que

160 = 2a + 2(a + 5) .

2. El perímetro de un rectángulo es de 42 pulgadas y su área es de 68 pulgadas

cuadradas. Halle las dimensiones de la cancha. Establezca una ecuación que modele el

perímetro del rectángulo en términos de su ancho.

SOLUCIÓN: Sabemos que la fórmula para el perímetro de un rectángulo es P = 2l + 2a ,

donde a es el ancho del rectángulo y l el largo. También

sabemos que la fórmula para el área de un rectángulo es

A = la . Como el área del rectángulo es 68 pulgadas

cuadradas luego 68 = la . Dividiendo entre a obtenemos

que l = 68a

. Sustituyendo en P = 2l + 2a obtenemos que

a

a + 5

a

l

16

P = 2l + 2a42 = 2l + 2a

42 = 2 68a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 2a

EJERCICIOS

1. El largo de un pedazo rectangular de terreno es 60 yardas más que el doble de su

ancho. El perímetro es de 540 yardas. Establezca una ecuación que modele el

problema.

2. Un triángulo tiene de base 5 metros menos que el doble de su altura. Si el área del

triángulo es 45 metros cuadrados, ¿cuál es la altura del triángulo? Establezca una

ecuación que modele el problema.

PROBLEMAS CON MEZCLAS

En este tipo de problema se busca determinar la cantidad de ingredientes a mezclar,

sujeto a que la mezcla resultante tenga ciertas características específicas.

EJEMPLOS

1. En cierta prueba médica diseñada para medir la tolerancia al azúcar, un adulto toma

una solución al 30% de glucosa. Para poder administrarle esta prueba a un niño, la

concentración de glucosa debe disminuirse al 20%. Para obtener la concentración

deseada, se mezcla la solución de glucosa al 30% con agua pura para preparar 7 onzas

de una solución de glucosa al 20%. ¿Cuántas onzas de la solución de glucosa al 30% y

cuántas onzas de agua pura hay que mezclar para obtener las 7 onzas de la solución

de glucosa al 20%? Establezca una ecuación que modele este problema.

SOLUCIÓN: Digamos que x representa la cantidad de onzas de agua pura que se usará

para preparar la solución. Como hay que preparar 7 onzas, la diferencia 7 − x representa

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las onzas de la solución al 30% de glucosa a añadirse. La cantidad de glucosa en la

solución de glucosa al 30% es 0.30(7 − x) onzas*.

Como se añade agua pura, esta tiene una concentración de 0% de glucosa y por lo tanto

la cantidad de glucosa que aporta el agua pura es 0 onzas. Las onzas de glucosa en la

solución final son 0.20(7)=1.4 onzas. Organicemos esta información en una tabla:

Cantidad (onzas) Por ciento Onzas de Glucosa

Solución de glucosa al 30% 7 − x 0.30 .30 7 − x( )

Agua Pura x 0 0x = 0

Solución de glucosa al 20% 7 0.20 0.20(7) = 1.40

La suma de las onzas de glucosa en la solución al 30% y las del agua deben ser iguales a

las onzas en la solución al 20%. Luego

0.30 7 − x( ) + 0 = 1.400.30 7 − x( ) = 1.40

2. Una aleación contiene 7.5% de oro por peso. Se desea añadir cierta cantidad de

gramos de oro puro y cierta cantidad de gramos de la aleación que contiene 7.5% de

oro para preparar 200 gramos de otra aleación que sea 10% oro por peso. ¿Cuántos

gramos de oro puro y cuántos gramos de aleación con 7.5% de oro hay que añadir

para obtener los 200 gramos de aleación con 10% de oro? Establezca una ecuación que

modele este problema.

SOLUCIÓN: Digamos que la cantidad de gramos de oro puro para la nueva aleación es

x. Luego 200 − x representa la cantidad de aleación con 7.5% de oro a usarse pues se

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* Recuerde que para cambiar de por ciento a decimal se divide por 100. Por ejemplo, 30% = 30/100 = 0.30. Note que esto es equivalente a mover el punto decimal dos lugares hacia la izquierda.

desean 200 gramos de aleación al 10%. Los gramos de oro en la aleación al 7.5% son

0.075(200 − x) . Note que el por ciento de oro en el oro puro es de 100% = 1.00.

Cantidad (gramos) Por ciento Gramos de Oro

Oro puro x 1.00 x

Aleación con 7.5% de oro 200 − x 0.075 .075 200 − x( )

Mezcla 200 0.10 0.10(200) = 20

Obtenemos la ecuación que modela este problema al sumar los gramos de oro que

contiene la aleación al 7.5% con los gramos de oro puro e igualar esta suma a 20:

x + .075 200 − x( ) = 20

EJERCICIOS

1. Para llenar un radiador se tiene una solución con 40% de anticongelante, la cual se

quiere mezclar con anticongelante puro para obtener 8 cuartos de una solución que

contenga 60% de anticongelante. Si queremos saber las cantidades a mezclar,

establezca una ecuación que modele este problema.

2. Leche con 30% de grasa debe mezclarse con leche con 2% de grasa para obtener 720

galones de una mezcla de leche que sea 4.5% de grasa. Si queremos saber las

cantidades a mezclar, establezca una ecuación que modele este problema.

PROBLEMAS DE TRABAJO

En este tipo de problema se presentan dos sujetos o máquinas que realizan una tarea

con distinta rapidez. Luego se pregunta cuánto tiempo tomará realizar la misma tarea si

los sujetos o las máquinas la realizan simultáneamente.

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EJEMPLOS

1. A José le toma 90 minutos podar la grama de un patio, pero su hermano lo poda en

60 minutos. Establezca una ecuación que modele el tiempo que le tomará a ambos


SOLUCIÓN: ¿Qué parte del patio podan José y su hermano en un minuto si trabajan

por separado? Si dividimos el patio en 90 partes iguales, entonces José podará 1 parte

de 90 por minuto. Es decir

190

: parte del patio podada por José en un minuto

Ahora, si dividimos el patio en 60 partes iguales, entonces José podará 1 parte de 60 en

un minuto. Es decir

160

: parte del patio podada por el hermano de José en un minuto

Denotemos por t el tiempo, en minutos, que le toma a ambos podar el patio. Luego, si

dividimos el patio en t partes iguales José y su hermano podarán 1 parte de t en un

minuto. Es decir

1t: parte del patio podada por los dos en un minuto

Si José y su hermano trabajan juntos tenemos que

Parte podada porJosé en un minuto

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

Parte podada por elhermano en un minuto

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

Parte podada porambos en un minuto

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Luego,

190

+160

=1t

20

2. Usando una manguera se puede llenar una piscina en 8 horas. Otra manguera de

mayor diámetro puede llenarla en 5 horas. Establezca una ecuación que modele el

tiempo que le tomará a ambas mangueras llenar la piscina si se usan

simultáneamente.

SOLUCIÓN: ¿Qué parte de la piscina llenan las mangueras en una hora si se usan por

separado? Si dividimos la piscina en 8 partes iguales, la primera manguera llenará 1

parte de 8 en una hora. Es decir

18

: parte de la piscina llenada por la primera manguera en una hora

Ahora, si dividimos la piscina en 5 partes iguales, la segunda manguera llenará 1 parte

de 5 en una hora. Es decir

15

: parte de la piscina llenada por la segunda manguera en una hora

Si t denota el tiempo que le toma a ambas mangueras llenar el tanque y si dividimos el

tanque en t partes iguales, las mangueras llenarán 1 parte de t en una hora. Es decir

1t: parte de la piscina llenada por ambas mangueras en una hora

Tenemos que al usar ambas mangueras simultáneamente

Parte de la piscina llenadapor la primera mangera

en 1 hora

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ +

Parte de la piscina llenadapor la segunda mangera

en 1 hora

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

Parte de la piscina llenadapor ambas mangeras

en 1 hora

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Luego,

15+18=1t

21

EJERCICIOS

1. Pedro puede construir una acera en 15 días y Gabriel lo puede hacer en 10. ¿Cuánto

tiempo demorarán en construir la acera si trabajan juntos? Establezca una ecuación

que modele este problema.

2. Un tanque puede ser llenado por un grifo en 30 minutos y vaciado por un desagüe en

50 minutos. Si tanto el grifo como el desagüe se abren, establezca una ecuación que

modele cuánto tardará en llenarse el tanque. (Sugerencia: Observe que el desagüe

disminuye la cantidad de agua en el tanque)

22

PROBLEMAS ADICIONALES

1. Un estudiante en un curso de álgebra obtuvo 76, 82, 71 y 84 en cuatro pruebas. ¿Qué

puntuación tiene que obtener en la quinta prueba para tener un promedio de 75?


2. Un número disminuido en una cuarta parte del mismo resulta ser 75. ¿Cuál es este


3. Suponga que el precio del acero es cinco veces el precio de la madera. Roberto

compró 25 metros de acero y 30 metros de madera por $1,230. ¿Cuál es el precio del

acero y de la madera? Establezca una ecuación que modele este problema.

4. La altura de un triángulo es 5 metros más que el doble de su base. Si el área del

triángulo es 50 metros cuadrados, ¿cuál es la altura del triángulo? Establezca una

ecuación que modele el problema.

5. Una solución salina contiene 25% de sal. Se desea mezclar esta solución salina con

agua pura para obtener 6 litros de una solución que contenga un 20% de sal.

¿Cuántos litros de la solución al 25% y de agua pura hay que mezclar? Establezca

una ecuación que modele este problema.

6. Un césped de 40 pies de largo por 26 de ancho tiene una acera de ancho uniforme

que lo circunda. Si el área de la acera es de 432 pies cuadrados, establezca una

ecuación para hallar su ancho.

7. La suma de tres números pares consecutivos es 204. ¿Cuales son estos números?


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POS–PRUEBA

Nombre: Escuela:

Instrucciones: En los problemas 2 al 8 establezca la ecuación que modela el problema pero no la resuelva.

1. Traduzca el siguiente enunciado al lenguaje matemático: El ancho de un rectángulo

es 2 menos que tres veces su largo.

2. Un estudiante en un curso de cálculo obtuvo 82, 45 y 73 en los exámenes parciales.

Éste desea saber qué puntuación necesita obtener en el cuarto examen para tener 80


3. Un número aumentado en una cuarta parte del mismo resulta ser 75. ¿Cuál es éste


4. Un hombre tiene tres veces la edad de su hijo. En 20 años, su edad será el doble de

la edad que su hijo tendrá para entonces. ¿Qué edades tienen el hombre y su hijo?


5. Suponga que el precio de la seda es cinco veces el precio del lino. María compró 25

metros de seda y 30 metros de lino por $430.50. ¿Cuál es el precio de la seda y del

lino? Establezca una ecuación que modele este problema.

6. El perímetro de una cancha de tenis es de 62 metros. El largo de la cancha es 6



7. Una compañía de licores tiene una solución de alcohol concentrada al 60%. Se desea

mezclar alcohol puro con la solución al 60% para obtener una solución con una

concentración de alcohol al 75%. ¿Cuántas onzas de solución al 60% y de alcohol

puro hay que mezclar para obtener 50 onzas de una solución de alcohol al 75%?


8. A José le toma 30 minutos podar la grama de un patio, pero Tomás lo poda en 20

minutos. Establezca una ecuación que modele el tiempo que le tomará a ambos


24

RESPUESTAS

RESPUESTAS DE LA PRE–PRUEBA

1. l = 2a + 3 , donde l representa el largo del rectángulo y a su ancho.

2.45 + 86 + 71+ x

4= 80 , donde x representa la puntuación del cuarto examen.

3. x + x3= 60 , donde x representa el número que se desea determinar.

4. 3x +15 = 2(x +15) , donde x representa la edad del hijo.

5. 35x + 20(6x) = 542.50 , donde x representa el costo del lino.

6. 42 = 2a + 2(a + 3) , donde a representa el ancho de la cancha

7. x + 0.40(42 − x) = 0.55(42) , donde x representa la cantidad de alcohol puro añadido.

8.160

+140

=1t, donde t representa el tiempo que le toma a José y Tomás podar el patio

juntos.

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS EN EL MÓDULO

Traducción (pág. 8)1. A = la , donde A representa el área, l el largo y a ancho del rectángulo

2. P =FA

, donde P representa la presión, F la fuerza, A el área

3. G = 325x , donde x es el número de neveras vendidas y G la ganancia

4. La edad de Juan está representada por 2x +12 , donde x es la edad de Carlos.

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Problemas de promedio (pág. 11)

1.75 + 83+ 71+ 85 + x

5= 80 , donde x es la puntuación de la próxima prueba

2.70 + 85 + 45 + x

4= 75 , donde x es la puntuación del cuarto examen

Problemas con números (pág. 12)

1. x − x2− 21⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= 30 , donde x es el segundo número

2. x + (x +1) + (x + 2) = 144 , donde x es el primero de los números

Problemas con edades (pág. 14)1. (x − 5) + (2x − 5) = 25 , donde x es la edad actual de Luis

2.x3+ 4 = x − 30 , donde x representa la edad actual de la madre de Carmen

Problemas con dinero (pág. 15)1. 35x + 20(8x) = 524.50 , donde x representa el precio de tungsteno

2. 0.60x + 2(775 − x) = 655.95 , donde x representa el numero de niños

Problemas geométricos (pág. 17)1. 2a + 2(2a + 60) = 540 , donde a representa el ancho del rectángulo

2. 45 =2h − 5( )h2

, donde h es la altura del triángulo

Problemas con mezclas (pág. 19)1. x + 0.40(8 − x) = 0.60(8) , donde x representa los cuartos de anticongelante puro

2. 0.30x + 0.02(720 − x) = 0.045(720) , donde x representa los galones de leche con 30%

de grasa

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Problemas de trabajo (pág. 22)

1.115

+110

=1t, donde t representa el tiempo que le toma a Pedro y a Gabriel construir

la acera juntos.

2.130

−150

=1t, donde t representa el tiempo que tarda en llenarse el tanque

RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS ADICIONALES

1.76 + 82 + 71+ 84 + x

5= 75 , donde x representa la puntuación del quinto examen.

2. x − x4= 75 , donde x representa el número que se quiere buscar.

3. 30x + 25 5x( ) = 1,230 , donde x es el precio de la madera.

4. 50 =b 2b + 5( )

2, donde b es la base del triángulo.

5. 0.25 6 − x( ) = 0.20 6( ) , donde x representa los litros de agua pura.

6. 40 + 2x( ) 26 + 2x( ) − 40 26( ) = 432 , donde x es el ancho de la acera.

7. 2n + 2 n +1( ) + 2 n + 2( ) = 204 , donde 2n es el primero de los números pares.

RESPUESTAS DE LA POS–PRUEBA

1. a = 3l − 2 , donde l representa el largo del rectángulo y a su ancho.

2.82 + 45 + 73+ x

4= 80 , donde x representa la puntuación del cuarto examen.

3. x + x4= 75 , donde x representa el número que se desea determinar.

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4. 3x + 20 = 2(x + 20) , donde x representa la edad del hijo.

5. 30x + 25(5x) = 430.50 , donde x representa el costo del lino.

6. 62 = 2a + 2(a + 6) , donde a representa el ancho de la cancha

7. x + 0.60(50 − x) = 0.75(50) , donde x representa la cantidad de alcohol puro añadido.

8.130

+120

=1t, donde t representa el tiempo que le toma a José y Tomás podar el patio

juntos.

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taller 2 modelar mediante ecuaciones - …taller 2 modelar mediante ecuaciones ... estas no sólo...

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